Logistic 回归分析
LOGISTIC回归分析
LOGISTIC回归分析前⾯的博客有介绍过对连续的变量进⾏线性回归分析，从⽽达到对因变量的预测或者解释作⽤。
那么如果因变量是离散变量呢？在做⾏为预测的时候通常只有“做”与“不做的区别”、“0”与“1”的区别，这是我们就要⽤到logistic分析（逻辑回归分析，⾮线性模型）。
参数解释（对变量的评价）发⽣⽐(odds)： ODDS=事件发⽣概率/事件不发⽣的概率=P/(1-P)发⽣⽐率（odds ratio）：odds ratio=odds B/odds A (组B相对于组A更容易发⽣的⽐率）注：odds ratio⼤于1或者⼩于1都有意义，代表⾃变量的两个分组有差异性，对因变量的发⽣概率有作⽤。
若等于1的话，该组变量对事件发⽣概率没有任何作⽤。
参数估计⽅法线性回归中，主要是采⽤最⼩⼆乘法进⾏参数估计，使其残差平⽅和最⼩。
同时在线性回归中最⼤似然估计和最⼩⼆乘发估计结果是⼀致的，但不同的是极⼤似然法可以⽤于⾮线性模型，⼜因为逻辑回归是⾮线性模型，所以逻辑回归最常⽤的估计⽅法是极⼤似然法。
极⼤似然公式：L(Θ)=P(Y1)P(Y2)...p(Y N) P为事件发⽣概率P I=1/(1+E-(α+βX I))在样本较⼤时，极⼤似然估计满⾜相合性、渐进有效性、渐进正太性。
但是在样本观测少于100时，估计的风险会⽐较⼤，⼤于100可以介绍⼤于500则更加充分。
模型评价这⾥介绍拟合优度的评价的两个标准：AIC准则和SC准则，两统计量越⼩说明模型拟合的越好，越可信。
若事件发⽣的观测有n条，时间不发⽣的观测有M条，则称该数据有n*m个观测数据对，在⼀个观测数据对中，P>1-P，则为和谐对（concordant）。
P<1-P,则为不和谐对（discordant）。
P=1-P，则称为结。
在预测准确性有⼀个统计量C=(NC-0.5ND+0.5T)/T，其中NC为和谐对数，ND为不和谐对数，这⾥我们就可以根据C统计量来表明模型的区分度，例如C=0.68，则表⽰事件发⽣的概率⽐不发⽣的概率⼤的可能性为0.68。
数据分析知识：数据分析中的Logistic回归分析
数据分析知识：数据分析中的Logistic回归分析Logistic回归分析是数据分析中非常重要的一种统计分析方法，它主要用于研究变量之间的关系，并且可以预测某个变量的取值概率。
在实际应用中，Logistic回归分析广泛应用于医学疾病、市场营销、社会科学等领域。
一、Logistic回归分析的原理1、概念Logistic回归分析是一种分类分析方法，可以将一个或多个自变量与一个二分类的因变量进行分析，主要用于分析变量之间的关系，并确定自变量对因变量的影响。
Logistic回归分析使用的是逻辑回归模型，该模型是将自变量与因变量的概率映射到一个范围为0-1之间的变量上，即把一个从负无穷到正无穷的数映射到0-1的范围内。
这样，我们可以用这个数值来表示某个事件发生的概率。
当这个数值大于0.5时，我们就可以判定事件发生的概率比较高，而当这个数值小于0.5时，我们就可以判定事件发生的概率比较小。
2、方法Logistic回归分析的方法有两种：一是全局最优化方法，二是局部最优化方法。
其中全局最优化方法是使用最大似然估计方法，而局部最优化方法则是使用牛顿法或梯度下降算法。
在进行Logistic回归分析之前，我们首先要对数据进行预处理，将数据进行清洗、变量选择和变量转换等操作，以便进行回归分析。
在进行回归分析时，我们需要先建立逻辑回归模型，然后进行参数估计和模型拟合，最后进行模型评估和预测。
在进行参数估计时，我们通常使用最大似然估计方法，即在估计参数时，选择最能解释样本观测数据的参数值。
在进行模型拟合时，我们需要选取一个合适的评价指标，如准确率、召回率、F1得分等。
3、评价指标在Logistic回归分析中，评价指标包括拟合度、准确性、鲁棒性、可解释性等。
其中最常用的指标是拟合度，即模型对已知数据的拟合程度，通常使用准确率、召回率、F1得分等指标进行评价。
此外，还可以使用ROC曲线、AUC值等指标评估模型的性能。
二、Logistic回归分析的应用1、医学疾病预测在医学疾病预测中，Logistic回归分析可以用来预测患某种疾病的概率，如心脏病、肺癌等。
统计学中的Logistic回归分析
统计学中的Logistic回归分析Logistic回归是一种常用的统计学方法，用于建立并探索自变量与二分类因变量之间的关系。
