2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理

江西理科
1.(2012江西,理1)若集合A ={-1,1},B ={0,2},则集合{z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }中的元素的个数为( ). A.5
B.4
C.3
D.2
C 由已知,得{z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }={-1,1,3},
所以集合{z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }中的元素的个数为3.
2.(2012江西,理2)下列函数中,与函数y
( ).
A.y =1sin x
B.y =ln x x
C.y =x e x
D.y =sin x x
D 因为y
{x |x ≠0},
而y =1sin x
的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z },y=x x
ln 的定义域为{x |x >0},y =xe x 的定义域为R ,y=x x
sin 的定
义域为{x |x ≠0},故D 项正确.
3.(2012江西,理3)若函数f(x)=21,x 1,x,x 1,
x lg ⎧+≤⎨
>⎩则f(f(10))=( ). A .lg 101
B .2
C .1
D .0
B ∵f(10)=lg 10=1,
∴f(f(10))=f(1)=12+1=2.
4.(2012江西,理4)若tan θ+1θ
tan =4,则sin 2θ=( ).
A .15
B .14
C .13
D .12
D ∵tan θ+1θ
tan =4,
∴θθ
sin cos +θθ
cos sin =4.
∴22
θθθθ
sin cos cos sin +=4,即
22θ
sin =4. ∴sin 2θ=12
.
5.(2012江西,理5)下列命题中,假命题为( ). A .存在四边相等的四边形不．
是正方形 B .z 1,z 2∈C ,z 1+z 2为实数的充分必要条件是z 1,z 2互为共轭复数 C .若x,y ∈R ,且x+y>2,则x,y 至少有一个大于1
D .对于任意n ∈N +,0n C +1n C +…+n n C 都是偶数
B 选项A 中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项A 为真命题;选项B 中,z 1,z 2∈
C ,“z 1+z 2为实数”⇐“z 1,z 2互为共轭复数”,但“z 1+z 2为实数”“z 1,z 2互为共轭复数”,故选项B 为假命题;选项C
中,假设x,y 均小于等于1,则x+y ≤2,这与x+y>2相矛盾,故选项C 为真命题;选项D 中,0n C +1
n C +2
n C +…+n n C =2n ,显然2n 是偶数,故选项D 为真命题.
6.(2012江西,理6)观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( ). A .28 B .76 C .123 D .199
C 利用归纳
法:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5=7+4=11,a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9+b 9=47+29=76,a 10+b 10=76+47=123.
规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
7.(2012江西,理7)在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则
222
|PA ||PB ||PC |+=( ).
A .2
B .4
C .5
D .10
D (用向量法)将△ABC 的各边均赋予向量,
则22
2
|PA ||PB ||PC |+=2
2
2
PA PB PC
+
=22
2
(PC CA)(PC CB)PC
+++
=2
22
22PC 2PC?
CA 2PC?CB CA CB PC
++++ =22
2
2|PC |2PC?(CA CB)|AB ||PC |+++
=222
2
2|PC |8|PC ||AB ||PC |-+
=2
2
|AB||PC |-6=42-6=10. 8.(2012江西,理8)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ). A .50,0
B .30,20
C .20,30
D .0,50
B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩、y 亩,总利润为z 万元,
则z 关于x,y 的关系式为z=4x×0.55-1.2x+6y×0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y 满足约束条件为
x 0,y 0,x y 50,1.2x 0.9y 54.
≥⎧⎪≥⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎩ 画可行域,如图所示:
设l 0:y=-109
x,将l 0上下平移可知,
当直线z=x+0.9y 过点A(30,20)(注:可联立方程组x y 500,1.2x 0.9y 540,
+-=⎧⎨
+-=⎩解得点A 的坐标)时,z 取最大值,因此当总利润z 最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩. 9.(2012江西,理9)样本(x 1,x 2,…,x n )的平均数为x ,样本(y 1,y 2,…,y m )的平均数为y (x y ≠).若样本(x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y m )的平均数z =αx +(1-α)y ,其中0<α<12
,则n,m 的大小关系为( ).
A .n<m
B .n>m
C .n=m
D .不能确定
A 由已知,得x 1+x 2+…+x n =n x ,y 1+y 2+…+y m =m y ,
z =12n 12m (x x x )(y y y )m n ++⋯++++⋯++=nx my m n
++=αx +(1-α)y ,
整理,得(x -y )[αm+(α-1)n]=0, ∵x y ≠,
∴αm+(α-1)n=0,即n m =α1α
-.
