人教A版高中数学必修四双基限时练11.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
双基限时练(十一)
1．把函数f (x )的图象向右平移π
12个单位后得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )
A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π
B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π
C ．sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x ＋5π12
D ．sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －512π
解析 用x －π
12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是
f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π3.
答案 C
2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π
3对称的是( )
A ．y ＝sin(x 2＋π
6) B ．y ＝sin(2x ＋π
6) C ．y ＝sin(2x －π
3) D ．y ＝sin(2x －π
6)
解析 当x ＝π
3时，
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1. ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π
2＝π. 答案 D
3．要将y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将
y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4的图象( )
A ．向左平移π
4个单位 B ．向右平移π
4个单位 C ．向左平移π
8个单位 D ．向右平移π
8个单位
解析 把y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π
8个单位即得y ＝
sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，
所以符合题意．
答案 C
4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( ) A ．－x ＋π6，π
6 B ．x －π6，－π
6 C ．x ＋5π6，5π
6
D ．x ＋5π6，π
6
解析 因为y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝
⎛
⎭⎪⎫－x ＋π6
＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6. 答案 C
5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2＋π6－1
B ．y ＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6－1
C ．y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3－1
D ．y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6－1
解析 由图象知A ＝2－(－4)
2＝3，b ＝－1， T ＝5π6－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＝π.
∴ω＝2π
T ＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2×7π12＋φ－1，
即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π
2(k ∈Z )．
令k ＝1，解得φ＝π
3，所以y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3－1.
答案 C
6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π
2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
解析 由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ω⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋φω＋π2
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π
2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因
为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.
答案 B
7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________．
解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)， ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π
10(k ∈Z )．
答案 k π5＋π
10，k ∈Z
8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π
2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.
解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π
3.
答案 2 π
3
9．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．
解析 令－52sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.
则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π
6，k ∈Z . 故取k ＝1时，x ＝π
12.
∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12，0 10．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，
所得图象经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
3π4，0，则ω的最小值是________．
解析 把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π
4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ω⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π4. 又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，
∴sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.
∴sin ωπ2＝0. ∴ωπ
2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．
∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 2
11．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π12，π6时，求f (x )的最值．
解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2π
π2＝4.
∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x ＋π6.
(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π12，π6，
得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，5π6，
sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋π6＝－1
2， 即x ＝－π12时，f (x )有最小值－3
2，
当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3. 12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π
4.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
解 (1)∵x ＝π
4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×π4＋φ＝±1.
∴π8＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π
8. (2)由(1)知φ＝3π
8， ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫1
2x ＋3π8.
由题意得
2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 即4k π－74π≤x ≤4k π＋π
4，k ∈Z . ∴函数y ＝f (x )的单调增区间为 ⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．
13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．
解 由图象得A ＝2， T ＝72π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2＝4π.
则ω＝2πT ＝1
2，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π
4.
∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋π4. 由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2x ＋π4， 得12x ＋π4＝2k π＋π
3(k ∈Z )， 或12x ＋π4＝2k π＋2
3π(k ∈Z )．
∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋5
6π(k ∈Z )． 则所有交点的坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫
4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。