它在医学、社会科学、市场营销等领域得到广泛应用，能够帮助研究者理解和预测特定事件发生的概率。
本文将介绍Logistic回归的基本原理、应用领域以及模型评估方法。
一、Logistic回归的基本原理Logistic回归是一种广义线性回归模型，通过对数据的处理，将线性回归模型的预测结果转化为概率值。
其基本原理在于将一个线性函数与一个非线性函数进行组合，以适应因变量概率为S形曲线的特性。
该非线性函数被称为logit函数，可以将概率转化为对数几率。
Logistic回归模型的表达式如下：\[P(Y=1|X) = \frac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1X_1+...+\beta_pX_p)}}\]其中，P(Y=1|X)表示在给定自变量X的条件下，因变量为1的概率。
而\(\beta_0\)、\(\beta_1\)、...\(\beta_p\)则是待估计的参数。
二、Logistic回归的应用领域1. 医学领域Logistic回归在医学领域中具有重要的应用。
例如，研究者可以使用Logistic回归分析，探索某种疾病与一系列潜在风险因素之间的关系。
通过对患病和非患病个体的数据进行回归分析，可以估计各个风险因素对疾病患病的影响程度，进而预测某个个体患病的概率。
2. 社会科学领域在社会科学研究中，研究者常常使用Logistic回归来探索特定变量对于某种行为、态度或事件发生的影响程度。
例如，研究者可能想要了解不同性别、教育程度、收入水平对于选民投票行为的影响。
通过Logistic回归分析，可以对不同自变量对于投票行为的作用进行量化，进而预测某个选民投票候选人的概率。
3. 市场营销领域在市场营销中，Logistic回归也被广泛应用于客户分类、市场细分以及产品销量预测等方面。
通过分析客户的个人特征、购买习惯和消费行为等因素，可以建立Logistic回归模型，预测不同客户购买某一产品的概率，以便制定个性化的市场营销策略。
logistic回归
概念
logistic回归是一种广义线性回归（generalized linear model），因此与多重线性回归分析有很多相同 之处。它们的模型形式基本上相同，都具有 w‘x+b，其中w和b是待求参数，其区别在于他们的因变量不同，多 重线性回归直接将w‘x+b作为因变量，即y =w‘x+b，而logistic回归则通过函数L将w‘x+b对应一个隐状态p， p =L(w‘x+b),然后根据p与1-p的大小决定因变量的值。如果L是logistic函数，就是logistic回归，如果L是 多项式函数就是多项式回归。
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logistic回归
一种广义的线性回归分析模型
01 概念
目录
02 主要用途
logistic回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，疾病自动诊断， 经济预测等领域。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为 例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。因此因变量 就为是否胃癌，值为“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。 自变量既可以是连续的，也可以是分类的。然后通过logistic回归分析，可以得到自变量的权重，从而可以大致 了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。同时根据该权值可以根据危险因素预测一个人患癌症的可能性。
实际上跟预测有些类似，也是根据logistic模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是 看一下这个人有多大的可能性是属于某病。
这是logistic回归最常用的三个用途，实际中的logistic回归用途是极为广泛的，logistic回归几乎已经 成了流行病学和医学中最常用的分析方法，因为它与多重线性回归相比有很多的优势，以后会对该方法进行详细 的阐述。实际上有很多其他分类方法，只不过Logistic回归是最成功也是应用最广的。
