结构力学2
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(1)整体刚度系数的物理意义： Kij：j=1 (其余=0)时产生的结点力Fi；
(2)[K]是对称矩阵；
(3)对几何不变体系，[K]是可逆矩阵，即存在： (4)[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁：
{F}=[K]{} {}=[K]-1{F}
Fn n
F1
1
1
F2
2
F3
2
3
3
0 0 2i2 4i2+4i3 0 0 0 0 0 0 2i3 0 0 0 0
X1
单元座标转换矩阵
目的：将局部坐标系中的杆端力
M1 M1
X1
Y1
e
M2
Y2
X2
x
X2
和杆端位移统一在整体坐 标系中。
y
y
X 1 cos sin Y1 M1 0 0 X2 Y 0 2 0 M 2 度矩阵相应位置上的元素全 部按单元定位向量的指向装配到总刚矩阵中。
Fn+1 n+1
n
F1 F2 F3 F n 1
0 4i1 0 2i1
0 2i1 4i10 2 +4i 2i2 0 0 0
0 0 0 0 0 2in 0
0 0
0
0
0 0
0 0 4in 0
0
0
1 2 3 n 1
e
F T F
座标转换矩阵
e
e
cos sin 0 T 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
6
2. 单元定位向量 单元1： 单元2：
4. 等效荷载向量
单元2：
{ } { 0 ,1}
{ } {1, 2 }
2
T
{ } {2 ,3 ,4 } （1） （2） 3. 集成总体刚度矩阵 （1） 4 4 2
单元3：
3 T
（3）（4）
0
4 2 .6 6 4
0
4 4 8
30 30 2 { P} 0 0 单元3：
正交矩阵
[T]-1 =[T]T
或
[T][T]T=[T]T [T] =[I] e
T F
T
存在：
F
e e
e
T
T
整体坐标系下的单元刚度矩阵
在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式： 在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式：
F
F
e
k
e
3
4 3 EI 2 3 2 EI
EI 3
1
2 1.3 3 2
EI 3 EI 3 EI 3
3 EI 2 3 EI 4
2 EI 3
T
(2)
(3)
4
(4)
4
(2)
8 (3) 4 (4)
4
2 .6 6
4
4
8
10
矩阵位移法习题课
单元分析任务：建立单元两端位移与两端力之间的解析关系。 目标：生成局部坐标系下的单元刚度矩阵。
整体分析任务：建立结构体系结点位移与结点力之间的解析关系。 步骤：1. 通过坐标转换矩阵，形成整体坐标系下的单元刚度矩阵； 2. 根据单元定位向量，集成整体刚度矩阵； 3. 建立整体坐标系下的结构体系的静力平衡方程。 目标：计算外部作用下结构体系各结点位移值，进一步可计算各 杆端力，然后根据各杆件所受荷载特点计算整个结构体系 各截面的内力。
0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 4EI l
EA l 0
e
0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2 0 6EI l2
e (3) k = (4)
(5) (6)
0
EA l 0 0
2EI l
0 6EI l2
只与杆件本身性质 有关而与外荷载无关
0 0
2EI l
Y1
EI
2
[k ] [k ]
1
2
6 EI 4 6
EI
(1) (2)
(1)
(2)
4 2
2
4
10
6
(0) (1)
m3
m Nk
10 kN m
2
20 kN
2 C 3
4
EI
EI D 3
x
F3 , 3 F4 , 4
(0) (1)
[k ]
S2
(1) (3)
S 2
单元1： 单元2：
[k ] [k ]
1 2
(1) (2) (1)
4S
(0) (0) 0 0
4S
0
2 S2
0
1S 2
S3
S2
0
(1)
0
S 2
0
S2
(2) S 3
(0) (0) 0 0
0
S2
(3)
(0)
0
1S 2
0
2 S2
0
S 3 (0)
(3)
0
0
0 S3
(1) (3) 3. 集成总体刚度矩阵 未知量
考虑轴向变形的影响。 1. 体系基本未知量分析 1
EI
EA
1 1
2
EI
EA
2. 单元刚度矩阵
整体坐标系下的单刚矩阵
[ k ] [T ] [ k ] [T ]
T
1 2 4
l
3
l
单元1： 单元2：
[k ] [k ]
1 2
(1) (2) (1)
4S
(0) (0) 0 0
4S
S3
S2
0 0
S3
S2
(1) (3) (0)
y 单刚 元素 简记
S3
