平面角与立体角

合集下载

多维空间的立体角

立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。

1. 平面角

我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：

dφ=CD ̂r

其中，CD

̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：

̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：

φ=∫

sin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：

ψ=π

−θ

φ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙r

r B A

2. 立体角

对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。

设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：

dS⊥=dS∙r r

立体角微元dΩ为：

dΩ=dS∙r r3

曲面对空间的立体角为：

Ω=∫dS∙r r3

不难得到，全空间的立体角Ω=4π

下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：

顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)

半球：2π

球面三角形：A+B+C−π

四面体：

对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=1

(α+β+γ)，则：

tan Ω

=√tan

tan

θ−α

tan

θ−β

tan

θ−γ

正方体的一个顶角的立体角为π

2，正四面体的一个顶角为arctan 10√2

平面角与立体角的关系

在数学中，平面角和立体角是两个重要的概念。它们在几何学和物

理学中有着广泛的应用，并且它们之间存在着非常密切的关系。在本

文中，我们将探讨平面角与立体角之间的关系以及它们各自的定义和

性质。

一、平面角的定义和性质

平面角是指由平面中两条射线所夹的角。可以用角的顶点和两条射

线的端点来标记一个平面角。平面角通常以字母来表示，如角AOB可

以表示为∠AOB。

平面角有几个重要的性质：

1. 平面角的大小可以用角度来度量，单位为度（°）或弧度（rad）。

2. 平面角的度数范围是0°到360°之间（或0到2π之间的弧度）。

3. 平面角是无穷多的，可以任意大小。

4. 平面角可以分为锐角、直角、钝角、平角四种类型。

二、立体角的定义和性质

立体角是指由一个点和以该点为顶点的三条射线所夹的空间角。立

体角也可以用角的顶点和三条射线的端点来标记一个立体角。立体角

通常以字母来表示，比如角OABC可以表示为∠OABC。

立体角有以下几个重要的性质：

1. 立体角的大小可以用立体角的面积来度量，单位为立体弧度（sr）。

2. 立体角的面积范围是0到4π之间的立体弧度。

3. 立体角是有限多个的，数量是有限的。

4. 立体角可以分为锥角、直角锥角、钝角锥角、平角四种类型。

三、平面角与立体角之间存在着紧密的联系。事实上，可以通过一个平面角来定义一个立体角。具体来说，如果我们在平面上选取一个点作为角的顶点，并以该点为顶点的两条射线所夹的平面角为基准，然后通过在空间中沿着与平面垂直的方向选择一个射线，使得它与基准平面的交线与两条基准射线所在的平面的交线共线，那么由这三条射线所夹成的空间角就是一个立体角。

