【免费】南宁二中高三数学(理)综合练习卷+解析

南宁二中高三数学（理）综合练习卷+解析
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1．[天津一中2018月考]用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除，”时，假设的内容应该是（ ）
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a ，b 不都能被5整除
D ．a 能被5整除
2．[甘肃兰州一中2018期中]在平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a 23，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四
个面的距离之和为（ ） A.a 34 B.a 45 C.a 36 D. a 46
3．[广西南宁2018联考]甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知丙的年龄比知识分子大，甲的年龄和农民不同，农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
4．[山西康杰中学2018月考]记
k n k k k S k ++++=...321，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：n n S 212211+=,n n n S 612213312++=,2
4
134********n n n n S +++= ,n n n n S 3013314215514-++=,2
412552165Bn n n An S +++=,…，可以推测A-B 等于（ ）
A ．32
B ．31
c ．41
D ．21
5．[浙江台州中学2018月考]已知
3222322⨯=+，8323833⨯=+，154241544⨯=+，…，若a b a b ⨯=+299（a ，b 为正整数），则a+b=______．
6．[四川棠湖中学2018期中]二维空间中，圆的一维测度（周长）l= 2πr ；二维测度（面积）S=πr ²；一维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr ²，三维测
度（体积）334r V π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38r V π=，
则其四维测度W=______．
7．[河南天一2018联考]某地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级．灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区．
已知下面四种说法都是正确的．
(1)甲轻型救援队所在方向不是C 方向，也不是D 方向；
(2)乙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；
(3)丙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；
(4)丁轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是D 方向.
此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向．有下列判断：
①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；
③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向．其中判断正确的序号是______．
8．[河南商丘实验中学2018期末]如图所示，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α₁，α₂α₃，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S ₁，S ₂，S ₃，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的—个猜想是______．
9.[江西临川一中2018月考]观察下列等式
1=1；第一个等式
2 +
3 +
4 =9；第二个等式
3 +
4 +
5 +
6 +
7 =25；第三个等式
4+5 +6 +7 +8 +9 +10 =49；第四个等式
照此规律下去…
(1)写出第5个等式．
(2)你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．
刷真题
1．[课标全国Ⅱ理2017·7]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
2．[北京理2014·8]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存
在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
3．[广东文2015·10]若集合E={(p，q，r，s) ∣0≤p <s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s ≤4且p,q,r,S∈N} ,F={（t，u，v，w）∣0≤t<u≤4，O≤v<w≤4且t,u,v,w ∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)+card( F)=（）A．200
B．150
C．100
D.50
4.[课标全国I理2014·14]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市，由此可判断乙去过的城市为______．
5．[课标全国Ⅱ文2016·16]有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．
6．[陕西文2015.16]观察下列等式：
615141615141312114
131********
1211++=-+-+-+=-+-=-
......
据此规律，第n 个等式可为_______________.
7.[山东理2015·11]观察下列各式：
343727170724
2515051413
0304
01=+++=++=+=C C C C C C C C C C ......
照此规律，当n ∈ N *
时，112...212112012--++-+-+-n n C n C n C n C =______． 8.[山东文2016. 12]观察下列等式：
21342)32(sin 2)3(sin ⨯⨯=-+-ππ；
32342)54(sin 2)53(sin 2)52(sin 2)5(sin ⨯⨯=-+-+-+-ππππ；
43342)76(sin ...2)73(sin 2)72(sin 2)7(sin ⨯⨯=-++-+-+-ππππ；
54342)98(sin ...2)93(sin 2)92(sin 2)9(sin ⨯⨯=-++-+-+-ππππ；
照此规律，
=-+++-++-++-+2)122(sin ...2)123(sin 2)122(sin 2)12(sin n n n n n ππππ______．
9. [福建理2015·15] 一个二元码是由0和1组成的数字串X ₁，X ₂，…
n X (n ∈N*)，其中k x （k=1，2，…，n ）称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但
在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码X ₁X ₂...X ₇的码元满足如下校验方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕,0,0,0753176327654x x x x x x x x x x x x
其中运算⊕定义为：0⊕0 =0，0⊕1 =1，1⊕0 =1，1⊕1 =0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k=______．
答案
1．B 【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证，命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除，”的否定是“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 都不能被5整除”，故选B ．
2．C 【解析】设任一点O 到四面体ABCD 四个平面ABC ，ABD ，ACD ，BCD 的距离分别为d ₁，d ₂，d ₃，d ₄，则正四面体的体积
)(314321d S d S d S d S V V V V V BCD ACD ABD ABC BCD O ACD O ABD O ABC O BCD A ⨯+⨯+⨯+⨯=+++=∆∆∆∆-----,
正四面体的体积等于)(31314321d d d d S h S V BCD BCD +++⨯⨯=⨯⨯=∆∆,
所以h d d d d =+++4321，转化为求正四面体的高，由点A 向平面BCD
引垂线，垂足为P ，连接BP ，如图．
在Rt △ABP 内，根据勾股定理得a a a BP AB h AP 362)33(222=-=-==，故选C ．
3．C 【解析】由题意可知丙不是知识分子，甲不是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的年龄比乙小，比知识分子大，所以甲是知识分子，乙是工人，丙是农民，故选C ．
4．C 【解析】观察k S 的规律可得61=A ，1211256121-=--=B ，41=-B A .
