【初三数学】上海市九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》单元测试题及答案

人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元提优训练
人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元提优训练
一、选择题
1. 下列图形中,不是相似图形的有( B )
A. 0组
B. 1组
C. 2组
D. 3组
2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( D )
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
3. 下列各组中的四条线段成比例的是( D )
A. 4 cm,2 cm,1 cm,3 cm
B. 1 cm,2 cm,3 cm,5 cm
C. 3 cm,4 cm,5 cm,6 cm
D. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm 4.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式错误的是( C )
A.
B.
C. D.
5. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝1
3
，BC ＝12，则DE 的长是( B )
A ．3
B ．4 C.5 D ．6
6. 如果两个相似多边形的面积比为9∶4,那么这两个相似多边形的相似比为( C )
A. 9∶ 4
B. 2∶ 3
C. 3∶ 2
D. 81∶
16
7. 位似图形的位似中心可以在( D )
A．原图形外B．原图形内
C．原图形上D．以上三种可能都有8. 下列说法正确的是( A )
A. 位似图形一定是相似图形
B. 相似图形一定是位似图形
C. 两个位似图形一定在位似中心的同侧
D. 位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行
9.如图，在△ABC中，DE∥BC，，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )
A．6 B．8 C．10 D．12
的值是(B)
10. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则
-
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3
二、填空题
11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.
【答案】20
12.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为
【答案】
则海口与三13.在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，
亚的实际距离约为千米．
【答案】222
14.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【答案】相交于一点
15.在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶8，则AD ＝__________ cm.
【答案】2或
16.若k ＝a －2b c ＝b －2c a ＝c －2a
b ，且a ＋b ＋
c ≠0，则k ＝ .
【答案】-1
三、解答题
17. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连接AE.
(1)若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；
(2)若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ∶FA 的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，又∵AE ＝AB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠D ；
(2)∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠FEB ，∠ADF ＝∠EBF ，∴△ADF ∽△EBF ，∴EF ∶FA ＝BE ∶AD ＝BE ∶BC ＝1∶2.
18.在平面直角坐标系中，已知点A (－2，0)，点B (0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA . (1)如图①，求点E 的坐标
(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B ，BE ′.
①设AA′＝m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2
取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).
(1) 【答案】∵点A的坐标为(－2，0),点B的坐标为(0，4)，∴OA＝2，OB＝4，
∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°，
∴△OAE∽△OBA，有＝，即＝，解得OE＝1.∴点E的坐标为(0，1).
(2) 【答案】①如图，连接EE′，由题设AA′＝m，则A′O＝2－m.
19. 已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例:
(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;
(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.
(1) 【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd=ac.∴能够成比例.
(2) 【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.
20.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，
，
∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ；
(2)解 由(1)知Rt △ABC ≌Rt △ADC ， ∴CD ＝BC ＝3，AD ＝AB ， ∴DE ＝5＋3＝8，
∵∠EAD ＝∠ECB ，∠D ＝∠EBC ＝90°， ∴△EAD ∽△ECB ， ∴
＝
，
∵BE ＝＝4，
∴
＝，
∴AD ＝6，
∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC ＋S △ACD ＝2××3×6＝18 cm 2
21．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，DF 与AB 的延长线交于点G.
(1)求证：△CDF ∽△BGF ；
(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长． 解：(1)证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，即CD ∥BG ，∴△CDF ∽△BGF ；
(2)由(1)得△CDF ∽△BGF ，且F 是BC 中点，∴DF ＝FG ，CD ＝BG.又∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴EF ∥AG ，∴△DEF ∽△DAG.∴EF AG ＝DF DG ＝1
2
，∴AG ＝8cm ，∴CD ＝BG ＝AG －AB ＝2cm.
22.已知矩形ABCD 中,AD =3,AB =1.若EF 把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF 与矩形ABCD 相似.求AF ∶AD 的值.
【答案】设AF=x ,
∵矩形ABEF 与矩形ABCD 相似,且AD=3,AB=1, ∴对应边成比例,即 =
,即 =
,解得x=
,
∴AF ∶AD=
∶3=1∶9.