S EA l
(2) S 3
(0)
S1
2 EI l
0
0
0
(0)
0 S3
6EI l
2
(0)
S4
12 EI l
3
(1) (3)
(0) (0)
x
S2 4 EI l
2
2 EI 2 EA 3
3
单元3：
[k ]
3
(1) (2)
(1) (2) (1)
6
[K]
（2） 2
48
10
（3）
0
4 4
（4） 0
0 0 3 { P} 20 0
30 30 荷载向量： { P } 20 0
5. 解方程：
[ K ]{ } { P }
求结点位移
例2 试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。已知各杆件截面特征如图所示，且不
例1 如图所示连续梁结构，试求在图示荷载作用下的各单元杆端力和支座反力。
2
已知 E I 6 1 0 6
1 A y 1
EI
6m
B
6m
F1 , 1
1. 未知量编号
F2 , 2
连续梁可动结点自左向右连续编号，被约束的位移编号为0。
2. 单元刚度矩阵
对单元1、单元2有：
4 6 EI 2 6
x
e e
Y2
sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 X1 Y1 M1 X2 Y2 M 2
(0) (0)
（1） （2）（3）编 号 2 4 E I l3 2 S4 S3 S 3 （1） 6EI [K] S 3 3 S 2 2 S 1 （2） l2 S 3 2 S 1 3 S 2 （3） 6EI l2
6EI 2 2 l l 12 EI 2 E A l l 2 EA 12 EI l l
e
e
k
e
e
单元定位向量
由单元结点位移总码组成的向量。
是单元刚度矩阵各元素在整体刚度矩阵中的位置指针向量。 注意：对结点编号时，应尽量使每一个单元的两端结点编号差值最小。 目的是使结构体系的整体刚度矩阵的带宽达到最小。
] T[ ] k [ ] T[ ] k [
e T e
整体刚度矩阵 [K] 的性质
局部坐标系下的单元刚度矩阵
矩阵元素物理意义：单元杆端单位位移下所产生的杆端力。
(1)
u1 1
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2 1
v1 1 1 1 u 2 1 v 2 1
(1) (2)
EA l 0 0 EA l
0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2
(2)[K]是对称矩阵；
(3)对几何不变体系，[K]是可逆矩阵，即存在： (4)[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁：
{F}=[K]{} {}=[K]-1{F}
Fn n
F1
1
1
F2
2
F3
2
3
3
0 0 2i2 4i2+4i3 0 0 0 0 0 0 2i3 0 0 0 0
X1
单元座标转换矩阵
目的：将局部坐标系中的杆端力
M1 M1
X1
Y1
e
M2
Y2
X2
x
X2
和杆端位移统一在整体坐 标系中。
y
y
X 1 cos sin Y1 M1 0 0 X2 Y 0 2 0 M 2 度矩阵相应位置上的元素全 部按单元定位向量的指向装配到总刚矩阵中。
Fn+1 n+1
n
F1 F2 F3 F n 1
0 4i1 0 2i1
0 2i1 4i10 2 +4i 2i2 0 0 0
0 0 0 0 0 2in 0
0 0
0
0
0 0
0 0 4in 0
0
0
1 2 3 n 1
e
F T F
座标转换矩阵
e
e
cos sin 0 T 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
6
2. 单元定位向量 单元1： 单元2：
4. 等效荷载向量
单元2：
{ } { 0 ,1}
{ } {1, 2 }
2
T
{ } {2 ,3 ,4 } （1） （2） 3. 集成总体刚度矩阵 （1） 4 4 2
单元3：
3 T
（3）（4）
0
4 2 .6 6 4
0
4 4 8
30 30 2 { P} 0 0 单元3：
正交矩阵
[T]-1 =[T]T
或
[T][T]T=[T]T [T] =[I] e
T F
T
存在：
F
e e
e
T
T
整体坐标系下的单元刚度矩阵
在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式： 在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式：
F
F
e
k
e
3
4 3 EI 2 3 2 EI
EI 3
1
2 1.3 3 2
EI 3 EI 3 EI 3
3 EI 2 3 EI 4
2 EI 3
T
(2)
(3)
4
(4)
4
(2)
8 (3) 4 (4)
4
2 .6 6
4
4
8
