常微分方程数值解法 ppt课件
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第4章常微分方程数值解法PPT课件
f(xn,yn)
y y0 n 1 y(y x n 0 )h f(xn,yn) n0,1,2,
根据 y0 可以一步步计算出函数 y y(x) 在 x1, x2, x3 x4, …上的近似值 y1, y2, y3, y4 , …
常微分方程数值解是一组离散的函数值数据，它的 精确表达式很难求解得到，但可以进行插值计算后 用插值函数逼近 y(x)
四 常微分方程数值解法
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
常微分方程数值解法
引言（常微分方程数值解法概述） 显式欧拉法、隐式欧拉法、二步欧拉法 局部截断误差与精度 改进的欧拉方法 龙格-库塔方法 收敛性与稳定性简述 一阶常微分方程组与高阶常微分方程
即积分区间为：[xn1, xn1]，则：
xn1 xn1
ydxy(xn1)y(xn1)
xn1 xn1
f[x,y(x)]dx
(xn1xn1)f[xn,y(xn)] 中矩形公式
2hf[xn,y(xn)]
以 y(x) 在 xn 1, xn 上的近似值代替精确值可得：
yy0n1 y(yxn01)2hf(xn,yn)
3
引言
一阶常微分方程初值问题：
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
定理：若 f (x, y) 在某闭区域 R ：
微分方程 初始条件
| x x 0 | a ,| y y 0 | b ( a 0 , b 0 )
上连续，且在 R 域内满足李普希兹 (Lipschitz) 条件， 即存在正数 L，使得对于 R 域内的任意பைடு நூலகம்值 y1, y2，下 列不等式成立：
常微分方程数值解法5262115页PPT文档
x 1 ( t ) 表示时刻 t 食饵的密度，x 2 ( t ) 表示捕食者的密度；
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
第七章常微分方程数值解 课件
这样就获得了 P1点的坐标。
P1?
P1 P0
P?i+1 Pn? y=y(x)
Pi?
Pn
Pi Pi+1
x0 x1
xi xi+1 xn
同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线 y=y(x)的切线
交直线 x=x2于P2点,切线 P1P2 的斜率 y?(x1) = f (x1, y1 ) 直线方程为
y ? y1 ? f ( x1 , y1 )( x ? x1 )
xi xi+1 xn
相交于 P 1点(即点 (x1,y1),得到y1作为y(x 1)的近似值 , 如上图所示。过点 (x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线 方程为
y ? y 0 ? f ( x 0 , y 0 )( x ? x 0 )
当x ? x1时,得
y1 ? y0 ? f (x0 , y0 )( x1 ? x0 )
称为定步长，这时节点可表示为 xi ? x0 ? ih, i ? 1,2,? , n
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求
出离散节点的数值解。
对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散
化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步
进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步
地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息
Tel： 86613747 E-mail ： lsszjtcm 授课: 68 学分：4
第七章 常微分方程的数值解法
7.1 引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微
分的方程称为微分方程。在微分方程中 , 自变量的 个数只有一个 , 称为常微分方程 .。自变量的个数 为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分 方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分 方程的阶数。如果未知函数 y及其各阶导数
常微分方程数值解-PPT精品文档
称为局部截断误 差。显然，这个 y ( x ) y ( x ) h 误差在逐步计算 n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n 过程中会传播， h 2 积累。因此还要 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) 估计这种积累 n n n h 2
对于一个常微分方程：
9.1 Euler方法
dy y ' f( x ,y ), x [ a , b ] dx 通常会有无穷个解。如：
dy cos( x ) y sin( x ) a , a R dx 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出， 如下面的初值问题： dy f (x , y) , x [a ,b ] dx )y 0 y(a 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y 满足Lipschitz条件：
求 y ( x ) 在 x i 上的近似值
y i 。 { y i } 称为分割 I
上的格点函数
我们的目的，就是求这个格点函数
② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 ③ 解差分方程，求出格点函数
数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究 差分方程的性质。
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
常微分方程数值解法ppt课件
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
|f( x ,y 1 ) f( x ,y 2 ) | L |y 1 y 2 | ( 1 .3 )
使 得 对 任 意 的 x [ a , b ] 及 y 1 ,y 2 都 成 立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
节点 x i a i h i , 一 般 取 h i h ( ( b a ) / n ) 即 等 距
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
ax 0x 1x nb
处的近似值 y y(x ) i 完整版PPT课件i
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yf(x,y) axb (1 .1 )
y(x 0) y0
(1 .2 )
对微分方程(1.1)两端从 xn到 xn1 进行积分
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数
求解数值解
很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！
重要手段。
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5.常微分方程数值解法的特点 常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法 通过计算机
数值解法得到的近似 解(含误差)是一个 离散的函数表.