23.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点
人教版九年级下册《第27章相似》检测试卷含答案
一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)
1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
2．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶16
3．已知△ABC ∽△DEF ，且AB ∶DE ＝1∶2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．2∶1
D ．4∶1
4．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB
BC
＝2
3
，DE ＝4，则EF 的长是（ ） A.83 B.20
3
C ．6
D ．10 第4题图
第5题图
第6题图
5．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比
为1
3，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)
6．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）
A ．∠ABP ＝∠C
B ．∠APB ＝∠AB
C C.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC
CB
7．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A ，B ，线段AB 与网格线的交点为M ，
N ，则AM ∶MN ∶NB 为（ ）
A ．3∶5∶4
B ．1∶3∶2
C ．1∶4∶2
D ．3∶6∶5
第7题图
第8题图
8．如图，为测量河的宽度，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B 、C 、D ，使得AB ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一直线上．若测得BE ＝15m ，EC ＝9m ，CD ＝16m ，则河的宽度AB 等于（ ）
A ．35m B.653m C.803m D.50
3
m
9．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是（ ）
A.EA BE ＝EG EF
B.EG GH ＝AG GD
C.AB AE ＝BC CF
D.FH EH ＝CF
AD
第9题图
第10题图
10．如图，若∠1＝∠2＝∠3，则图中的相似三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
11．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′是（ ）
A.2－1
B.
22 C ．1 D.12
第11题图
第12题图
12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝5
2S △ABF .其中正确的
结论有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
13．在比例尺为1∶4000 000的地图上，两城市间的图上距离为3cm ，则这两城市间的实际距离为 km.
14．若实数a 、b 、c 满足b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b
c
＝k ，则k ＝ .
15．如图，身高为1.7m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A 、E 、C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12m ，BE ＝3m ，则树CD 的高为 .
第15题图
16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶3，点E的坐标为(3，3)，则点A的坐标是．
第16题图
第17题图
第18题图
17．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10 2.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)，则此正方形的面积是.
18．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延
长线于N，则1
AM＋
1
AN＝.
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(10分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.
20．(10分)如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，已知AD＝8cm，BD＝4cm，求AC的长．
21．(12分)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠AEB＝∠ADC.
(1)求证：△ADE∽△DBC；
(2)连接EC，若CD2＝AD·BC，求证：∠DCE＝∠ADB.
22．(12分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高．
23．(12分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．
24．(14分)如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2，3)，双
曲线y ＝k x
(x >0)的图象经过BC 上的点D ，与AB 交于点E ，连接DE ，若E 是AB 的中点． (1)求点D 的坐标；
(2)点F 是OC 边上一点，若△FBC 和△DEB 相似，求点F 的坐标．
答案
1．D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.C 9.C
10．D 11.A
12．A 解析：过D 作DM ∥BE 交AC 于点N ，交BC 于点M .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝BC ，∴∠EAC ＝∠ACB .∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠AFE ＝∠ABC
＝90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF .∵AE ＝12
AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12
，∴CF ＝2AF ，故②正确；∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12
BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF .∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DN 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，故③正确；∵△AEF ∽△CBF ，EF BF ＝AE BC ＝12
，∴S △AEF ＝12S △ABF ，∴S △AEF ＝13S △ABE ＝112S 矩形ABCD .又∵S 四边形CDEF ＝S △ACD －S △AEF ＝12S 矩形ABCD －112S 矩形ABCD ＝512S 矩形ABCD ＝5S △AEF ＝52
S △ABF ，故④正确．故选A. 13．120 14.－1或2 15.5.1m 16.(0，1) 17.25 18.1
19．解：(1)作出△A 1B 1C 1，如图所示；(5分)
(2)作出△A 2B 2C 2，如图所示(本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A 2B 2C 2满足条件即可)(10分)．
20．解：∵在△ACD 和△ABC 中，⎩
⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC ＝AC AB .(5分)∵AD ＝8cm ，BD ＝4cm ，∴AB ＝12cm ，∴8AC ＝AC 12
，(8分)∴AC ＝46cm.(10分) 21．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠DBC ，∠ADC ＋∠BCD ＝180°.(2分)∵∠AEB
＝∠ADC ，∠AEB ＋∠AED ＝180°，∴∠AED ＝∠BCD ，(5分)∴△ADE ∽△DBC ；(6分)
(2)由(1)可知△ADE ∽△DBC ，∴AD DB ＝DE BC
，∴DB ·DE ＝AD ·BC .(7分)∵CD 2＝AD ·BC ，∴CD 2＝DB ·DE ，∴CD DB ＝DE CD
.(8分)又∵∠CDE ＝∠BDC ，∴△CDE ∽△BDC ，∴∠DCE ＝∠DBC .(10分)又
九年级数学第27章《相似》同步提高测试（有答案）
一、选择题：
1、观察下列每组图形，相似图形是（ ）
2、（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A ．：
B ．2：3
C ．4：9
D ．8：27
3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
4、（2018•内江）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ ）
A ．1：1
B ．1：3
C ．1：6
D ．1：9
5、如果五边形ABCDE ∽五边形POGMN 且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE 和五边形POGMN 的面积之比是（ ）
A ．2：3
B ．3：2
C ．6：4
D ．9：4
6、已知△ABC ∽△DEF ，相似比为2，且△ABC 的面积为16，则△DEF 的面积为（ ） A ．32 B ．8 C ．4 D ．16
7、如图，路灯OP 距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O )20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 处时，人影的长度( )
A．变长了1.5米
B．变短了2.5米
C．变长了3.5米
D．变短了3.5米
8、（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）
A．= B．= C．= D．=
10、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）
A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
11、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）
A．8 B．12 C．14 D．16
12、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
二、填空题：
13、已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为
14、（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．
15、已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为
16、（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．
17、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD 为
18、如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥
l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝
19、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为。

20、已知P是x轴的正半轴上的点，△ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知EO＝1，OD＝DC＝2，则位似中心P点的坐标是____________．
21、如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为.
