2014高考数学解析几何难点专练6椭圆

椭 圆
1.椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2
c .若
d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( A )
A.12
B.2
2 C.32 D.3
4
解析：由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，所以e ＝c a ＝1
2，故选A.
2.已知方程x 2k ＋1＋y 23－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( B )
A ．k >1或k <3
B ．1<k <3
C ．k >1
D ．k <3
解析：因为方程x 2k ＋1＋y
23－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－k >0k ＋1>0
k ＋1>3－k ，
解得1<k <3，故选B.
3.椭圆x 225＋y 2
9＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则|PF 1|＝( A ) A.415 B. 9
5
C ．6
D ．7
解析：由条件知PF 2⊥x 轴，
则|PF 2|＝b 2a ＝9
5，
于是|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2×5－95＝41
5，故选A.
4.已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1
→＋PF 2→|的最小值是( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2 2
解析：由于O 为F 1、F 2的中点，
则|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|，
而当P 为短轴端点时，|PO →|取得最小值1，
所以|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2，故选C.
5.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的三倍，则m 的值为 19 . 解析：由题意得1m ＝3×1，所以m ＝19.
6.直线x －2y ＋2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆
的离心率为 25
5 .
解析：由直线方程知椭圆的焦点为(－2,0)，顶点为(0,1)，则b ＝1，c ＝2，所以a ＝
12＋22＝5，所以e ＝c a ＝255.
7.短轴长为5，离心率e ＝2
3的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为 6 .
解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝5c a ＝23
，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝52a 2－b 2a 2＝49， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32
b ＝52，
由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝4×3
2＝6.
8.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．
解析：(1)设椭圆C 的焦距为2c .
由已知可得F 1到直线l 的距离为3c ＝23，
故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意知y 1<0，y 2>0.
直线l 的方程为y ＝3(x －2)．
联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －
x 2a 2＋y
2b 2＝1
， 消去x ，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0，
解得y 1＝－3b 2＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2－2a
3a 2＋b 2
. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，
即3b 2＋2a 3a 2＋b 2＝2×－3b 2－2a
3a 2＋b
2，得a ＝3. 而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.
故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5＝1.
9.已知椭圆C 的中心在原点，长轴在x 轴上，经过点A (0,1)，离心率e ＝2
2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l n ：y ＝1n ＋1(n ∈N *)与椭圆C 在第一象限内相交于点A n (x n , y n )，记a n ＝12x 2
n ，
试证明：对∀n ∈N *
，a 1·a 2·…·a n >12. 解析：(1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝1
e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22
，解得⎩⎨⎧ b ＝1a ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1
y ＝1n ＋1，得x 2n ＝2n n ＋n ＋2， a n ＝12x 2n ＝n n ＋n ＋2，
所以a 1·a 2·…·a n ＝1×322×2×432×3×542×…×n n ＋n ＋
2＝n ＋n ＋>12.。