全国通用-2019年最新高考数学理科二轮复习模拟试题十九及答案解析

最新高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）
A．{（0，1）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}
2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为（）
A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x
4．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的（）
A．必要不充分条件B．充分必要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=S3=12，则a8=（）
A．16 B．14 C．12 D．10
6．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
7．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）
A．2 B．0 C．﹣1 D．
8．函数f（x）=2cosx（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（）
A． B．C． D．
9．已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx+1与该抛物线相交于A，B两点，且在第一象限
的交点为点A，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）
A．B．C．D．
10．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，
﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）
A．ab B．C．ab D．
11．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）
A．8B．12 C．12D．15
12．已知f（x）定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）＞1﹣f′（x），且f（0）=2，则不等式e x f（x）＞e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分．
13．计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=______．
14．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有______种．
15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=______．
16．已知双曲线，（a，b∈R+）的离心率e∈[]，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）
（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；
（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，
sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．
18．学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了4﹣1，4﹣2，4﹣3，4﹣4，4﹣5共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D 是高三某班的4名学生．
（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生中选择4﹣4专题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．
20．我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），=0，点E为y 轴上一点，记∠EFA=a，其中a为锐角．
（1）求抛物线的方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小．
21．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；
（3）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：
7＜e2＜]．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；
（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）
A．{（0，1）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，
由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，
则M∩N={x|x≥0}，
故选：C．
2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】复数求模．
【分析】变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．
【解答】解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，
∴z+i==
==﹣i，∴z=﹣2i
∴|z|=2
故选：B．
3．命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为（）
A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为：∀x∈R，x2+1≥2x．
故选：C．
4．△ABC 中，“A ＞”是“sinA ＞”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．
【解答】解：在△ABC 中，“sinA ＞”⇒“＞A ＞
”⇒“A ＞
”．必要性成立；
反之，“A ＞不能⇒“sinA ＞”，如A=时，sinA=sin
=sin
＜sin
=，
即sinA
，即充分性不成立，
∴可判断A ＞是sinA ＞的必要而不充分条件．
故选A ．
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=S 3=12，则a 8=（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【考点】等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 6=S 3=12，
∴a 1+5d=12，3a 1+3d=12， 解得a 1=d=2， 则a 8=2+7×2=16． 故选：A ．
6．为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（ ）
A ．向右平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移
个单位长度 D ．向左平移
个单位长度
【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin （2x ﹣
）到y=cos2x 的路线，确定选项．
【解答】解：∵y=sin （2x ﹣）=cos[﹣（2x ﹣）]=cos （﹣2x ）=cos （2x ﹣）
=
cos[2（x ﹣
）]，
∴将函数y=cos2x 的图象向右平移个单位长度．
故选B ．
7．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y 值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．﹣1
D ．
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条
件|y ﹣x|＜1，退出循环，输出y 的值为﹣． 【解答】解：执行程序框图，可得 x=6 y=2
不满足条件|y ﹣x|＜1，x=2，y=0 不满足条件|y ﹣x|＜1，x=0，y=﹣1
不满足条件|y ﹣x|＜1，x=﹣1，y=﹣
满足条件|y ﹣x|＜1，退出循环，输出y 的值为﹣． 故选：D ．
8．函数f （x ）=2
cosx
（x ∈[﹣π，π]）的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由f（﹣x）=2cos（﹣x）=2cosx=f（x），得出f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排
除A、D，再令x=π代入f（x）的表达式即可得到答案．
【解答】解：∵f（﹣x）=2cos（﹣x）=2cosx=f（x），∴f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排
除A、D，
把x=π代入得f（π）=2﹣1=0.5，故图象过点（π，0.5），C选项适合，
