粒子群算法和蚁群算法的结合及其在组合优化中的应用

２００７年第２期空间电子技术收稿日期：２００６－０４－０３；收修改稿日期：２００６－０４－３０粒子群算法和蚁群算法的结合及其在组合优化中的应用张长春苏昕易克初（西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室，西安７１００７１）摘要文章首次提出了一种用于求解组合优化问题的ＰＡＡＡ算法。

该算法有效地结合了粒子群算法和蚁群算法的优点，先利用粒子群算法的随机性、快速性、全局性得到初始信息素分布（即粗搜索），再利用蚁群算法的并行性、正反馈性、求解精度高等优点求精确解（即细搜索）。

将文中提出的算法用于经典ＴＳＰ问题的求解，仿真结果表明ＰＡＡＡ算法兼有两种算法的优点，同时抛弃了各自的缺点。

该算法在时间效率上优于蚁群算法，在求精效率上优于粒子群算法，是综合了两种算法长处的一种新的启发式算法，达到时间性能和优化性能上的双赢，获得了非常好的效果。

主题词蚁群算法粒子群算法旅行商问题ＰＡＡＡ０引言近年来对生物启发式计算（Ｂｉｏ－ｉｎｓｐｉｒｅｄＣｏｍｐｕｔｉｎｇ）的研究，越来越引起众多学者的关注和兴趣，产生了神经网络、遗传算法、模拟退火、粒子群算法、蚁群算法等许多用于解决复杂优化问题的新方法。

然而，面对各种问题的特殊性和复杂性，每种算法都表现出了自身的优势和缺陷，都存在时间性能和优化性能不能兼得的矛盾。

粒子群优化（ＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰＳＯ）算法［１，２］是由Ｅｂｅｒｈａｒｔ和Ｋｅｎｎｅｄｙ于１９９５年提出的一种全局优化算法，该算法源于对鸟群觅食行为的模拟。

它的优势在于：（１）算法简洁，可调参数少，易于实现；（２）随机初始化种群，具有较强的全局搜索能力，类似于遗传算法；（３）利用评价函数衡量个体的优劣程度，搜索速度快；（４）具有较强的可扩展性。

其缺点是：不能充分利用系统中的反馈信息，求解组合优化问题的能力不强。

蚁群算法［３，４］（ＡｎｔＣｏｌｏｎｙＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＡＣＯ）是由意大利学者Ｍ．Ｄｏｒｉｇｏ，Ｖ．Ｍａｎｉｅｚｚｏ和Ａ．Ｃｏｌｏｒｎｉ于２０世纪９０年代初提出的一种新型的智能优化算法，已经被应用到ＴＳＰ问题［５，６］、二次分配问题、工件调度问题、图着色问题等许多经典组合优化问题中，取得了很好的效果。

它的优点是：（１）采用一种正反馈机制，通过信息素的不断更新，达到最终收敛于最优路径上的目的；（２）是一种分布式的优化方法，易于并行实现；（３）是一种全局优化的方法，不仅可用于求解单目标优化问题，而且可用于求解多目标优化问题；（４）适合于求解离散优化问题；（５）鲁棒性强。

但由于在算法的初始阶段信息素匮乏，所以求解速度较慢。

文章将粒子群算法和蚁群算法有机地结合，提出了ＰＡＡＡ算法。

它利用粒子群算法的较强的全局搜索能力生成信息素分布，再利用蚁群算法的正反馈机制求问题的精确解，汲取各自的优势，以达空间电子技术ＳＰＡＣＥＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ７６２００７年第２期到优势互补。

最后，将该算法用于经典旅行商（ＴＳＰ）问题的求解，获得了很好的效果。

１旅行商（ＴＳＰ）问题ＴＳＰ（ＴｒａｖｅｌｉｎｇＳａｌｅｓｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ）问题［７］属于ＮＰ完全问题，如用穷举搜索算法，则需要考虑所有可能的情况，找出所有的路径，再对其进行比较，以找到最佳的路径。

