8.2立体图形的直观图课件-高一下学期数学人教版必修第二册

(2)画底面.以 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN ，使 MN = 4 cm ；在 y 轴上取线段 PQ ，
3
2
使 PQ = cm .分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和点 Q 作 x轴的平行线，设
它们的交点分别为A ， B ， C ， D ，则四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD .
第八章 立体几何初步
8.2立体图形的直观图
新知探究
探究一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
情境设置
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将
这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象
空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.
问题：视察以下两幅图，
(3)画侧棱.过点 A ， B ， C ， D 分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线
段 AA′ ， BB′ ， CC′ ， DD′ (其中点 A′ ， B′ ， C′ ， D′ 在平面 ABCD的上方).
(4)成图.顺次连接 A′ ， B′ ， C′ ， D′ ，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改
行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
新知运用
跟踪训练1 画出下图所示的水平放置的直角梯形的直观图.
【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为 x 轴，
垂直于OB的腰OD所在直线为 y轴建立平面直角坐标
系，如图①所示.画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′ = 45∘ ，如图②所示.
改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图了.
反思感悟
方法总结
画空间几何体的直观图的基本原则：
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、 y 轴、 z 轴的线段在
直观图中应分别画成平行于 x′ 轴、 y′ 轴、 z′轴的线段；
(2)平行于x 轴、 z 轴(或在 x 轴、 z 轴上)的线段在直观图中长度保持不变，平行于y
1
2
1
2
纵向线段A′D′ = AD，B′C′ = BC;
∠D′A′B′ = 45°。即获得正方形的直观图
反思感悟
方法总结
画平面图形的直观图的技能:
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平
面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点;
(2)画平面图形的直观图，第一画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平
新知生成
知识点二 空间几何体的直观图的画法
空间几何体的直观图的画法
(1)与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、轴都垂直的轴，直观图中
与之对应的是 ′ 轴；
(2)平面 ′ ′ ′ 表示水平平面，平面 ′ ′ ′ 和 ′ ′ ′ 表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于 轴(或在轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变;
2
斜二测画法得到的直观图的面积为 S直 ，则有S直 = S原.
4
新知运用
跟踪训练3 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′ =
6 cm ， O′C′ = 2 cm ， C′D′ = 2 cm ，则原图形是( C).
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.一般的平行四边形
【解析】 如图，在原图形 OABC 中，
O′B′ = 1 ，则原三角形 ABO 的面积是( C ).
A.
1
2
B.
2
2
C. 2
【解析】直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为
D. 2 2
1
2
平面图形面积之比为 2: 4 ，所以原图形的面积为 2 .故选C.
，又直观图与原
反思感悟
方法总结
平面多边形与其直观图的面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为 S原 ，
3.水平放置的△的斜二测直观图如图所示，已知′′=3,′′=2，则边上的中线的实
际长度为____.
2.5
随堂检测
4.用斜二测画法画长、宽、高分别为4, 3 , 2的长方体 − ′′′′ 的直观图.
【解析】(1)画轴.如图，画x轴、 y轴、 z轴，三条轴相交于点 O ，使 ∠xOy = 45∘ , ∠xOz = 90∘ .
(4)去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，成图.
二、空间几何体的直观图
例题2 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作
要求，侧棱长为 1.5cm )
【解析】 (1)画轴.画x轴、 y轴、 z轴，三轴相交于点O，使∠xOy = 45∘ ， ∠xOz = 90∘ .
(2)画底面.根据 x轴， y轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
1
2
(2)在 x′ 轴上截取 O′B′ = OB ，在 y′ 轴上截取 O′D′ = OD ，过点 D′ 作 x′轴的平行线
l ，在 l 上沿 x′ 轴正方向取点 C′ 使得 D′C′ = DC ,连接 B′C′ ，如图②所示.
(3)擦去辅助线，所得四边形 O′B′C′D′ 就是直角梯形 OBCD.的直观图,如图③所示
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
2.如图， △′′′是水平放置的△的直观图，′′=6 , ′′=2 ，则线段的长度为
(C ).
A. 2 10
B. 4 10
C. 2 13
D. 4 13
(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面圆 O ，
在 z 轴上截取 OO′ ，使 OO′ 等于圆台的高度，过 O′ 作
Ox 的平行线 O′x′ ， Oy 的平行线 O′y′ ，利用 x′ 轴与 y′
轴画出上底面圆 O′ （与画圆 O 一样）.
(3)画圆锥的顶点.在 Oz 上截取点 P ，使 PO′ 等于圆锥的高度.
对应的′轴与′轴，两轴相交于点′，且使∠x′′=45° (或135° )，它们确定的平面
表示水平面；
(2)已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴与′轴的线
段；
(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，
在直观图中长度为本来的一半.
(3)画侧棱.过A ， B ， C ， D ， E ， F 各点分别作 z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取
线段 AA′ ， BB′ ， CC′ ， DD′ ， EE′ ， FF′ ，使其都等于 1.5 cm .
(4)成图.顺次连接A′ ， B′ ， C′ ， D′ ， E′ ， F′ ，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分
有 OD = 2O′D′ = 4 2 cm ， CD = C′D′ = 2 cm ，
所以 OC = OD2 + CD2 =
4 2
2
+ 22 = 6 cm ，
所以 OA = OC = BC = AB ，故四边形 OABC 是菱形.
随堂检测
1.关于斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( A ) .
一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
例题1 如图，用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图.
【解析】(1)建立以正方形ABCD的中心为原点，平行于边的
直线为x轴，y轴的的直角坐标系;
(2)建立以O为中点， ∠x′O′y′ = 45°的斜二测坐标系;
(3)其中横向线段A′B′ = AB，C′D′ = CD;
(4)成图.连接 PA′ , PB′ , A′A , B′B ，并擦去辅助线，整理得到几何体的直观图，如图②.
新知生成
知识点三 直观图的还原与计算
1.直观图的还原技能
由直观图还原为平面图的关键是找与 ′ 轴、 ′ 轴平行的直线或线段，且平行于
′ 轴的线段还原时长度不变，平行于 ′ 轴的线段还原时放大为直观图中相应线段
长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
2.直观图与原图形面积之间的关系
2
或
4
若一个平面多边形的面积为，其直观图的面积为′，则有′ =
= 2 2 ′.
利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
三、直观图的还原与计算
例题3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若
为虚线)，就得到长方体的直观图了.
课堂小结
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
轴的线段长度变为本来的
1
.
2
新知运用
跟踪训练2 某简单组合体由上、下两部分组成，下部分是一个圆台(上底面面积大
于下底面面积)，上部分是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，用斜
二测画法画出这个组合体的直观图.
【解析】画直观图时，我们可以先画出下部分的圆台，再画出上部分的圆锥.
(1)画轴.如图①，画 x 轴、 y 轴、 z 轴，使 ∠xOy = 45∘ .
①矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?
②眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
新知生成
Hale Waihona Puke 知识点一 斜二测画法1.斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是
一种特殊的平行投影画法.
2.平面图形直观图的画法及要求
(1)在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成