二次函数知识点总结(9下)

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初三数学二次函数知识点总结归纳

初三数学二次函数知识点总结归纳初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴.当a 0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a 0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c 0时，向上平行移动，当c 0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

九年级二次函数知识点总结

九年级二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式二次函数一般写为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

其中a决定了抛物线开口的方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

二、二次函数的图像1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。

3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：抛物线没有焦点。

5. 抛物线的焦距：抛物线没有焦距。

三、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点即为其实根，求零点的方法可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。

2. 正负性：当a>0时，抛物线上方为正区间，下方为负区间；当a<0时，抛物线上方为负区间，下方为正区间。

3. 单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。

4. 极值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。

四、二次函数的相关应用1. 最值问题：通过求解二次函数的极值来解决相关的最值问题，如求解最大值、最小值等。

2. 零点问题：通过求解二次函数的零点来解决相关的方程问题，如求解方程ax^2+bx+c=0的解。

3. 切线问题：通过求解二次函数的导数来得到其切线的斜率，从而解决相关的切线问题。

4. 抛物线运动问题：通过二次函数的图像特点，解决相关的抛物线运动问题，如抛体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等。

五、二次函数的解题方法1. 求解零点：通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到函数的零点。

2. 求解极值：通过求解函数的导数来得到函数的极值点，并求解其极值。

九年级二次函数知识点汇总

九年级二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中的一种重要的函数形式，它的形式为f(x)=ax^2+bx+c。

在九年级，学生需要掌握二次函数的基本概念、图像、性质以及与实际问题的应用。

下面将对九年级二次函数的知识点进行汇总和总结。

1. 二次函数的基本概念二次函数是一个以x为自变量、以ax^2+bx+c为因变量的函数。

其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

a决定了二次函数的开口方向和图像的形态。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其形状和位置与a、b、c的取值有关。

当a>0时，图像在y轴上方有一个最低点，称为顶点；当a<0时，图像在y轴下方有一个最高点，也称为顶点。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3. 二次函数的性质(1) 零点：二次函数与x轴相交的点称为零点。

根据二次函数的图像性质，当抛物线与x轴相切时，有且只有一个零点；当抛物线与x轴有两个交点时，有两个零点；当抛物线与x轴没有交点时，没有零点。

(2) 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x=-b/2a。

(3) 最值：对于开口向上的二次函数，最小值等于顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值等于顶点的纵坐标。

(4) 单调性：由于二次函数的图像呈现抛物线的形状，所以二次函数在对称轴两侧的增减性是不同的。

即在对称轴的左侧，二次函数单调递减；在对称轴的右侧，二次函数单调递增。

4. 二次函数的变形九年级数学中，我们还学习了二次函数的变形，包括平移、伸缩和翻折等操作。

这些操作可以通过对a、b、c的取值进行调整来实现。

(1) 平移：当二次函数的形式为f(x)=a(x-h)^2+k时，其中(h,k)为平移的向量，分别表示横坐标和纵坐标的平移量。

平移后的二次函数的图像相对于原图像在平面上左右或上下移动了h个单位和k个单位。

九年级数学二次函数的知识点总结

九年级数学二次函数的知识点总结一、引言数学是一门让人头疼的学科，而二次函数作为数学的重要组成部分，更是让很多学生感到困惑。

然而，只要我们掌握了二次函数的基本知识点，就能够轻松应对各种题型。

本文将对九年级数学中的二次函数进行一个全面的总结，希望能够帮助到同学们。

二、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。

3. 函数的表示：函数可以用公式、图像或者表格来表示。

三、二次函数的基本形式1. 二次函数的定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的一类函数，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，可以分为开口向上和开口向下两种情况。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其横坐标为 -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。

四、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。

2. 判别式：二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断方程的解的情况，当Δ > 0 时，有两个不同的实根；当Δ = 0 时，有两个相等的实根；当Δ < 0 时，无实根。

3. 函数的增减性：当 a > 0 时，二次函数开口向上，图像呈现增函数；当 a < 0 时，二次函数开口向下，图像呈现减函数。

五、二次函数的图像与参数的关系1. a 的作用：a 决定了抛物线的开口方向和形状，当 a > 1 时，抛物线比标准位置的抛物线更狭长；当 0 < a < 1 时，抛物线比标准位置的抛物线更扁平。

