常微分方程第三版答案.doc

习题 1．
dx
dy
=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：
y
dy
=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e
2
x +e c =cex 2
另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2
x .
2. y 2
dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy
2y dy dy=-1
1+x dx
两边积分: -
y
1
=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c
另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
|
)1(|ln 1
+x c
3．dx dy =y
x xy y 321++
解：原方程为：dx
dy =y y 21+3
1
x x + y y 21+dy=31
x
x +dx 两边积分：x(1+x 2
)(1+y 2
)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
y y -1dy=-x
x 1
+dx
两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +-
令
x
y
=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1
12++u u du=x 1dx
ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x
y
. 6. x
dx
dy -y+2
2y x -=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x
x |
|-2)(1x y -
则令
x
y
=u dx dy =u+ x dx du
2
11u - du=sgnx
x
1
dx arcsin
x
y
=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
tgy dy =ctgx
dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
x c cos 1=x
c
cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c.
8 dx dy +y
e x y 32
+=0 解：原方程为：dx dy =y
e y 2
e x 3
2 e
x
3-3e
2
y -=c.
(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为：
dx dy =x y ln x y 令x
y
=u ,则dx dy =u+ x dx du
u+ x
dx du
=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
x
y
=cy. 10.
dx
dy =e y
x - 解：原方程为：
dx
dy =e x e y
- e y
=ce x
11
dx
dy =(x+y)2
解：令x+y=u,则
dx dy =dx
du -1 dx du -1=u 2
2
11
u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c
12.
dx dy =2)
(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx
du -1
dx du -1=21u
u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dx dy =1
212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2
-y)-dx 2
+x=c
xy-y 2+y-x 2-x=c 14:
dx dy =2
5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(
21y 2+2y)-d(2
1
x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.
15: dx
dy
=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx
dy
=（x+4y ）2+3
令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1
41dx du -41=u 2
+3 dx du
=4 u 2+13 u=2
3
tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3
2
(x+4y+1).
16:证明方程
y x dx
dy
=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2
y 2
)dx=xdy
2） y x dx dy =2
222x -2 y x 2y +
证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx
du 则dx dy =x 1dx du -2x u
，有：
u x dx
du
=f(u)+1
)1)((1+u f u du=x
1
dx
所以原方程可化为变量分离方程。

1） 令xy=u 则
dx dy =x 1dx du -2
x u (1) 原方程可化为：dx dy =x
y
[1+（xy ）2] (2)
将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x
u
(1+u 2)
u=22+u +cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为： x= x 0 -
'
y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -
'
y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =
4
π。

解：由题意得：y ’=
x
y
y 1dy=x 1 dx
ln|y|=ln|xc| y=cx. α =
4
π
则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。

证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2
+c 即为所求。

常微分方程习题 1.
xy dx
dy
2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
,0)1(.22
=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：。

故特解是
时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-
1ln 11
,11,001ln 1,11ln 0,1112
3
y
xy dx dy
x y 3
2
1++= 解：原式可化为：
x x y x x y
x y
x y
y
x
y
c c c c x dx x dy y y
x y
dx
dy 2
2
2
2
22
2
2
3
22
3
2
)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+
•
+
=+）
故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
10ln 1ln ln 1ln 1,0
ln 0
)ln (ln :931:8.
cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin
ln sgn arcsin 1
sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:5332
2
22
2
22
2
22
2
c dx dy dx dy x
y
cy u
d u
u dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x c dy y
y y
y
dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x
y
c x x u dx
x x du x
dx
du dx
du
x u dx dy ux y u x y y dx dy x
c x arctgu dx
x du u u u dx du x u dx
du x
u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e
e x y u
u x
y x u u x y
x
y
y x x
x
+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++
=++-++=++===+-==-++-+--
两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得
两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：
解：令：。

