山西省汾阳中学校高三数学上学期入学调研考试试题 理

2019届高三入学调研考试卷
理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．复数2
2i 1i ⎛⎫
⎪+⎝⎭
等于（ ）
A ．4i
B ．4i -
C ．2i
D ．2i -
【答案】C
【解析】()
2
22
2i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫
=== ⎪+⎝⎭+，故选C ．
2．已知集合{|A x y =，{}0,1,2,3,4B =，则A B =（ ）
A ．∅
B ．{}0,1,2
C ．{}0,1,2,3
D ．(]
{},34-∞
【答案】C
【解析】集合{{}||3A x y x x ==≤，{}0,1,2,3,4B =， ∴{}0,1,2,3A
B =，故选
C ．
3．函数lncos 2
2y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π
⎪⎭的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由题得()()()ln cos ln cos f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数， 所以图像关于y 轴对称，所以排除A ，C ．由题得1ln 032f π⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，所以D 错误，
故答案为B ．
4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．1
C ．12
-
D ．
12
【答案】D
【解析】1
cos602
⋅=︒⋅=a b a b ，
则向量-a b 在向量a 方向上的投影为：()2
1cos 2
ϕ-⋅-⋅-==
=
a a
b a b a
a b a
a
． 故选D ．
5．已知双曲线22
1(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，
则双曲线的标准方程为（ ） A ．22124x y -=
B ．22148x y -=
C ．22
18
y x -=
D ．22128
x y -=
【答案】D
【解析】双曲线22
1(0)6
x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，
可得2m =，则双曲线的标准方程是22
128
x y -=．故选D ．
6．在ABC △中，1a =，b =6
A π
=，则角B 等于（ ）
A ．
3π或23
π B ．
23
π
C ．
3
π D ．
4
π 【答案】A
【解析】∵1a =
，b =6A π=
，∴由正弦定理得：sin sin a b A B
=．
则1
sin 2sin 1b A
B a
=
== 又∵0B <<π，b a >，∴3B =
π或23
π
．故选A ． 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入64x =，则输出的结果为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】输入64x =，1i =，640x =>，21
log 6432
x ==，112i =+=；
30x =>，21log 32
x =，213i =+=；
21log 302x =>
，221
log (log 2x =，314i =+=；
221
log (log 02
x =<，结束运算，输出4i =，故选C ．
8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ） A ．
435
B ．
635
C ．
1235
D ．
36
343
【答案】C
【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为
2134
37
C C 12
35
C =
．故答案为C ． 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与1BB 所成的角为30︒， 则1AA =（ ） A
B ．3 C
D
【答案】D
【解析】如图所示，连接11A C ，
∵11B B A A ∥，∴11A AC ∠是异面直线1AC 与1BB 所成的角，即1130A AC ∠=︒，
在111Rt A B C △
中，11AC =，
在11Rt A AC △中，有11
1
tan30A C AA =︒，
即11
1tan30A C AA =
=︒
D ．
10．将函数(
))cos
2sin 0222x x x f x ωωωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ω
π个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】函数(
))cos
2sin 0222x x x f x ωωωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭
sin sin 2sin 3x x x x ωωωωπ⎛
⎫=-==- ⎪⎝
⎭，
()f x 的图象向左平移
3ωπ
个单位，得2sin 33y x ωωππ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象，
∴函数()2sin y g x x ω==；
又()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，∴44T π≥，即244ωππ≥，解得2ω≤，
所以ω的最大值为2．故选B ．
11．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图像关于1x =对称，且()02f =，则()()20172018f f +=（ ） A ．0 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】因为()1y f x =-的图像关于1x =对称， 所以()y f x =的图像关于0x =对称，即()f x 为偶函数， 因为()()()221f x f x f +-=，
所以()()()12121f f f -+--=，所以()10f =，()()2f x f x +=，
因此()()201710f f ==，()()201802f f ==，()()201720182f f +=，故选B ．
12．设F ，B 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直
线b
y x a
=与椭圆在第一象限内的交点，
若()
FO FC BO BC λ+=+，则椭圆的离心率是（ ）
A B C ．
221
3
- D 1
【答案】A 【解析】
根据()
FO FC BO BC λ+=+，由平面向量加法法则， 则有BF 为平行四边形FOBC 的对角线，故BFO BFC S S =△△，
联立椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>、直线b
y x a =方程，
可得C ，∵BFO BFC S S =△△，则2BOFC BOF S S bc ==△，
1122BOFC BOC OFC S S S b c bc =+==△△，
可得()
1a c =
，∴c e a =A ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________． 【答案】530x y +-=．
【解析】5e 2x y =+﹣的导数55e x y '=﹣﹣
， 则在0x =处的切线斜率为05e 5-=-，切点为()0,3， 则在0x =处的切线方程为53y x =-+，即为530x y +-=． 故答案为530x y +-=．
14．若变量x ，y 满足约束条件25
