第12章 MATLAB常微分方程(组)数值求解方程与方程组的数值解.

2018/10/9
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吴鹏, MATLAB从零到进阶.
常微分方程数值解
第一节数值求解常微分方程（组） 函数概述
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常微分方程数值解
一、 概述
第9章介绍了符号求解各类型的微分方程组，但是 能够求得解析解的微分方程往往只是出现在大学课 堂上，在实际应用中，绝大多数微分方程（组）无 法求得解析解。这就需要利用数值方法求解。 MATLAB以数值计算见长，提供了一系列数值求解 微分方程的函数。 这些函数可以求解非刚性问题，刚性问题，隐式 微分方程，微分代数方程等初值问题，也可以求解 延迟微分方程，以及边值问题等。
ode23s
Baidu Nhomakorabea刚性
ode23tb 刚性
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三、 延迟问题以及边值问题求解函数
1. 延迟问题
MATLAB提供了dde23和ddesd函数用来求解。前者用来求解状态变量 延迟为常数的微分方程（组），后者用来求解状态变量延迟不为常数 的微分方程（组）。调用格式以及参数意义大部分类似ode系列求解函 数，不同的是要输入延迟参数以及系统在时间小于初值时的状态函数。
ode113 非刚性
低到高
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二、初值问题求解函数
ode15s 刚性 低到中 基于数值差分公式(后向差分公式，BDFs 也叫Gear方法)，因此效率不是很高。同 ode113一样，ode15s也是一个多步计算器。 当ode45求解失败，或者非常慢，并且怀 疑问题是刚性的，或者求解微分代数问题 时可以考虑用ode15s 低 基于修正的二阶Rosenbrock公式。由于是 单步解算器，当精度要求不高时，它效率 可能会高于ode15s。它可以解决一些 ode15s求解起来效率不太高的刚性问题。 ode23t 适度刚性 低 低 ode23t可以用来求解微分代数方程。 当方程是刚性的，并且求解要求精度不高 时可以使用。
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二、初值问题求解函数
y0 ：微分方程（组）的初值，即所有状态变量在t0时刻的值。 options 结构体，通过odeset设置得到的微分优化参数。
返回参数说明： T：时间点组成的列向量 Y：微分方程（组）的解矩阵，每一行对应相应T的该行上时间点的微 分方程（组）的解。 sol：以结构体的形式返回解。
2. 边值问题
两个求解函数函数bvp4c和bvp5c,后者求解精度要比前者好。以 bvpsolver表示bvp4c或者bvp5c，那么这两个函数有着统一的调用格 式：
solinit = bvpinit(x, yinit, params) sol = bvpsolver(odefun,bcfun,solinit) sol = bvpsolver(odefun,bcfun,solinit,options)
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二、初值问题求解函数
1. 提供的函数
ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb，这些函数统一 的调用格式如下： [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) sol = solver(odefun,[t0 tf],y0...) 输入参数说明： odefun 表示微分方程（组）的句柄。 tspan 微分方程（组）的求解时间区间，有两种格式[t0,tf]或者 [t0,t1,…,tf]，两者都以t0为初值点，根据tf自动选择积分步长。前者 返回实际求解过程中所有求解的时间点上的解，而后者只返回设定 的时间点上的解。后者对计算效率没有太大影响，但是求解大型问 题时，可以减少内存存储。
如果质量矩阵奇异的话，(1)称为微分代数方程组（differential algebraic equations, DAEs.），可以利用求解刚性微分方程的函数如ode15s,ode23s 等来求解，从输入形式上看，求解DAEs和求解普通的ODE很类似，主 要区别是需要给微分方程求解器指定质量矩阵。
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常微分方程（组） 数值求解
吴鹏（rocwoods）
rocwoods@126.com
MATLAB从零到进阶
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主要内容
数值求解常微分方程（组）函数概述 非刚性/刚性常微分方程问题求解 隐式微分方程（组）求解 微分代数方程(DAE)与延迟微分方程(DDE) 求解 边值问题求解
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二、初值问题求解函数
2. 函数介绍
函数 ode45 ode23 问题类型 精确度 非刚性 非刚性 中等 低 说明 采用算法为4-5阶Runge-Kutta法，大多数 情况下首选的函数 基于 Bogacki-Shampine 2-3阶Runge-Kutta 公式，在精度要求不高的场合，以及对于 轻度刚性方程，ode23的效率可能好于 ode45。 基于变阶次Adams-Bashforth-Moutlon PECE算法。在对误差要求严格的场合或 者输入参数odefun代表的函数本身计算量 很大情况下比ode45效率高。ode113可以看 成一个多步解算器，因为它会利用前几次 时间节点上的解计算当前时间节点的解。 因此它不适应于非连续系统。
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四、 求解前准备工作
微分方程的形式是多种多样的，一般来说，很多高阶微分方程可以通过 变量替换转化成一阶微分方程组，即可以写成下面的形式： M t, y y ' F t , y （ 1） M t , y 称为质量矩阵，如果其非奇异的话,上式可以写成： y ' M 1 t, y F t, y （ 2） 将（2）式右半部分用odefun表示出来（具体表现形式可以采用匿名函数、 子函数、嵌套函数、单独m文件等形式），就是ode45，ode23等常微分 方程初值问题求解的输入参数odefun。