高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性学业分层测评 新人教B版选修1-

高中数学第三章导数及其应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性学业分层测评新人教B版选修1-1
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3。

3.1 利用导数判断函数的单调性
(建议用时:45分钟）
[学业达标］
一、选择题
1．函数y＝f（x)的图象如图3­3。

4所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是
( )
图3。

3.4
【解析】由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞,0）和(0，＋∞）上，函数f(x）均为减函数，故在区间（－∞，0）和(0，＋∞）上，f′(x）均小于0，故选D。

【答案】D
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞）上（)
A．是增函数B．是减函数
C．有最大值D．有最小值
【解析】∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x〉0恒成立，∴f(x)在（－∞，＋∞)上为增函数．
【答案】A
3．函数y＝(3－x2）e x的单调递增区间是( ）
A．（－∞,0）B．(0，＋∞）
C．(－∞,－3)和(1，＋∞) D．（－3，1)
【解析】y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝（－x2－2x＋3)e x，令(－x2－2x＋3)e x〉0，由于e x〉0，则－x2－2x＋3>0,解得－3<x<1，所以函数的单调递增区间是(－3，1）．
【答案】D
4．已知函数f(x)＝错误!＋ln x，则有( ）
A．f（2）<f(e）<f（3)
B．f（e）〈f(2)〈f(3)
C．f（3）〈f（e)〈f(2)
D．f(e)〈f(3）<f(2）
【解析】因为在定义域（0，＋∞）上，f′(x）＝错误!＋错误!〉0，所以f(x）在（0，＋∞）上是增函数，所以有f（2)<f（e）〈f（3)．
【答案】A
5．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（）A．(－∞，－2］B．（－∞，－1]
C．［2，＋∞）D．［1，＋∞)
【解析】由于f′(x)＝k－错误!，f（x)＝kx－ln x在区间（1,＋∞）上单调递增⇔f′（x)＝k－错误!≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥错误!,而0〈错误!<1，所以k≥1。

即k的取值范围为［1,＋∞）．
【答案】D
二、填空题
6．若函数f(x）＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2），则b＝________，c＝________。

【解析】f′（x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1〈x〈2是不等式f′(x）<0的解，即－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b＝－错误!,c＝－6。

【答案】－错误!－6
7．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数,则a的取值范围为________。

【导学号:25650125】
【解析】y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.
而a＝0时，y＝－1,不是减函数，∴a〈0.
【答案】a<0
8．在下列命题中，真命题是________．(填序号)
①若f （x ）在（a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b ），都应有f ′（x )〉0；
②若在(a ，b )内f ′（x )存在，则f （x )必为单调函数；
③若在（a ,b )内对任意x 都有f ′（x )〉0,则f （x ）在（a ,b )内是增函数；
④若可导函数在(a ,b ）内有f ′(x )〈0，则在（a ,b )内有f (x )<0.
【解析】 对于①，可以存在x 0，使f ′(x 0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②,导数f ′(x )符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f ′（x )〈0只能得到f （x ）单调递减．
【答案】 ③
三、解答题
9．求下列函数的单调区间:
（1）f (x )＝错误!x ＋sin x ，x ∈（0,2π）;
（2)f （x ）＝2x －ln x .
【解】 （1)∵f ′(x )＝错误!＋cos x ，
令f ′（x )>0，得错误!＋cos x >0,即cos x 〉－错误!.
又∵x ∈(0,2π）,∴0〈x 〈23
π或错误!π<x <2π. 同理，令f ′(x ）<0,得错误!π<x <错误!π.
∴该函数的单调递增区间为错误!，错误!；
单调递减区间为错误!。

（2）函数的定义域为(0,＋∞），
其导函数为f ′(x ）＝2－错误!.
令2－1x
>0，解得x 〉错误!; 令2－错误!〈0，解得0〈x <错误!，
∴该函数的单调递增区间为错误!，单调递减区间为错误!.
10．若函数f (x )＝错误!x 3－错误!ax 2
＋（a －1)x ＋1在区间(1，4）内为减函数，在区间（6,＋∞）内为增函数,试求实数a 的取值范围．
【解】 函数求导得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝（x －1）［x －（a －1）]，令f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝a －1。

因为函数在区间(1，4）内为减函数，所以当x ∈（1,4）时，f ′(x ）≤0,又因为函数在区间（6,＋∞)内为增函数，所以当x ∈（6,＋∞)时，f ′（x )≥0，所以4≤a －
1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的取值范围为［5，7］．
［能力提升]
1．已知函数y＝xf′(x）的图象如图3­3。

5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f（x）的图象的是( ）
图3。

3­5
【解析】由题图可知，当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′（x）〉0，此时原函数为增函数，图象应是上升的;当－1<x<0时，xf′（x)〉0，所以f′(x）〈0,此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0〈x<1时,xf′(x)〈0，所以f′(x）<0,此时原函数为减函数，图象应是下降的;当x〉1时，xf′（x）〉0，所以f′(x)〉0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.
【答案】C
2．设f(x），g（x)在［a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x），则当a＜x＜b时，有
（) A．f(x)＞g（x)
B．f(x）＜g（x）
C．f(x）＋g（a)＞g(x）＋f(a）
D．f(x）＋g(b）＞g（x)＋f(b）
【解析】∵f′（x）－g′(x）＞0,∴（f(x）－g（x））′＞0,
∴f（x)－g(x)在［a，b]上是增函数，
∴当a＜x＜b时，f（x)－g（x）＞f(a)－g(a）,
∴f(x）＋g（a)＞g（x）＋f(a）．故选C。

【答案】C
3．若函数f(x)＝ln x－错误!ax2－2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________．【解析】f′（x）＝错误!－ax－2＝－错误!.
因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′（x)≤0有解．
又因为函数f(x）的定义域为(0,＋∞)．
所以ax2＋2x－1≥0在（0,＋∞）内有解．
①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线,
ax2＋2x－1≥0在（0，＋∞）内恒有解;
②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线,
若ax2＋2x－1≥0在（0，＋∞)内恒有解,
则错误!
解得－1≤a<0；
③当a＝0时，显然符合题意．
综合上述，a的取值范围是[－1,＋∞）．
【答案】[－1，＋∞）
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1。

（1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减？若存在,求出a的取值范围;若不存在，说明理由；
（3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方. 【导学号：25650126】【解】（1）f′(x）＝3x2－a,∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立,又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时,f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，又a＝0时,f′（x）＝3x2不恒为0，∴a≤0。

（2)∵3x2－a≤0在（－1，1)上恒成立，∴a≥3x2在（－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1）时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x）在(－1,1）上单调递减．
（3)证明：取x＝－1,得f(－1）＝a－2〈a，即存在点（－1，a－2）在f(x）＝x3－ax－1的图象上,且在直线y＝a的下方。