22、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为.
三、解答题：
23、如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是多大？
24、如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，求S△EFG：S△ABG之比
25、如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
26、（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
27、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE 分别交于点P，M．求证：
①△BAE∽△CAD；
②MP•MD=MA•ME；
③2CB2=CP•CM．
一、选择题：
1、D
2、C
3、B
4、D
5、D
6、C
7、D
8、C
9、D
10、D
11、D
12、B
二、填空题：
13、3
14、△ADF∽△ECF
15、1：4
16、10/3
17、0.4m
18、6
19、四丈五尺
20、(2/3,0)
21、12
22、2
三、解答题：
23、∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
24、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，
∴EF：AB=1：3，
∴△EFG∽△BAG，
∴=（）2=，
25、（1）证明：连接OD
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，
∴=．
∵BD=AD，
∴=，
∴=，
又∵AC=3，
∴CD=2．
26、∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠D=∠CBD，
∴BC=CD，
∵BC=4，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴=，
∴=，
∴AE=2CE，
∵AC=6=AE+CE，
∴AE=4．
27、由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE ∽△CAD ∵△BAE ∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME ∽△AMD ∴
∴MP•MD=MA•ME ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD
∴P 、E 、D 、A 四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC ﹣∠EAD=90° ∴△CAP ∽△CMA
∴AC 2
=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB 2
=CP•CM
人教版九年级下第27章节 三角形提高拓展专题练习(附答案)
一、选择题
1．在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）
A ．8，3
B ．8，6
C ．4，3
D ．４，6 2．如图，等边的边长为3，为上一点， 且，为上一点，若，则 的长为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3.如图， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）
①②
③④BC:AC:AB=3：4：5，⑤ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
ABC △DEF △22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，ABC △DEF △ABC △P BC 1BP =D AC 60APD ∠=°CD 32
23
12
34
ABC △CD AB ⊥D ，ABC △1A ∠=∠，CD DB
AD CD
=，290B ∠+∠=°，CD BC BD AC ⋅=⋅A
D C
P
B
60°
4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）
A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
C ．四边形AMON 与四边形ABC
D 是位似图形
D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形
5.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部
分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm 2 B. 4 cm 2 C. 8 cm 2 D. 16 cm 2
6．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A ．第4张
B ．第5张 C.第6张 D ．第7张
7．如图，在平行四边形ABCD 中，，的平分线交于点，交
的延长线于点，，垂足为，若
则的周长为（ ）
A ．8
B ．9.5
C ．10
D ．11.5
二、填空题
8．如图，路灯距离地面8米，身高
1.6米的小明站在距离灯的底部（点）20米的处，则小明的影长为___________米．
69AB AD ==，BAD ∠BC E DC F BG AE ⊥G BG =CEF △O A D
B C A
N M O A
D
G B C F
E
O
A
M
B
9. 在□ABCD 中，在上，若，则 ．
10.如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．
11．如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是，则△A ′B ′C ′的面积是________________．
12. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
E DC :1:2DE EC =:B
F BE =
3
N
M
D
C
B
A 13．如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中
阴影部分的面积是 cm 2．
三、解答题 14．（1）把两个含450角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连接BE 、AD ，AD 的延长线交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE
（2）把两个含300角的直角三角板如图2放置，点D 在BC 上，连接BE 、AD ，AD 的延长线交BE 于点F ，问AF 与BE 是否垂直？并说明理由.