便捷地实现
欧拉方法的导出把区间ab分为n个小区间步长为要计算出解函数yx在一系列节点iiyyx?iiixaihhhban?????一般取即等距节点处的近似值01naxxxb?????1iiihxx??nn等分001112yfxyaxbyxy????????对微分方程11两端从1nnxx?到进行积分11nnnnxxxxydxfxyxdx??????11nnxnnxyxyxfxyxdx?????右端积分用左矩形数值求积公式22baggxdxbagaba???????gxfxyx?令11nnnnxxnnfxyxnnyyfxyxh??????得x0x11nnnnnnyxyxhyxyhfxy??????1
第六章—常微分方程的数值解法 PPT
§6.1 引言
初值问题的数 点值 ：解 按法 节特 点顺 进序 ，依 由
知的 0,yy1,,y， i 求i出 1 ，y这可以通过 得递 到推 。
初值 问题 的 常见 解法
单步法： 利用前一个单步的信息(一个点)，在y=f(x)
上找下一点yi， 有欧拉法，龙格－库格法。
预测校正法： 多步法，利用一个以上的前点信息求f(x)
第六章 常微分方程的数值解法
本章内容
§6.1 引言 §6.2 欧拉方法 §6.3 龙格—库塔方法 §6.4 边值问题的数值方法
§6.1 引言
一. 问题提出
有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分 方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。
如，一阶常微分初方值程问的题 dy f(x,y) x[a,b] dx y(x0)y0
推进Pn1(xn1, yn1， ) 显然两个顶点P， n Pn1的坐标有关系
yn1 - yn xn1 - xn
f (xn, yn),
即yn1 ynr)公式。
y
y y(x)
P2 P3 P4 Pn
P1
P0
x O
§6.2 欧拉方法及其改进
例：利用 Euler 方法求初值问题
y(x0)y(x1) hy(x0)
记为
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
几何意义：折线逼近解y y(x)曲线。
设已做出折线的顶点P， n 过Pn(xn, yn)依方向场的方向再
需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个 点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求 满足即可)。
第4章常微分方程数值解ppt课件
其中L为李普希兹条件。
总目录
本章目录
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.2.3 中心欧拉公式
y(x)的在x=x1处的中心差商式：y' ( x1 )
y(x2 ) y(x0 ) 2h
又y'(x1) f (x1, y(x1)) ，可得到y(x2)的近似值y2计算公式：
y2 y0 2hf ( x1 , y1 )
2k3
k4
k1 f xn , yn
(1)
k2
f
xn
1 2
h,
y
n
1 2
hk1
(2)
k3
f
xn
1 2 h, yn
1 2
hk
2
k4 f xn h, yn hk3
(4-16)
yn1
yn
h 8
k1
3k 2
3k3
k4
k1 f xn , yn
k 2
f
xn
1 3 h, yn
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.1 微分方程在化工中的应用
微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是 套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：
1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变 而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽， 其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸 汽的温度。
2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。
f
(xn1, yn1 )]
(4-10)
上式也称为改进的欧拉公式，它可合并成：
yn1
yn
h(f 2
(xn , yn )
b13常微分方程数值解法.ppt
xn
E
(
xn
,
h)
h3 12
f () h3
12
y() 0(h3 )
∴梯形法为2阶方法 ！
注5：关于Euler法
的整体截断误差： Euler方法的局部截断误差公式为：
关于Euler法的整体截断误差 实际计算时，yn是y(xn) 注释 的近似值，因此，计算过程
中除每步所产生的局部截断
Rn1 y(xn1) yn1
h2 2!
y(xn )
取h的线性部分作为近似式，并以y(xn ) yn , y(xn1) yn1
yn1 yn hf (xn , yn ) E(xn , h)
yn1 yn hf (xn , yn )
E(xn , h)
h2 2
y(n )称为xn的截断误差(局部)
Euler公式的推导（续3） 三、利用数值微分公式 ：利用两点公式
显然，步长h越小，阶数P越高，局部截断误差越小，当 然计算精度越高；
注4：梯形法是几阶？梯形法精度比Euler法高，阶数肯定 比Euler法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估 计式，因为我们是用梯形数值积 分公式计算
因此由积分中梯形公式的误差知此 xn1 f (x, y(x))dx
时的局部截断误差为：
§1 欧拉（Euler）法
以Euler法及其改进方法为例,说明
常微分方程初值问题数值解法的一般概
念，Euler法很简单，准确度也不高，
介绍此方法的目的，是由于对它的分析
讨论能够比较清楚地显示出方法的一些
特点，而这些特点及基本方法反映了其
它方法的特点。
Euler法用于求 解一阶微分方 程初值问题：
y(x) f (x, y(x))
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要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
a x 0 x 1 x n b
处的近似值
2020/10/28
yi y(xi )
17
yf(x,y) axb (1 .1 )
y(x 0) y0
(1 .2 )
对微分方程(1.1)两端从 xn到 xn1 进行积分
xn1ydxxn1 f(x,y(x))dx
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
|f( x ,y 1 ) f( x ,y 2 ) | L |y 1 y 2 | ( 1 .3 )
使 得 对 任 意 的 x [ a , b ] 及 y 1 ,y 2 都 成 立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
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6.基本知识
本章主要讨论一阶常微方程的初值问题
各
yf(x ,y) a x b (1 .1 )
y(x 0) y 0
(1 .2 )
种 数 值 解
法
其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。
2020/10/28
10
常微分方程的理论指出：
当 f (x,y) 定义在区域 G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)
内部联系非常复杂
其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同
找出其状态和状态变化规律之间的相互联系， 也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系
此种关系的数学表达就为
2020/10/28
微分方程
4
2.数值求解微分方程的意义
如何建立数学模型已在建模课程中得到讨论， 各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释，
2020/10/28
6
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义 上来讲
我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个 定义范围内的一系列离散点上的近似值.
把这样一组近似解称为 微分方程在该范围内的
数值解
寻20找20/10数/28 值解的过程称为数值求解微分方程。 7
xn
xn
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y(xn1)y(xn)xx n n 1f(x,y(x))dx
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令 g(x)f(x,y(x))
右端积分用 左矩形数值
求积公式
b g (x )d x ( b a )g (a ) g ()(b a )2
a
2
得
yn1yn (xn1xn)f(xn,y(xn))
hf(x ,y(x ))
就可保证方程解的存在唯一性
2020/10/28
11
若 f (x,y) 在区域 G连续，关于y
满足李普希兹 条件
一阶常微分方程的初值问题的解存在且唯一. 我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.
一阶常微分方程组常表述为：
y1f1(x,y1, ,ym)
( axb)
ym fm(x,y1, ,ym)
y1 ( x0 ) 1
本章专门 讨论
如何利用数值方法求解微分方程（组）的问题。
2020/10/28
5
3.什么是微分方程 (组)的解析解?
3.什么是微分方 程(组)的解析解?
一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。
寻找解析解的过程称为求解微分方程组。
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数
求解数值解
很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！
重要手段。
2020/10/28
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5.常微分方程数值解法的特点 常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法 通过计算机
便捷地实现
2020/10/28
数值解法得到的近似 解(含误差)是一个 离散的函数表.
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§2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
2020/10/28
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1. 简单的欧拉(Euler)方法
考虑模型：
yf(x,y) axb (1.1)
y(x0) y0
(1.2)
欧
拉
最简单而直观
方
实用方法
法
弄清常微方程初值
在精度要求不高时
问题数值解法的一 些基本概念和构造
方法的思路.
通过2020欧/10/28拉方法的讨论
16
2. 欧拉方法的导出
把区间［a,b］
分为n个小区间
N等分
步长为 hi (xi1-xi)
节点 x i a i h i , 一 般 取 h i h ( ( b a ) / n ) 即 等 距
第九章 常微分方程的数值解法
主要内容
§1、引言
§2、初值问题的数值解法--单步法
§3、龙格-库塔方法
§4、收敛性与稳定性
§5、初值问题的数值解法―多步法
§6、方程组和刚性方程
§20207/1、0/28习题和总结
1
§1、 引 言
主要内容 ➢研究的问题
➢数值解法的意义
2020/1程 ? 现实世界中大多数事物
2020/10/28
nn
19
或用向前差 商近似导数
y(xn)y(xn1)hy(xn)
y ( x n 1 ) y ( x n ) h y ( x n ) y n h f ( x n ,y n )
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
2020/10/28
y
m
( x0
)
m
方程组
初值条件
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写成向量形式为
yf(x,y) y(x0)y0,
axb x0(x0 (1), ,x0 (m ))T
高阶常微分方程定解问题如二阶定解问题：
y f (x, y, y)
y(a) y(a)
2020/10/28
a xb
13
这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题. 也就解决了高阶方程的定解问题.
依上述公式逐次计算可得：
y1 y0 hf ( x0 , y0 ) y2 y1 h f ( x1, y1 )
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
yn1 yn hf ( xn , yn )
每步计算 只用到 2020/10/28
y n1
yn
例题
20
故也称Euler为单步法。 公式右端只含有已知项 y n
所以又称为显格式的单步法。
3.欧拉公式有明显的几何意义
过 点(x0,y0)的 曲 线 是 解y(x)在(x0,y0) 作y(x)的 切 线 与 直 线xx1交 于(x1,y1) 再 作 切 线 交 于(x2,y2)