故选：C．
9．已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx+1与该抛物线相交于A，B两点，且在第一象限
的交点为点A，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点F（0，1），过A、B分别作BQ⊥l于Q，AP⊥l于P，BC⊥AP，垂足为C，由|AF|=3|FB|，则|AP|=3|BQ|，进而求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：x2=4y的准线为l：y=﹣1，
直线y=kx+1（k＞0）恒过定点F（0，1）
过A、B分别作AP⊥l于P，BQ⊥l于Q，BC⊥AP，垂足为C，
由|AF|=3|FB|=3m，则|AP|=3|BQ|=3m，∴|AC|=2m，|AB|=4m，|BC|=2m
∴k=，
故选B．
10．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，
﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）
A．ab B．C．ab D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】确定A，B的坐标，根据=λ+μ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，设P（x，y），则
∵=λ+μ，
∴x=（λ+μ）a，y=（λ﹣μ）b
∵P为双曲线C右支上的任意一点，
∴（λ+μ）2﹣（λ﹣μ）2=1
∴4λμ=1
∴λ2+μ2≥2λμ=
∴λ2+μ2的最小值为．
故选：D．
11．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）
A．8B．12 C．12D．15
【考点】函数的图象．
【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果
【解答】解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），
∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，
∴BC=2，2+log2m=n，
∴m=2n﹣2，
∴4m=2n；
又x0﹣m=，
∴m=x0﹣，
∴x0=m+；
又2+log2x0﹣n=1，
∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1=；
∴m+=；2m+2=2n=4m，
∴m=，2n=4；
∴m•2n=×4=12；
故选：B
12．已知f（x）定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）＞1﹣f′（x），且f（0）=2，则不等式e x f（x）＞e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），
则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）＞1﹣f′（x），
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e x f（x）＞e x+1，
∴g（x）＞1，
又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=1，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分．
13．计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a= 2 ．
【考点】定积分．
【分析】根据函数的积分公式进行化简求解即可．
【解答】解：∵（2x+）dx=3+ln2，
∴（x2+lnx）|=3+ln2，
即a2+lna﹣1﹣ln1=3+ln2，
则a2+lna=4+ln2，
则得
得a=2，
故答案为：2
14．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有192 种．
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】由于甲必须站中央，故先安排甲，两边一边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排乙丙两人，再安排甲左边的第三人，最后余下三人，在甲右侧是一个全排列
【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法
考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192
故答案为192
15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7= 8 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】将x写成1+（x﹣1），利用二项展开式的通项公式求出通项，令x﹣1的指数为7，
求出a7．
【解答】解：∵x8=[1+（x﹣1）]8，
∴其展开式的通项为T r+1=C8r（x﹣1）r，
令r=7得a7=C87=8．
故答案为：8．
16．已知双曲线，（a，b∈R+）的离心率e∈[]，则一条渐近线与实轴所
成的角的取值范围是．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=，根据2≤≤
4，求出的范围，即得
tanθ的范围，从而得到θ的范围．
【解答】解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=．由题意可得2
≤≤4，
∴1≤≤，即1≤tanθ≤，∴≤θ≤，
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）
（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；
（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，
sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．
【分析】（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；
（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解．
【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣﹣，
=sin2x﹣cos2x﹣1，
=sin（2x﹣）﹣1，
∵x∈[﹣，]，
∴﹣≤2x﹣，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
∴当sin（2x﹣）=1时，即2x﹣=，得x=，f（x）取得最大值；
当sin（2x﹣）=﹣时，即2x﹣=﹣，得x=﹣，f（x）取得最小值；
（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，
所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2a，
∴a=1，b=2，
由余弦定理c2=1+4﹣2×1×2cosC=5﹣4cosC，
∵0＜C＜，∴0＜cosC＜1，
∴1＜c2＜5，∴1＜c＜，
∵c∈N*，∴c=2，经检验符合三角形要求，
∴c的值2．
18．学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了4﹣1，4﹣2，4﹣3，4﹣4，4﹣5共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D 是高三某班的4名学生．
（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生中选择4﹣4专题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，从而求解；
（2）某一专题课程被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4，分别算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．
【解答】解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，
∴恰有2门专题课程这4名学生都没选择的概率：P2==
（2）设A 专题课程被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4
P （ξ=0）=
=
，P （ξ=1）=
=
，P （ξ=2）=
=
，
P （ξ=3）==，P （ξ=4）==
分布列如下： ξ 0 1
2
3
4
P
∴E ξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=．
19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，PD ⊥DC ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD=2
