(精编)高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)

数列高考复习(附参考答案)———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a - 的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数 的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项 的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线 的一个方向向量 的坐标是 ( B )A.1(2,)2 B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a + 的值为（ C ） A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确 的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值 的n 是（B ）A ．21B ．20C ．19D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆 的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆 的离心率组成以43为首项，31为公比 的等比数列，而椭圆相应 的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m恒成立，则m 的最大正整数为 （ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n n a nn ，则数列 的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1 的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有 3a n +1－a n = 0，则数列{b n } 的通项公式 nn b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上 的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上 的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n } 的通项公式为n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项 的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++=时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）[解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分） 当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n } 的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。

（1）求数列{a n } 的通项公式；（2）若2211,b a b a <=求p 的取值范围。

16．解：（1）)1,0(1)1(1111≠≠-=-==p p p pa a p S a 解得 当111)1()(2---=--=-=≥n n n n n n n pa a p a a p S S a n 整理得时， 故)1,0,,2(11≠≠∈≥-=+-p p N n n p pa a n n …………4分 由1,111-=-=-p pa a p p a n n 得)()1()1(11+-∈-=--=N n p p p p p p a nn n ………………………………6分（2）由已知得021)1(4)1(2122<----⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+=-p p p p q qp p q p p并整理得消去则211<-<-p p有221><p p 或 ………………………………9分 又10,(,0)(0,)(2,)2p p ≠∴-∞⋃⋃+∞的取值范围为………………12分16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005年该厂生产 的模拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润 的1.25倍 的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这个利润是上年利润 的54，以后每年 的利润均以此方式产生. 预期计划若干年后两产品利润之和达到174万元. 从2005年起，（I ）哪一年两产品获利之和最小？（II ）至少经过几年即可达到或超过预期计划？16．分））（时取（当且仅当）（分，）（则分）万元万元，办公桌获利年太空椅获利）设第解：（5”“2120)54(754548)3..(..................................................)54(7545481......(1111==≥+=+∴==I ----n y x y x y x n n n n n n n n n n n故第2006年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）（II ）则有）（，又令）（令,45174)54(754548111---==+=+n n n n n t y x.82540961562545782510243125456.8252566254559 (8)2545)(21825025581658251611112>==<==<===∴==∴=+-∴=+----n n n n n n n t t t t tt ）时，（当，）时，（、；当）时，（当分）（）（舍或， .7年即可超过预期计划故至少经过…………………………………………（1分）17.（选做题）已知函数)4(44)(≥+-=x x x x f 的反函数为)(1x f-，数列{a n }满足：a 1 = 1，)(),(*11N n a fa n n ∈=-+，数列123121,,,----n nb b b b b b b 是首项为1，公比为31的等比数列.（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列； （Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和S n .17．解：（Ⅰ）)4()2(44)(2≥-=+-=x x x x x f ，)0()2()(21≥+=∴-x x x f，…………………………………………2分211)2()(+==∴-+n n n a a f a ，即).(2*1N n a a n n ∈=-+ ………………………………………………4分∴数列1}{1=a a n 是以为首项，公差为2 的等差数列 …………………………6分 （Ⅱ）由（1）得：12)1(21-=-+=n n a n ，即)()12(*2N n n a n ∈-= ……………………………………………………8分b 1 = 1，当11)31(,2--=-≥n n n b b n 时， )()()(123121--++-+-+=∴n n n b b b b b b b b12)31()31(311-++++=n ).311(23n -= 因而.),311(23*N n b n n ∈-= ……………………………………………………10分),311(23)12(n n n n n b a c -⋅-=⋅=)]312353331()12(531[232221n n n n n c c c S -++++--++++=+++=∴令nn n T 31233312-+++= ①则143231233235333131+-+-++++=n nn n n T ② ①－②，得11122312)311(3131312)313131(23132+-+---+=--++++=n n n n n n n T .311n n n T +-=∴又1 + 3 + 5 + … +（2n －1）= n 2，).311(232n n n n S ++-=∴ …………………………………………………………14分18.11(),(0,){}1,();21n n n xf x x a a a f a x +=∈+∞==+（选做题）已知函数，数列满足数1111{},,{}n 1,2,3,.212()n n n n n b b b s b n f s +===-列满足其中为数列前项和，（1）;}{}{的通项公式和数列求数列n n b a（2）.5:,1112211<+++=n nn n T b a b a b a T 证明设 18．解:.211.12),(,12)(111+=∴+=∴=+=+++n n n nn n n a a a a a a f a x xx f 分为公差等差数列为首项以3.1212)1(11.211}1{1 -=∴⋅-+=∴=∴n a n a a a n nn分公比为从第二项起成等比数列又62,321,21.3,}{,212,21.3).(2.12.1212211,)(211,12)(2121121121211 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==∴=+===∴-=-∴+=∴+=+-=∴-=+=-+++++++++n n b b s b b b b s s b b s b s s s b s f b x x x f n n n n n n n n n n n n n nn n n12322222)31()12()31()32()31(7)31(531331)31()12()31(731513])31)(12()31(731513[212:)2(----⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=-++⋅+⋅+⋅+=n n n n n n n n n A n A n T 令依题意证明121232)31)(12(311])31(1[3123)31()12(])31()31()31(31[21332--------⋅+=⋅--++++⋅=∴n n n n n n n A 分分12.5)31)(12(43)31(4359)31)(12(23)31(2361212 <-⋅-⋅-=∴-⋅--=∴----n n n n n n n T n A（2009 天津卷） 已知等差数列{}n a 的公差为)0(≠d d ，等比数列{}n b 的公比为)1(>q q .设1122......n n n S a b a b a b =+++,*12211,)1(N n b a b a b a T n n n n ∈-+⋅⋅⋅+-=-（Ⅰ）若,3,2,111====q d b a 求 3S 的值；（Ⅱ）若11=b ，证明：2*2222(1)(1)(1),1n n n dq q q S q T n N q---+=∈- （Ⅲ）若正整数n 满足2≤n ≤q ，设1212,,...,,,...,12...n n k k k l l l 和是，，，n 的两个不同 的排列，12112...n k k k n c a b a b a b =+++，12212...n l l l n c a b a b a b =+++ 证明12c c ≠。