5. 89【解析】由规律得a=9² -1，b=9．∴a+b=89．
6. 2πr ⁴【解析】因为二维空间中，圆的一维测度（周长）l= 2πr ，二维测度（面积）S=πr ²．观察可发现S ’=l ，即面积对半径的导函数就是周长；三维空
间中，球的二维测度（表面积）S= 4πr ²，三维测度（体积）y=34πr ²，同样体积对半径的导函数就是球的表面积即V ’=S ，
由此可猜想，四维空间中“超球”的四维测度为w ，则W'=V= 8πr ³，所以W= 2π⁴．
7．③【解析】由(1)知，甲选A 或B;由(2)知，乙选C 或D ；由(3)知，丙选C 或D ；由(4)知，丁选C 或B ；如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，故丙所在方向是D 方向．
8．3
32211
sin sin sin αααS S S == 【解析】类比三角形中的正弦定理，在四面体S -ABC 中，我们猜想33
2211sin sin sin αααS S S ==成立．
9．【解】(1)第5个等式：5+6 +7+…+13 =81．
(2)猜测第n 个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)².
证明：①当n=1时显然成立；
②假设n=k(k ≥1，K ∈N*)时也成立，
即有k+(k+1)+(k+2)+…+(3k -2)=(2k -1)²,
那么当n=k+1时，左边=(k+1)+（k+2）+…+（3k -2）+(3k -1)+3k+（3k+1） =(2k -1)²+(2k -1)+3h+(3k+1)
=4K ² -4k +1 +8k=(2k+1)²=[2（3k+1)]²,
而右边=[2(k+1)-1]²，也就是说n=k+1时等式也成立．根据①②知，等式对任何n ∈N*都成立．
刷真题
1.D 【解析】因为四人中有2位优秀，2位良好，假设乙、丙的成绩都为优秀或良好，则甲看到乙、丙的成绩后一定知道自己的成绩，与“甲不知道自己的成绩”相矛盾，故乙、丙两人中应是一人优秀一人良好，甲、丁中应是一人优秀一人良好，乙看了丙的成绩后，一定可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩后，也一定知道自己的成绩．故选D ．
2.B 【解析】假设甲、乙两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾，因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的，因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件．
3.A 【解析】当s=4时，P ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4 =64（种）；
当s =3时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有3×3×3 =27（种）； 当s =2时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2×2 ×2 =8（种）； 当s=1时，p ，q ，r 都取0，有1种,∴card(E) =64+27 +8 +1 =100．
当t=0时，“取1，2，3，4中的一个，有4种；当t=1时，u 取2，3，4中的一个，有3种；当t=2时，u 取3，4中的一个，有2种；当t =3时，u 取4，有1
种，所以(t ，u)的取值有1+2 +3 +4 =10种，同理，(v ，w)的取值也有10种，由分步乘法计数原理可得card( F)=10×10= 100．
综上可得，Card(E) +Card(F) =100+100=200．
4．A 【解析】由题意，甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说：三人去过同一个城市，说明甲去过A ，C 城市，而乙说：没有去过c 城市，说明乙去过A 城市，由此可判断乙去过的城市为A ．
5.1和3【解析】丙说他的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字要么是1和2，要么是1和3．又乙说他与丙的卡片上相同的数字不是1，所以卡片2和3必定在乙手中，因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲的卡片上的数字只能是1和3． 6.n n n n n 21...211121121 (4)
131211+++++=--++-+-(n ∈N*) 【解析】观察等式知，第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是n n n 21...2111+++++． 7.14-n 【解析】由归纳推理可得，14112...212112012-=--++-+-+-n n n C n C n C n C .
8．)1(34+n n 【解析】等式左边有2项时，右边)122(22342134+⨯⨯=⨯⨯．
等式左边有4项时，右边)124(24343234+⨯⨯=⨯⨯=．
等式左边有6项时，右边)126(26344334+⨯⨯=⨯⨯=．
由此可归纳得等式左边有2n 项时，右边)1(34)122(2234+=+⨯⨯=n n n n ． 将此式用所给的第四个式子验证知该归纳式正确．
9.5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由X ₄⊕x ₅⊕X ₆ ⊕X ₇=0可判断后4个数字出错；由X ₂ ⊕X ₃⊕X ₆ ⊕X ₇=0可判断后2个数字没错，即出错的是第4位或第5位；由x ₁⊕ X ₃⊕X ₅⊕X ₇=0可判断出错的是第5位．综上所述，第5位码元发生错误，
即k=5．。