（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；
（2）设Q 为棱PC 上一点， =λ，试确定 λ的值使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为60°．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ，通过面面垂直的判定定理即得结论；
（2）过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ，过点M 作MN ⊥BD 于点N ，连QN ．则∠QNM 是二
面角Q ﹣BD ﹣P 的平面角，在Rt 三角形MNQ 中利用tan ∠MNQ=
计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PDC ，图1所示． ∴AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，
在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ， 在△BCH 中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°， 又在△DAB 中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°， ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，AD ∩DC=D ． AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，
∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，
∵BD ∩PD=D ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ． ∴BC ⊥平面PBD ，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；
（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．
由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，
∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．
∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，
∵，∴，
∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，
由（1）知，∴，
又∵PD=1，MN∥PD，∴，
∴MN===1﹣λ，
∵tan∠MNQ=，∴，
∴．
20．我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），=0，点E为y 轴上一点，记∠EFA=a，其中a为锐角．
（1）求抛物线的方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小．
【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程；
（2）由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得抛物线方程为：x2=4y．
（2）解：①由抛物线Γ焦点F（0，1）得，抛物线Γ方程为x2=4y；
②设AF=m，则点A（﹣msinα，mcosα+1），
∴（﹣msinα）2=4（1+mcosα），即m2sin2α﹣4mcosα﹣4=0．
解得：m=，
∵m＞0，∴|AF|=．
同理：，|DF|=，|CF|=．．
“蝴蝶形图案”的面积S=S△AFB+S△CFD=，令t=sinαcosα，，
．
则=，
∴当时，即时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．
21．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；
（3）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：
7＜e2＜]．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）T （x ）=f （x ）g （x ）=e x （x+m ）=e x （x+1﹣）；求导T ′（x ）=e x
（x+1）；从而确定函数的最大值；
（2）n=4时，方程f （x ）=g （x ）可化为m=e x
﹣2x ；求导m ′=e x
﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m 的取值范围；
（3）由题意，f （x ）=e x
，g （x ）=x ﹣；故f （x ）的图象恒在g （x ）图象上方可化为F
（x ）=f （x ）﹣g （x ）=e x ﹣x+
＞0恒成立；从而化为最值问题．
【解答】解：（1）T （x ）=f （x ）g （x ）
=e x
（x+m ）=e x
（x+1﹣）；
故T ′（x ）=e x
（x+1）；
则当n ≥﹣2时，T ′（x ）≥0；
故T （x ）在[0，1]上的最大值为T （1）=e ；
当n ＜﹣2时，x ∈[0，﹣）时，T ′（x ）＞0；
x ∈（﹣，1]时，T ′（x ）＜0；
T （x ）在[0，1]上的最大值为T （﹣）=﹣；
（2）当n=4时，方程f （x ）=g （x ）可化为 m=e x
﹣2x ； m ′=e x ﹣2，
故当x ∈[0，ln2）时，m ′＜0； 当x ∈（ln2，2]时，m ′＞0； m （ln2）=2﹣2ln2； m （0）=1，m （2）=e 2
﹣4； 故由题意知， 2﹣2ln ＜m ≤1；
（3）由题意，f （x ）=e x ，g （x ）=x ﹣
；
故f （x ）的图象恒在g （x ）图象上方可化为
F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=e x
﹣x+＞0恒成立；
F ′（x ）=e x
﹣；
故F （x ）在（﹣∞，ln ）上是减函数，
在（ln，+∞）上是增函数；
故可化为F（ln）＞0；
即（1﹣ln）+＞0；
令G（n）=（1﹣ln）+；
故G′（n）=﹣（ln+1）＜0；
故G（n）=（1﹣ln）+是[1，+∞）上的减函数，
而G（2e2）=﹣e2+＞0；
G（14）=7（1﹣ln7）+＞0；
G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+＜0；
故最大正整数n为14．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）欲证FB=FC，可证∠FBC=∠FCB．由A、C、B、F四点共圆可知∠FBC=∠CAD，又同弧所对的圆周角相等，则∠FCB=∠FAB，而∠FAB=∠EAD，则∠FCB=∠EAD，AD是△ABC 外角∠EAC的平分线，得∠CAD=∠EAD，故∠FBC=∠FCB；
（2）由（1）知，求FB的长，即可以转化为求FC的长，联系已知条件：告诉FA与AD的长度，即可证△FAC∽△FCD．
【解答】（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC；
（2）解：∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD
∴FA：FC=FC：FD
∴FB2=FC2=FA•FD=16，
∴FB=4．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；
（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为+y2=1，先得直线的普通方程，化为极坐
标方程即可；
（Ⅱ）易得l的方程，解方程组可得交点坐标，由两点间的距离公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为+y2=1，
可得F1（﹣，0），F2（，0），
∴直线AF2的斜率为k==﹣1，
故直线方程为y﹣=﹣（x﹣0），即x+y=，
∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=；
（Ⅱ）经过点F1（﹣，0）且与直线AF2垂直的直线l斜率为1，
故l的方程为y﹣0=x+，即y=x+，
联立可解得M（，），N（，），
∴由两点间的距离公式可得||MF1|﹣|NF1||=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不
等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．
（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，
当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；
当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．
若要功夫深，铁杵磨成针！2016年9月23日。