高三数学最新模拟试题精选分类汇编3三角函数理

山东省 高三最新理科模拟试题精选（17套）分类汇编3：三角函
数
一、选择题 1 ．（山东省淄博市 高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知ABC ∆中,三个内
角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC ∆的面积为S,且()2
22,tan S a b c C =+-则等于 （ ）
A ．
3
4
B ．
43
C ．43
-
D ．34
-
【答案】C 2 ．（山东省枣庄市 高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知函数
()cos()(0,2)f x x ωϕωπϕπ=+>≤<为偶函数,且其图像上相邻最高点与最低点之
间的距离为24π+,则函数1
()()2
g x f x =-在区间[0,5)π内零点的个数为 （ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
3 ．（山东省文登市 高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6
f x x π
=+
,则下列
结论正确的是
（ ）
A ．()f x 的图像关于直线3
x π
=
对称
B ．()f x 的图像关于点(
,0)6
π
对称
C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12
π
上为增函数
D ．把()f x 的图像向右平移
12
π
个单位,得到一个偶函数的图像
【答案】C
4 ．（山东省泰安市 高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数
()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数,该函数的部分图象如图所
示,EFG ∆是边长为2的等边三角形,则()1f 的值为 （ ）
A ．3
B ．6
C 3
D ．3-
【答案】D 5 ．（山东省莱芜五中 高三4月模拟数学（理）试题）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别
是a ,b ,c ,若2
2
245b c b c +=+-且2
2
2
a b c bc =+-,则△ABC 的面积为 （ ）
A ．3
B ．
3
C ．
2 D ．2
【答案】B
6 ．（山东省莱芜市莱芜四中 高三4月月考数学试题）函数
f(x)=2cos(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,点 （ ）
A ．
B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为42,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为 （ ）
A ．x=
4
π
B ．x=
2
π C ．x=4 D ．x=2
【答案】D 7 ．（山东省莱芜市莱芜四中 高三4月月考数学试题）如图所示,虚线部分是四个象限的角
平分线,实线部分是函数y=f(x)的部分图象,则f(x)可能是
（ ）
A ．xsin x
B ．xcos x
C ．2
x cos x
D ．2
x sin x
【答案】A
8 ．（山东省莱芜市莱芜十七中 高三4月模拟数学（理）试题）函数()sin()f x x =+ωϕ(其
中2
π
<
ϕ)的图象如图所示,为了得到()sin g x x =ω的图象,则只要将()f x 的图象 （ ）
A ．向右平移6π
个单位长度 B ．向右平移
12π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度
D ．向左平移12
π
个单位长度
【答案】A
9 ．（山东省莱芜市莱芜十七中 高三4月模拟数学（理）试题）角α的终边经过点A (3,)a -,
且点A 在抛物线2
14y x =-
的准线上,则sin α= （ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．32
-
D ．
32
【答案】B 10．（山东省莱芜市莱芜二中 高三4月模拟考试数学（理）试题）已知A,B,C,D 是函数
sin()(0,0)2
y x π
ωω=+Φ><Φ<
一个周期内的图象上的四个点,如图所
示,(,0),6
A π-
B 为y 轴上的点,
C 为图像上的最低点,E 为该函数图像的一个对称中心,B
与D 关于点E 对称,CD 在x 轴上的投影为
12
π
,则,ωΦ的值为
（ ）
A ．2,3
π
ω=Φ= B ．2,6
π
ω=Φ=
C ．1,23πω=
Φ= D ．1,26
πω=Φ=
【答案】A
11．（山东省莱钢高中 高三4月模拟检测数学理试题 ）函数
()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3
π
=
x 对称,它的最小正周期为
π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是
（ ）
A ．)0,12
(
π
B ．)1,3
(
π
C ．）0,12
5(
π D ．）
（0,12
-
π
【答案】A
12．（山东省济宁市 高三4月联考理科数学）将函数()sin(2)6
f x x π
=+
的图象向右平移
6
π
个单位后,则所得的图象对应的解析式为 （ ）
A ．y=sin 2x
B ．y=cos 2x
C ．y=sin(2x +
2)3π D ．y=sin(2x 一6
π) 【答案】D