平面发散角和立体角的关系

角是几何学中非常重要的一个概念，它可以用来描述两个线段或

者两个平面之间的夹角。在几何学的基础知识中，我们学习了许多种

类的角度，如平面角、立体角等。这篇文章将围绕平面发散角和立体

角的关系展开阐述。

平面发散角是指连接扇形圆弧上相邻端点所形成的角度，即圆心角。对于一个圆来说，其圆心角的度数相当于圆周长的一部分。而立

体角则是指三维空间中的角度，通常用于描述物体所占据的角度大小。一般来说，立体角被用来描述三维空间中的某个点所能看到的所有部分。

现在来看看平面发散角和立体角之间的关系。首先，我们可以把

一个圆分成许多不同大小的扇形，每个扇形的圆心角度数各不相同。

如果我们将这些扇形排列起来，就可以形成一个球体，这个球体上的

每个点都对应着一个扇形。从这个角度来说，球体的每个点都对应着

三维空间中的一个不同方向，这也就是立体角的概念。因此，我们可

以将球体上的每个点所对应的平面发散角看作是一个立体角。

在三维空间中，立体角的大小通常用球面上的面积来表示。这个

球面的面积越大，其上的立体角度数也就越大。如果我们将这个球面

的半径设为r，那么它的表面积就是4πr²。如果一个立体角所覆盖的

表面积是S，则它的大小就是S/4πr²。再把这个角度值带入到圆心角

的公式中，就可以得到平面发散角的度数了。

总之，平面发散角和立体角之间的关系可以总结为：平面发散角

度数就是立体角所覆盖的球面表面积除以球面总面积的比例。这个比

例也就是立体角的度数。因此，这两个角度的概念实际上是密不可分的，相互关联的。了解它们之间的关系是非常重要的，这对于研究三

立体角理解及应用

立体角

在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。

立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。

通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。

平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。

1、立体角定义与量度

1.1立体角的概念

当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。

而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。

二面角的平面角概念

二面角是一个立体角，它是由两个平面角所围成的。其中，平面角是指在同一平面内，以同一端点为顶点，将这个端点所在直线分成两部分所形成的角。二面角的顶点在立体角的中心，它是由四个不同的面共同组成的，其中每个面都与三个相邻的面相交，同时每对相邻的面都构成了一个平面角。因此，二面角可以被看作是四个平面角的集合，它同时也具有平面角的一些特性，如大小和方向等。其中，二面角的大小是由它所包含的两个平面角的夹角大小决定的。

立体角计算公式

立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。

基本计算公式

二维平面立体角的计算公式如下：

夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]

其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。

三维平面立体角的计算公式如下：

夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]

其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。

立体几何计算公式

立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。

1.体积公式：V＝abc

其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。

2.表面积公式：S＝ab+bc+ca

其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角

的表面积。

3.距离公式：D＝√(a+b+c)

其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。

4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c

其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。

5.体积中垂线公式：V＝abc sin

其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。

立体角的应用

立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。

高三几何图形知识点

几何图形是数学中的重要概念，它们在我们生活和学习中随处

可见。作为高三学生，我们需要掌握并熟练运用几何图形的相关

知识。本文将重点介绍高中几何图形的基本定义、性质和应用。

下面是具体内容：

一、点、线、面的基本概念

点是几何图形的基本元素，它没有长度、面积和方向。线由无

数点连成，具有长度和方向。面由无数线连成，具有面积和方向。

二、常见平面图形

1. 直线：直线是由无数点连成的，没有弯曲和拐点。

2. 射线：射线有一个起点，无穷远处的点被称为终点。

3. 线段：线段有两个端点，并且长度是有限的。

4. 立体角：立体角是由两个或多个平面角共同组成的角。

三、多边形

多边形是由多条线段按一定方式相连而成的封闭平面图形。常

见的多边形有三角形、四边形和正多边形等。

1. 三角形：三角形有三条边和三个内角。根据边长关系，可以

判断三角形的形状。

2. 四边形：四边形有四条边和四个内角。常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形和梯形等。

3. 正多边形：正多边形的边长和内角都相等。常见的正多边形

有正三角形、正方形和正五边形等。

四、圆和圆的性质

圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。圆的中心是固定点，半径是到中心的距离。以下是圆的一些重要性质：

1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。

2. 圆内角：圆内角是圆上的两条弧所对的角。

3. 弧长：弧长是圆上一段弧的长度。

五、立体图形

立体图形是由平面图形沿一定方向延伸形成的图形。

1. 球体：球体是由平面上的一个圆绕其直径旋转一周形成的立体图形。

2. 圆柱体：圆柱体有两个底面和一个侧面，侧面是由平行于底面的线段组成的。

光强中什么是立体角及它的计算公式

A=4(arctg tgβ -arcsin(cosα sin(arctg tgβ ))
tgα
tgα
+arctg tgα -arcsin(cosβsin(arctg tgα )))
tgβ
tgβ
特别地，当α =β时，Φ1=Φ2=π/4，
A1=A2=π/4-arcsin(cosα / 2 )
(14)
(15) (16) (17)
曲面面积计算公式为：
∫∫ A= 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 dxdy
D
∂x ∂y
上半球球面方程为：
Z= 1− x2 − y2
图 3 计算示意图
（1）（2）
由 ∂z = − x ∂x 1− x2 − y2
∂z
−y
=
∂y 1− x2 − y2
得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 =
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
180° 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.146 3.665 4.189 4.712 5.236 5.760 6.283

空间几何中的平面角与立体角

空间几何中的平面角与立体角在空间几何中，平面角与立体角是两个重要的概念。平面角是指由

两条交叉的直线所形成的角度，而立体角则是由多个平面角所围成的

角度。理解和运用这些概念对于解决空间几何问题至关重要。

一、平面角

平面角是平面几何中常见的概念，它是由两条直线在同一平面上的

交叉所形成的角度。对于给定的两条直线，在它们的交点处，可以测

量出一个角度，即平面角。平面角通常用弧度或度来表示。

在平面角中，有一些特殊的角度需要特别注意。例如，当两条直线

互相垂直时，它们所形成的平面角称为直角。直角是平面几何中的基

本角度单位，它的度数为90°，弧度表示为π/2。直角的特殊性使得它

在很多几何问题中具有重要的作用。

此外，在平面角中还有钝角和锐角。当两条直线之间的夹角大于90°时，我们称它为钝角；当夹角小于90°时，我们称之为锐角。钝角和锐角常常出现在各种几何问题中，它们的大小和位置对于问题的解决至