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矩阵位移法习题课
单元分析任务：建立单元两端位移与两端力之间的解析关系。 目标：生成局部坐标系下的单元刚度矩阵。
整体分析任务：建立结构体系结点位移与结点力之间的解析关系。 步骤：1. 通过坐标转换矩阵，形成整体坐标系下的单元刚度矩阵； 2. 根据单元定位向量，集成整体刚度矩阵； 3. 建立整体坐标系下的结构体系的静力平衡方程。 目标：计算外部作用下结构体系各结点位移值，进一步可计算各 杆端力，然后根据各杆件所受荷载特点计算整个结构体系 各截面的内力。
0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 4EI l
EA l 0
e
0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2 0 6EI l2
e (3) k = (4)
(5) (6)
0
EA l 0 0
2EI l
0 6EI l2
只与杆件本身性质 有关而与外荷载无关
0 0
2EI l
Y1
EI
2
[k ] [k ]
1
2
6 EI 4 6
EI
(1) (2)
(1)
(2)
4 2
2
4
10
6
(0) (1)
m3
m Nk
10 kN m
2
20 kN
2 C 3
4
EI
EI D 3
x
F3 , 3 F4 , 4
(0) (1)
[k ]
S2
(1) (3)
S 2
单元1： 单元2：
[k ] [k ]
1 2
(1) (2) (1)
4S
(0) (0) 0 0
4S
0
2 S2
0
1S 2
S3
S2
0
(1)
0
S 2
0
S2
(2) S 3
(0) (0) 0 0
0
S2
(3)
(0)
0
1S 2
0
2 S2
0
S 3 (0)
(3)
0
0
0 S3
(1) (3) 3. 集成总体刚度矩阵 未知量
考虑轴向变形的影响。 1. 体系基本未知量分析 1
EI
EA
1 1
2
EI
EA
2. 单元刚度矩阵
整体坐标系下的单刚矩阵
[ k ] [T ] [ k ] [T ]
T
1 2 4
l
3
l
单元1： 单元2：
[k ] [k ]
1 2
(1) (2) (1)
4S
(0) (0) 0 0
4S
S3
S2
0 0
S3
S2
(1) (3) (0)
y 单刚 元素 简记
S3
S EA l
(2) S 3
(0)
S1
2 EI l
0
0
0
(0)
0 S3
6EI l
2
(0)
S4
12 EI l
3
(1) (3)
(0) (0)
x
S2 4 EI l
2
2 EI 2 EA 3
3
单元3：
[k ]
3
(1) (2)
(1) (2) (1)
6
[K]
（2） 2
48
10
（3）
0
4 4
（4） 0
0 0 3 { P} 20 0
30 30 荷载向量： { P } 20 0
5. 解方程：
[ K ]{ } { P }
求结点位移
例2 试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。已知各杆件截面特征如图所示，且不
例1 如图所示连续梁结构，试求在图示荷载作用下的各单元杆端力和支座反力。
2
已知 E I 6 1 0 6
1 A y 1
EI
6m
B
6m
F1 , 1
1. 未知量编号
F2 , 2
连续梁可动结点自左向右连续编号，被约束的位移编号为0。
2. 单元刚度矩阵
对单元1、单元2有：
4 6 EI 2 6
x
e e
Y2
sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 X1 Y1 M1 X2 Y2 M 2
(0) (0)
（1） （2）（3）编 号 2 4 E I l3 2 S4 S3 S 3 （1） 6EI [K] S 3 3 S 2 2 S 1 （2） l2 S 3 2 S 1 3 S 2 （3） 6EI l2
6EI 2 2 l l 12 EI 2 E A l l 2 EA 12 EI l l
e
e
k
e
e
单元定位向量
由单元结点位移总码组成的向量。
是单元刚度矩阵各元素在整体刚度矩阵中的位置指针向量。 注意：对结点编号时，应尽量使每一个单元的两端结点编号差值最小。 目的是使结构体系的整体刚度矩阵的带宽达到最小。
] T[ ] k [ ] T[ ] k [
e T e
整体刚度矩阵 [K] 的性质
局部坐标系下的单元刚度矩阵
矩阵元素物理意义：单元杆端单位位移下所产生的杆端力。
(1)
u1 1
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2 1
v1 1 1 1 u 2 1 v 2 1
(1) (2)
EA l 0 0 EA l
0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 6EI l2