九年级暑假班拓展-第4讲-几何问题之中点题型Ⅱ

第四讲.几何问题之中点题型Ⅱ
【教学目标】
1.掌握三角形的内角和定理；
2.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；
3.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；
4.学习分析问题、解决问题的能力。

【知识、方法梳理】：
一.中点有关联想归类：
1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5.有中点时常构造垂直平分线；
6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7.倍长中线。

二．与中点问题有关的四大辅助线：
1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；
2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；
3.出现三角形边上的中点，作中位线；
4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。

三.几何证明之辅助线构造技巧：
1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；
2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

【典例精讲】
模块三、出现等腰三角形底边上的中点，造“三线合一”
一、基础回顾：
1.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

2.等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线，底角上的中线、底边上的高相互重合；（“三线合一”）
提问：你知道等腰、顶角平分线，底角中线和底边上的高四者之间的关系吗？
3.线段的垂直平分线：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

4.线段的垂直平分线相关的结论：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、如何造“三线合一”：
1.通常在以下两种情况下，会作“三线合一”辅助线：
① 等腰三角形中有底边中点；
② 证明底边中点。

（证明角平分线和垂直也会用到）
2.作“三线合一”辅助线能得到：
① 整体上，“三线合一”⇒作底边的垂直平分线⇒出现对称模型；
② 细说，角方面：可以出现等角和直角；线段方面：可以得到相等的线段。

例1. 如图1，已知ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 又是BC 边上的中线。

求证：AB AC =。

【证明】：
方法一：如图2，延长AD 到E ，使DE AD =，连结BE 易证：EB AC =，2E ∠=∠
得1E ∠=∠，于是AB EB =，得AB AC =
方法二：如图3，取AB 的中点E ,连结DE
则DE 为中位线，DE AC ∥且1
2
DE AC = ∴2EDA ∠=∠ ∴1EDA ∠=∠ ∴DE AE = ∵12AE AB =
，1
2
DE AC = ∴AB AC = ►点评：
1.要证明边相等，由题意知只需要证明相关的角相等，而由已知得到的角12∠=∠又不在同一个三角形中，因此必须利用中点移动条件，使已知条件集中在同一个三角形中，于是构造中心对称图形或作出中位线，就可以移动1∠或2∠的位置，使它们集中在同一个三角形中；
图2
2
1B
C
E
D
B
C
图1
图3
2
1B
C
E
2.本题还是一道易错题，学生容易错成逆用三线合一性质或错成直接证明ADB ∆和ADC ∆全等。

例2. 如图1，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME AD ∥交BA 的延长线于E ，交AC 于F ,求证：BE CF =。

【分析】：要证的结论AB=CF 这两条线段不在同一个三角形中，同时它们所在的两个三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，因此必须移动图形.由于M 是BC 的中点，利用中点构造中心对称图形或中位线就能移动AB 或CF 的位置，使它们集中在同一个三角形中,另一方面,由于图中有角平分线与平行线，这两者结合能得到等腰三角形,即到线段相等，于是问题得解。

【证明】：
方法一：如图2，延长EM 到N ,使NM EM =，连结CN
易证：BEM CNM ∆∆≌ ∴BE CN = ,E N ∠=∠ 再证：E EFA ∠=∠ 由3EFA ∠=∠，E N ∠=∠ 得3N ∠=∠ ∴CN CF = ∴BE CF =
方法二：如图3，延长FM 到N ，使NM FM =，连结BN ，类似方法一，也可以证明
BE CF =。

方法三：如图4，连结BF ，取BF 的中点H , 取EF 的中点K ，连结HM 、KH
∴HM 、KH 为中位线
F
E B
C
A M
D 图1
∴KH
1
2BE ，
HM 1
2CF
∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴23∠=∠ ∵ME AD ∥
∴2E ∠=∠, 3EFA ∠=∠ ∴E EFA ∠=∠ ∵KH
1
2BE ，HM 1
2
CF ∴HKF E ∠=∠, 1EFA ∠=∠ ∴1HKF ∠=∠ ∴HK HM = ∴BE CF =
说明: 如图5，连结CE ，取CE 的中点H , 取EF 的中点N ，连结NH 、MH ，类似方
法三，也可以证明BE CF =。

例 3.如下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点。

求证：BF FD ⊥。

A D
F A
D
F
【证明】：延长BF 、DA 相交于点H ，再联结DB ，则可得“八字型”全等三角形； ∵F 为AE 的中点 ∴EF FA =
在AFH ∆与EFB ∆中：
∵FAH FEB FA FE AFH EFB ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴AFH ∆≌EFB ∆
∴FH
FB =，AH BE =
∴DH CE =
又∵AC BD =，AC CE = ∴DH DB =
∴由等腰三角形“三线合一”知DF BH ⊥ ∴BF FD ⊥
例4.如图,已知ABC
∆中，BD、CE为高线，点M是DE的中点，点N是BC的中点。

