2020年高考数学(理)二轮专题学与练 16 圆锥曲线的综合应用(高考押题)(原卷版)

高考押题专练
1．已知F 1，F 2是椭圆x 24
＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( ) A ．－2 B ．1
C ．2
D ．4
2．已知椭圆x 225＋y 216
＝1内有两点A (1，3)，B (3，0)，P 为椭圆上一点，则|P A |＋|PB |的最大值为( ) A ．3 B ．4
C ．5
D ．15
3．过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22
－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2＞0，则k 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭
⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭
⎫－22，22 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 4．椭圆C ：x 23＋y 2m
＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[1，3)
C ．(0，3)
D ．(0，1]
5．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( )
A ．(0，1)
B ．(0，2)
C ．(2，0)
D ．(1，0)
6．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．
7．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →
的最小值为________．
8．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足
分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．
9．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P ⎝
⎛⎭⎫1，32在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；
(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围．
10．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .
(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；
(2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →
|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由． 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22
，点Q ⎝⎛⎭⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．
10.设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
11.已知椭圆C ：x 24
＋y 2＝1，点O 是坐标原点，点P 是椭圆C 上任意一点，且点M 满足OM →＝λOP →(λ＞1，λ是常数)．当点P 在椭圆C 上运动时，点M 形成的曲线为C λ.
(1)求曲线C λ的轨迹方程；
(2)直线l 是椭圆C 在点P 处的切线，与曲线C λ的交点为A ，B 两点，探究△OAB 的面积是否为定值．若是，求△OAB 的面积，若不是，请说明理由．
12．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1－y 2的值及直线AB 的斜率．
13．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (1，32
)在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆E 的方程；
(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |
成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
14．设M ，N ，T 是椭圆x 216＋y 212
＝1上的三个点，M ，N 在直线x ＝8上的射影分别为M 1，N 1. (1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；
(2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 的坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 的面积之比为5∶1，求MN 中点K 的轨迹方程．
15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)． (1)求椭圆的方程；
(2)过P 点作两条互相垂直的直线P A ，PB ，交椭圆于A ，B ，求证：直线AB 经过定点．
16．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
22
，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14
，直线BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
17．如图，已知椭圆C ：x 24
＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .
(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；
(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22
.
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP ―→＝2PB ―→，求△AOB 的面积．
19．已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点⎝⎛⎭⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．
20．已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝12
x 相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .
(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；
(2)是否存在实数k 使NA ―→·NB ―→＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．。