34x y x y +≥≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩，则z x y =+的取值范围是__________．
【答案】[]1,7
【解析】作出不等式组2534x y x y +≥≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩
对应的平面区域如图所示阴影部分ABC △；
由z x y =+得y x z =-+，即直线的截距最大，z 也最大；
平移直线y x z =-+，可得直线y x z =-+经过点()3,4C 时，截距最大，此时z 最大， 即347z =+=；经过点A 时，截距最小，由=4 2=5y x y ⎧⎨
⎩+，得3
=4x y -⎧⎨⎩
=， 即()3,4A -，此时z 最小，为341z =-+=； 即z 的取值范围是[]1,7，故答案为[]1,7．
15．已知()0,α∈π，tan 2α=，则cos2cos αα+=__________．
【解析】∵()0,α∈π，tan 2α=，∴0,2απ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
则2222sin 1cos 44cos cos αααα
-=⇔=
，解得cos α=
．
∴21cos2cos 2cos 1cos 215αααα+=-+=⨯-+
． 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等
腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤
⎥⎣
⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．
【答案】28,203π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
【解析】四棱锥S ABCD -中，
可得：AD SA ⊥；AD AB AD ⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ， 过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ， 设SAB θ∠=，故18
sin 33S ABCD ABCD V S SO θ-=⋅=，
所以sin 1θ⎤∈⎥⎣⎦
，211cos 3322θθππ⎡⎤
⇒∈⇒-≤≤⎢⎥⎣⎦,，
在SAB △中，2SA AB ==，则有，SB =
所以SAB △的外接圆半径2sin SB r θ=
， 将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱，
得外接球的半径R =224411cos S R θ⎛⎫
⇒=π=π+
⎪+⎝⎭， 所以28203S π⎡⎤
∈π⎢⎥⎣⎦,． 故答案为28,203π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列；
（2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵37a =，3222a a =-，∴23a =，∴121n n a a -=+， ∴11a =，
()111122
2211
n n n n a a n a a ---++==≥++，
∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，12n n a +=，∴21n n a =-， ∴1
1222212
n n n S n n ++-=-=---，
∴()
12222210n n n n n S a n n ++-=+----=∴2n n n S a +=， 即n ，n a ，n S 成等差数列．
18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：
（1）可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗？如果能，请求出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（2）公司决定再采购A ，B 两款车扩大市场，A ，B 两款车各100辆的资料如表：
平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？ 参考数据：
()
6
2
1
17.5i i x x =-=∑，
()()61
35i i i x x y y =--=∑，()6
2
1
76i i y y =-=∑
36.5≈．
参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y y r --∑
回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 【答案】（1）ˆ29y x =+；（2）见解析．
【解析】（1）∵
()
6
2
1
17.5i
i x x =-=∑，
()()61
35i
i
i x x y y =--=∑，()
6
2
1
76i
i y y =-=∑
36.5≈．
∴()()
35
0.9636.5
n
i
i
x x y y r --=
=
=
≈∑， 所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
()()
()
1
2
1
35
217ˆ.5
n
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑， 又123456 3.56x +++++=
=，111316152021
166
y +++++==，
∴16ˆ59ˆ2 3.a
y bx =-=-⨯=，∴回归直线方程为ˆ29y x =+． （2）用频率估计概率，A 款车的利润X 的分布列为：
∴()()5000.100.35000.410000.2350E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．
B 款车的利润Y 的分布列为：
∴()()3000.152000.47000.3512000.1400E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．
以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择B 款车型．
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，
2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．
（1）证明：BE PD ⊥；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2
． 【解析】（1）依题意，以点A 为原点，以AB 、AD 、AP 为轴建立空间直角坐标系如图，可得
()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ， 由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ． 向量()0,1,1BE =，()0,2,2PD =-， 故0BE PD =⋅，BE PD ⊥．
（2）()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =， 由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ≤≤， 故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--， 由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=， 因此()()2122220λλ-+-=，34λ=
，即113,,222BF ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