关重要。

二、立体角

立体角是空间几何中的一个重要概念，它是由多个平面角所围成的

角度。在空间中，我们可以将一个角度所围的范围看作是一个三维的

空间区域，这个区域就是立体角。

在计算立体角时，我们通常采用球面角的概念来表示。球面角是一

种特殊的立体角，它是由一个球的表面上的两个交叉弧所形成的角度。对于一个给定的球面角，我们可以根据弧长和球半径来计算它的值。

立体角在空间几何中有着广泛的应用。例如，在物理学中，立体角

可以用来描述辐射场的分布情况；在计算机图形学中，立体角可以用

来计算光线追踪和阴影效果等。了解立体角的概念和计算方法对于解

关于立体角的解释和计算

立体角计算公式

摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。关键词：立体角，发光角。引言

光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：

I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。

式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。

但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。

1立体角的定义

将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=

图1平面角（单位：弧度rad ）图2立体角（单位：球面度sr ）

2立体角的计算

设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α

不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。

图3 计算示意图

曲面面积计算公式为： A=

⎰⎰

∂∂+∂∂+D

z x z 2

2)()(

1dxdy （1）上半球球面方程为：

Z=2

21y x -- （2）

由

x z ∂∂=221y x x --- （3）

221y

x y

y z ---=

∂∂ （4）得 222211

)()(

x y z x z --=

立体角和球面角的计算

立体角是用来度量几何体内部的角度的概念，常用于计算体积、投影面积等几何问题。球面角是度量球面上的角度的概念，常用于计算球体表面积、球冠体积等球面几何问题。在本文中，我们将介绍立体角和球面角的计算方法。

一、立体角的计算

立体角是用立体上两条射线之间的夹角来度量的。在三维空间中，可以通过将立体分割为多个小面元，再计算每个小面元上的角度之和来获得立体角。以下是几种常见的立体角计算方法：

1. 平面上的立体角

对于平面上的立体角，可以通过计算其边界上的线段与原点之间的夹角来求得。具体计算步骤如下：

- 将平面分割成多个小区域，如三角形、四边形等。

- 计算每个小区域的边界上的线段与原点之间的夹角。

- 将每个小区域的夹角相加，得到平面的立体角。

2. 立体图形的立体角

对于立体图形，可以通过计算其面上的法线与原点之间的夹角来求得立体角。具体计算步骤如下：

- 将立体图形划分为多个小面元，每个小面元的面积为A。

- 计算每个小面元的法线与原点之间的夹角。

- 根据每个小面元的夹角和面积，计算每个小面元上的立体角。

- 将每个小面元上的立体角相加，得到立体图形的立体角。

二、球面角的计算

球面角是度量球面上某一部分的大小的概念。在球面几何学中，可以通过计算球面上两条弧的夹角来求得球面角。以下是几种常见的球面角计算方法：

1. 以球心为顶点的球面角

对于以球心为顶点的球面角，可以通过计算球心到两条弧的夹角来求得。具体计算步骤如下：

- 已知球心和两条弧的切点，计算球心到切点的距离为R。

- 计算球心到两条弧的夹角。

灯具光学讲义-2

2 .61 .57 .54 .59 .56 .54 .57 .55 .52 .55 .53 .51 .54 .52 .50 .49 .176
3 .54 .50 .47 .53 .49 .46 .52 .48 .46 .50 .47 .45 .49 .46 .44 .43 .168
4 .49 .44 .40 .48 .44 .40 .46 .43 .40 .45 .42 .39 .44 .41 .39 .37 .160
RCR
COEFFICIENTS OF UTILIZATION FOR ρFC=20
0 .75 .75 .75 .73 .73 .73 .70 .70 .70 .67 .67 .67 .64 .64 .64 .63
1 .68 .65 .63 .66 .64 .62 .63 .62 .60 .61 .60 .59 .59 .58 .57 .56 .182
8 .31 .26 .23 .31 .26 .22 .30 .26 .22 .29 .25 .22 .29 .25 .22 .21 .131
9 .28 .23 .19 .28 .23 .19 .27 .22 .19 .26 .22 .19 .25 .22 .19 .18 .125
Leabharlann Baidu
10 .25 .20 .17 .25 .20 .17 .24 .20 .17 .24 .20 .17 .23 .19 .17 .16 .118