统计学-logistic回归分析
在患病率较小情况下，OR≈RR
• Logistic回归中的常数项（b0）表示， 在不接触任何潜在危险／保护因素条 件下，效应指标发生与不发生事件的 概率之比的对数值。 • Logistic回归中的回归系数（ bi ）表示， 某一因素改变一个单位时，效应指标 发生与不发生事件的概率之比的对数 变化值，即OR的对数值。
( 0 1 x1 ) ( 0 x0 ) 1 x1
OR e
P odds1 1 /(1 P 1) OR P0 /(1 P0 ) odds0
Y 发病=1 不发病=0
危险因素 x= 1 x= 0 30（a） 10（ b） 70（c） 90（d） a+c b+d 危险因素 x= 1 x= 0 p1 p0 1-p1 1-p0
i
事件发生率很小，OR≈RR。
二、 Logistic回归模型
• Logistic回归的分类
二分类 多分类
条件Logistic回归 非条件Logistic回归
• Logit变换
也称对数单位转换
P logit P= ln 1 P
流行病学概念：
设P表示暴露因素X时个体发病的概率， 则发病的概率P与未发病的概率1-P 之 比为优势（odds）， logit P就是odds 的对数值。
Y 发病=1 不发病=0a p1 ac源自有暴露因素人群中发病的比例
多元回归模型的的 i 概念
P logit(p) ln = 0 1 X 1 1 P m X m
i 反映了在其他变量固定后，X=1与x=0相比
发生Y事件的对数优势比。 回归系数β与OR X与Y的关联 • β=0，OR=1， 无关 β＞0，OR＞1 ， 有关，危险因素 β＜0，OR＜1， 有关，保护因子
第十九章 Logistic回归分析
三、回归模型的假设和回归系数的区间估计
1. 回归模型的假设检验 H0：β=0 （模型中不含变量） H1： β≠ 0 （模型中含变量）
统计量：G = － 2lnL－ (－2lnL') ~ χ2(k) 在例19-1中的SAS结果中：
Model Fit Statistics Criterion Pr > ChiSq AIC SC <0.0001 -2 Log L Intercept Only 246.346 249.644 244.346 Intercept and Covariates 230.616 243.809 222.616
Logistic回归模型的分类 按反应变量的类型分：
1.两分类的 Logistic 回归模型
2.多分类有序反应变量的 Logistic 回归模型
3.多分类无序反应变量的 Logistic 回归模型式
按设计类型分： 1.非条件 Logistic 回归模型，研究对象未经过配对的成组资料 2.条件 Logistic 回归模型，研究对象为1︰1或1︰m 配对资料
一、 Logistic 回归分析的实例
例19-1 在抢救急性心肌梗死（AMI）患者能否成功的危险因素调查中，某
医院收集了5年中该院所有的AMI患者的抢救病史共200例。在抢救前：X1=1表 示已发生休克，X1=0表示未发生休克；X2=1表示发生心衰， X2=0表示未发生
心衰；X3=1表示12小时内将患者送往医院， X3=0表示12小时内未将患者送往
第二节
Logistic 回归模型的参数估计和假设检验
一、参数意义（释义同于病例-对照设计研究）
1. 相对危险度RR （Re lative Risk） RR P 1 P0
logistic回归分析
Logistic回归分析
数学模型：
e p 1 e
1 X 1 2 X 2 m X m
1 X 1 2 X 2 m X m
Logistic回归分析
一、基本思想
用模型去描述实际资料时，须使 得理论结果与实际结果尽可能的一致。
资料整理格式
Logistic回归分析
1
消除xj量纲的影响
2.标准化偏回归系数j 的意义
果的发生，为“不利因素”；
xij
xij x j sj
（1）符号：取 “+”，xj 增大，则P增大，即促进阳性结
取 “-”，xj增大，则P减小，即抑制阳性结 果的发生，为“保护因素”。 （2）大小 ：∣ j ∣越大，则xj 对结果的影响也就越大。
i 1 2 n
x1 x11 x21 xn1
x2
...
xm x1m x2m xnm
δ δ δ δ
1 2
x12 ... x22 ... …... xn2 ...
