四川省棠湖中学2021-2022高一数学上学期期末模拟试题.doc

四川省棠湖中学2021-2022高一数学上学期期末模拟试题
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知集合，则集合
中的元素个数为 A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．下列关系中，正确的是 A ．0N +∈
B ．
3
Z 2
∈ C ．πQ ∉
D ．{}00⊆
3．函数()()2
lg 311f x x x
=
++-的定义域是 A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
4．在扇形AOB 中半径OA =4，弦长AB =4，则该扇形的面积为 A ．
163
π
B ．
83
π C ．8π
D ．43
5．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是
A ．ln(2)y x =+
B ．1y x =-+
C ．1()2
x
y = D ．1y x x
=+ 6．已知α是第三象限角，5
tan 12
α=，则sin α= A ．
15
B ．15
-
C ．513
D ．513
-
7．函数()3
f x x lnx =+的零点所在的区间为 A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
8．已知函数()()sin (,0,0,)2
f x A x x R A π
ωϕωϕ=+∈>><
的部分图象如图所示，则
()f x 的解析式是
A ．()()2sin 6f x x x R ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
B ．()()2sin 26f x x x R ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
C ．()()2sin 3f x x x R ππ⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
D ．()()2sin 23f x x x R ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
9．设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则 A ．a b c >> B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
10．将函数
的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数
A ．在区间上单调递增
B ．在区间上单调递减
C ．在区间上单调递增
D ．在区间上单调递减
11.若函数(3),1
()log ,1
a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围是
A ．(1,)+∞
B ．3(1,]2
C ．(1,3)
D ．3[,3)2
12．设函数2
()5(4)f x x x a x =--+.若函数()f x 恰有4个零点，则实数a 的取值范围为
A ．25(0,)26
B ．(0,1)
C ．25
(
,25)26
D ．(1,25)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．计算：31log 20.2504
728()36
⨯+-+=______．
14．在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过
点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___．
15．当0x π<<时，使tanx 1<-成立的x 的取值范围为______．
16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x 5f x 2+=-+，且当()x 0,5∈时，()f x x =，则()f 2018的值为______．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(10分) 已知2sin αcos α=．
（Ⅰ）若α在第三象限，求()cos απ-的值．
（Ⅱ）求22π12sin αsin α2sin αcos α
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭-的值．
18．（12分）
已知不等式()()2
2110x a x a a -+++≤的解集为集合A,集合()2,2B =-.
（I ）若2a =，求A B ⋃；
（II ）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.
19．（12分） 已知(
)2224f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，求： （Ⅰ）()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若方程()10f x m -+=在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解，求实数m 的取值范围．
20．（12分） 已知函数()2
1ax b
f x x +=
+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）确定函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数()f x 在区间()1,1-上是增函数； （Ⅲ）解不等式()()10f t f t -+<.
21．（12分）
美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a
y kx x =>，其图像如图所示.
