_设序法_证明不等式

们就可利用这些不等式进行新的不等式证明.
例 1 设 a, b , c I R+ , 求 证: a + b + c [
b2+ 2a
c2
+
c2+ 2
a b
2
+
a
2+ 2c
b
2
[
a3 bc
+
b3 ca
+
c3 ab
.
证明 由于要证不等式是关于 a, b , c 的对称
不等式, 故可设 a \b \c>
0, 则 a2 \ b2 \ c2,
b Lb
-
1
+
( 2 KK( a+ b
L) )-
cLc -
1
\0,
即
2a- b- c K( b+ c) - La
+
2 b- c- a K( c+ a) - Lb
+
2cK( a+
ab) -
b Lc
\0,
同例
3
变形得
2a- bK( b + c) -
c La
+
2 cK( a+
a- b b ) - Lc
\K(2ca+-
x
2 1
x 3+ x 1
\0.
证明 不妨设 x 1 \x 2 \x 3, 发现欲证不等式左
端三项的分子和为 0, 则原不等式等价于
2x 23- x 21x 1+ x 2
x
2
2+
2
x
2 1
-
x
2 2
-
x 2+ x 3
x
2 3
\2
x
23- x x 3+
21x1
x
2
2+
2
x
2 1
-
x
2 2
-
x 3+ x 1
+
c 3#
1 ab
,
两式
相加
变形
即
b2+ 2a
c
2
+
c
2
+ 2b
a
2
+
a2+ b2 2c
[
a3 bc
+
b3 ca
+
c3 ab
.
原不等式得证.
2 设序后用函数的眼光看问题
对于某些条件不等式, 给变量设序后即可得到
变量的范围, 依据范围引入新的变量, 再对欲证不等
式进行变形与放缩, 将其表达为新变量的函数, 从而
对于某些特征明显的不等式, 设序后可充分利
用不等式的特征对其进行变形, 发现通过简单的比 较即可得证, 而不需要任何复杂的计算和特殊的技
巧.
例 3 设 x 1, x 2, x 3 均为正数, 求证:
2x
2 3
-
x
x 1+
2 1
-
x2
x
2 2
+
2x
2 1
-
x
x 2+
22x3
x
2 3
+
2x 22-
x 23-
Lb >
0,
故K(2ac+-
ab)-
b Lc
\K(2cc+-
aa) -
b Lb
.
所以 º式成立, 左端得证.
又由 b + c> a 及 K> L\0 得
K( b +
a c)-
La <
( K-
2a L) ( a+
b+
c) ;
同理可证
K( c+
b a) -
Lb<
( K-
2b L) ( a+
b+
c);
K( a+
1 c
\
1 b
\
1 a
, 利用排序不等式有
a 2#
1 a
+
b
2#
1 b
+
c
2#
1 c
[
b2#
1 a
+
c2#
1 b
+
a2#
1 c
,
a 2#
1 a
+
b
2#
1 b
+
c
2#
1 c
[
c
2#
1 a
+
a2
#
1 b
+
b 2#
1 c
,
两式相加变形即 a +
b+
c[
b2+ 2a
c2
+
c2+ a2 2b
+
a
2+ 2c
b2
变量之间具有一定的对称关系, 故可人为地给变量
设定一定的顺序而不失其一般性, 然后再充分利用 序关系进行不等式的证明, 笔者称这种方法为/ 设序
法0. / 设序法0能为我们的解题增加条件, 带来便利,
下面从三个方面进行说明.
1 设序后利用与序有关的不等式
中学阶段与序有关的不等式有排序不等式及其
推论、切比雪夫不等式及其推论等, 给变量设序后我
5 则紧紧抓住不等式固有的特征, 设序后通过简单
的变形与比较给出了一些不等式的更加简捷初等的
证法, 谁料/ 小小0的顺序却有如此大的作用. / 设序
法0 的更 多应 用留 给读 者探 究.
( 收稿日期: 2012- 08- 29)
z z
2
\
x 2x+
z y
2且y
2z+
x x
2
\yx2
+
x y
2
,
故
¼
x
z
y
z
式成立. 得证.
注 用同样的方法可证 W#janous 猜想和例 5
的两个推广:
(1) ( W #janous 猜想) 已 知 x , y , z I R+ , 则
z 2x+
y y
2
+
x 2y+
z z
2
+
y 2z+
x2 x
挖掘利用, 也能用于证明不等式, 拓宽解证不等式的 思路. 能用线性函数解证的不等式题不少, 线性函 数在解证不等式方面的作用不可忽视.