n
Logistic回归分析
二、基本原理
1.结果问题 ： 对于第i个个体而言，其理论结果为pi , 而实际结果是i 。 2.一致问题： 对于第i个个体而言， i =1 pi i =0 qi
m
▲
OR e j 1
j ) ˆ j ( x*j x
（1）对多指标的共同效应进行评价：
若OR>1，则处于X*水平下的阳性结果发生风险要高于X 水平， 即“不利因素”占主导地位；
▲
▲
若OR<1，则处于X*水平下的阳性结果发生风险要低于X 水平， 即“保护因素”占主导地位；
▲
Logistic回归分析
注：因为p>a，所以认为样本实际值得到的分布与 预测值得到的分布无显著差异，模型拟合优度较好 。
33
注：模型整体的准确度不高，对不购买人群的准确 率极高，对购买人群的准确率很低。
34
注：预测类别图上可以看出，预测概率在0.4附近的 样本预测准确率相对最低。事实上，无论用什么分 类方法，这类样本身就是最难预测的。
Hosmer—Lemeshow检验：通过模型可以计算出给 定解释变量取值时被解释变量取1的概率预测。如 果模型拟合较好，则应给实际值为1的样本以较高 的概率，给实际值为0的样本以低的概率预测值。 于是对概率预测值进行分位数分组（通常为10分位 数，将样本分为10组），预测概率大小分得的10组 和实际观测值0/1类别分组形成了交叉列联表。由 观测频数和期望频数计算卡方统计量，即Hosmer— Lemeshow统计量，它服从自由度为n-2的卡方分布 ，n为组数。
39
模型拟合优度的评价与检验 目的：第一，回归方程能够解释被解释变量变差的 程度，即线性回归的部分能解释LogitP的程度，这 一点与一般线性回归分析是相同的；第二，由回归 方程得到的概率进行分别判别的准确率。 方法： 第一目的：Cox &Snell R2 统计量和 Nagel ker ke R2 统计量 第二目的：混淆矩阵（错判矩阵）和 Hosmer-Lemeshow检验
16
2 L0 N 1 ( ) 2 Cox & Snell R 统计量= L1
，N为样本容量。 该统计量类似于一般线性模型中的R方，统计量的值 越大表明模型的拟合优度越高。不足之处在于其取值 范围无法确定，不利于模型之间的比较。
Cox &Snell R 2
logistic回归分析
队列研究(cohort study)：也称前瞻性研究、随访研究等。是一种由因及果的研
究，在研究开始时，根据以往有无暴露经历，将研究人群分为暴露人群和非暴 露人群，在一定时期内，随访观察和比较两组人群的发病率或死亡率。如果两 组人群发病率或死亡率差别有统计学意义，则认为暴露和疾病间存在联系。队 列研究验证的暴露因素在研究开始前已存在，研究者知道每个研究对象的暴露 情况。
调查方向：追踪收集资料 暴露 疾病 +
人数
比较
aபைடு நூலகம்
b c
+
研究人群
a/(a+b)
+ -
-
c/(c+d)
d
队列研究原理示意图
暴露组 非暴露组
病例 a c
非病例 b d
合计 n1=a+b n0=c+d
发病率 a/ n1 c/ n0
相对危险度（relative risk， RR）也称危险比（risk ratio） 或率比（rate ratio） RR I e a / n1 、 I e a / n1 、 I 0 c / n2 。
研究，先按疾病状态确定调查对象，分为病例(case)和对照 (control)两组，然后利用已有的记录、或采用询问、填写调查表 等方式，了解其发病前的暴露情况，并进行比较，推测疾病与 暴露间的关系。
调查方向：收集回顾性资料
比较 a/(a+b)
人数 a b c
暴露 +
疾病 病例
+ 对照 -
c/(c+d) d
二、 logistic回归模型的参数估计
logistic 回归模型的参数估计常采用最大似然估计。 其基本思想是先建立似然函数与对数似然函数， 求使对数似然函数最大时的参数值，其估计值即 为最大似然估计值。 建立样本似然函数：
Logistic回归分析
Logistic 回归分析Logistic 回归分析是与线性回归分析方法非常相似的一种多元统计方法。
适用于因变量的取值仅有两个（即二分类变量，一般用1和0表示）的情况，如发病与未发病、阳性与阴性、死亡与生存、治愈与未治愈、暴露与未暴露等，对于这类数据如果采用线性回归方法则效果很不理想，此时用Logistic 回归分析则可以很好的解决问题。
一、Logistic 回归模型设Y 是一个二分类变量，取值只可能为1和0，另外有影响Y 取值的n 个自变量12,,...,n X X X ，记12(1|,,...,)n P P Y X X X ==表示在n 个自变量的作用下Y 取值为1的概率，则Logistic 回归模型为：[]0112211exp (...)n n P X X X ββββ=+-++++它可以化成如下的线性形式：01122ln ...1n n P X X X P ββββ⎛⎫=++++ ⎪-⎝⎭通常用最大似然估计法估计模型中的参数。
二、Logistic 回归模型的检验与变量筛选根据R Square 的值评价模型的拟合效果。
变量筛选的原理与普通的回归分析方法是一样的，不再重复。
三、Logistic 回归的应用（1）可以进行危险因素分析计算结果各关于各变量系数的Wald 统计量和Sig 水平就直接反映了因素i X 对因变量Y 的危险性或重要性的大小。