求证：MN DE
⊥。

M
D
E
A
M
D
E
A
【证明】:如图，连结NE、ND，
∵BD、CE为高线
∴90
BEC BDC
∠=∠=
∵点N是BC的中点
∴
1
2
EN DN BC
==
∵点M是DE的中点
∴MN DE
⊥
►点评：本题是从另一类重要的特殊图形-直角三角形入手，揭示中点问题的通法.由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 因此如果题目中有直角三角形斜边中点的条件，那么最好的辅助线是做出斜边中线，这样就能得到两个腰长相等的等腰三角形，把直角三角形问题转化为等腰三角形问题，从而实现直角三角形与等腰三角形的互化，可以获得更多的条件，为解题提供思路。

例5.如图，在ABC
∆中，BC AC
=，90
ACB
∠=，D是AC上一点，AE BD
⊥交BD的延长线于点E，且
1
2
AE BD
=，求证：BD是ABC
∠的角平分线。

【分析】：
1.延长AE、BC交于点F。

根据等角的余角相等，得DBC FAC
∠=∠；
2.在BCD
∆和ACF
∆中，根据ASA证明全等，得AF BD
=，从而AE EF
=；
3.根据线段垂直平分线的性质，得AB BF
=，再根据等腰三角形的三线合一即可证明。

【证明】：延长AE 、BC 交于点F ∵AE BE ⊥，
∴90BEF ∠=，又90ACF ACB ∠=∠= ∴90DBC AFC FAC AFC ∠+∠=∠+∠= ∴DBC FAC ∠=∠ 又BC AC =
∴()ACF BCD ASA ∆∆≌ ∴AF BD =
又1
2
AE BD =
， ∴AE EF = ∴AB BF =
∴BD 是ABC ∠的角平分线．
►点评：此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。

例6.如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 边上的中点，CE AD ⊥于点E ，BF AC ∥交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF 。

【分析】：先根据ASA 判定ACD CBF ∆∆≌得到BF CD =，然后又D 为BC 中点，根据中点定义得到CD BD =，等量代换得到BF BD =，再根据角度之间的数量关系求出
ABC ABF ∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可。

【证明】：连接DF ，
∵90BCE ACE ∠+∠=，90ACE CAE ∠+∠= ∴BCE CAE ∠=∠
∵AC BC ⊥，BF AC ∥ ∴BF BC ⊥
∴90ACD CBF ∠=∠= ∵AC CB =
∴ACD CBF ∆∆≌ ∴BF CD = ∵1
2
CD BD BC ==
， ∴BF BD = ∴BFD ∆为等腰直角三角形 ∵90ACB ∠=，CA CB = ∴45ABC ∠=
∵90FBD ∠=
∴45ABF ∠=
∴ABC ABF ∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线。

∴BA 是FD 边上的高线，BA 又是边FD 的中线， 即AB 垂直平分DF 。

►点评：主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
模块四、中点问题综合：
例7.如图示，ABC ∆中，BE 、CD 分别为外角平分线，AE BE ⊥、CD AD ⊥，联结 ED ，求证：ED BC ∥且1
=
()2
ED AB BC AC ++。

D
E
A
【证明】：分别延长AE 、CB 相交于点M ，分别延长AD 、BC 相交于点N 。

（1）∵BE 平分ABM ∠，且AE BE ⊥ ∴AB BM =，AE EM =
同理可得：AC CN =，AD DN = ∴ED 为AMN ∆中位线
∴ED MN ∥且1
=
2ED MN ∴ED BC ∥且1
=()2
ED AB BC AC ++
M N
D
E
A
B
例8.AB C ∆中，120AB AC A =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，
求证：BC 2
1
DE =。

【分析】：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。

题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC 的中点。

【证明】：过点A 作BC 边的垂线AF ，垂足为F 。

E A 3 1 2 D B
F C
在AB C ∆中，
120BAC AC AB =∠=， 所以
30C B =∠=∠ 所以BC 2
1
BF 6021=
=∠=∠，
（等腰三角形三线合一性质）。

所以
603=∠（邻补角定义）。

所以31∠=∠
又因为ED 垂直平分AB ，所以
30E =∠（直角三角形两锐角互余）。

AB 2
1
AD =
（线段垂直平分线定义）。

又因为AB 2
1
AF =
（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。

所以A F A D =
在ABF Rt ∆和AED Rt ∆中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=∠=∠ 90ADE AFB )
(AD AF )(31已证已证 所以)ASA (AED Rt ABF Rt ∆≅∆ 所以ED BF = 即BC 2
1
ED =。