又0<α<12
,∴0<α1α
-<1,∴0<n m
<1.
又n ,m ∈N +,∴n <m .
10.(2012江西,理10)如右图,已知正四棱锥S -ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为(
).
A设截面与SB,SD,AD,AB分别交于点M,N,P,F,取SC的中点Q,连结BQ,DQ,
如图,过M作MT∥AB,V S-ABCD
由相似性知,V S-EMN3,
V S-TNM x3,
V棱柱TNM-APF2x3.
时,V x3x32332.
(1)当0<x<1
2
V x图象如图.
时,V x减小的速度先慢,再快,后慢.
由V x'的图象可知,当0<x<1
2
≤x<1时,V x3,V x2,图象如图.
(2)当1
2
由V x'的图象可知,当1
≤x<1时,V x减小的速度先快后慢,综合(1),(2)知选A.
2
11.(2012江西,理11)计算定积分1
1
-⎰
(x 2+sin x)d x= .
23
1
1
-⎰(x 2+sin x)d x=13x 3-cos x 11|-=23. 12.(2012江西,理12)设数列{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 1=7,a 3+b 3=21,则a 5+b 5= . 35 ∵{a n },{b n }均是等差数列,根据等差数列的性质a 1+a 5=2a 3,b 1+b 5=2b 3,即a 5=2a 3-a 1,b 5=2b 3-b 1,
∴a 5+b 5=2(a 3+b 3)-(a 1+b 1)=2×21-7=35.
13.(2012江西,理13)椭圆2
2x a
+2
2y b
=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若
|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 .
因为A,B 为左、右顶点,F 1,F 2
为左、右焦点,
所以|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|BF 1|=a+c. 又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|BF 1|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c 2,即a 2=5c 2,
所以离心率e=c a
14.(2012江西,理14)下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 .
3 当T=0,k=1时,sin k 2
π>sin (k 1)2
π-,所以a =1,T=1,k =2;
当T=1,k=2时,sin k 2
π<sin (k 1)2
π-,所以a =0,T =1,k =3;
当T=1,k=3时,sin k 2
π<sin (k 1)2
π-,所以a =0,T =1,k =4;
当T=1,k=4时,sin k 2
π>sin (k 1)2
π-,所以a =1,T =2,k =5;
当T=2,k=5时,sin k 2
π>sin (k 1)2
π-,所以a =1,T =3,k =6.
此时k ≥6,所以输出T=3.
15.(2012江西,理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 . (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为 . (1)ρ=2cos θ (2)33x|x }2
2
⎧-≤≤⎨⎩
16.(2012江西,理16)已知数列{a n }的前n 项和S n =-12
n 2+kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为8.
(1)确定常数k,并求a n ;
(2)求数列n n
92a 2-⎧⎫⎨⎬
⎩
⎭
的前n 项和T n . 解:(1)当n =k ∈N +时,S n =-12
n 2+kn 取最大值,即8=S k =-12
k 2+k 2=12
k 2,
故k 2=16,因此k=4, 从而a n =S n -S n-1=92
-n(n ≥2).
又a 1=S 1=72
,所以a n =92
-n.
(2)因为b n =n n
92a 2-=n 1
n 2-,
T n =b 1+b 2+…+b n =1+22
+2
32+…+n 2
n 12--+n 1
n 2-,
所以T n =2T n -T n =2+1+12
+…+n 212--n 1
n 2-=4-n 212--n 1
n 2-=4-n 1
n 22-+.
17.(2012江西,理17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知A=4π,bsin C 4π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
-csin B 4
π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
=a . (1)求证:B-C=2
π;
(2)若求△ABC 的面积.
(1)证明:由b sin C 4π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
-csin B 4
π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
=a , 应用正弦定理,得
sin B sin C 4π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
-sin C sin B 4
π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
=sin A,
sin B C C ⎫⎪⎪⎝
⎭
-
sin C B B ⎫⎪⎪⎝⎭
整理得sin B cos C-cos B sin C=1, 即sin (B-C)=1,
由于0<B,C<34
π,从而B-C=2
π.
(2)解:B+C=π-A=34
π,因此B =58
π,C =8
π,
由4
π,得b =a B A
sin sin =2sin 58
π,c =a C A
sin sin =2sin 8
π,。