（Ⅰ）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；
（Ⅱ）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（Ⅲ）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）
22．（12分）
已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则称0x 为函数()
f x
的局部对称点．
（Ⅰ）若,0a R a ∈≠，证明：函数2
()f x ax x a =+-必有局部对称点； （Ⅱ）若函数()2x
f x b =+在区间[]1,1-内有局部对称点，求实数b 的取值范围；
（Ⅲ）若函数1
2()423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围．
2021年秋四川省棠湖中学高一期末模拟考试
数学试题参考答案
1．D 2．C
3．B
4．B
5．A
6．D
7．A
8．A
9．C
10．B
11．D 12．B
13．5
14．713
-
15．π3π,24⎛⎫
⎪⎝⎭
16．-1
17．() 1由于2sin αcos α=．所以1
tan α2
=， 又α在第三象限，
故：sin α5=-
，cos α5
=-， 则：(
)cos παcos α-=-=
． ()2由于：1tan α2
=，
所以：2
2222π112sin αsin α1(sin αcos α)sin αcos α2231sin αcos αsin αcos αsin αcos α1
2
⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭====-----
18．（I ）2a =时，由2560x x -+≤ 得()()320x x --≤，则[]
2,3A = 则(]
2,3A B ⋃=-
（II ）由()()2
2110x a x a a -+++≤ 得()()10x a x a ---≤
则[]
,1A a a =+，因为A B ∅⋂= 所以12a +≤-或2a ≥，得3a ≤-或2a ≥ 19．：（Ⅰ）令()24
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得()8
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 所以函数()f x 对称轴方程为()8
2
k x k Z π
π
=+
∈ （Ⅱ）∵(
)sin 2224f x x π⎛
⎫=-
++ ⎪⎝
⎭， ∴函数()f x 的单调增区间为函数sin 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调减区间，
令()32222
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+≤
+∈， ∴
()588
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， ∴函数()f x 的单调增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
（Ⅲ）方程()10f x m -+=在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解，等价于两个函数()y f x =与1y m =-的图象有交点. ∵0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
∴sin 2124x π⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭，
即得()5222f x -
≤≤
，∴5
2122
m -≤-≤ ∴m
的取值范围为732⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦. 20．（1）解：函数2
()1ax b
f x x
+=
+是定义在(1,1)-上的奇函数，则(0)0f =，即有0b =， 且12()25f =，则
1221514a
=+，解得，1a =， 则函数()f x 的解析式：2
()(11)1x
f x x x
=
-<<+；满足奇函数 （2）证明：设11m n -<<<，则22
()()11m n
f m f n m n -=-++ 22()(1)
(1)(1)
m n mn m n --=
++，由于11m n -<<<，则0m n -<，1mn <，即10mn ->，
22(1)(1)0m n ++>，则有()()0f m f n -<， 则()f x 在(1,1)-上是增函数；
（3）解：由于奇函数()f x 在(1,1)-上是增函数，
则不等式(1)()0f t f t -+<即为(1)()()f t f t f t ，
即有111
111t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解得02111
2
t t t ⎧
⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<
⎩，则有102t <<，即解集为1
(0,)2．
21．（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入(0)4
y x π
=
>；
将()1,1 ()4,2代入a
y kx =，得1,42,a
k k =⎧⎨⨯=⎩ 1,
1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩
所以，生产B
芯片的毛收入0)y x =>.
（2
）由4x >16x >
；由4
x
=16x =；
由
4
x
<016x <<. 所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.
（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入
()40x -千万元资金生产A 芯片.公司所获利润(
)4024
x f x -=+
=
)
2
1294
-+
2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元. 22：(1)由()2f x ax bx a =+-得()f x -=2ax bx a --,代入()()0f x f x -+=得,
()()
2
2ax
bx a ax bx a +-+--=0,得到关于x 的方程2ax a -=0(0a ≠).
其中2Δ4a =,由于a ∈R 且0a ≠,所以Δ0>恒成立,
所以函数()f x =2
(0ax bx a a +-≠)必有局部对称点.
(2)方程222x x c -++=0在区间[]1,1-上有解,于是222x x c --=+, 设2(11x
t x =-≤≤),
122
t ≤≤,12c t t -=+,
其中1522t t ≤+≤，所以5
14
c -≤≤-. (3)()124
23x
x f x m m --+-=-⋅+-,由于()()0f x f x -+=,
所以12423x x m m --+-⋅+-=(
)
1
2423x x m m +--⋅+-.
于是(
)()()
244
22
223x x
x
x m m --+-++-=0(*)在R 上有解.
令22(2x x t t -+=≥),则2442x x t -+=-,
所以方程(*)变为22228t mt m -+-=0在区间[)2,+∞内有解,
需满足条件:()
2248402m m ⎧∆=--≥⎪⎪
⎨⎪≥
⎪⎩
.
即1m m ⎧-≤⎪⎨≤≤
⎪⎩
，化简得1m -≤≤。