这种方法随着城市数ｎ的上升，算法时间随ｎ按指数规律增长，即存在“指数爆炸”问题。

ＴＳＰ问题描述十分简单，即寻找一条最短的遍历Ｎ个城市的路径，其数学描述为：设有Ｎ个城市的集合ｃ＝8ｃ１，ｃ２，…，ｃＮ9，每两个城市之间的距离为ｄ（ｃ１，ｃ２）!Ｒ＋，其中ｃｉ，ｃｊ!ｃ（１≤ｉ，ｊ≤Ｎ），求使目标函数：Ｔｄ＝Ｎ－１ｉ＝１"ｄ（ｃ#（ｉ），ｃ$（ｉ＋１））＋ｄ（ｃ$（Ｎ），ｃ$（１））（１）达到最小的城市序列8ｃ$（１），ｃ$（２），…，ｃ$（Ｎ）9，其中$（１），$（２），…，$（Ｎ）是１，２，３，……，Ｎ的全排列。

２蚁群算法描述２．１蚁群算法的优化思想蚂蚁在觅食的途中会留下一种信息素，蚂蚁利用信息素与其他蚂蚁交流，找到较短路径；经过某地的蚂蚁越多，信息素的强度也就越大。

蚂蚁择路偏向选择信息素较强的方向，又因为通过较短路径往返于食物和蚁穴之间的蚂蚁能以更短的时间经过这条路径上的点，所以这些点上的信息素就会因蚂蚁经过的次数增多而增多，这样就会有更多的蚂蚁选择此路径，这条路径上的信息素就会越来越强，选择此路径的蚂蚁也越来越多，直到最后，几乎所有蚂蚁都选择这条最短的路。

这是一种正反馈机制。

２．２蚁群优化原理分析假如路径（ｉ，ｊ）在ｔ时刻信息素强度为τｉｊ，蚂蚁ｋ在路径（ｉ，ｊ）上留下的信息素强度为Δτｋｉｊ，信息素的挥发系数为ρ，则该路径上的信息素强度按下式更新：τｉｊ（ｔ＋１）＝（１－ρ）・τｉｊ（ｔ）＋∑Δτｋｉｊ（ｔ）（２）设Ｌｋ为第ｋ只蚂蚁在本次周游中所走的路径长度，则Δτｋｉｊ（ｔ）＝ＱＬｋ，Ｑ为常数；设ηｉｊ＝１ｄｉｊ为启发式因子，ｄｉｊ为路径（ｉ，ｊ）的长度，启发式因子和信息素强度的相对重要程度分别为α、β，设Ｕ为蚂蚁下一步运动的候选集，则蚂蚁ｋ在ｔ时刻的转移概率为：ｐｋｉｊ（ｔ）＝τｉｊ（ｔ&’）αηｉｊ&(β∑ｌ!Ｕτｉｊ（ｔ&(）αηｉｊ&(βｊ!Ｕ０其他)+*+,（３）２．３ＭＭＡＳ算法对基本蚁群算法进行改进得到的算法有许多种，其中最大－最小蚂蚁系统（ＭＭＡＳ）是到目前为止解决ＴＳＰ、ＱＡＰ等问题最好的ＡＣＯ算法。

它直接来源于ＡＳ算法，主要做了如下改进：⑴每次迭代结束后只有最优解路径上的信息素被更新，更好地利用了历史信息；⑵将各条路径的信息素强度限制在［τｍｉｎ，τｍａｘ］，有效地避免了算法过早的收敛及不扩散；⑶各路径的信息素初始值设为τｍａｘ，有利于算法发现更好的解。

张长春等：粒子群算法和蚁群算法的结合及其在组合优化中的应用７７７８２００７年第２期空间电子技术３粒子群优化算法３．１基本粒子群优化算法描述在某一空间中初始化一群随机粒子，粒子的位置代表问题可能的解，每个粒子都在以一定的速度飞行，粒子群通过多次飞行，即迭代，逐步逼近最优位置，从而得到问题的最优解。

