A024=第三章 第七节 正弦定理和余弦定理

作业
课时跟踪检测 （B卷） （二十四） p336
第七节 正弦定理和余弦定理
考 什 么 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三 角形度量问题.
怎 么 考 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题 是高考考查的热点． 2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与 角、三角形形状的判断等.
一、正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理
b＝ 6， 所以 c＝4. b＝2 或 c＝4.
6，
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4．(2012· 蚌埠模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， cos A a b，c，若cos B＝b，则△ABC一定是 A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 B．直角三角形 D．等边三角形 ( )
1 3 (2)因为△ABC的面积S＝2ac· B，sin B＝5， sin 3 所以10ac＝3，ac＝10. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 8 得4＝a2＋c2－5ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以a＋c＝2 10.
别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a. b (1)求a； (2)若c2＝b2＋ 3a2，求B.
[自主解答]
(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝
2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝ 2sin A. b 故sin B＝ 2sinA，所以a＝ 2. 1＋ 3a (2)由余弦定理和c ＝b ＋ 3a ，得cos B＝ 2c .
a2＋b2－c2 3 4 b 所以 cos C＝ ＝－ ， C＝ 1－cos2C＝ （ 或 sin 2ab 5 5 （ sin B c ＝ . sin C csin B 4 sin C＝ b ＝ . 5
答案：B
3．(2012· 南通模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 1 a，b，c，已知cos 2C＝－4. (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
D．60° 4 3 4 2 解析：由正弦定理知sin 60° sin B， ＝
2 ∴sin B＝ 2 ，又a＞b，∴A＞B，∴B＝45° .
答案： C
2．在△ABC中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则A等于 A．30° C．60° B．45°
(
)
D．75° b2＋c2－a2 1＋4－3 1 解析：∵cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2
解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos 120° ， 整理得：x2＋5x－24＝0，即x＝3. 1 1 3 15 3 因此S△ABC＝2AB×BC×sin B＝2×3×5× 2 ＝ 4 .
15 3 答案： 4
[精析考题] [例1] (2011· 辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分
sin C (2)由sin A＝2得c＝2a. 1 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝4，b＝2， 1 得4＝a2＋4a2－4a2×4. 解得a＝1，从而c＝2. 1 15 又因为cos B＝4，且0<B<π，所以sin B＝ 4 ， 1 1 15 15 因此S＝2acsin B＝2×1×2× 4 ＝ 4 .
b2＋c2－a2 bc 1 解：(1)由已知得cos A＝ 2bc ＝2bc＝2， π 又∠A是△ABC的内角，∴A＝3. (2)由正弦定理，得bc＝a2， 又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．
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(2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 1 又 sin B＋sin C＝1，得 sin B＝sin C＝2. 因为 0° ＜B＜90° ，0° ＜C＜90° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
[精析考题] [例3] (2011· 山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别
定理
正弦定理
余弦定理
①已知两角和任一边，求另 ①已知三边，求各角；
解决
一角和其他两条边； 的问 ②已知两边和其中一边的对 角，求第三边和其他两 ②已知两边和它们的夹
题
角，求另一边和其他两角. 个角.
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
解的 个数
a＝bsin A bsin A＜a＜b
6．(2011· 朝阳二模)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c，若角 A、B、C 依次成等差数列，且 a＝1，b＝ 3，则 S△ABC 等于 A. 2 B. 3 ( )
3 C. D．2 2 解析：因为A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C＝π－B，∴B＝
π 3 1 1 π π 1 ＝ 3 ，由正弦定理得sin 60° sin A，sin A＝2，A＝ 6 ，C＝ 2 ，S△ABC＝2 3 ×1× 3＝ 2 .
答案：B
2．(2012· 福州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若a＝1，c＝4 2，B＝45° ，则sin C等于 4 A.41 4 C.25 4 B.5 4 41 D. 41 ( )
解析：由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8 2× 2 ＝25，b＝5. 2
cos A－2cos C 2c－a 为a，b，c.已知 ＝ b . cos B sin C (1)求sin A的值； 1 (2)若cos B＝4，b＝2，求△ABC的面积S.