15．在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点． （1）求证：；
（2）若，求的面积．
16．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，
且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝，AF ＝3，求FG 的长．
17．正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ， 求此时x 的值.
Rt ABC △90ACB ∠=°D AB BD O ⊙AC E DE BC F BD BF =64BC AD ==，O
⊙
A
D
E
F
C
B
图1
图2
D
B
E
F
A
18.已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足
（如图1所示）． （1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长； （2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，
，其中表示△APQ 的面积，表示的面积，求关
于的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．
巩固训练答案 一、选择题
1、A
2、B
3、C
4、C
5、C
6、C
7、A 二、填空填
8、5 9、3：5 10、（，0） 11、6 12、
或2 13、 AB
AD
PC PQ =Q B PC AP 3
2
AD =
Q AB B Q 、x APQ PBC
S y S =△△APQ S △PBC S △PBC △y x AD AB <Q AB QPC ∠2-712
3
2A
D
P
C
B
Q 图1
D
A
P
C
B （Q ）
图2
图3
C A
D
P
B
Q
三、解答题 14、（1）证明：
在△ACD 和△BCE 中，AC=-BC ，∠DCA=∠ECB=900，DC=EC ∴△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ∵∠ADC=∠BDF
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=900 ∴∠BFD=900，∴AF ⊥BE （2）AF ⊥BE ，理由如下：
∵∠ABC=∠DEC=300，∠ACB=∠DCB=900 ∴
∴△DCA ∽△ECB ，∴∠DAC=∠EBC ∵∠ADC=∠BDF
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=900 ∴∠BFD=900，∴AF ⊥BE
15、（1）证明：连结． 切于， ，
又即，
． 又，
， ，
九年级下册数学（人教版）-第二十七章-相似-
答案）
一、单选题
1. ( 2分 ) 如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BE=2，EF ⊥BC ．若四边形EFDC 与四边形BEFA 相似而不全等，则CE=（ ）
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5 2. ( 2分 ) 若 ，则
（ ）
A.
B. C.
D. -
3. ( 2分 ) 如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形与△ABC 相似的是（ ）
060tan ==DC
EC
AC BC OE AC O ⊙E OE AC ∴⊥90ACB ∠=°，BC AC ⊥OE BC ∴∥OED F ∴∠=∠OD OE =ODE OED ∴∠=∠ODE F ∴∠=∠ F
A. B. C. D.
4. ( 2分) 如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）
A. 第4张
B. 第5张
C. 第6张
D. 第7张
5. ( 2分) 如图，如果l1∥l2∥l3，则下列各式不正确的是（）
A. B. C. D.
6. ( 2分) 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，M、N分别是边AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN ，则下列叙述正确的是（）
A.△AOM和△AON都是等边三角形
B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C. 四边形AMON和四边形ABCD都是位似图形
D. 四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
7. ( 2分) △ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（）
A. 3：1
B. 1：3
C. 1：9
D. 1：27
二、填空题
8. ( 1分) 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则
△ABC∽________ ，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）．
9. ( 1分) 如图；课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度约是________ 米．
10. ( 1分) 已知，则=________．
11. ( 1分) 如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE// BC，EF//AB，且AD:DB=3:5，那么CF:CB 等于________.
12. ( 1分) 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，若EG=4，则
AC=________．
13. ( 1分) 如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，且量得CD=12mm，则零件的厚度
x=________mm．
三、解答题
14. ( 5分) 如图，DE∥BC，EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，求DB的长．
15. ( 5分) （1）计算：|﹣2|﹣+（﹣）﹣1；
（2）如图，直线AD∥BE∥CF，=，DE=6，求EF的长．
16. ( 5分) 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．
四、作图题
17. ( 5分) 如图．①写出△ABC的各点坐标；
②以直角坐标系的原点O为位似中心作△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2．
五、综合题
18. ( 7分) 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．
（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒________ cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是________；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
答案部分
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴，
∵AB=3，BE=2，EF=AB，
∴，
解得：x=4.5，
故答案为：D
【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，可得出对应边成比例，建立关于x 的方程，求解即可。

2.【答案】A
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质求出比值即可.
3.【答案】B
【解析】【解答】小正方形边长是1，所以小正方形对角线得到等腰直角三角形，由图知，题目中三角形钝角是135°，而观察图像，选项A，C，D的钝角显而易见不等于135°，而选项B中的钝角是135°.所以选B.