13．（山东省济南市 高三4月巩固性训练数学（理）试题）△ABC 的内角 （ ）
A ．
B ．
C 的对边分别为a 、b 、c ,且
a sin A +c sin C -2a sin C =
b sin
B ．
则B ∠= （ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C
．
3
π D ．
34
π 【答案】C
14．（山东省济南市 高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22
sin(
2x y -=π
是
（ ）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2π
的奇函数 D ．最小正周期为
2
π
的偶函数 【答案】B 15．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数
)2
sin(sin x x y +=π
的最小正周期是
（ ）
A ．π2
B ．π
C ．2π
D ．4π
【答案】【答案】B 【解析】函数x x x x x y 2sin 2
1
cos sin )2
sin(sin =
=+=π
,所以周期为π,选 B ．
16．（山东省菏泽市 高三第二次模拟考试数学（理）试题）将函数f(x)=2sin ()(0)
3
x π
ωω-
>的图象向左平移
3πω个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,4
π
]上为增函数,则ω的最大值 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 17．（山东省凤城高中 高三4月模拟检测数学理试题 ）已知2)tan(-=-απ,则
221
sin 2cos αα
=-
（ ）
A ．2
B ．
5
2 C ．
3 D ．
2
5
【答案】D
18．（山东省德州市 高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知向量
a=(sin α,1),b=(2,2cos 2α-),(
2
π
απ<<),若a⊥b,则sin(4
πα-
)= （ ）
A ．-
32
B ．-
12 C ．
12
D ．
32
【答案】D
二、填空题
19．（山东省潍坊市 高三第二次模拟考试数学理试题（word 版））在ABC ∆中,角A,B,C 新
对的边分别为a,b,c,若cos cos sin B b A c C +=,2
2
2
3b c a bc +-=,则角B=____-____.
【答案】60︒ 20．（山东省泰安市 高三第二次模拟考试数学（理）试题）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边
分别是a,b,c,若2
2
3
sin 2sin ,2
B C a b bc =-=,则角A 等于____. 【答案】23
π
21．（山东省莱芜五中 高三4月模拟数学（理）试题）对于函数lg |3|y x =-和
sin
2
x
y π=(410)x -≤≤,下列说法正确的是________.
(1)函数lg |3|y x =-的图像关于直线3x =-对称;
(2)sin
2
x
y π=(410)x -≤≤的图像关于直线3x =对称;
(3)两函数的图像一共有10个交点;
(4)两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30;
(5)两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24. 【答案】(2)(3)(4); 三、解答题 22．（山东省淄博市 高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数
()()213sin cos cos 02f x x x x ωωωω=+-
>,其最小正周期为.2
π
(I)求()f x 的表达式;
(II)将函数()f x 的图象向右平移
8
π
个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.
【答案】解:(I)21()3sin cos cos 2
f x x x x ωωω=
⋅+-
3cos211sin 2sin(2)2226
x x x ωπωω+=
+-=+ 由题意知)(x f 的最小正周期2
T π
=,2
22T π
ωπωπ===
所以2=ω 所以()sin 46f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
(Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个
8π个单位后,得到)3
4sin(π
-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)3
2sin(π
-=x y 的图象.
所以)3
2sin()(π
-=x x g
因为02
x π≤≤,所以22333x πππ
-≤-≤.
()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知3322
k -≤-<或1k -= 所以33
22
k -<≤或1k =-.
23．（山东省枣庄市 高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知,A B 是ABC ∆的两个
内角,向量(2cos
,sin )22
A B A B
a +-=,且6||2a =. (1)证明:tan tan A B 为定值; (2)若,26
A A
B π
==,求边BC 上的高AD 的长度.