[自主解答]
a b c (1)由正弦定理得，设sin A＝sin B＝sin C＝k，
2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A 则 b ＝ ＝ ， ksin B sin B cos A－2cos C 2sin C－sin A ＝ . cos B sin B 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． sin C 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.因此sin A＝2.
1 解：因为cos 2C＝1－2sin2C＝－4，及0<C<π， 10 所以sin C＝ 4 . (2)当a＝2,2sin A＝sin C时， a c 由正弦定理sin A＝sin C，得c＝4. 1 由cos 2C＝2cos C－1＝－4， 6 及0<C<π得cos C＝± 4 .
2
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2± 6b－12＝0， 解得b＝ 6或2 6，
a≥b
a＞b
a≤b
一解
两解
一解
一解
无解
二、三角形常用面积公式 1 (1)S＝2a·a(ha表示边a上的高)； h 1 1 1 (2)S＝2absin C＝ acsin B ＝ bcsin A ； 2 2 1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．(教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，a＝4 3，b＝4 2， 则B＝ A．45° 或135° C．45° B．135° ( )
(1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答]
(1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 1 故 cos A＝－2， 又 A∈(0，π)，故(2＋ 3)a2. 1 2 可得cos B＝2，又cos B>0，故cos B＝ 2 ，所以B＝45° .
2
[精析考题] [例2] (2010· 辽宁高考)在△ABC中a，b，c分别为内角A，
B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
又∵0° <A<180° ，∴A＝60° .
答案： C
3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24， A＝45°，则此三角形有 A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 ( )
a b b 24 解析：因sin A＝sin B，∴sin B＝asin A＝18sin 45° ， 2 2 ∴sin B＝ 3 . 又∵a<b，∴B有两个．
cos A a sin A 解析：法一：由正弦定理得cos B＝b＝sin B， ∴sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，可得A－B＝0，∴A＝B. 法二：由余弦定理将角化为边，可得a＝b.
答案：A
5．(2012· 苏北四市联考)在△ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角A的大小； (2)若sin B· C＝sin2A，试判断△ABC的形状． sin
内容
a b c ＝ ＝ sinA sinB sinC
a2＝ b2＋c2－2bccosA ；
b2＝ a2＋c2－2accosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC .
定
理
正弦定理
余弦定理
变 形
形
式
①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB，c ＝ 2RsinC ； a b b2＋c2－a2 ②sinA＝ 2R ，sinB＝ 2R ， cosA＝ 2bc ； c sinC＝ ； 2R a2＋c2－b2 ； cosB＝ (其中R是△ABC外接圆半径) 2ac sinA∶sinB∶sinC cosC＝ a2＋b2－c2 . ③a∶b∶c＝ 2ab ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， asinC＝csinA.
答案：C
7．(2011· 北京西城区一模)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a， 4 b，c，且 cos B＝ ，b＝2. 5 (1)当 A＝30° 时，求 a 的值； (2)当△ABC 的面积为 3 时，求 a＋c 的值．
4 3 解：(1)因为cos B＝5，所以sin B＝5. a b a 10 5 由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30° 3 ，所以a＝3. ＝
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 长沙模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， π 已知A＝3，a＝ 3，b＝1，则c等于 A．1 C. 3－1 B．2 D. 3 ( )
π 1×sin3 bsin A 1 解析：由正弦定理得sin B＝ a ＝ ＝2， 3 π π 又b<a，故B＝6，所以C＝2，故c＝ a2＋b2＝2.
答案： B
π 1 4．(2011· 北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝4，sin A＝3， 则a＝________.
1 5×3 a b 5 2 解析：根据正弦定理sin A＝sin B，得a＝ ＝ 3 . 2 2 5 2 答案： 3
5．(2011· 新课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7， AB＝5，则△ABC的面积为________．