级数的笔记

级数的笔记
一级数的概念及收敛性
1.1 级数的定义
设{un} 是一个数列，我们引入形式的记号∑n=1∞
un=u1+u2+...+un+... 并称之为无穷级数，或简称为级数
(series)，称un 为该级数的通项.
举例：
(1). 形如∑n=1∞qn 的级数被称为几何级数(geometric
serious).
由于部分和Sn=∑n=1∞qn={q⋅1−qn1−q,q≠1n,q=1
所以级数∑n=1∞qn在|q<1|时收敛，收敛于q1−q，|q≥1|时发散.
(2).∑n=1∞1n 被称为调和级数(Harmonic series).
乍一看，级数的敛散性本质上就是数列的敛散性，似乎没有必要多加研究，然而令人始料不及的是，级数的这种形式在很多具体问题中拥有极大的优越性，级数理论也在分析学中占重要的地位.
1.2 级数的和
设∑n=1∞un 是一个级数，我们记Sn=∑k=1∞uk 并称之
为级数∑n=1∞un 的第n个部分和(partial sum). 若部分
和序列{Sn} 收敛于S ，则称级数∑n=1∞un 收敛
(converge)，并称S 为该级数的和(sum)，记作∑n=1∞
un=S . 此时rn=S−Sn=∑k=n+1∞uk 为该级数的余和(tail).
此外，如果{Sn} 发散，我们就称级数∑n=1∞un 发散
(diverge).
由上述定义可以看出，在级数中添加或删除有限多项（但不改变原有的项的顺序）不会改变其敛散性.
若部分和Sn趋于+∞（或−∞），则称该级数发散于+∞（或−∞），此时为方便起见也称该级数的和为+∞（或−∞），并记作∑n=1∞un=+∞ (或∑n=1∞un=−∞ ).
1.3 级数的性质
1.3.1 设∑n=1∞un与∑n=1∞vn均收敛，则对任意，α，β∈R，∑n=1∞(αun+βvn)收敛，且∑n=1∞(αun+βvn)=α∑n=1∞un+β∑n=1∞vn .
1.3.2级数收敛的必要条件
如果∑n=1∞un收敛，则limn→∞un=0
此处是必要条件不是充要条件，比如调和级数∑n=1∞1n，limn→∞
1n=0，但是却不收敛.
1.3.3 如果∑n=1∞un收敛，则对其添加括号所得级
数(u1+u2+...+un1)(un1+1+un1+2+...+un2)+...仍收敛，并且和不变.
该命题的逆命题不一定不成立，例如对级数∑n=1∞(−1)n−1按如下形式加括号：(1−1)+(1−1)+...此时级数收敛，但原级数发散. 但是如果一个括号内的项均同号，那么逆命题成立. 也就是下面1.3.4的结论
1.3.4 如果1.3.3(u1+u2+...+un1)(un1+1+un1+2+...+un2)+...中同一个括号内所有项均同号，那么该级数收敛时，原级数∑n=1∞un也收敛，且极限相等.
1.4 柯西收敛准则
级数∑n=1∞un收敛的充要条件是：对任意的ε>0，均存在nε∈Z>0，使得对任意n>m>nε均有|Sm−Sn|=|∑k=n+1muk|<ε。