（2）预测与判别Logistic回归是一个概率模型，可以利用它预测某事件发生的概率。
当然也可以进行判别分析，而且可以给出概率，并且对数据的要求不是很高。
四、SPSS操作方法1．选择菜单2．概率预测值和分类预测结果作为变量保存其它使用默认选项即可。
例：试对临床422名病人的资料进行分析，研究急性肾衰竭患者死亡的危险因素和统计规律。
Logistic回归分析.sav解：在SPSS中采用Logistic回归全变量方式分析得到：（1）模型的拟合优度为0.755。
Logistic回归分析(共53张PPT)
• 优势比
• 常把出现某种结果的概率与不出现的概率 之比称为比值（odds),即odds=p/1-p。两个
比值之比称为比值比（Odds Ratio),简称 OR。
• Logistic回归中的常数项（b0）表示，在不
接触任何潜在危险／保护因素条件下，效 应指标发生与不发生事件的概率之比的对 数值。
Forward: LR （ 向前逐步法：似然比 法 likelihood ratio，LR）→ 再击下 方的 Save 钮，将 Predicted values 、 Influence 与 Residuls 窗口中的 预选项全勾选 → Continue → 再击 下方的 Options 钮，将 Statistics and Plot 小窗口中的选项全勾选 → Continue → OK 。
三、参数检验
• 似然比检验（likehood ratio test）
通过比较包含与不包含某一个或几 个待检验观察因素的两个模型的对数似 然函数变化来进行，其统计量为G （又 称Deviance）。
G=-2(ln Lp-ln Lk) 样本量较大时， G近似服从自由度
为待检验因素个数的２分布。
• 比分检验（score test）
， Logistic回归系数的解释变得更为复杂 ，应特别小心。
根据Wald检验，可知Logistic回归系
数bi服从u分布。因此其可信区间为
病例与对照匹配---条件logistic回归 其中， 为常数项， 为偏回归系数。 应变量水平数大于2，且水平之间不存在等级递减或递增的关系时，对这种多分类变量通过拟合一种广义Logit模型方法。
u= bi s bi
u服从正态分布，即为标准正态离差。
logistic回归分析
表13-7 例13-2的logistic回归模型自变量筛选结果
模型
因素 X
第1步 常数项
回归系数 标准误
b
Sb
-2.528 0.238
Wald χ2 P值 112.433 <0.001
OR值
OR值95%可信区间 下限 上限
0.080
治疗11周
2.149 0.289 55.267 <0.001 8.578 4.867 15.117
因素 X 常数项
回归系数 标准误
Waldχ2 P值 OR值
b
Sb
-0.910 0.136 44.870 0.000 0.403
OR值95%可信区间
下限
上限
吸烟
0.886 0.150 34.862 0.000 2.424 1.807
3.253
饮酒
0.526 0.157 11.207 0.001 1.692 1.244
logistic回归分析
Logistic regression analysis
• 医学研究中应变量有时是二分类结果，如发病与不 发病、死亡与生存、有效与无效、复发与未复发等， 当需要研究二分类应变量的影响因素时，适合采用 logistic回归分析。
logistic回归属于概率型非线性回归，它是研究二 分类（可以扩展到多分类）反应变量与多个影响 因素之间关系的一种多变量分析方法。logistic回 归模型参数具有明确的实际意义。
OR值的可信区间：
exp(bj - zα/2 Sbj ) ORj exp(bj zα/2 Sb j )
• 例13-1 研究吸烟（X1）、饮酒（X2）与食道癌 （Y）关系的病例－对照资料，试作logistic回归 分析。
logistic回归分析
二、 logistic回归模型的参数估计
logistic 回归模型的参数估计常采用最大似然估计。
其基本思想是先建立似然函数与对数似然函数，
求使对数似然函数最大时的参数值，其估计值即
为最大似然估计值。 建立样本似然函数：
n
L
i 1
（1）Mantel-Haenszel分层分析：适用于样本量大、分析因 素较少的情况。当分层较多时，由于要求各格子中例数不 能太少，所需样本较大，往往难以做到；当混杂因素较多 时，分层数也呈几何倍数增长，这将导致部分层中某个格 子的频数为零，无法利用其信息。
（2）线性回归分析：由于因变量是分类变量，不能满足 其正态性要求；有些自变量对因变量的影响并非线性。
人数 暴露
疾病
a/(a+b) c/(c+d)
a
+
b
-
c
+
d
-
病例对照原理示意图
病例 对照
是否暴露 暴露组 未暴露组 合计
病例 a c a+c
对照 b d b+d
合计 a+b(n1) c+d(n2) n
比数比（odds ratio、OR）：病例对照研究中表示疾病与暴露间
联系强度的指标，也称比值比。
比值（odds）：某事物发生的可能性与不发生的可能性之比。
第十五章 logistic回归分析
Logistic Regression Analysis
山东大学公共卫生学院
回归分析的分类
一个 因变 量y