【答案】
24．（山东省夏津一中 高三4月月考数学（理）试题）已知函数f(x)=2
sin 63x ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
(0≤x≤5),点A 、B 分别是函数y=f(x)图像上的最高点和最低点. (1)求点A 、B 的坐标以及OA ·OB 的值;
(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-)的值.
【答案】解:(1)50≤≤x , ππ7π
3
636
x π
∴
≤
+≤
, ∴1ππ
sin()1263x -
≤+≤ 当πππ632x +=,即1=x 时,ππsin()163x +=,)(x f 取得最大值2;
当ππ7π636x +=,即5=x 时,ππ1sin()632
x +=-,)(x f 取得最小值1-. 因此,点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -
152(1)3OA OB ∴⋅=⨯+⨯-=
(2)
点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,
tan 2α∴=,51tan -=β,
212()
55tan 21121()5
β⨯-=
=---, ∴52()
2912tan(2)5
2
12()12
αβ---=
=+⋅-
25．（山东省文登市 高三3月二轮模拟考试数学（理））设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边
分别为,,,c b a 且1
cos 2
a C c
b -
=. (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长的取值范围.
【答案】解(Ⅰ)由1cos 2a C c b -
=得1
sin cos sin sin 2
A C C
B -= 又sin sin()sin cos cos sin B A
C A C A C =+=+
11
sin cos sin ,sin 0,cos 22
C A C C A ∴=-≠∴=- 又0A π<<23
A π
∴=
(Ⅱ)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==
,C c sin 3
2
=
)())1sin sin 1sin sin 33
l a b c B C B A B =++=+
+=+++ 131(sin )1)2333
B B B π
=+
=++
22,(0,),(,)33333
A B B πππππ
=
∴∈∴+∈, 3
sin()(3B π∴+∈
故ABC ∆的周长的取值范围为23
1] 26．（山东省潍坊市 高三第二次模拟考试数学理试题（word 版））已知函数
()22)cos()22cos 44
f x x x x x ππ
=+-+.
(I)求()f x 的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数()y f x =在[]0,π上的图象,并说明()y f x =的图象 是由sin 2y x =的图象怎样变换得到的.
【答案】
27．（山东省泰安市高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数
()5sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(I)求()f x 的单调递增区间; (II)已知()()()33cos ,cos ,0,552
f π
αβαβαββ-=+=-<<≤求. 【答案】
28．（山东省莱芜五中 高三4月模拟数学（理）试题）已知函数
21()sin cos sin cos cos cos()(0)2f x x x x ϕϕπϕϕπ=+++<<,其图象过点1
(,).34
π
(1)求ϕ的值;
(2)将函数)(x f y =图象上各点向左平移
6
π
个单位长度,得到函数)(x g y =的图象,求
函数)(x g 在2[,]43
ππ
-
上的单调递增区间.
【答案】解:(1)11cos 21()sin 2sin cos cos 222
x f x x ϕϕϕ+=+- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=+1(sin 2sin cos 2cos )2x x ϕϕ=+1
cos(2).2
x ϕ=- 又函数图象过点1(,).34π,所以11cos(2)423πϕ=⨯-,即21
cos(),32
πϕ-=
又0ϕπ<<,所以.3
πϕ=
(2)由(1)知1()cos(2)23f x x π=
-,将函数()y f x =图象上各点向左平移6
π
个单位长度后,得到函数()y g x =的图象,可知1
()cos 22
g x x =
因为2[,]43x ππ∈-,所以42[,]23x ππ∈-,由202x π-≤≤和423x π
π≤≤
知函数)(x g 在2[,]43ππ-上的单调递增区间为[,0]4π-和2[,]23
ππ
29．（山东省莱芜市莱芜四中 高三4月月考数学试题）已知函数
2
1
cos cos sin 3)(2-
-=x x x x f ,R x ∈ (1)求函数)(x f 的最小值和最小正周期;
(2)已知ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,满足0sin 2sin =-A B .且c=3,0)(=C f ,求a 、b 的值. 【答案】
解析
:(1)
1)6
2sin(12cos 212sin 2321cos cos sin 3)(2--=--=-
-=πx x x x x x x f )(x f ∴的最小值为-2,最小正周期为π.
