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第一部分 数量关系——数学运算第一章 数学运算命题规律 第二节 数学运算题型特点1、裂项公式：111)1(1+-=+n n n n例题：A 、B 、C 、D 、E 是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个？ A:0 B:1 C:2 D:3解析：设A<B<C<D<E ，则D+E,C+E 分别对应加和最大的两个数；同理，A+B,A+C 分别对应加和最小的两个数。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④③②①25174245C A B A E C E D ①-②得D-C=3；④-③得C-B=8；此二式相加得D-B=11 ⑤ 第三大的书39可能是B+E 或C+D ，若B+E=39，则根据①可知D-B=6与⑤不符，所以C+D=39（⑥），①②⑥可得C=18，D=21，E=24，进而求得A=7，B=10。

这五个数中能被6整除的有2个，选C第二章 数学运算核心考点 第一节 算术基础知识1、奇偶性质整数可分为奇数和偶数，整数之间进行和、差、积运算时，运算结果的奇偶性具有如下规律：加减规律：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。

⎪⎩⎪⎨⎧=±=±=±偶数偶数偶数偶数奇数奇数奇数奇数偶数乘法规律：乘数有偶则有有偶，乘数无偶则为奇。

⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯=⨯偶数偶数偶数奇数奇数奇数偶数奇数偶数重要结论：奇数个奇数的和=奇数；偶数个奇数的和=偶数若干个乘数相乘，有一个偶数则乘积为偶数，全为奇数则乘积为奇数 ① 从1开始连续n 个奇数的和等于n ²2、质和性质质数：只可以被1和自身整除，不能被其他整数整除。

如5，只能被1和5整除，为质数。

2是唯一的偶质数，其他的质数均为奇数合数：除了1和自身外，还能被其他整数整除。

如6，除了能被1和6整除外，还能被2、3整除，因此6是一个合数。

重要结论：只有平方数有奇数个约数，其他整数都有偶数个约数。

3、整除性质整除具有以下两个重要性质：传递性：如果数a 能被b 整除，被b 能被c 整除，则数a 能被c 整除 例如：42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。

可加减性：如果数a 能被c 整除，数b 能被c 整除，则a+b 、a-b 均能被c 整除 例如：30能被3整除，18能被3整除，30+18=48、30-18=12也能被3整除4、最大公约数与最小公倍数最大公约数：若两个数有公共的约数，则这个约数成为它们的公约数，即“公共的约数”，最大公约数即指公约数中最大的那个数。

最小公倍数：若两个数有公共的倍数，则这个倍数成为它们的公倍数，即“公共的倍数”，最小公倍数即指公倍数中最小的那个数。

5、平均数算数平均数：一组数据中所有数据之和除以数据个数所得的商数。

⎺x =nn321x x x x +⋯+++算数平均数与各数之差的平方和最小。

几何平均数：n 个正数乘积的n 次算数根。

⎺x=n n 21x ...x x ⨯⨯⨯任意n 个正数的几何平均数不大于这n 个数的算数平均数即n21...m m n m ⨯⨯⨯ ≤nm m m n+++ (21)加权平均数：一组数据n x x x ,...,,21出现的次数分别为,,...,,21n m m m 这些数的加权平均数是：⎺x=nnn m m m x m x m x m ++++++ (212211)注：两个不相等的数的平均数总是介于这两个数之间。

6、十字交叉法：主要用于解决两个部分的“平均值”混合形成一个新的平均值的问题 假设第一部分平均值为a ，第二部分平均值为b （a ＞b ），混合后的平均值为整除性核心考点被5整除的判断依据——个位是0、5的数可被5整除。

被8整除的判断依据——末三位可被8整除的数能被8整除。

被3整除的判断依据——各位数字和是3的倍数的数可被3整除。

被9整除的判断依据——各位数字和是9倍数的数可被9整除。

被6整除的判断依据——能同时被2、3整除。

c 。

平均值 总平均值 交叉作差 权重 第一部分第二部分 a c-b x cb a-c y权重比ca bc y x --=这里的平均值可以是浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等等。