两边积分得：变量分离，得：则令解：
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0
110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
c
x y x arctg c
x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx
dy
c dx dy dx
dy t
t y x e e e e e x y
x
y
y
x +=++==++=+==+=+===+-)(,1
11
1
1,.
112
22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，
12．
2)
(1y x dx dy += 解
c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1
11122
2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则
令
变量分离
，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y
X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'
22,31,313
1
,31;012,0121
212.
132
-+-=
=--=+=-==
-==+-=--+---=
.
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
c x y x c
x t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=
+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则
解：令
15．1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。

，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(1818161222222
16．2
252
622y
x xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y x
xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32
322332322232]2)[(32(2)( 126326322
2
22+-=+-=x
u x u x
xu x u dx du ，这是齐次方程，令
c
x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735
372
233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。

故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。

或）方程的解。

即是（或，得当，，，，所以，则 17. y
y y x x xy x dx dy -+++=3
2
32332
解：原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(22
22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,2
2
-+++===u v u v dv du v x u y 则
方程组，，，）；令，的解为（111101230
132+=-=-⎩⎨
⎧=-+=++u Y v Z u v u v
则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令)2.( (232223322)
，，，，，所以，，则有
t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当
是原方程的解
或的解。

得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当
c x y x y dz z dt t
t t 5
22222
2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得 另外
c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或
，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程
c y x x y dx x du u u u u
x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx
dy y x +==--=
+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=
=+===4
ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.
x ,c
2
故原方程的解为原
也包含在此通解中。

0y ,c 2
即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx
dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)
(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx
du dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2
222
222
2
2
2
2
222
4
22
3
3
222
22222x
y x y x y x y
x u u u
u y
x
19. 已知f(x)
⎰≠=x
x f x dt x f 0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数.
解：设f(x)=y, 则原方程化为⎰=x
y dt x f 0
1
)( 两边求导得'1
2y y
y -= c
x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==
-21
;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入
把c
x y +±
=21⎰
=
x
y
dt x f 0
1
)( x
y c c x c c x c x dt c
t x
21,02)2(;;;;;;;;;;2210
±
==+±=-+±+±=+±⎰
所以得
20.求具有性质 x(t+s)=
)
()(1)
()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=
)0(1)0()0(x x x -+=)
0()0(1)
0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')
()(1[))
(1)((lim )()(lim
22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=∆-∆+∆=∆-∆+) ))(1)(0(')
(2t x x dt
t dx += dt x t x t dx )0(')(1)(2
=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
习题
求下列方程的解 1．
dx
dy
=x y sin + 解： y=e ⎰
dx
(⎰
x sin e ⎰-dx
c dx +)
=e x [-21e x
-(x x cos sin +)+c] =c e x -2
1
(x x cos sin +)是原方程的解。

2．
dt
dx +3x=e t
2 解：原方程可化为：
dt
dx =-3x+e t
2 所以：x=e ⎰-dt
3 (
⎰
e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)
=e
t
3- (
51e t
5+c) =c e t 3-+5
1e t
2 是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +2
1t 2sin
解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 2
1
⎰e dt dt ⎰3c + )
=e
t
sin -(⎰
+c dt te t t
sin cos sin )
= e
t
sin -(c e te
t t
+-sin sin sin )
=1sin sin -+-t ce
t
是原方程的解。