【分析】利用网格纸的特点，根据正方形的对角线平分一组对角得出题干中的三角形是钝角三角形，且钝角等于135°，然后一一判断四个选项中看谁的钝角是135°即可。

4.【答案】B
【解析】【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x=3，
所以另一段长为18﹣3=15，
因为15÷3=5，所以是第5张．
故选：B．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
5.【答案】B
【解析】【解答】解：如图，∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴选项A、C、D均正确，
故选B．
【分析】如图，观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式，即可解决问题．6.【答案】C
【解析】【解答】根据位似图形的定义可知
A.O与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误；
B.无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC ，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误；
C.四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确；
D.无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误；
故选C.
【分析】在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM ，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形.同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC ，所以也无法判断平行四边形MBON 和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形.根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故本题选C.
7.【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，
∴△ABC和△A′B′C′的面积之比为1：9．
故选C．
【分析】由△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
二、填空题
8.【答案】△DBA
【解析】【解答】解：△ABC∽DBA，
理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△DBA．
【分析】根据垂直定义得出∠ADB=∠BAC，根据相似三角形的判定得出即可．
9.【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△DCE
∴
即：
解得：AB=3，
故答案为：3．
【分析】利用入射角等于反射角得到相似三角形，然后利用相似三角形对应边的比相等得到答案即可．
10.【答案】8
【解析】【解答】∵,
∴a=7b,
∴= =8
【分析】根据比例的性质，求出分式的值.
11.【答案】5:8
【解析】【解答】
∴AE:EC=AD:DB=3:5，
∴CE:CA=5:8，
∴CF:CB=CE:CA=5:8.
故答案为5:8.
【分析】利用DE∥BC，可得出AE:EC=AD:DB，就可求出CE:CA，再根据EF∥AB，可得出对应线段成比例，就可求出CF:CB的值。

12.【答案】12
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，
∵EG=4，
∴AE= ，GC= ，
∴AC=AE+EG+GC=12，
故答案为：12．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．13.【答案】3
【解析】【解答】解：∵AC=BD，OC=OD，
∴OA=OB，
∴= ，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△OAB∽△OCD，
∴= = ，
∴AB=2CD=2×12=24，
∴x= ×（30﹣24）=3mm．
故答案为：3．
【分析】利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可证明△OAB∽△OCD，然后再依据相似三角形对应边成比例可求出AB的长，然后可求得工件的厚度.
三、解答题
14.【答案】解：∵DE∥BC，
∴，
∵EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，
∴，
∴CE=3cm．
∴AD=3cm
∴BD=4.5cm
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论．15.【答案】解：（1）原式=2﹣3+（﹣2）=﹣3；
（2）∵AD∥BE∥CF，=，DE=6
∴==，
即= ，
∴DF=9，
∴EF=DF﹣DE=9﹣6=3．
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据即可得到结论．
16.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，且∠ABE=90°，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°
∴△PFA∽△ABE；
（2）解：①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=2，即x=2．
②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
∵AE====2
∴EF=AE=
由=，
即=
得PE=5，
即x=5
故满足条件的x的值为2或5．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
四、作图题
17.【答案】解：①如图所示：A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（4，﹣2）；②如图所示：△A′B′C′与△A″B″C″即为所求．
【解析】【分析】①根据图形直接得出各点坐标；②利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案．
五、综合题
18.【答案】（1）解：2；E（，）
（2）解：∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴，即，
解得：BF= t，
∴FD=BD﹣BF=8﹣t，
又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，
∴y= （PQ+MC）•FD= （t+10﹣2t）（8﹣t）= t2﹣8t+40
（3）解：存在；
∵S△ABC= AC•BD= ×10×8=40，
当S四边形PQCM= S△ABC时，y= t2﹣8t+40=20，
解得：t=10﹣5 ，或t=10+5 （不合题意，舍）；
即：t=10﹣5 时，S四边形PQCM= S△ABC
（4）解：假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴，
又∵AD=6，
∴，
∴HM= t，AH= t，
∴HP=10﹣t﹣t=10﹣t，
在Rt△HMP中，MP2=（t）2+（10﹣t）2= t2﹣44t+100，
又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，
∵MP2=MC2，
∴t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，
解得t1= ，t2=0（舍去），
∴t= s时，点M在线段PC的垂直平分线上．
【解析】【解答】解：（1）由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10﹣t=2t，
解得：t= ，
∴当t= 时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E（，）
故答案为：2，E（，）．
【分析】（1）先由图2判断出点M的速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，再由四边形PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t 的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系
式；（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM= S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t 的值即可；（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到
MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到
△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP 的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．。