连续型因变量 (y) --- 线性回归分析 分类型因变量 (y) ---Logistic 回归分析 生存时间因变量 (t) ---生存风险回归分析 时间序列因变量 (t) ---时间序列分析
Logistic回归分析(LogisticRegressionAnalysis)
• 由于
模型参数的意义
log it( ) ln( ) ln(Odds) 1
Odds e(0X )
模型参数的意义
• 例中
“超重或肥胖”组（X=1）患高血压的优势
为：
Odds1 e(0 1) e(0 )
“正常”组（XO=d0d）s0患高e(血0 压0的) 优e势0为：
两组O的R优势 比o(doddds1s odds0
log it( ) ln( ) ln(Odds) 1
• 这个变换将取值在0-1间的值转换为值域在
（ ， ）的值。
• 建立log it( )与X的线性模型：
• log it( ) 0 X
或
ln( 1
)
0
X
Logistic回归模型
• 求解
•ln( 1
)
0
X
e(0X ) 1
e(0X )
• 当变量Xj的回归系数Βj >0时， Xj增加1个单位后与 增加前相比，事件的优势比ORj >1，表明Xj为危险 因素；
• Βj <0时， Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的 优势比ORj <1 ，表明Xj 为保护因素；
• Βj =0 ， Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的 优势比， ORj =1,表明Xj对结果变量不起作用。
1 e e(0 1X1P X P )
1 e 1 (0 1X1P X P )
模型参数的意义
• Β0 ：常数项（截距），表示模型中所有自变 量均为0时，log it( ) 的值；
• β1 ， β2 、．．． βP：回归系数 ，表示在控 制其他自变量时，自变量变化一个单位所引
起的
log it( ) 改变量。
logistic_回归分析1
74
55
104663
212555
选择0和1使似然函数L达到最大，即最 大似然估计。
17
STATA命令
Expand f Logit y x Logit, or 或直接logisitc y x
18
expand f (317343 observations created)
OR e
0.4117232
1.509417
21
OR的95%可信区间为（1.06，2.14）
应用Logistic模型校正混杂作用
实例2：上例没有考虑吸烟情况，故将吸烟作 为分层加入，资料如下：
吸烟 不吸烟 饮酒 不饮酒 饮酒 不饮酒 患病 33 21 22 53 未患病 22331 14210 82332 198345 合计 22364 14231 82354 198398
. logistic y x Logistic regression Log likelihood = -1133.5955 Number of obs = 317347 LR chi2(1) = 5.20 （模型检验） Prob > chi2 = 0.0225 Pseudo R2 = 0.0023
----------------------------------------------------------------------------- y | Odds Ratio Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] -------------+--------------------------------------------------------------- x1 | .999979 .1877859 -0.00 1.000 .6920603 1.4449 x2 | 5.530467 1.0412 9.08 0.000 3.823925 7.998605 ------------------------------------------------------------------------------
logistic回归分析
它与自变量x1, x2,…,xp之间的Logistic回
归模型为:
p exp(0 1X1 2 X 2 ... m X m ) 1 exp(0 1X1 2 X 2 ... m X m )
1
1 p
1 exp( 0 1 X 1 p X p )
6
模 型
ln
P 1 P
=0
1
• 按照研究设计类型 –非条件logistic回归（研究对象未经匹配） –条件logistic回归（研究对象经过匹配）
5
Logistic回归模型
应变量Y
1 0
发生 未发生 ,
自变量X1, X 2 ,
, Xm
在m个自变量的作用下阳性结果发生的概率记作:
P P(Y 1| X1, X 2 ,, X m ) 0 P 1
X1
2
X
2
m X m log itP
参 数
常数项 0
表示暴露剂量为0时个体
的
发病与不发病概率之比的自然对数。
意 义
回归系数 j ( j 1,2,, m)
表示自变量 X j 改变一个单位时
logitP 的改变量。 7
优势比OR(odds ratio)
流行病学衡量危险因素作用大小的比数比例指标。 计算公式为:
OR j
P1 P0
/(1 /(1
P1 ) P0 )
式中 P1 和 P0 分别表示在 X j 取值为 c1 及 c0 时 的发病概率， OR j 称作多变量调整后的优势比， 表示扣除了其他自变量影响后危险因素的作用。
