菲翔学校高中数学 十五章阶段质量检测八 选修21 试题

墨达哥州易旺市菲翔学校阶段质量
检测(八)
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分．一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)
1．假设复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，那么实数a的值是()
A．1B．3
C．1或者3D．－1
【解析】由题意知，解得a＝3.
【答案】B
2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的〞中小前提是()
A．①B．②
C．①②D．③
【解析】大前提是①，小前提是②，结论是③.
【答案】B
3．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A.e2B．2e2
C．e2D.
【解析】∵点(2，e2)在曲线上，
∴切线的斜率k＝y′x＝2＝e2，
∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)．
即e2x－y－e2＝0.
与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，
∴S△＝×1×e2＝.
【答案】D
假设a＞b，那么＞〞时，假设的内容是()
A.＝
B.＜
C.＝且＞
D.＝或者＜
【解析】＞的反面是≤，即＝或者＜.
【答案】D
5．M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，实数a与b的值分别是()
A．－4,5B．4,5
C．－4，－5D．4，－5
【解析】由题意知(a－1)＋(b－5)i＝3，
∴，解得.
【答案】B
6．复数z＝1－i，那么＝()
A．2iB．－2i
C．2D．－2
【解析】∵z＝1－i，
∴z2－2z＝(1－i)2－2(1－i)＝－2，
又z－1＝(1－i)－1＝－i.
∴＝＝＝＝－2i.
【答案】B
Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“假设a，b∈R，那么a－b＝0⇒a＝b〞类比推出“假设a，b∈C，那么a－b＝0⇒a＝b〞；
②“假设a，b，c，d∈R，那么复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d∈Q，那么a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d〞；
③“假设a，b∈R，那么a－b＞0”类比推出“假设a，b∈C，那么a－b＞0⇒a＞b〞．
其中类比得到的结论正确的个数是()
A．0B．1
C．2D．3
【解析】①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a －b＝1＞0，但复数a与b不能比较大小．
【答案】C
8．假设函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，那么f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为()
A.B.
C.D.
【解析】由题意得：f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，
令x＝0得f′(0)＝－f′(2)，
令x＝1得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，
∴f′(2)＝1，
∴f′(0)＝－1，
即f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为－1，
∴倾斜角为π.
【答案】D
9．函数f(x)＝e x(sinx＋cosx)在区间上的值域为()
A.B.
C.D.
【解析】f′(x)＝e x(sinx＋cosx)＋e x(cosx－sinx)＝e x cosx，
0≤x≤时，f′(x)≥0，
∴f(x)是上的增函数．
∴f(x)的最大值为f＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
∴f(x)在上的值域为.故应选A.
【答案】A
10．假设函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，那么实数a的取值范围是()
A．a＜1B．a≤1
C．0＜a＜1D．0＜a≤1
【解析】∵f′(x)＝3ax2－3，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．假设a≤0，显然有f′(x)＜0；假设a＞0，由f′(x)≤0得
－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1，综上知a≤1.
【答案】B
11．结论：“在正三角形ABC中，假设D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，那么＝2”．假设把该结论推广到空间，那么有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，假设△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的间隔都相等〞，那么＝()
A．1B．2
C．3D．4
【解析】如图设正四面体的棱长为1，那么易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
【答案】C
12．以下关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的选项是()
①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f(－)是极小值，f()是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．
A．①③B．①②③
C．②D．①②
【解析】由f(x)＝(2x－x2)e x＞0可得0＜x＜2，故①正确；又f′(x)＝(2－x2)e x，令f′(x)＝(2－x2)e x＝0可得，x＝±，且当x＜－或者x＞时，f′(x)＜0；当－＜x＜时，f′(x)＞0，故f(－)是极小值，f()是极大值，即②正确．根据图象的特点易知③不正确．应选D.
【答案】D
二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·是实数，那么实数k＝________.
【解析】＝k－i，
z1·＝(4＋2i)(k－i)＝(4k＋2)＋(2k－4)i，
又z1·是实数，那么2k－4＝0，即k＝2.
【答案】2
14.
如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，那么f(f(0))=；函数f(x)在x=1处的导数f′(1)=.
【答案】2-2
15．＝2，＝3，＝4，…，假设＝6(a，b均为实数)，那么猜测a＝________，b＝________.
【解析】通过观察发现，a的值与根号里面加号前的数一样，b的值是根号里面分数的分子的平方减1，所以a＝6，b＝62－1＝35.
【答案】635
16．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公一共点，那么a的取值范围是________．【解析】令f′(x)=3x2-3=0，
得x=±1，
可求得f(x)的极大值为f(-1)=2，
极小值为f(1)=-2，
如下列图，由图可知-2＜a＜2时，恰有三个不同公一共点．
【答案】(-2,2)
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)
17．(10分)复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设＋z2是实数，务实数a的值．
【解析】＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或者a＝3.
∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
18．(12分)设函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝2x2＋b，它们的图象在x＝1处有一样的切线．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)假设函数F(x)＝f(x)－m·g(x)在区间上是单调减函数，务实数m的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝4x，
∴
∴f(x)＝x3＋x，g(x)＝2x2
(2)∵F(x)＝f(x)－mg(x)＝x3＋x－2mx2，
∴F′(x)＝3x2－4mx＋1
假设x∈时，F(x)是减函数，那么3x2－4mx＋1≤0恒成立，得
，∴m≥.
19．(12分)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设＋＝，试问A、B、C是否成等差数列，假设不成等差数列，请说明理由．假设成等差数列，请给出证明．
【证明】A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：
∵＋＝，
∴＋＝3，
∴＋＝1，
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.
在△ABC中，由余弦定理，得
cosB＝＝＝，
∵0°＜B＜180°∴B＝60°.
∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差数列．
20．(12分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)假设方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，
因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；
当x＞2时，f′(x)＞0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，
故当f(2)＞0或者f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根．
解得a＜2或者a＞.
21．(12分)m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)·e x.
(1)假设函数f(x)没有零点，务实数m的取值范围；
(2)当m>2时，求函数f(x)的极大值．
【解析】(1)令f(x)＝0，得(x2＋mx＋m)·e x＝0，
∴x2＋mx＋m＝0.
∵函数f(x)没有零点，∴Δ＝m2－4m<0，
∴0<m<4.
(2)f′(x)＝(2x＋m)e x＋(x2＋mx＋m)e x＝(x＋2)(x＋m)e x，
令f′(x)＝0，得x＝－2或者x＝－m.
当m>2时，那么－m<－2，
当x＝－m时，f(x)获得极大值me－m.
22．(12分)函数f(x)＝lnx－.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)假设函数f(x)在[1，e]上的最小值为，务实数a的值．
【解析】(1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，令f′(x)>0，得x>－a，∴f(x)的单调增区间为(－a，＋∞)．
(2)由(1)可知，f′(x)＝
①假设a≥－1，那么x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，∴[f(x)]min ＝f(1)＝－a＝，
∴a＝－(舍去)．
②a≤－e，那么x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，∴[f(x)]min ＝f(e)＝1－＝，
∴a＝－(舍去)．
③假设－e<a<－1，当1<x<－a时，f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数，当－a<x<e时，f′(x)>0
∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴[f(x)]min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，
∴a＝－
综上所述，a＝－.。