在每一次迭代中，粒子根据两个极值来更新自己：一个是单个粒子找到的最优解，即个体极值；另一个是整个粒子群找到的最优解，即全局极值。

粒子根据上述两个极值，按照下面两个公式更新自己的速度和位置：Ｖ＝ω＊Ｖ＋ｃ１＊ｒａｎｄ（）＊（ｐＢｅｓｔ－Ｘ）＋ｃ２＊ｒａｎｄ（）＊（ｇＢｅｓｔ－Ｘ）（４）Ｘ＝Ｘ＋Ｖ（５）其中，Ｖ＝［ｖ１，ｖ２，…，ｖｄ］是粒子的速度，Ｘ＝［ｘ１，ｘ２，…，ｘｄ］是粒子的当前位置，ｄ是解空间的维数。

ｐＢｅｓｔ是个体极值。

ｇＢｅｓｔ是全局极值。

ｒａｎｄ（）是（０，１）之间的随机数。

ｃ１，ｃ２被称为学习因子，用于调整粒子更新的步长，ω是加权系数。

粒子通过不断的学习更新，粒子群逐渐靠近最优解所在位置，最终得到的ｇＢｅｓｔ就是算法找到的全局最优解。

３．２对基本ＰＳＯ的改造ＰＳＯ算法成功地应用于连续优化问题，但如果引入交换子和交换序［８］的概念，对基本的ＰＳＯ算法进行改造，它也可以对ＴＳＰ问题进行求解。

改造后，速度更新公式为：Ｖ′ｉｄ＝Ｖｉｄ"α（Ｐｉｄ－Ｘｉｄ）"β（Ｐｇｄ－Ｘｉｄ）（６）其中α、β为随机数，α（Ｐｉｄ－Ｘｉｄ）表示基本交换序（Ｐｉｄ－Ｘｉｄ）中的交换子以概率α保留；同理，β（Ｐｇｄ－Ｘｉｄ）表示基本交换序（Ｐｇｄ－Ｘｉｄ）中的交换子以概率β保留。

"为两个交换序的合并因子。

４粒子群算法和蚁群算法的结合４．１ＰＡＡＡ（ＰａｒｔｉｃｌｅＡｌｇｏｒｉｔｈｍ－ＡｎｔＡｌｇｏｒｉｔｈｍ）算法原理分析虽然粒子群算法更适合于求解连续优化问题［２］，在求解组合优化问题上显得逊色了一些，但是由于初始粒子的随机分布，将其用于求解组合优化问题时，该算法仍具有较强的全局搜索能力和较快的求解速度；蚁群算法在求解组合优化问题时优于粒子群优化算法，但由于信息素的初始分布为均匀分布（对于ＭＭＡＳ而言，强度均为τｍａｘ），使得蚁群算法在算法的早期具有盲目性，不能很快地收敛。

文章首次提出的ＰＡＡＡ算法就综合了这两种算法的优势，其基本思想是：在ＰＡＡＡ算法的第一阶段，采用改造的粒子群优化算法，充分利用其随机性、快速性、全局性，经过一定的迭代次数（如２０代）得到问题的次优解（粗搜索），利用问题的次优解调整蚁群算法中的信息素的初始分布；在算法的第二阶段，ＰＡＡＡ利用第一阶段得到的信息素的分布，充分利用蚁群算法的并行性、正反馈性、求解精度高等优点，从而完成整个问题的求解（细搜索）。

粒子群算法和蚁群算法相结合，汲取了两种算法的优点，克服了各自的缺点，优势互补，在时间效率上优于蚁群算法，在求精效率上优于粒子群算法，是综合了两种算法长处的一种新的启发式算法。

它与ＭＭＡＳ算法的不同之处在于：ＭＭＡＳ算法把各路径的信息素初值设为最大值τｍａｘ，而在ＰＡＡＡ算法中，首先通过粒子群算法得到一定的路径信息素分布，然后在蚁群算法中将信息素的初值设为：τＳ＝τＣ＋τＰ（７）其中，τＣ为根据具体问题而规定的一个信息素常数，相当于ＭＭＡＳ算法中的τｍｉｎ，而τＰ就是由粒２００７年第２期子群算法得到的信息素值。

图１表示了ＰＡＡＡ算法的构成方法。

图１ＰＡＡＡ算法的构成方法４．２仿真试验以ＴＳＰ的经典问题ｅｉｌ５１、ｓｔ７０和ｅｉｌ７６为例，文中采用ＭＡＴＬＡＢ对所提算法的有效性进行验证。

首先，粒子群算法进行２０次迭代，得到问题的次优解，然后利用次优解的路径长度，根据式（７）得到蚁群算法中的初始信息素分布；在蚁群算法中，ρ＝０．０２，蚂蚁个数等于城市个数，α＝１．０，β＝５．０，τｍｉｎ＝０．０００１。

表１显示了ＰＡＡＡ算法和基本ＭＭＡＳ算法在求解能力和时间效率上的对比情况。

表１仿真试验结果对比从仿真结果可以看出，ＰＡＡＡ算法中的ＭＭＡＳ的进化代数明显要比基本ＭＭＡＳ算法少，这是因为经过粒子群算法后，信息素的初始分布得到了改善，避免了基本ＭＭＡＳ算法初期由于信息素均匀分布而造成的搜索的盲目性，这样有利于蚁群算法对更精确解的搜索。