8
与 logisticP 的关系:
对比某一危险因素两个不同暴露水平 X j c1 与 X j c0 的发病 情况（假定其它因素的水平相同），其优势比的自然对数为:
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分层分析的局限性
只能控制少数因素（分层因素过多， 每个格子中的样本例数太少） 定量资料需要分组，信息丢失 不能对因素作用大小进行定量分析 （交互作用）
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y = log2x y
二、Logistic 回归原理
0
1
经过数理统计学家证明：把疾病概率 P 转换成
p ln 1 − p ，会使该回归方程的统计性能更好一些。而且，
≈
当发病率低的时候ac所占的比例非常小， 当发病率低的时候 所占的比例非常小， 所占的比例非常小 公式中忽略ac后对 在RR公式中忽略 后对 值的影响非常小 公式中忽略 后对RR值的影响非常小 则有： 则有： RR
≈
(ad)/(bc) ＝ OR
5
举例1 举例 口服避孕药与心肌梗塞的流行病学研究
（病例对照，曾光《现代流行病学方法与应用》，P90） 病例对照，曾光《现代流行病学方法与应用》 P90）
β1
ORX1 =
p X1 =1 q X1 =1 p X 1 =0 q X 1 =0
=
...... ...... 1 − p x1 =1 p x1 =0 1 − p x1 =0
e
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假设建立了如下的logistic回归方程： 回归方程： 假设建立了如下的 回归方程 Logit P = α + βx x 为二分变量，当暴露时，取值为1； 为二分变量，当暴露时，取值为1 不暴露时，取值为0 不暴露时，取值为0。 暴露时 Logit(P1) = α + β， 所以暴露 ， 所以暴露时, 比值(odds) = exp(α + β ) 比值 所以不暴露时 所以不暴露时, 不暴露 Logit(P0) = α ， 比值(odds) = exp(α) 比值
————————————
≥40岁
————————————
MI 服OC 21
非MI 合计 17 59 76 38 85 123
MI 18 88
非MI 合计 7 95 25 183 208
—————————————————————————————————
未服OC 26 合计 47
———————————————————大似然建模
以四格表为例来说明最大似然求解的意义及过程。 以四格表为例来说明最大似然求解的意义及过程。 四格表的一般表达形式 ————————————————————————————
106 102
—————————————————————————
OR(1) = 2.803 χ2 (1)= 6.77 OR(2) = 2.776 χ2 (2)= 5.03
ORMH = ∑(ai*di/ni) / ∑(bi *ci/ni) ORMH =2.79
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分层分析中，可以分别计算出分层后的各层 分层分析中，可以分别计算出分层后的各层OR 如果发现与总的OR有较大的差异，则可以认为 有较大的差异， 值，如果发现与总的 有较大的差异 该风层因素是混杂因素。必须对该因素进行MH调整， 调整， 该风层因素是混杂因素。必须对该因素进行 调整 调整后的OR值才能真正反映因素和结局间的关系。 值才能真正反映因素和结局间的关系。 调整后的 值才能真正反映因素和结局间的关系 如果当分层后各层的OR值经过一致性检验发现： 值经过一致性检验发现： 如果当分层后各层的 值经过一致性检验发现 各层间的OR值有统计学差异，这时说明分析因素在 值有统计学差异， 各层间的 值有统计学差异 分层因素的不同水平上与结局变量的联系强度是不同 这时分层因素和研究因素存在这交互作用（ 的，这时分层因素和研究因素存在这交互作用（效应 修饰作用）。这时应该分层报告OR值，而不能计算 ）。这时应该分层报告 值 修饰作用）。这时应该分层报告 调整OR值。 调整 值
暴露对于不暴露的比值比(odds ratio)为： 则，暴露对于不暴露的比值比 为 OR = exp(α + β ) / exp(α) = exp(β)
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举例2 举例2 使用雌激素与子宫内膜癌病例对照研究
病例对照，曾光《现代流行病学方法与应用》 P76） （病例对照，曾光《现代流行病学方法与应用》，P76）
——————————————————————————————————
MI 服OC 39
非MI 24 154 178
合计 63 268 331
—————————————————————————
未服OC 114 合计 153
———————————————————————
————————————————————————— χ2 = 7. 80 P〈0. 05 RR=1.455 OR=2.195 〈
Logistic 回归
王建生