►点评：
（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；
（2）直角三角形中
30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。

【双基训练】
1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE CD
=，DM BC
⊥，垂足为M。

求证：M是BE的中点。

A
D
1
B M
C E
2.两个全等的30、60的三角板ADE、BAC，如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接BD.取BD的中点M，连接ME、MC，试判断EMC
∆的形状，并说明理由。

D
C
B
M
3.已知：如图，E为平行四边形ABCD中边的延长线上的一点，且CE DC
=，连结AE分别交BC，BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF。

求证2
AB OF
=。

4.如图，CB ，CD 分别是钝角AEC ∆和锐角ABC ∆的中线，且AC AB =。

求证：2CE CD =。

B
C
A
【纵向应用】
5.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADC ABC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，M 、
N 分别是边AC 、BD 的中点。

（1）求证：MN BD ⊥；
（2）当︒=∠15BCA ，=10AC cm ，OB OM =时，求MN 的长。

6.如图，在ABC ∆中，90C ∠=，CA CB =，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥于点E 。

求证：2AD BE =。

【横向拓展】
7.如图，分别以ABC ∆的边AB ，AC 为一边在三角形外作正方形ABEF 和ACGH ，M 为FH 的中点。

求证：MA BC ⊥。

M
H
F
A
练习题目答案
【双基训练】
1. 【证明】：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点
所以1
1=
2
ABC ∠∠ 又因为CE CD =，所以=CDE E ∠∠ 所以=2ACB E ∠∠ 即1=E ∠∠
所以BD BE =，又DM BC ⊥，垂足为M
所以M 是BE 的中点
2.【提示】：作EC 中点N ，联结MN ，则可得可得MN 为梯形DECB 的中位线，所以
1()2MN DE BC =
+，又因为DE AC =、BC AE =，则1
()2
MN AC AE =+ 所以MN NC =，又因为MN EC ⊥，利用等腰三角形底边上三线合一可得 EMC ∆为等腰直角三角形。

M
3.【提示】：由CF AD ∥、CE DC =得点F 为AE 中点，又因为O 为AC 中点，则 12OF AC =
，所以111
=222
OF AC DC AB ==。

4.【分析】：延长CD 至点F ，使DF CD =，连接BF ；
则由ADC BDF ∆∆≌可得AC BF =，1A ∠=∠．由AC AB =得2ACB ∠=∠。

因为3A ACB ∠=∠+∠，所以3CBF ∠=∠；
再由AC AB BF BE ===及BC BC =，可得CBE CBF ∆∆≌，所以CE CF =，即 2CE CD =
5.【解答】：
（1）证明：联结BM 、DM
F
2 3
A D 1
B E
C
∵︒=∠=∠90ADC ABC ，点M 、点N 分别是边AC 、BD 的中点 ∴1
2
BM DM AC ==
∵N 是BD 的中点， ∴MN BD ⊥
（2）解：∵︒=∠15BCA ，1
2
BM CM AC ==
， ∴︒=∠=∠15CBM BCA ∴︒=∠30BMA
∵OB OM =， ∴︒=∠=∠30BMA OBM ∵10AC =，1
2
BM AC =
， ∴5BM = 在Rt BMN ∆中，90BNM ∠=︒，︒=∠30NBM ， ∴1
2.52
MN BM =
= 6.【证明】：分别延长AC 、BE 交与点F
∵AD 平分BAC ∠ ∴FAE BAE ∠=∠ ∵BE AD ⊥ ∴AEF AEB ∠=∠
在AEF ∆与AEB ∆中FAE BAE
AE AE AEF AEB ∠=∠⎧⎪=⎨
⎪∠=∠⎩
∴AEF ∆≌AEB ∆ ∴EF EB =
∴2BF BE =
∵90C ∠=
∴90BAF ACD ∠=∠=
∵90CDA F ∠+∠=，90CBF F ∠+∠=
∴CAD CBF ∠=∠
在ACD ∆与BCF ∆中 CAD CBF
AC BC
ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
（已证）,（已知）,（已证）,
∴ACD ∆≌BCF ∆ ∴2AD BF BE ==
7.【分析】：设MA 的延长线交BC 于点D ，延长AM 至点N ，使MN AM =，连接FN 。

则由FMN HMA ∆∆≌可得FN AH AC ==，FN AH ∥，所以180AFN FAH ∠+∠=； 因为180BAC FAH ∠+∠=，所以AFN BAC ∠=∠。

又因为AF AB =，所以AFN BAC ∆∆≌，得12∠=∠；
因为1+3=90∠∠，所以2+
∠MA BC ⊥。

N
H G
F
E
2
B D C
1 M A 3。