4．
dx dy n x x e y n
x
=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n
x
+=
)(c dx e
x e e
y dx
x n
n x dx
x n
+⎰⎰=⎰-
)(c e x x
n
+= 是原方程的解.
5．
dx dy +1212
--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212
+-y x
x
⎰
=-dx
x x e
y 2
12(c dx e
dx
x x +⎰
-2
21)
)
2
1
(ln 2+=x e
)(1
ln 2⎰+-
-c dx e
x
x
=)1(12
x
ce x + 是原方程的解.
6． dx dy 2
3
4xy x x += 解：dx dy 2
3
4xy
x x += =23y
x +x y
令
x
y
u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +
因此：dx du x u +=2u x
21
u
dx du =
dx du u =2
c x u +=3
3
1
c x x u +=-33 （*） 将
x
y
u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
33
3
2
()2
1
()2
27.
(1)12(1)1
2
(),()(1)1(1)(())
1(1)
dx P x dx x P x dx
dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰
⎰++⎰⎰
P(x)dx
2
3
2
解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23
2
2
1
(1)()
2
11
,()(())
dy
y x c dy y dx x y dx x y dy y y
Q y y y e
y
Q y dy c -+++==+=⎰⎰
==⎰
⎰+⎰⎰2
243P(y)dy
P(y)dy
P(y)dy 1)dx+c)
=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23
3
1
*)
2
2
y dy c y
y cy
y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.
,1
),()(())01a dx P x dx a
x P x dx P x dx a a dy ay x a dx x x
a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==
⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x 当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a
≠a 的通解为
y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为
x 1
y=cx +- 1-
33
31()()()310.11(),()1(())
(*)dx P x dx x P x dx P x dx
dy
x
y x dx dy y x dx x P x Q x x x e e x
e e Q x dx c x x dx c c
x
c
x
--+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++
⎰⎰33解：方程的通解为： y=1 =x
x =4x 方程的通解为：　y=4 ()
()
()
2
2
3333
23
3232332311.
2()2()()2,()2(())
((2)p x xdx
x
p x p x x dy
xy x y dx xy x y dx
xy x y dx
xy x dx
y z
dz
xz x dx
P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰
⎰
==⎰
⎰+-⎰⎰2
3-2
x dy
解：两边除以y dy dy 令方程的通解为： z= =e 2
2
2)1
1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2221
211
1()()222ln 1
12.(ln 2)424
ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())
ln 1(())(P x dx
P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x z dx x x
x P x Q x x x
z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++
=-
=-=-==-==-
⎰
⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())
ln 1424
ln 1
:()1,424
x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。

13
222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y
=--==-
这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以
1
y
， 212
dy y y dx x =- 令2
y z =
2dz dy y dx dx
= 22211dz y z
dx x x
=-=- P(x)=
2
x
Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式
22
()dx dx
x x z e e dx c -⎰⎰=-+⎰
=2
x x c +
22y x x c =+
14 23y dy e x dx x
+= 两边同乘以y
e 22
()3y y
y
dy e xe e dx x += 令y
e z =
y
dz dy
e dx dx
= 22
2233dz z xz z z dx x x x
+==+ 这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以2
z
22
131dz z dx xz x =+ 令1
T z
= 21dT dz dx z dx =- 231
dT T dx x x
-=+
P （x ）=3x - Q(x)=21
x
-
由一阶线性方程的求解公式
3321()dx dx x x
T e e dx c x
--⎰⎰=+⎰
=3
2
1()2
x x c --+ =1
312x cx ---
+ 131
()12z x cx ---+=
131
()12y e x cx ---+=
231
2y y x e ce x -+= 2
312
y x x e c -+= 15
331dy dx xy x y =+
33dx
yx y x dy
=+
这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以3
x
3
32
1dx y y x dy x
=+ 令2
x
z -=
32dz dx x dy dy
-=-
3222dz y
y dy x
=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy
ydy
z e y e dy c ---⎰
⎰=-+⎰
=2
2
3(2)y y e
y e dy c --+⎰
=2
21y y ce --++
2
22(1)1y x y ce --++= 2
2
2
22
(1)y y y x e y ce
e --++=
2
2222(1)y e x x y cx -+=
16 y=x
e +
()x
y t dt ⎰
()x dy
e y x dx =+ x dy
y e dx
=+ P(x)=1 Q(x)=x
e 由一阶线性方程的求解公式
11()dx dx
x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰
=()x
x x
e e e dx c -+⎰
=()x
e x c +
()()x
x x x e x c e e x c dx +=++⎰
c=1 y=()x
e x c +
17 设函数ϕ(t)于-∞<t<+∞上连续，'
ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)
试求此函数。

令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2
(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ= （1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ=
(t ∀∈-∞,+∞)
(2) 当(0)1ϕ=时 '
()()
()lim
t t t t t t
ϕϕϕ∆→+∆-=
∆=
()()()
lim
t t t t t
ϕϕϕ∆→∆-∆
=
0()(()1)
lim
t t t t
ϕϕ∆→∆-∆=
(0)(0)
()lim
t t t t
ϕϕϕ∆→∆+-∆
='
(0)()t ϕϕ
于是
'(0)()d t dt
ϕ
ϕϕ= 变量分离得'(0)d dt ϕϕϕ= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0
ce ⇒c=1 故'
(0)()t t e ϕϕ=
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（）之解；
（2）若()y y x =是（）的非零解，而()y y x =是（）的解，则方程（）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.
（3）方程（）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（）的解. 证明：
()()dy
P x y Q x dx =+ （） ()dy
P x y dx
= （）
（1）
设1y ，2y 是（）的任意两个解 则
1
1()()dy P x y Q x dx =+ （1） 2
2()()dy P x y Q x dx
=+ （2） （1）-（2）得
()
1212()()d y y P x y y dx
-=-
即12y y y =-是满足方程（） 所以，命题成立。

（2）
由题意得：
()
()dy x P x y dx
= （3） ()
()()()d y x P x y x Q x dx
=+ （4） 1）先证y cy y =+是（）的一个解。

于是 ()()34c ⨯+ 得
()()()cdy d y
cP x y P x y Q x dx dx
+=++ ()
()()()d cy y P x cy y Q x dx
+=++ 故y cy y =+是（）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +的形式 设1y 是的一个解 则
1
1()()dy P x y Q x dx
=+ （4’） 于是 （4’）-（4）得
11()
()()d y y P x y y dx
-=- 从而 ()1P x dx
y y ce cy ⎰
-==
即 1y y cy =+ 所以，命题成立。

（3）
设3y ，4y 是（）的任意两个解 则
3
3()dy P x y dx
= （5）
44()dy P x y dx
= （6） 于是（5）c ⨯得 33()cdy cP x y dx
= 即 33()()()d cy P x cy dx
= 其中c 为任意常数 也就是3y cy =满足方程（）
（5）±（6）得
3434()()dy dy P x y P x y dx dx
±=± 即 3434()()()d y y P x y y dx ±=± 也就是34y y y =±满足方程（）
所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

（5）
曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；
解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为
'()Y y y X x -=- 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'
y x y xy y -- 即 横截距为 '
y x y -， 纵截距为 'y xy -。

由题意得：
（5） 2
'y xy x -=
方程变形为 2dy x
y x dx
=- 1dy y x dx x =- 于是 11
()(())dx dx x x y e x e dx c -⎰⎰=-+⎰
ln ln (())x x e x e dx c -=-+⎰ 1(())x x x dx c -=-+⎰ 1(())x x dx c x
=-+⎰ ()x x c =-+
2x cx =-+
所以，方程的通解为2y x cx =-+。

（6）'2x y y xy +-=
方程变形为 22
dy y x x
dx =- 1122dy y dx x =- 于是 11
()221(())2
dx dx x x y e e dx c -⎰⎰=-+⎰ 11
ln ln 221(())2x x e e dx c -=-+⎰ 11221(())2x x
dx c -=-+⎰ 11221(())2
x x dx c -=-+⎰ 1122()x x c =-+
12x cx =-+
所以，方程的通解为12y x cx =-+。

22．求解下列方程。

（1）0')1(2=+--xy y x
解：1111'22----=x y x xy y )11(12122⎰+⎰--⎰=---c e x e y dx x x
dx x x
=]/
1/111[/1/2122212c dx x x x +---
-⎰ =]/
1/[/1/23
221
2c x dx x +---⎰ =c x x +-/1/2
（2） '3
sin cos sin 0y x x y x --= 2sin sin cos cos dy y x dx x x x
=+ P(x)=1sin cos x x Q(x)=2sin cos x x 由一阶线性方程的求解公式
112sin cos sin cos sin ()cos dx dx x x x x x y e e dx c x
-⎰⎰=+⎰ =
sin (sin )cos x xdx c x +⎰
=sin (cos )cos x x c x -+ =sin tgxc x -
习题
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1. 0)2()(2=-++dy y x dx y x
解： 1=∂∂y M ，x
N ∂∂=1 . 则x
N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程。

凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x
得 ：C y xy x =-+233
1
2． 0)4()3(2=---dy x y dx x y
解： 1=∂∂y M ，1=∂∂x
N . 则x
N y M ∂∂=∂∂ . 所以此方程为恰当方程。

凑微分，0432
=--+ydy dx x xdy ydx
得 C y xy x =+-232 3． 0])(1[]1)([22
22=--+--dy y x x y dx x
y x y 解： 3422)
(2)()1)((2)(2y x xy y x y x y y x y y M -=-----=∂∂ 3
422)(2)()(2)(2y x xy y x y x x y x x x N -=-----=∂∂ 则y
N x M ∂∂=∂∂ . 因此此方程是恰当方程。

x
y x y x u 1)(22--=∂∂ （1） 22
)
(1y x x y y u --=∂∂ （2） 对（1）做x 的积分，则)(1)(2
2y dx x dx y x y u ϕ+--=⎰⎰ =---y
x y 2
)(ln y x ϕ+ （3） 对（3）做y 的积分，则dy y d y x y y x y y u )()(2)()1(2
2ϕ+--+---=∂∂ =dy y d y x y xy )()
(222ϕ+-+-
=2
2
)(1y x x y -- 则11)
(21)(2)(1)(2222222-=-+--=-----=y y x y xy x y y x xy y y x x y dy y d ϕ y y dy y y -=-=⎰ln )11()(ϕ
y
x xy x y y x y xy y x y y y x y x y u --=--+-=-+---=ln ln ln ln 222 故此方程的通解为C y
x xy x y =-+ln 4、 0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy
解： xy y M 12=∂∂，xy x
N 12=∂∂ . x
N y M ∂∂=∂∂ . 则此方程为恰当方程。

凑微分，036462
232=+++dy y ydy x dx x dx xy 0)()()(33422=++x d x d y x d
得 ：C y y x x =++32243 5.(y 1sin y x -2x y cos x y +1)dx+(x 1 cos x y -2y
x sin y x +21y )dy=0 解： M=
y 1sin y x -2x y cos x y +1 N=x 1 cos x y -2y x sin y x +21y y M ∂∂=-21y sin y x -3y x cos y x -21x cos x y +3x y sin x
y x N ∂∂=-21y sin y x -3y x cos y x -21x cos x y +3x y sin x
y 所以，y M ∂∂=x
N ∂∂，故原方程为恰当方程
因为y 1sin y x dx-2x
y cos x y dx+dx+x 1 cos x y dy-2y x sin y x dy+21y dy=0 d(-cos y x )+d (sin x
y )+dx+d(-y 1)=0 所以，d(sin x
y -cos y x +x -y 1)=0 故所求的解为sin
x y -cos y x +x -y 1=C 求下列方程的解：
6．2x(y 2x e -1)dx+2x e dy=0 解：y M ∂∂= 2x 2x e , x
N ∂∂=2x 2x e 所以，y M ∂∂=x
N ∂∂，故原方程为恰当方程 又2xy 2x e dx-2xdx+2x e dy=0
所以，d(y 2x e -x 2)=0
故所求的解为y 2x e -x 2=C
7.(e x +3y 2)dx+2xydy=0
解：e x dx+3y 2dx+2xydy=0
e x x 2dx+3x 2y 2dx+2x 3ydy=0
所以，d e x ( x 2-2x+2)+d( x 3y 2)=0
即d [e x ( x 2-2x+2)+ x 3y 2]=0
故方程的解为e x ( x 2-2x+2)+ x 3y 2
=C
8. 2xydx+( x 2+1)dy=0
解：2xydx+ x 2dy+dy=0
d( x 2y)+dy=0
即d(x 2y+y)=0
故方程的解为x 2y+y=C
9、()dx y x xdy ydx 22+=-
解：两边同除以 22y x + 得dx y
x xdy ydx =+-22 即，dx y x arctg d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
故方程的通解为c x y x tg +=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛arg 10、()03=+-dy y x ydx 解：方程可化为：ydy y xdy ydx =-2
即， ydy y x d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 故方程的通解为：
c y y x +=221 即：()c y y x +=22 同时，y=0也是方程的解。

11、()01=+--xdy dx xy y
解：方程可化为：()dx xy xdy ydx +=+1
()()dx xy xy d +=1 即：()dx xy
xy d =+1 故方程的通解为：c x xy +=+1ln
12、()02=--xdy dx x y 解：方程可化为：dx x
xdy ydx =-2 dx x y d =⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 故方程的通解为 ：x c x
y -= 即：()x c x y -=
13、()02=++xdy dx y x
解：这里x N y x M =+=,2 ，x N
y M ∂∂≠∂∂
x N x
N
y M
1
=∂∂-∂∂ 方程有积分因子x e dx x =⎰=1
μ
两边乘以μ得：方程()022=++dy x dx y x x 是恰当方程
故方程的通解为：()()c dy
dx xy x y x dx xy x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+∂∂-++⎰⎰⎰22222
c y x x =+33
3
即：c y x x =+233
14、()()[]()0cos sin cos =+++++dy y x x dx y x y x x
解：这里()()()y x x N y x y x x M +=+++=cos ,sin cos 因为()()y x x y x x N
y M
+-+=∂∂=∂∂sin cos
故方程的通解为：
()()[]()()()[]c
dy dx y x y x x y y x x dx y x y x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∂∂
-+++++⎰⎰⎰sin cos cos sin cos 即：
()c y x x =+sin
15、()()o dy x x x y dx x x x y =+++cos sin sin cos
解：这里x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-= x N
y M ∂∂≠∂∂
1=-∂∂-∂∂M x
N
y M
方程有积分因子：y dy e e =⎰=μ 两边乘以μ得：
方程()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y e dx x x x y e y y 为恰当方程
故通解为 ：()()c dy
dx x x x y e y N dx x x x y e y y =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-∂∂
-+-⎰⎰⎰sin cos sin cos
即：()c x e y x e y
y =+-cos 1sin 16、()()053243
=+++xdy ydx y xdy ydx x 解：两边同乘以y x 2
得： ()(
)0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x
()()
05324=+y x d y x d 故方程的通解为：c y x y x =+5324
17、试导出方程0),(),(=+dy Y X N dx Y X M 具有形为)(xy μ和)(y x +μ的积分因子的充要条件。

解：若方程具有)(y x +μ为积分因子， x
N y M ∂∂=∂∂)()(μμ （)(y x +μ是连续可导） x
N x N y M y M ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂μμμμ )(x N y M x N y M
∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂μμμ )1( 令 y x z +=
dz
d x z dz d x μμμ=∂∂⋅=∂∂，dz d y μμ=∂∂ . )(y
M x N dz d N dz d M ∂∂-∂∂=-μμμ， )()
(y M x N dz d N M ∂∂-∂∂=-μμ ， N
M y M x N d -∂∂-∂∂=μμ ， dz y x dz )(+=ϕ 方程有积分因子)(y x +μ的充要条件是：N
M y M x N -∂∂-∂∂是y x +的函数， 此时，积分因子为⎰=+dz z e y x )()(ϕμ .
)2( 令y x z ⋅=
dz
d y x z dz d x μμμ=∂∂⋅=∂∂ ，dz d x y z dz d y μμμ⋅=∂∂⋅=∂∂ )(y
M x N dz d Ny dz d Mx ∂∂-∂∂=-μμμ )()
(y M x N dz d Ny Mx ∂∂-∂∂=-μμ Ny
Mx y M x N d -∂∂-∂∂=μμ 此时的积分因子为⎰=-∂∂-∂∂dz Ny Mx y M x N e
xy )(μ 18. 设),(y x f 及y
f ∂∂连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()(x Q y x P dx
dy += , 此方程有积分因子⎰=-dx x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 .
充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ .
则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程 , 从而dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)
()(x x y f μμ'-=∂∂ , )()()()
()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰μμμμ . 其中)()()(x x x P μμ'-
= .于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy 即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1-
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
则y uyf ∂∂=uf+uy y f ∂∂+yf y u ∂∂=)(g f xy f -+)(g f xy y f y
-∂∂-yf 222)()(g f y x y g xy y f xy g f x -∂∂+∂∂+- =2)(g f xy y f gy y g yf
-∂∂-∂∂=2)(g f x y xy xy f g y xy xy g f -∂∂∂∂-∂∂∂∂ =2)
(g f xy f g xy g f
-∂∂-∂∂ 而x uxg ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g -+)
(g f xy x g x -∂∂- xg 222)()(g f y x x g xy x f xy g f y -∂∂-∂∂+- =2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf
-∂∂∂∂-∂∂∂∂=2)
(g f xy f g xy g f -∂∂-∂∂ 故y uyf ∂∂=x
uxg ∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系
x N y M ∂∂-∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（）
有积分因子u=exp(⎰dx x f )(+⎰dy y g )()
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔u y M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N x
u ∂∂⇔ u(y M ∂∂-x N ∂∂)=N x
u ∂∂- M y u ∂∂⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=Ne ⎰⎰+dy y g dx x f )()(f(x) -M e ⎰⎰+dy y g dx x f )()(g(y)⇔u(
y M ∂∂-x N ∂∂)=e ⎰⎰+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为：()();,o y y x Q y x P dx
dy n ≠+=
两边同乘以n y -，令n y z -=，
()()()(),11x Q n z x P n dx
dz -+-=线性方程有积分因子： ()()()()dx x P n dx x P n e e ⎰
=⎰=---11μ，故原方程的积分因子为： ()()()()dx x P n dx x P n e e ⎰
=⎰=---11μ，证毕！ 23、设()y x ,μ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子，从而求得可微函数()y x U ,，
使得().Ndy Mdx dU +=μ试证()y x ,~μ
也是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是()(),,~U y x μϕμ
=其中()t ϕ是t 的可微函数。

证明：若()u μϕμ=~，则()()()()()()()()()N u M u y
M y u M u y M y M u y M μϕμϕμμϕμϕμμϕμ'+∂∂=∂∂'+∂∂=∂∂=∂∂~ 又()()()()()()()()()()y
M M u N u y M M u N u x N x N u x N ∂∂='+∂∂='+∂∂=∂∂=∂∂μμϕμϕμμϕμϕμμϕμ~~ 即μ
~为()()0,,=+dy y x N dx y x M 的一个积分因子。

24、设()()y x y x ,,,21μμ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的两个积分因子，且≠21μμ常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的通解。

证明：因为21,μμ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子
所以o Ndy Mdx i i =+μμ ()2,1=i 为恰当方程
即 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂x N y M y M x N i i i μμμ，2,1=i 下面只需证2
1μμ的全微分沿方程恒为零 事实上：
021212212221122222212122
222111221=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x N y M x N y M N dx y M x N y M x N N dx dx y N M dx x dx y N M dx x dy y dx x dy y dx x d μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ 即当
c ≠21μμ时，c =2
1μμ是方程的解。

证毕！
习题
求解下列方程
1、y y x '+='13 解：令t p y dx dy 1=='=，则23311t t t t x +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=， 从而()
()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰223231223， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩
⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 22322
3. 2、()013
3='--'y x y 解：令tx p y dx
dy =='=，则()()0133=--tx x tx ，即t t t t x 1123-=-=， 从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+=⎰⎰1122 ()c dt t t t
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎰2412
c t
t t ++-=1215225， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t t x 121521252.
3、y e y y ''=2 解：令p y dx
dy ='=，则p e p y 2=， 从而()
c e p
d p x p +=⎰21 ()
c dp e p pe p p p ++=⎰221 =()⎰++c dp pe e p p 2
()c e p p ++=1，
于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p p e
y y c e p x 21, 另外，y=0也是方程的解.
4、()a y y 212='
+, a 为常数 解：令ϕtg y dx
dy ='=，则ϕϕϕ222cos 2sec 212a a tg a y ==+=， 从而()
c a
d tg c dy p x +=+=⎰⎰ϕϕ2cos 211 c a
c d a ++-=+-=⎰⎰22cos 14cos 42ϕϕϕ
()c a ++-=ϕϕ2sin 2， 于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++-=ϕ
ϕϕ2cos 22sin 2a y c a x . 5、='+22y x 1 解：令t p y dx
dy cos =='=，则t t x sin cos 12=-=， 从而()c t td y +=⎰
sin cos
c dt t c tdt ++=
+=⎰⎰22cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4
121， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩
⎪⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin . 6、()()2221y y y '-=-'
解：令yt y ='-2，则11-='-yt y ，得t t y 1
+=， 所以()()
dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-='=-， 从而c t
c dt t x +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰112， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11， 因此方程的通解为c x c
x y -+-=
1.
习题
2．ydy x xdy ydx 2=-
解：两边同除以2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=22
1 即c y x y =+22
1 4．xy
x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得
x y
x y dx dy -=1
令
u x
y = 则dx du x u dx dy += 即dx du x u dx dy +=u
u -=1 得到()2ln 2
11y c u -=， 即2ln 21⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。

6．()01=-+xdy ydx xy
解：0=+-xydx xdy ydx xdx y xdy ydx -=-2
得到c x y x d +-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛221 即c x y x =+22
1 另外0=y 也是方程的解。

8.3
2
x y x y dx dy += 解：令u x
y = 则：21u x
u dx du x u dx dy +=+= 即21u x
dx du x = 得到22x
dx u du =
故c x u +-=-1
1
即21
1
x x c
y +=
另外0=y 也是方程的解。

10． 2
1⎪⎭⎫
⎝⎛+=dx dy dx dy
x
解：令p dx dy
=
即p p x 2
1+=
而p dx dy
=故两边积分得到 c p p y +-=ln 21
2
因此原方程的解为p p x 2
1+=，
c p p y +-=ln 212。

12.x
y xe dx dy e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1
解：y
x xe dx dy +=+1
令 u y x =+
则 dx du
dx dy =+1 11-=-=u
xe dx du dx dy
即xdx e du
u = c x e u +=--2
21
故方程的解为 c x e y x =++221
14．1++=y x dx dy
解： 令u y x =++1
则dx du
dx dy =+1
那么
u dx
du dx dy =-=1 dx u du =+1 求得： ()c x u +=+1ln
故方程的解为()c x y x +=++1ln
或可写 为x ce y x =++1
16．()y e dx
dy x -=++211 解：令u e y =- 则u y ln -=
()1211-=+-u dx
du u x ()dx x du u u 1
1121+-=- c x u u ++=-`
1112 即方程的解为()c x y x e
y +=+2 18．()
0124322=-+dy y x dx y x
解： 将方程变形后得 1
2432
2-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y
x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232
412y y x dy dx x -= 令3x z = 则24323y
y z dy dz -= 2322
3cy y z += 即原方程的解为23
2323cy y x += (04)(2)2=+-x dx
dy y dx dy
解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dx
dy x dx dy x y x dx dy x dx dy +=+= 令
[]
[]c e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dx dy x e dx
dy c x y x arctg xdx y x darctg xdx y
x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y y y x dy y
y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y y
x y d y x d dy y x y dx xy y e y
xy x xy x N y M x x N x y M dy x y xydx dy y
x y dx y x c ye x c e y
x y c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dz y z dy dx yz x z y x dy y
x e dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c
c x c x x c x x y c
x p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p
x x dx p p dx dp p x x p p dx
dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t t t dx dy dy y y x y x z z z z z
z z z z z z z z y x y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-
++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂
∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----2
)1(,0.25.2,0
)(.240),()111,1,)1(0
)1(.23101,0)3(24282,6,20
)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,
0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22
2
222222
2222
22322323242234
42242
2322222222222222
222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也是解。

得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则。