中国疾病预防控制中心公共卫生监测与信息服务中心 卫生统计研究室
1
一、问题的提出
在流行病学研究中，经常遇到因变量为离散 在流行病学研究中， 型分类变量的情况。如治疗效果的无效好转、 型分类变量的情况。如治疗效果的无效好转、 显效、痊愈； 显效、痊愈；不同染毒剂量下小白鼠的存活 或死亡；在某种暴露下的发病与不发病等。 或死亡；在某种暴露下的发病与不发病等。 最常见的情况是因变量为二分变量的问题。 最常见的情况是因变量为二分变量的问题。 多元线性回归的局限性 经典流行病学统计分析方法—分层分析的局 经典流行病学统计分析方法 分层分析的局 流行病学概念复习，举例） 限性 （流行病学概念复习，举例）
40岁以上服用 的比例远小于 岁以下组。 岁以上服用OC的比例远小于 岁以下组。 的比例远小于40岁以下组 岁以上服用
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Mantel-Haenszel分层分析法 分层分析法
按年龄分层,可以得到下表: 按年龄分层,可以得到下表:
—————————————————————————————————
〈40岁
以一个最简单的Logistic回归模型做为例子。 以一个最简单的 回归模型做为例子。 回归模型做为例子
—————————————————————————— 使用过 未使用过 合计 —————————————————————————— 55 128 183 病例 19 164 183 对照 —————————————————————— 74 293 366 合计 ——————————————————————————
3
发病(D＝ 发病(D＝1) (D 暴露（ 暴露（E＝1） 不暴露(E＝ 不暴露(E＝0) (E 合计 a (PE=1) c (PE=0) a+c
不发病（D 不发病（D＝0） b (QE=1) d (QE=0) b+d
合计 a+b c+d a +b+c+d
OR=
a/b --------c /d
=
ad --------bc
———————————————————————— RR( 高年龄：低年龄） = 1.334 OR(高年龄：低年龄）=1.680 高年龄： 高年龄：
χ2
= 5.055 p<0.05
7
结论： 的发病与年龄有关 的发病与年龄有关。 结论：MI的发病与年龄有关。
不同年龄组内服用避孕药的比例
——————————————————————————
年龄
服OC
不服OC 不服
合计
——————————————————————————
〈40 ≥40 合计 χ2
38(0.31) 25(0.12) 63
= 17. 88 P〈0. 01 〈
85 183 268
123 208 331
——————————————————————————
———————————————————————————————————
建立的logistic 回归方程形式为： 建立的logistic 回归方程形式为： Logit P = -0.2478 + 1.3107 x X取值：1 使用过雌激素 取值： 取值 0 未使用过雌激素
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使用过雌激素的Logit 为： 使用过雌激素的 Logit P(x=1) = -0.2478 + 1.3107 = 1.063 即：Ln (p1/q1) = 1.063 所以，使用过雌激素的比值（ 所以，使用过雌激素的比值（odds) 为： p1/q1 = exp(1.063) =2.895 未使用过雌激素的Logit 为： 使用过雌激素的 Logit P(x=0) = -0.2478 + 0 = -0.2478 即：Ln (p0/q0) = -0.2478 所以，未使用过雌激素的比值（ 所以，未使用过雌激素的比值（odds) 为： p0/q0 = (exp(-0.2478)) = 0.781 使用过雌激素相对于未使用过雌激素的比值比为： 使用过雌激素相对于未使用过雌激素的比值比为： OR (odds ratio) = 2.895 / 0.781 = 3.709
p ln 1 − p 的值域为-∞到+∞，而且这 在经过转换以后，
p 些ln 1 − p 值都可以和在大于0 小于1 范围内的P 值相对
p ln 1 − p 称为 Logit 变换。 应。统计学中，常把
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Logistic 回归方程： 回归方程：
结论： 发病与服用口服避孕药有关 结论：MI发病与服用口服避孕药有关。
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不同年龄组的MI与非 发病情况 不同年龄组的 与非MI发病情况 与非
————————————————————————
MI 非MI 合计 —————————————————— 40岁 76 123 〈40岁 47 ≥40岁 102 208 ≥40岁 106 ————————————— 153 178 331 合计
p ln 1− p =
β 0 + β 1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅β n x n