(2021年整理)数列相关习题及解析

（完整）数列相关习题及解析
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数列题型
一、选择题
1．设数列｛a n ｝、{b n ｝都是等差数列,且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为( ）
A ．0
B ．37
C ．100
D ．－37
2．设{a n ｝为等差数列，则下列数列中,成等差数列的个数为（ ） ①{a n 2
｝ ②{pa n } ③{pa n +q } ④｛na n }(p 、q 为非零常数) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．在等差数列｛a n ｝中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ） A ．S 21
B ．S 20
C ．S 11
D ．S 10
4．在｛a n }中，a 1=15，3a n +1=3a n －2(n ∈N ＊
），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）
A ．a 21和a 22
B ．a 22和a 23
C ．a 23和a 24
D ．a 24和a 25
5．若数列｛a n ｝前n 项和S n =n 2
－2n +3，则这个数列的前3项为（ ) A ．－1，1，3 B ．2，1，0 C ．2，1，3 D ．2，1，6 6．数列｛a n }中，a n +1=n
n
a a 31 ,a 1=2，则a 4为（ ）
A ．5
8 B ．
19
2 C ．5
16 D ．7
8
7．设｛a n ｝是等差数列，公差为d ，S n 是其前n 项和，且S 5〈S 6， S 6=S 7〉
S 8．下列结论错误的是（ )
A ．d <0
B ．a 7=0
C ．S 9〉S 5
D ．S 6和S 7为S n 最大值
8．在等差数列｛a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200，a 51+a 52+…+a 100=2700，
则a 1等于（ ）
A ．－20
B ．－202
1 C ．－212
1 D ．－22
9．设f （n ）=11
+n +21+n +…+n
21(n ∈N *），那么f （n +1）－f (n ）等于（ ）
A ．121+n
B ．2
21+n
C ．121+n +221+n
D ．121+n －2
21+n
10．依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）．近似地满足S n =90
n （21n －n 2
－5），（n =1，2，…，12），
则按此预测在本年度内,需求量超过1．5万件的月份是( ）A ．5月、6月 B ．6月、7日 C ．7月、8日 D ．8月、9日
二、填空题
11．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项．
12．在首项为31,公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______．
13．在等差数列｛a n }中，满足3a 4=7a 7．且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n =_______．
14．已知f （n +1）=f （n ）－4
1（n ∈N *
)且f （2）=2，则f （101)=_______．
三、解答题
15．(本小题满分8分）在等差数列{a n ｝中，a 1=－60，a 17=－12． （1)求通项a n ，（2)求此数列前30项的绝对值的和．
16．（本小题满分10分）设{a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n
项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列｛n
S n ｝的前n 项和，求T n ．
17．(本小题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3=12，
S 12>0,S 13<0．
（1）求公差d 的取值范围；
(2）指出S 1，S 2,S 3…S 12中哪一个值最大？并说明理由．
18．(本小题满分12分）已知f （x +1)=x 2
－4,等差数列｛a n ｝中,a 1=f (x －1）， a 2=－2
3,a 3=f （x ）．
（1)求x 值;
(2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值．
19．（本小题满分12分)设两个方程x 2
－x +a =0和x 2
－x +b =0的四个根成首项为4
1的等差数列,求a +b 的值．
答案解析
1.【解析】∵｛a n }、{b n ｝为等差数列,∴{a n +b n ｝也为等差数列,设c n =a n +b n ，则c 1=a 1+b 1=100，而c 2=a 2+b 2=100，故d =c 2－c 1=0,∴c 37=100．
【答案】C
2【解析】{pa n }、｛pa n +q ｝的公差为pd （设{a n }公差为d ),而｛na n }、｛a n 2
｝不符合等差数列定义．
【答案】B
3.【解析】3a 8=5a 13 d =－39
2a 1〈0．
a n ≥0⇒n ≤20．
【答案】B
4。

【解析】a n +1－a n =3
2，∴a n =15+（n －1)（－3
2）=3247n -．a n +1a n <0⇒3
1（45
－2n )31（47－2n ）〈0⇒2
45
<n <2
47．
∴n =23． 【答案】C
5.【解析】a 1=S 1=2，又a 3=S 3－S 2=3． 【答案】C 6。

【解析】1
1+n a =
n
a 1
+3，∴
n
a 1=
1
1a +3（n －1）=3n －2
5，∴a 4=19
2．
【答案】B
7【解析】∵S 5〈S 6，S 6=S 7>S 8． 由S 6=S 7⇒a 7=0,S 7>S 8⇒d <0． 显然S 6=S 7且最大． 【答案】C
8【解析】∵a 51+a 52+…+a 100=（a 1+a 2+…+a 50）+50×50d =2700． ∴d =1,S 50=50a 1+2
4950⨯×1⇒a 1=－202
1．
【答案】B
9【解析】f （n +1）=21
+n +3
1+n +…+n 21+121+n +221
+n ．
【答案】D
10【解析】第n 个月需求量a n =S n －S n －1=30
1（－n 2
+15n +9）， a n 〉1．5
得
30
1
(－n 2+15n +9）〉1．5． 解得：6<n <9，∴n =7或8．
【答案】C
11【解析】由－5×11+2
1011⨯d =55，得d =2．由a n =5，a n =a 1+(n －1)d 得
n =6．
【答案】6
12【解析】a n =35－4n ．由⇒⎩⎨⎧≤--≥-0
)1(4350435n n 7 843
≤≤n 43得
a 8=3，a 9=－1，
∴最接近的为a 9=－1． 【答案】－1
13【解析】设公差为d ，得3（a 1+3d ）=7（a 1+6d )， ∴d =－33
4
a 1<0，令a n >0． 解得
n <4
37,即n ≤9时，a n >0．
同理，n ≥10时，a n 〈0．∴S 9最大，故n =9． 【答案】9
14【解析】f （n +1）－f （n ）=－4
1，f （n ）可看作是公差为－4
1的等
差数列，f (101）=f （2)+99d =－4
91．
【答案】－4
91
15【解】（1）a 17=a 1+16d ，即－12=－60+16d ,∴d =3,∴a n =－60+3（n －1）=3n －63．
(2）由a n ≤0，则3n －63≤0⇒n ≤21，∴|a 1|+|a 2|+…+｜a 30|=－（a 1+a 2+…+a 21)+（a 22+a 23+…+a 30)=(3+6+9+…+60）+(3+6+…+27)=2
)603(+×20+2
)273(+×
9=765．
16【解】设等差数列｛a n }公差为d ，则S n =na 1+2
1n （n －1)d
∵S 7=7,S 15=75,∴⎩⎨
⎧=+=+75
105157
21711d a d a ⇒
∴a 1=－2，d =1，∴n
S n =a 1+2
1(n －1）d =－2+2
1(n －1）
∵11++n S n －n S n =2
1
∴｛n
S n }为等差数列,其首项为－2,公差为21,
∴T n =41n 2
－4
9n ．
17【解】(1）依题意⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<⨯+=>⨯+=②
①021*******
111212113112d a S d a S
即⎩⎨
⎧<+>+0
60
11211d a d a ，由a 3=a 1+2d =12得a 1=12－2d ，代入①②⇒－7
24〈d <－3．
（2)由d <0，可知a 1〉a 2>…>a 12〉a 13．因此若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使a n >0，a n +1〈0时，则S n 就是S 1，S 2…S 12中最大值
由于⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>=+=<=+=0122013
212111
6131317S a a a S a a a
∴在S 1，S 2…S 11,S 12中S 6的值最大．
18【解】（1）∵f （x －1）=(x －1－1）2
－4=（x －2）2
－4 ∴f （x ）=（x －1）2
－4，∴a 1=（x －2）2
－4,a 3=（x －1）2
－4 又a 1+a 3=2a 2，解得x =0或x =3．
（2)∵a 1、a 2、a 3分别为0、－2
3、－3或－3、－2
3、0
∴a n =－2
3（n －1)或a n =2
3（n －3）
①当a n =－2
3（n －1)时，a 2+a 5+…+a 26=2
9（a 2+a 26）=2
351
②当a n =2
3（n －3）时,a 2+a 5+…+a 26=2
9（a 2+a 26）=2
297．
19【解】不妨设a 〈b ，函数y =x 2－x +a 与y =x 2
－x +b 的对称轴,开口大小均相同,如图所示．
（完整）数列相关习题及解析
设数列为
x 1、x 2、x 3、x 4,由已知x 1=4
1．
∵x 1+x 4=1,∴x 4=4
3．
又∵x 4=x 1+3d ，∴4
3=4
1+3d ，∴d =6
1
∴x 2=x 1+d =12
5，x 3=x 2+d =12
7
∴a =x 1·x 4=16
3，b =x 2·x 3=125×
12
7=
144
35
，∴a +b =7231．。