(2)01)62sin()(=--
=πC C f 即1)6
2sin(=-π
C
3
262611626,0π
ππππππ=∴=-∴<-<-<<C C C C
0sin 2sin =-A B 由正弦定理
B
b
A a sin sin =得a b 2=① 3=c ,由余弦定理得:3
cos 2922π
ab b a -+=②
由①②解得32,3==
b a .
30．（山东省莱芜市莱芜十七中 高三4月模拟数学（理）试题）已知向量
a =(cos ,sin x x ωω),
b =(cos x ω,
3cos x ω),其中(02ω<<).函数
21)(-
⋅=b a x f ,其图象的一条对称轴为6
x π
=. (I)求函数()f x 的表达式及单调递增区间;
(Ⅱ)在△AB C 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,S 为其面积,若()2
A f =1,b=l,S △ABC =3,求a 的值.
【答案】
由余弦定理得222
41241cos6013a =+-⨯⨯︒=, 故13a = 31．（山东省莱芜市莱芜二中 高三4月模拟考试数学（理）试题）已知向量
2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x
m n ==记()f x m n =⋅.
(Ⅰ)若3()2f α=,求2cos()3
π
α-的值;
(Ⅱ)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=,
若13
()2
f A +=,试判断△ABC 的形状. 【
答
案
】
解:
2311
()3sin cos cos sin cos 44422222x x x x x f x =+=++1sin 262x π⎛⎫=++
⎪⎝⎭ (I) 由已知32f ()α=
得13
sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
,于是24,3k k παπ=+∈Z , ∴ 2224133
3cos(
)cos k ππ
παπ⎛⎫
-=--= ⎪⎝⎭
(Ⅱ) 根据正弦定理知: ]
()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=
12sin cos sin()sin cos 23
A B B C A B B π⇒=+=⇒=
⇒= ∵13
()f A +=
∴ 113
sin 262263A A πππ+⎛⎫++=⇒+=
⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或π 而203A π<<,
所以3
A π
=
,因此∆ABC 为等边三角形
32．（山东省莱钢高中 高三4月模拟检测数学理试题 ）已知函数
213()cos sin cos 1,22
f x x x x x R =
++∈. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在[,]124
ππ
上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值.
(3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),2
f A = 2.b c +=求边a 的最小值.
【答案】213()cos sin cos 122
f x x x x =
++135
cos 2sin 2444
x x =
++ 15sin(2)264x π=++
(1)()f x 的最小正周期22T π
π=
=
(2)[,]124x ππ∈ 22[,]633x πππ
∴+∈
∴当262x ππ+=,即6x π=时,max 157
()244f x =+=
当263x ππ+=或2263x ππ+=时,即12x π=或4
x π=时,
4
3
5)(min +=
x f (3)2345)62sin(21)(=++=
πA A f 21)62sin(=+∴πA ）
，6136(62πππ∈+A 6
562π
π=+∴A 3
π=
∴A
∵b+c=2
∴1)2
(34343)(2
2
2
2
2
=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号
∴a 的最小值是1
33．（山东省济宁市 高三4月联考理科数学）已知锐角△ABC 中的内角A 、B 、C 的对边
分别为,,a b c ,定义向量2
(2sin ,3),(2cos 1,cos 2),2
B
m B n B ==-且.m n ⊥ (1)求()sin 2cos cos2sin f x x B x B =-的单调减区间; (2)如果4,b =求ABC ∆面积的最大值.
【答案】
34．（山东省济南市 高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数
)()4sin cos 303f x x x πωωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π.
⑴求)(x f 的解析式;
(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值.
