第四章第6讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第6讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象可以由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)y ＝2sin⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案：A(教材习题改编)为了得到函数y ＝3sin⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D.因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 为了得到y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( )A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B ．将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍，得到y ＝3sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B ．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B ．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B ．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换[典例引领]已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？【解】 (1)由题意知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 列表如下：y ＝f (x )在[0，(2)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法加减多少值．[通关练习]1．(2018·安徽两校阶段性测试)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π2B ．x ＝π8C ．x ＝π9D ．x ＝π解析：选A ．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的图象．该函数图象的对称轴为x 2－π4＝k π(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．结合选项，只有A 符合，故选A ． 2．(2018·宝鸡质量检测(一))为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需要平移⎝⎛⎭⎫x －π6－⎝⎛⎭⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4＞0，所以应向左平移，故选A ．由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[典例引领](1)(2018·兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________．【解析】 (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin(2×π3＋φ)＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 且f (x 1)＝f (x 2)， 所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.(2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π， 由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1， 得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π， 所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. 【答案】 (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .[通关练习]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D.由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．12解析：选A ．由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223， 所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23.三角函数图象与性质的应用(高频考点)三角函数图象与性质的应用是每年高考的重点，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中．主要命题角度有：(1)三角函数模型的实际应用；(2)与三角函数有关的零点(方程根)问题； (3)三角函数的图象与性质的综合问题．[典例引领]角度一 三角函数模型的实际应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.【解析】 因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t ＜24， 所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 【答案】 4角度二 与三角函数有关的零点(方程根)问题已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．【解析】 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， 所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． 所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)．【答案】 (－2，－1)角度三 三角函数的图象与性质的综合问题已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 【解】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π， 所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．[通关练习]1.如图为函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0，π2≤φ≤π)的部分图象，若点A ，B 分别为函数f (x )的最高点与最低点，且|AB |＝5，那么f (－1)＝( )A ．2B ． 3C ．－ 3D ．－2解析：选A ．由图可知M ＝2，f (0)＝1，即2sin φ＝1，解得sin φ＝12，又因为π2≤φ≤π，所以φ＝5π6.又A ，B 两点是函数图象上的最高点和最低点，设A (x 1，2)，B (x 2，－2)，由题意知|AB |＝5，即(x 2－x 1)2＋(－2－2)2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.由图可知A ，B 两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即|x 2－x 1|＝T 2，而T ＝2πω，故πω＝3，解得ω＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6，故f (－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2，故选A ． 2．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1， 要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π18五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线的凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．1．(2018·福州综合质量检测)要得到函数f (x )＝cos 2x 的图象，只需将函数g (x )＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移12个周期B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：选C ．因为f (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，即向左平移14个周期，可得函数f (x )＝cos 2x 的图象，故选C ．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为()A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k ，1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k ，1＋8k )，k ∈Z解析：选D.由题图，知T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.把(1，1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3，8k ＋1)(k ∈Z )，故选D.4．(2018·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则∑n ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫n π6＝()A ．－1B ．32C ．12D ．1解析：选B ．由已知易得ω＝2，由五点法作图可知2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，f ⎝⎛⎭⎫2π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫3π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫4π6＝－1，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫6π6＝12，故∑n ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫n π6＝336×⎝⎛⎭⎫1＋12－12－1－12＋12＋f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫2π6＝32.故选B ． 5．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：选A ．将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|＜π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A ． 6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．解析：由题图可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， 所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 37．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则ω的最小值是________．解析：依题意得，函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3(ω＞0)的图象过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，于是有f ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1.答案：18．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________． 解析：依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin (π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.答案：sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π69．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z, 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.10．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． 解：(1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当x ＝π6时，f (x )取最大值，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1可得 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.1．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D.由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f ⎝⎛⎭⎫π6|对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D ．⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：选C ．因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，所以sin (π＋φ)＞sin (2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C ． 3．(2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ．由f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，f (x )的最小正周期T >2π，可得11π8－5π8＝3π4＝T 4，所以T ＝3π，所以ω＝2π3π＝23.再由f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2及|φ|<π得φ＝π12. 4．(2018·南宁模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________.解析：y ＝sin x ――――――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6， 即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝sin π4＝22. 答案：225．(2017·高考山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.6．已知函数f (x )＝cos (πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32， 所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1<x 0<2， 故7π6<πx 0＋π6<13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32， 所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3. 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2， 即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6， 即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.。