因此，凡涉及求两个平均数的加权平均数均可采用十字交叉法快速得解。

7、根据“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”可得以下两个重要结论：a 、b 均为正数，ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时等号成立； a 、b 、c 均为正数，33abc c b a ≥++，当且仅当a=b=c 时等号成立。

由上可知，当两个正数的和一定时，它们越接近时乘积越大，当二者相等时乘积最大；同理，当两个正数的积一定时，它们越接近时和越小，当二者相等时和最小。

第二节 代数工具解不定方程最重要的是利用整数的奇偶性、质合性、整除性质、尾数特点以及互质等性质来缩小解得范围。

1、 利用奇偶性质因为在不定方程ax+by=c 中a ，b ，c 是已知的，所以可以根据奇数与偶数的运算性质判断x ，y 的奇偶性以缩小解的范围。

判断规则如下表： c 为偶数ax+by=c 偶数+偶数=偶数 a ，b 若为奇数，则x ，y 为偶数 ax+by=c 奇数+奇数=偶数a ，b 为奇数，且x ，y 为奇数c 为奇数ax+by=c 偶数+奇数=奇数 a 为奇数，则x 为偶数 b 为奇数，且y 为奇数 ax+by=c 奇数+偶数=奇数b 为奇数，则y 为偶数 a 为奇数，且x 为奇数2、 利用互质性质对两个整数进行质因数分解后，若它们没有相同的质因数，则称这两个数互质。

互质的两个数相除必然不能得到整数，譬如ax=by ，若a 与b 互质，则根据abyx =可知，若令x 为正数则y 必然是a 的倍数。

3、 利用不等式性质不等式的一个基本性质——若a ＞b ＞c ，则b11＜a4、等差数列等差数列核心公式通项公式a n=a1+（n-1）d （a1是首项，d是公差）对称公式a m+a n=a i+a j （m+n=i+j）利用通项求和S=n利用中项求和5、等比数列第二部分判断推理——图形推理第一章图形推理命题规律第二节图形推理题型特点1、分类型图形推理解题思路思路一：以图形之间的共同特征或共有元素为突破口，猜想并验证分类标准思路二：分析单个图形的外部整体特征和内在细节特征，然后用其他图形去匹配。

2、顺推型图形推理解题思路思路一：从具有典型特征的特殊图形出发，去定位图形推理规律思路二：观察找出图形最显著的共同特征，比较归纳这些共同特征之间的联系思路三：对比分析图形之间的细微差异，找到有何不同，因何不同。

3、类比型图形推理解题思路思路一：横向类比，即首先分析第一组图形内部的联系，然后将这种联系运用于第二组图形思路二：纵向类比，即将两组图形中相同位置的图形对应来看，综合比较，寻找规律。

4、九宫格图形推理解题思路思路一：找出9个图形具有的共同特征或者将9个图形看成一个整体寻找特征思路二：按每行或每列将9个图形分为3组，由此转化为类比型图形推理的解题思路思路三：将9个图形看成连续排列的一列图形，由此转化为类似于顺推型图形推理的解题思路第二章图形推理核心考点第一节数量类考点1、点图形推理中，所考查的点主要有四种类型：十字交叉点、T字交叉点、切点、接触点。