【答案】解
()4sin cos cos sin sin 333f x x x x ππωωω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭22sin cos 233x x x ωωω=-+sin 232x x ωω=+
2sin 23x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
2,12T π
πωω
=
=∴=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=∴32sin 2)(πx x f
(2)
4
6
x π
π
-
≤≤
,226
3
3
x π
π
π
∴-
≤+
≤
1sin 2123x π⎛
⎫∴-
≤+≤ ⎪⎝
⎭,即()12f x -≤≤, 当2,3
6
x π
π
+=-即4
x π
=-
时,()min 1f x =-,
当2,3
2
x π
π
+=
即12
x π
=
时,()max 2f x =
35．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在△ABC 中,
角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足cos
25
25
A =
,AB AC =3. (1) 求△ABC 的面积; (2) 若c =1,求a 、sin B 的值.
【答案】【答案】解:(1) cos A =2×2
255⎛⎫ ⎪ ⎪-1=3
5, 而||||AB AC AB AC =cos A =3
5
bc =3,∴bc =5
又A ∈(0,π),∴sin A =4
5
,
∴S=12bc sin A =12×5×4
5
=2
(2) ∵bc =5,而c =1,∴b =5
∴222a b c =+-2bc cos A =20,a =25
又sin sin a b A B =
,∴sinB=4
5sin 255525
b A a ⨯
==
36．（山东省菏泽市 高三第二次模拟考试数学（理）试题）设函数f(x)=3
cos 2
ωx+sin ωxcos ωx+a(其中ω>0,a ∈R),且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的
横坐标为π
12
.
(1)求ω的值;(2)如果f(x)在区间[―π6,5π
12]上的最小值为3,求a 的值;
(3)证明:直线5x―2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
【答案】 解:(1) f(x)=3×1+cos2ωx 2+12sin2ωx+a=12sin2ωx+32cos2ωx+3
2+a
=sin(2ωx+π
3)+32
+a
由题意知,2ω×π12+π3=π
2
,∴ ω=1
(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+π3)+32+a ∵ ―π6≤x≤5π12 ∴ 0≤2x+π3≤7π
6
∴ ―12≤sin(2x+π
3)≤1 ∴ f(x)的最小值=―12+32+a= 3 ∴ a=1+32
(3)∵ f ' (x)=2cos(2x+π
3) ∴ |f ' (x)|≤2
∴ 曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围是[―2,2],
而直线的切线斜率=5
2>2, ∴直线5x―2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
37．（山东省凤城高中 高三4月模拟检测数学理试题 ）已知
(2cos 3,1)a x x =+,(,cos )b y x =,且//a b .
(I)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;
(II)记()f x 的最大值为M ,a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长,若(),2
A f M =且2a =,求bc 的最大值.
【答案】解:(I)由//a b 得2
2cos 3cos 0x x y +-= 2'
即2
2cos 23cos cos 23212sin(2)16
y x x x x x π
=+=++=++
所以()2sin(2)16
f x x π
=++ , 4'
又222
T π
π
πω
=
=
= 所以函数()f x 的最小正周期为.π 6' (II)由(I)易得3M = 7' 于是由()3,2
A f M ==即2sin()13sin()166
A A π
π
++=⇒+=, 因为A 为三角形的内角,故3
A π
=
9'
由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-得2
2
42b c bc bc bc bc =+-≥-= 11'
解得4bc ≤
于是当且仅当2b c ==时,bc 的最大值为4. 12' 38．（山东省德州市 高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知向量
a=(2cos ωx,-1),b=(3sin ωx+ cos ωx,1)(ω>0),函数f(x)=a·b 的最小正周期为
π.
(I)求函数f(x)的表达式及最大值; (Ⅱ)若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
是f(x)≥a 恒成立,求实数a 的取值范围.
【答案】
因为()f x 的最小正周期为π,且0ω>,知
212π
πωω
=⇒=。