多维空间的立体角

立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。

1. 平面角

我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：

dφ=CD ̂r

其中，CD

̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：

̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：

φ=∫

sin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：

ψ=π

−θ

φ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙r

r B A

2. 立体角

对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。

设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：

dS⊥=dS∙r r

立体角微元dΩ为：

dΩ=dS∙r r3

曲面对空间的立体角为：

Ω=∫dS∙r r3

不难得到，全空间的立体角Ω=4π

下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：

顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)

半球：2π

球面三角形：A+B+C−π

四面体：

对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=1

(α+β+γ)，则：

tan Ω

=√tan

tan

θ−α

tan

θ−β

tan

θ−γ

正方体的一个顶角的立体角为π

2，正四面体的一个顶角为arctan 10√2

立体角计算公式1

图3 计算示意图
曲面面积计算公式为： A=dxdy 上半球球面方程为： Z=
（1）（2）
由 = 得代入（1）式得： A= 利用极坐标，得（5）
（3）（4）
(6)
： A= (7) 易知，积分区域在xy平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为： +y2=1 (8) x2 +=1 (9) 交点坐标（,) φ1=arctg (10) φ2=arctg (11) 将x=rcosΦ，y=rsinΦ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： (12) (13)
图4
xy面投影
根据对称性，有： A=4(A1+A2) A1= A2= 于是， A1= =）dΦ =Φ1- dΦ =Φ1设t=sinΦ，则cosΦdΦ=dt A1=Φ1=Φ1=Φ1-arcsin(cos·t) =Φ1-arcsin(cossinΦ1) 同理， A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2) (16) 带入（14）式,得出最终结果： A=4(arctg-arcsin(cossin(arctg)) +arctg-arcsin(cosβsin(arctg))) 特别地，当=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos/)
(14)
(15)
(17)
3数值结果
2β 2α
15°
30°

立体角

立体角公式

在球坐标系中，任意球面的极小面积为：

因此，极小立体角（单位球面上的极小面积）为：

所以，立体角是投影面积与球半径平方值的比，这和“平面角是圆的弧长与半径的比”类似。对极小立体角做曲面积分即可得立体角：

任意定向曲面的立体角

任意定向曲面相对于某一个点

的立体角，即为该曲面投影到以为球心的单位球面上的面积。

令为该单位球面上以为原点的极小面积的位置向量，可以得到以下公式：

立体角的单位

立体角的国际制单位是球面度（steradian ，sr ）。立体角有一个非国际制单位平方度，1 sr = (180/π)2 square degree 。

封闭曲面的立体角

一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4π sr （对于球外任意一点的立体角为0 sr ）：

这个定理对所有封闭曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依据[2]。

灯具光学

50 30 10 50 OF UTILIZATION .70 .70 .67 .62 .60 .61 .55 .52 .55 .48 .46 .50 .43 .40 .45 .37 .34 .40 .33 .30 .36 .29 .26 .33 .26 .22 .29 .22 .19 .26 .20 .17 .24
IESNA眩光控制分类最大光强的垂直角度以上的光分布控制
完全截光型
离开灯下点90°（r=90°）以上的所有角度的光强值为0，而且在离灯下点80°（r=80°）的位置每1000流明的光强值不超过100cd（10%）。围绕灯具的所有横向角度都要满足这个要求。
截光型
离开灯下点90°（r=90°，水平）的位置的每1000流明的光强值不超过25cd （2.5%），而且在离灯下点80°（r=80°）的位置不超过100cd（10%）的灯具是达到截光水平的。同样应用到围绕灯具的所有横向角度。
0.8(0.85)
0.75(0.8)
0.75(0.81)
0.7(0.76)
0.66(0.76)
0.6(0.69)
户外露天广场
0.75
0.7
室内灯具
光通比与距高比极坐标配光曲线空间等照度曲线平面等照度曲线利用系数 CU
概算曲线
光通比与距高比
CIE 分类: 直接向上光通比: .0 % 最大距高比: