高考数学一轮复习 专练31 等比数列及其前n项和(含解析)理 新人教版-新人教版高三全册数学试题

专练31 等比数列及其前n 项和
命题X 围：等比数列的概念与性质、等比数列的通项公式、前n 项和公式
[基础强化]
一、选择题
1．[2020·某某某某一调]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( )
A. 2 B ．2 C. 5 D ．3
2．[2020·某某某某质检]已知等比数列{a n }满足a 1＝1
8，4a 2a 4＝4a 3－1，则a 2＝( )
A ．±14 B.14
C ．±116 D.116
3．等比数列{a n }中，若a n >0，a 2a 4＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则公比q ＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4
4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16
5．[2020·某某市长郡中学高三测试]设{a n }是公比为q ＞1的等比数列，若a 2 010和a 2 011
是方程4x 2
－8x ＋3＝0的两根，则a 2 012＋a 2 013＝( )
A ．18
B ．10
C ．25
D ．9
6．[2020·某某高三测试]已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，
则当T n 取得最大值时，n 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
7．[2020·某某七校联合体二联]已知等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )
A ．12
B ．－1
2
C ．1或－12
D ．－1或1
2
8．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝3
3，则a 11＋a 2 011a 17＋a 2 017
＝( )
A.29
B.49
C.23
D.89
9．[2020·某某某某测试]已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9
＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25 二、填空题
10．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.
11．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.
12．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.
[能力提升]
13．[2020·全国卷Ⅱ]数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n .若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215
－25
，则k ＝( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
14．[2020·某某某某高三测试]设首项为1，公比为2
3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，
则( )
A ．S n ＝2a n －1
B ．S n ＝3a n －2
C ．S n ＝4－3a n
D ．S n ＝3－2a n
15．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 2
4＝a 6，则S 5＝________.
16．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．
专练31 等比数列及其前n 项和
1．B 由题意可得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 11－q 61－q ＝9×a 11－q 3
1－q
，
a
1
1－q 5
1－q
＝62，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
q 3
＝8，a 11－q 5
1－q
＝62，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
a 1＝2，选B.
2．A 因为4a 2a 4＝4a 3－1，所以4a 21q 4＝4a 1q 2
－1，又a 1＝18，解得q ＝±2，所以a 2＝a 1·q
＝18×(±2)＝±1
4
.故选A. 3．B 由等比数列的性质得a 2
3＝a 2a 4＝1，结合a n >0，得a 3＝1.由a 1＋a 2＋a 3＝7，得a 3
q
2＋
a 3q ＋a 3＝7，则1q 2＋1q ＝6，结合q >0，得q ＝1
2
，故选B. 4．C ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3.又{a n }为等比数列，∴4q ＝4＋q 2
，∴q ＝2.又a 1＝1，
∴S 4＝a 11－q 41－q ＝1－24
1－2
＝15.
5．A 由题意可得：a 2010＝12，a 2011＝3
2，又{a n }为等比数列，
∴q ＝3.
∴a 2012＋a 2013＝92＋27
2
＝18.
6．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝－24q 3
＝－89，q 3＝127，q ＝13，此等比数列各
项均为负数，当n 为奇数时，T n 为负数，当n 为偶数时，T n 为正数，所以T n 取得最大值时，n
为偶数，排除B ，而T 2＝(－24)2
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＝24×8＝192，
T 4＝(－24)4
⎝ ⎛⎭
⎪⎫136＝84×19＝84
9＞192， T 6＝(－24)6
⎝ ⎛⎭⎪⎫1315＝86×⎝ ⎛⎭⎪⎫139＝8639＝19×8637＜8
4
9
，T 4最大，选择C.
7．C 若q ＝1，因为a 3＝7，所以S 3＝3×7＝21，符合题意；若q ≠1，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q 2
＝7a 11－q 3
1－q
＝21，解得q ＝－12.所以公比q 的值为1或－1
2
，故选C.
8．D ∵{a n }为等比数列，∴q ＝a 3a 2＝3
3
2，
又a 11＋a 2 011a 17＋a 2 017＝1q 6＝2332＝8
9
. 9．C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5，可得S 8－S 4＝S 4＋5.又由等比数列的性质知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2
.于是a 9＋a 10＋a 11＋
a 12＝S 12－S 8＝
S 4＋5
2
S 4
＝S 4＋25
S 4
＋10≥2
S 4×25
S 4
＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立．所
以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.故选C.
10．32
解析：设{a n
}的首项为a 1
，公比为q ，则⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 11－q 31－q ＝7
4
，
a
1
1－q 6
1－q
＝634
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14
×27＝25
＝32.
11．50
解析：∵{a n }为等比数列，∴a 10a 11＝a 9a 12， 又a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，∴a 10a 11＝e 5
，
∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2……a 20)＝ln(a 10·a 11)10
＝ln(e 5)10
＝lne 50
＝50 12．－8
解析：由{a n }为等比数列，设公比为q .
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q ＝－1， ①a 1－a 1q 2
＝－3， ②
显然q ≠1，a 1≠0，
②
①
得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3
＝1×(－2)3
＝－8.
13．C 由a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1可得a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2×2
n －1
＝2n .则a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝2
k ＋1
＋2
k ＋2
＋…＋2
k ＋10
＝
2k ＋1
1－210
1－2
＝2
k ＋11
－2
k ＋1
＝215
－25
，∴k ＝4.故选C.
14．D ∵a 1＝1，q ＝2
3
，
∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝3－2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
＝3－2a n
15.121
3
解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2
4＝a 6，所以(a 1q 3)2
＝a 1q 5
，所以a 1q ＝1，又a 1
＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 5
1－q
＝
1
3
×1－35
1－3
＝1213
.
优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2
4＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13
，
所以q ＝3，所以S 5＝
a 11－q 5
1－q
＝
13
×1－35
1－3
＝1213
. 16．64
解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 2
＝10，a 1q ＋a 1q 3
＝5，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝8，q ＝1
2
，
∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121
n(n-7)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
1749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当n ＝3或4时，12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫122
1749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
取到最大值26
，所
以a 1a 2…a n 的最大值为64.。