图２形象地表示了该算法搜索到的最优路径的情况。

图２ＰＡＡＡ算法找到的最短路径５结论从对文中算法的分析以及仿真结果可以看出，该算法在时间性能和优化性能上都取得了非常好的效果，是一种切实可行的算法。

另外该算法不只适用于ＴＳＰ问题的求解，它还可以广泛地用于各类组合优化问题的求解，如网络路由计算、天线调零、频段分配等通信领域中的复杂优化问题。

可以相信，随着对该算法的深入研究，它将会展现出非常好的应用前景。

张长春等：粒子群算法和蚁群算法的结合及其在组合优化中的应用ＭＭＡＳ算法ＰＡＡＡ算法进化代数ｅｉｌ５１ｓｔ７０ｅｉｌ７６４２６６７５５３８４２９６７８５４５８２３１０３４１３２２４２９６７８５４５粒子群２０２０２０ＭＭＡＳ１５２２３５２８１问题已知最优解最短路径进化代数最短路径７９２００７年第２期空间电子技术ＡＡｄａｐｔｉｖｅＥｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍＢａｓｅｄＯｎＣｈａｎｎｅｌ－ＥｓｔｉｍａｔｉｏｎＷａｎｇＣａｎｌｏｎｇ，ＸｕＺｈａｎｑｉ，ＺｈｕＸｉａｏｍｉｎｇ（ＩＳＤＮＸｉｄｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ＇ａｎ７１００７１）ＡｂｓｔｒａｃｔＵｎｄｅｒＨＦｍｕｌｔｉ－ｐａｔｈｆａｄｉｎｇｃｈａｎｎｅｌｓ，Ｉｎｔｅｒｓｙｍｂｏｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ（ＩＳＩ），ｓｅｒｉｏｕｓｆａｌｌｉｎｇａｎｄｆａｓｔｖａｒｉｅｔｙｏｆｔｈｅｃｈａｎｎｅｌｃｈａｒａｃｔｅｒｓａｒｅｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｗｈｉｃｈａｄｖｅｒｓｅｌｙａｆｆｅｃｔｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｄｉｇｉｔａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅｃａｐａｂｉｌｉｔｙｏｆｒｅｃｅｉｖｅｒｌｉｅｓｏｎｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｃｈａｎｎｅｌ－ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｎｄｃｈａｎｎｅｌ－ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ．Ｂｕｔｗｈｅｎｔｈｅｔｒａｉｎｉｎｇｓｅｑｕｅｎｃｅｉｓｔｏｏｓｈｏｒｔｏｒｈａｖｉｎｇｃｈｏｓｅｎａａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｉｔｈｌｏｗｓｐｅｅｄｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｔｈｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎｃａｎｎｏｔａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｉｒｂｅｓｔｖａｌｕｅａｔｔｈｅｅｎｄｏｆｔｒａｉｎｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｔｈｅｃｈａｎｎｅｌｉｍｐｕｌｓｅｒｅｓｐｏｎｓｅｆｉｒｓｔａｎｄｍａｐｐｉｎｇｔｈｅｃｈａｎｎｅｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｔｏｔｈｅｅｑｕａｌｉｚｅｒ＇ｓｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎｔａｋｉｎｇｔｈｅｓｑｕａｒｅｒｏｏｔｋａｌｍａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏａｄｊｕｓｔｔｈｅｓｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｎｄｔｒａｃｋｔｈｅｖａｒｙｏｆｃｈａｎｎｅｌｉｎｔｈｅｔｒａｃｋｉｎｇ－ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｂｅｔｔｅｒｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｃｏｍｐａｒｅｄｔｏｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌａｄａｐｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｗｈｅｎｔｈｅｔｒａｉｎｉｎｇｓｅｑｕｅｎｃｅｉｓｓｈｏｒｔ．ＳｕｂｊｅｃｔＴｅｒｍｄｅｃｉｓｉｏｎｆｅｅｄｂａｃｋｅｑｕａｌｉｚｅｒ（ＤＦＥ）R ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔＫａｌｍａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍR ｃｈａｎｎｅｌ－ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ（上接第７５页）参考文献１ＫｅｎｎｅｄｙＪ，ＥｂｅｒｈａｒｔＲＣ．Ｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ａ］．ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ［Ｃ］．Ｐｅｒｔｈ，Ａｕｓｔｒａｌｉａ，１９９５２ＳｈｉＹ，ＥｂｅｒｈａｒｔＲＣ．Ａｍｏｄｉｆｉｅｄｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ａ］．ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｆＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｃ］．Ａｎｃｈｏｒａｇｅ，Ａｌａｓｋａ，１９９８３ＤｏｒｉｇｏＭａｎｄＣａｒｏＧＤ．Ｔｈｅａｎｔｃｏｌｏｎｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｅｔａ－ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ．ＩｎＤ．Ｃｏｒｎｅ，Ｍ．ＤｏｒｉｇｏａｎｄＦ．Ｇｌｏｖｅｒ，Ｅｄｉｔｏｒｓ，ＮｅｗＩｄｅａｓｉｎＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｍ］：１１～３２．ＭｃＧｒａｗＨｉｌｌ，Ｌｏｎｄｏｎ，ＵＫ，１９９９４ＢｏｎａｂｅａｕＥ，ＤｏｒｉｇｏＭａｎｄＴｈｅｒａｕｌａｚＧ．Ｓｗａｒｍｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ：ｆｒｏｍｎａｔｕｒａｌｔｏａｒｔｉｆｉｃｉａｌｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｐｒｅｓｓ，１９９９５张宏达，郑全弟．基于蚁群算法的ＴＳＰ的仿真与研究．航空计算技术．Ｖｏｌ３５，Ｎｏ４：１０３～１０６，２００５６吴斌，史忠植．一种基于蚁群算法的ＴＳＰ问题分段求解算法［Ｊ］．计算机学报．２００１，２４（１２）：１３２８～１３３３７胡小兵．蚁群优化原理、理论及其应用研究．重庆大学博士学位论文．２００４８黄岚，王康平等．粒子群优化算法求解旅行商问题．吉林大学学报（理学版）．Ｖｏｌ．４１，Ｎｏ．４：４７７～４８０，２００３作者简介张长春１９８０年生，硕士。