( 收稿日期: 2012- 10- 13)
/ 设序法0证明不等式
杨春波 程汉波
( 华中师范大学 数学与统计学学院, 430079)
在对称不等式和轮换对称不等式中, 由于各个
x
2 3
¹
因
2x
2 3
-
x
2 1
-
x
Hale Waihona Puke 2 2[0,
x1+
x 2 \x 3+
x 1>
0, 故
2
x
2 3
-
x
x 1+
2 1
-
x2
x
2 2
\2 x
23- x x 3+
21x1
x
2 2
因
2x
2 1
-
x
2 2
-
x
2 3
\0,
0<
x 2+
x3[
x 3+
x1, 故
2
x
2 1
-
x
x 2+
2 2
-
x3
x
2 3
\2 x
21- x x 3+
ba)-
c Lb
+
2 cK( c+
aa) -
b Lb
º
因 2a- b - c \0, 0< K( b+ c) - La [ K( c+ a)
-
Lb,
故K(2ba+-
bc)-
c La
\K(2ca+-
ba) -
c Lb
;
因 2c- a- b [ 0, K( b + a) - Lc \K( c+ a) -
例 9 ( 2006 年匈牙利 ) 以色列数学竞赛) 设 x , y , z \0, 且 x + y + z = 1, 求 S = x 2( y + z ) + y 2 ( z + x ) + z 2( x + y ) 的最大值.
解 S = x 2( 1- x ) + y 2( 1- y ) + z 2( 1- z ) = x 2+ y 2+ z 2- x 3- y 3- z 3 = x 2+ ( y + z ) 2- 2yz - x 3- ( y + z ) 3+ 3yz ( y + z ) = x 2+ ( 1- x ) 2- 2yz - x 3- ( 1- x ) 3+ 3yz ( 1- x ) = x - x 2+ (1- 3x )yz .
64
数学通讯 ) 2013 年第 1 期 ( 下半月)
#课外园地#
[ 0,
故 f ( yz ) [ 0, 原不等式得证. 注 本题后面的( 3x - 1) 2 与原不等式当 x = y
= z=
1 3
时等式成立有关, 用
54x 3-
27x 2+
1
除以
( 3x - 1) 2 即 9x 2- 6x + 1 易得 6x + 1.
t, a+
b=
2 3
+
t, 0[
t[
1 3
,
则
5( a2 + b2 + c2) + 18abc = 5[ 1- 2( ab + bc +
ca) ] + 18abc= 5- 10c( a+ b) + ( 18c- 10) ab \5-
10c( a+
b)+
( 18c-
10) (
a+ 2
b) 2=
-
9 2
因0 [
yz
[
(
y
+ 4
z
)
2
=
(
1
4
x
)
2
,
而当
yz
=
0
时, S = x - x 2=
1 4
-
(x-
1 2
)
2
[
1 4
,
故可初步判别
S
的最大值是
1 4
,
现证明之.
设关于组合变量 y z 的线性函数:
f ( yz ) =
x-
x 2+
( 1- 3x ) yz -
1 4
.
因f ( 0) = x - x 2-
,
不等式左端得证; 为证不等式右端, 再考
虑 a3 \ b3 \ c3
以及
1 bc
\
1 ca
\a1b ,
同样由排序不等
式得
b3#
1 bc
+
c
3#
1 ca
+
a 3#
1 ab
[
a
3
#
1 bc
+
b3#
1 ca
+
c 3#
1 ab
,
c
3#
1 bc
+
a
3#
1 ca
+
b 3#
1 ab
[
a
3
#
1 bc
+
b3#
1 ca
故可设 x \z , y \z , 下面分两种情况进行讨论:
(1)
x
\y
\z
.
原不等式等价于
x
(
x y
2+
z
z
2)
\
z
(
y x
2+
z y
2
)
+
y
(
x z
2+
y x
2)
,
变形即
y 2y+
z z
2
+
x 2y+
y2 z
\yx2-+
z2 y
+
x 2- y2 z+ x
»
x
x
z
y
易证
y2 y
+
z z
2
\
y 2y+
将不等式问题转化为我们熟知的函数值域问题.
例 2 设 a, b , c 是非负实数, 且 a+ b+ c= 1,
求证: 5( a2+
b2+
c2) +
18 abc
\
7 3
.
证明 要证不等式关于 a, b, c 对称, 不妨设 a
\b \c, 由题设条件得, c [
1 3
,
a+
b
\
2 3
,
令
c=
1 3
-
第 3 题) 设非负实数 a , b, c 满足 a+ b + c= 1, 求
证: 9abc [ ab+ bc+ ca [
1 4
(
1+
9abc) .
( 5数学通讯62010 年 9 月上( 学生刊) 征解问题 27) 设 a, b, c I R+ , 且 a+ b + c = 3, 求证: 2( a3+ b 3+ c3) + 3abc \9. 3 设序后充分利用不等式特征
1 4
=
-
( x-
1 2
)
2
[
0,
又
f
[
(
1- x 4
)2]
=
x-
x 2+
( 1-
3
x
)
#
(
1- x 4
)
2
-
1 4
=
-
3x 3+ 3x24
x
=
- x [ 3( x -
1 2
)
2+
1 4
]
4
[ 0,
故 f ( yz ) =
S-
1 4
[
0, 也即
S
的最大值是
1 4
.
不等式的证法多种多样, 简单的线性函数加以
22x1
x
2
3.
所以 ¹ 式成立, 原不等式得证.
注 用同样的方法, 可将这个不等式推广为:
2
x
A3- x x B1+
A1-
x
B 2
x
A 2
+
2x
A1- x x B2+
A2-
x
B 3
x
A 3
+
2x A2-
x A3-
x
A 1