需要提醒大家两点，一是真题中以考查各类交点的总数居多；二是当图形由内外两个图形组成时，需要留意接触点的数量。

2、线线是图形最基本的构成元素，也是涉及考点最多的一个要素。

在数量上主要考察图形中的直线数、曲线数以及线条总数。

与线条相关的概念——笔画数、一笔画数与多笔画数，也是重要的考点，其中笔画数是针对汉字、英文字母而言的。

一笔画的判断方法若一个图形中的交点（包括端点）所连接的线条数量为奇数，则称该交点为奇点；反之则称为偶点。

（1）一个连通图形中的奇点数为0或者2，则该图形可一笔画出；（2）一个连通图形中奇点的个数（0除外）除以2所得的数为多少，则该图形可多少笔画出；（3）对于由多个连通部分组成的图形，分别计算各个部分可几笔画出，然后将其数值相加即可3、角直线与直线相交形成角，角度值大于0°、小于90°的角称为锐角，角度值为90°的称为直角，角度值大于90°的、小于180°的称为钝角。

图形推理中会单独考查直角、锐角、钝“点”的相关考点核心考点 定义例图十字交叉点 两条线在交叉位置向四个方向延伸，这个交叉的位置就是十字交叉点T 字交叉点 两条线在交叉位置向三个方向延伸，这个交叉的位置就是T 字交叉点切点 直线与圆（椭圆）或圆（椭圆）与圆（椭圆）相交时，有且只有1个焦点，这个焦点就是切点 接触点将一个图形分成两部分（一般为常见的规则几个图形），这两个部分相互接触所形成的点叫做接触点“线”相关考点核心考点 定义常规规律线条数 包括直线数、曲线数、线条总数、线段露头等1、图形所包含的直线数或曲线数相等或呈等差数列增减2、图形中的线条总数相等或呈等差数列增减3、图形中的线段露头数总数相等或呈等差数列增减4、汉字、英文字母的笔画数相等或呈等差数列增减5、所有图形都可一笔画出6、每行（列）三个图形依次可一笔画出、两笔画出、三笔画出笔画数 一般针对汉字、字母，按其书写习惯计算 一笔画与多笔画若一个图形可以从某一点不重复、不间断地描出，则可一笔画出；若一个图形可至少通过n 次不重复、不间断的线条描出，则可n 笔画出十字交叉点T 字交叉点切点接触点角的数量，也会考查图形中这三种角的数量之和。

4、面5、素素是指图形的构成元素，主要有元素种类数、同种构成元素的个数、图形部分数、图形部分数、数量换算等考点。

需要注意：当以点相接或以线相连的图形计算元素种类数时，应先将图形分割成不重叠的最小的封闭空间，然后查看这些部分的种类数。

2、曲直性“面”相关考点核心考点 定义题图特征 备注封闭区域数 图形中由封闭线条围成的空白的个数称为封闭区域数图形都有封闭区域 一个封闭区域内部任何一点的连线都将和区域边界相交 面积大小关系 图形中两部分面积的关系或一部分的面积与整体图形面积间的关系图形中有阴影区域阴影部分的面积与整体图形面积的。

是显而易见的，否则应考虑其他规律面的个数立体图形中平面的个数所有图形均为立体图形注意立体图形中从某一方向上看不到的“素”相关考点核心考点 定义题图特征备注元素种类数把图形相同的构成元素，称为图形的一种元素种类 各个图形一般差异较大，一个图形可分成几种构成元素 考查图形种类时，构成元素之间可以分离，也可以以点相接，还可以以线相连 同种构成元素的个数 图形中相同的构成元素的个数存在一定的规律性 图形中会出现多个相同的构成元素 注意灵活运用求同思维，发现图形中的共同点图形部分数一个图形中没有公共点的两个图形元素称为这个图形的两部分图形明显可看出由多个部分构成 考查部分数涉及的图形比较多样，不仅包括一般的图形，也可以是汉字，数字等数量换算将一种小图形通过等量代换，转换成另一种小图形的过程题干图形均由两种或三种小图形构成数量换算的实质是通过小图形间的等量代换，寻找图形间的数量关系“曲直性”相关考点核心考点 定义 直线构成 只有直线的图形 曲线构成 只有曲线的图形 直曲线混合构成 既有直线又有曲线的图形3、封闭性封闭性常考规律：1、所有图形都是封闭图形。