， 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量，则110
0AB BF ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n ，即0113
0222
x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量 取平面ABD 的法向量()20,0,1=n
，则121212cos ⋅=
==⋅n n n ,n n n
所以二面角F AB D --
．
20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()10B ,，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴．
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于
M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．
【答案】（1）()240y x x =≠；（2）
23
π
． 【解析】（1）设点C 的坐标为()x y ,，
则BC 的中点D 的坐标为122x y +⎛⎫
⎪⎝⎭,，点A 的坐标为02y ⎛⎫
⎪⎝⎭,． 12y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,，2y AC x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,，
由AB AC ⊥，得2
04
y AB AC x ⋅=-=，即24y x =，
经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去． 所以轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．
（2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+， 点C 、E 的坐标分别为()11x y ,、()22x y ,，圆心P 的坐标为()00x y ,．
由241
y x x my ==+⎧⎪⎨⎪⎩，可得2440y my --=， ∴124y y m +=，124y y =-．
∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴212
0212
x x x m +==+． ∴圆P 的半径()()
2212111
24422222
r CE x x m m =
=++=+=+． 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2
MPQ α
∠=
．
在Rt PQM △中，2022211cos 122222
PQ
x m r r m m α
+====-++，
当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos 2
α
取得最小值为
12，2α取得最大值为3
π， 所以α的最大值为
23
π． 21．（12分）已知函数()2x f x e ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；
（2）若()f x 在()0+∞,有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）2e 4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
,．
【解析】（1）证明：当1a =时，函数()2x f x e x =-．则()'2x f x e x =-， 令()2x g x e x =-，则()'2x g x e =-，令()'0g x =，得ln2x =． 当()0,ln2x ∈时，()'0g x <，当()ln2,x ∈+∞时，()'0g x > ∴()f x 在[)0,+∞单调递增，∴()()01f x f ≥=．
（2）解：()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根，
2x
e a x
⇔=在()0,+∞有两个根，
即函数y a =与()2x
e G x x
=的图像在()0,+∞有两个交点．()()3
e 2'x x G x x -=， 当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递增 当()2x ∈+∞,时，()'0G x >，()G x 在()2+∞,递增 所以()G x 最小值为()2
e 24
G =，
当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞， ∴()f x 在()0,+∞有两个零点时，的取值范围是2e 4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
,．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2ααπ⎛
⎫≠ ⎪⎝
⎭的直线l 的参数方程为
()1cos sin x t t y t α
α⎧⎨
+=⎩
=为参数．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=．
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点()1,0P ．若点M 的极坐标为12π⎛⎫
⎪⎝⎭
,，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B
两点，求A ，B 两点间的距离AB 的值． 【答案】（1）见解析；（2）8．
【解析】（1）():tan 1l y x α=-； 曲线C 的直角坐标方程为24x y =；
（2）∵M 的极坐标为12π⎛⎫
⎪⎝⎭
,，∴点M 的直角坐标为()01,
． ∴tan 1α=-，直线的倾斜角34
απ
=
． ∴直线l
的参数方程为()12
x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==为参数．
代入24x y =
，得220t -+=．
设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t
，则12
122
t t t t ⎧⎪⎨⋅==⎪⎩+， ∴
128AB t t =-．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()1f x x =+
（1）求不等式()211f x x <+-的解集；
（2）关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()(),11,A =-∞-+∞；
（2）()1,+∞． 【解析】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<，
当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，所以1x <-； 当1
12x -≤≤-，不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-，无解；
当1
2
x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，所以1x >
综上所述，()(),11,A =-∞-+∞．
（2）因为()()()()2312121f x f x x x x x -+-=-+-≥---=， 且()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，
所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞．。