2. b 的作用：b 决定了抛物线在 x 轴上的位置，它是顶点的横坐标，当 b > 0 时，顶点在 y 轴右侧；当 b < 0 时，顶点在 y 轴左侧。

3. c 的作用：c 决定了抛物线的纵坐标偏移，当 c > 0 时，抛物线在 y 轴上方；当 c < 0 时，抛物线在 y 轴下方。

北师大数学九年级下册二次函数知识点总结

二次函数学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++〔a b c，，是常数，0a≠〕的函数，叫做二次函数。

这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax=的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。

Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。

3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a 的大小确定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a 恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况.图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔21AB x x =-=② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：2-322y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数考察重点及常见题型1．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，那么m 的值是2．综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔〕A B C D3．考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

(完整版)初三数学二次函数知识点总结

【【(h >0)【【【(h <0)【【【 |k|【【【【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【y=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2y=a (x-h )2+k初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，， b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b ，体实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式 y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时，y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【【(h >0)【【【(h <0)【【【 |k|【【【【【(h >0)【【【(h <0)【【【 |k|【【【【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：2a ⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2者，即 y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中 h = - ， k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0， c )、以及(0， c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1 ， 0)， (x 2 ， 0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最4ac - b 2 小值．4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当x < - 2a 时， ⎝ ⎭b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时，y 有最大值． 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数y =ax2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．bab 的符号的判定：对称轴x =-2a“左同右异”在y 轴左边则ab > 0 ，在y 轴的右侧则ab < 0 ，概括的说就是3.常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，，b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx +c = 0 是二次函数y =ax2+bx +c 当函数值y = 0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x 轴交于两点A(x ，0，)，B (x 0)(x ≠x ) ，其中的x ，x 是一元二次方1 2 1 2 1 2程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离AB =x2-x1=. ② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点. 1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 '有y < 0 ．当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都2.抛物线y =ax2+bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2+m2-m - 2 的图像经过原点，则m 的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考ay0 1查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2+bx - 1的图像大致是（）y10 x xC D3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。

九年级下册二次函数知识点讲解

九年级下册二次函数知识点讲解二次函数是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要概念。

它是一种代数函数，具有形如f(x) = ax² + bx + c的表达式，其中a、b、c是实数，且a不等于0。

而九年级下册中，我们将进一步学习和探索二次函数的性质和应用。

本文将对九年级下册二次函数的知识点进行讲解。

一、二次函数的图像和性质在学习二次函数的知识时，首先我们需要了解二次函数的图像和性质。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

在解析式f(x) = ax² + bx + c中，常数c表示抛物线在y轴上的截距，而常数b则与抛物线的轴对称线有关。

二、二次函数的顶点和轴对称线二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，这里也是抛物线的转折点。

顶点的坐标可以通过计算得到，设顶点坐标为（h，k），则h = -b / (2a)，k = f(h) = f(-b / (2a))。

而二次函数的轴对称线则是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。

轴对称线的方程可以通过计算得到，一般形式为x = -b / (2a)。

三、二次函数的零点和解析式二次函数的零点，即函数图像与x轴交点的横坐标。

通过求解二次函数的零点，我们可以得到方程ax² + bx + c = 0的解析式。

一般来说，我们可以使用因式分解、求根公式以及配方法等多种方法来求解二次方程，具体方法根据具体情况选择。

四、二次函数的最值和范围二次函数的最值是指函数的最大值或最小值，也就是抛物线的顶点坐标中的纵坐标。

当二次项系数a大于0时，二次函数的最值为最小值；当二次项系数a小于0时，二次函数的最值为最大值。

而二次函数的取值范围受限于抛物线的开口方向和最值，当a 大于0时，函数的取值范围为（最小值，正无穷）；当a小于0时，函数的取值范围为（负无穷，最大值）。

五、二次函数的应用除了了解二次函数的基本知识和性质外，我们还需要学习和掌握二次函数在实际问题中的应用。

人教版九年级二次函数章节知识点及典型例题

22. 二次函数知识点一：二次函数的概念1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

其中，x是自变量，a, b, c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

2.注意以下几点：（1）y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式，任何一个二次函数的解析式都可以化为此形式；（2）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a必须不等于0，因为若a=0的话，此式子则变为y= bx+c的形式，就不是二次函数了；（3）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，若y =0，则二次函数可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。

例1. 下列各式中，y是x的二次函数的是( )A.y=x（x+1）B. x2y=1C. y=2x2−2(x−1)2D. y=x-0.5例2. 有下列函数：①y=x2+8；②y=2x（1-x）；③y=ax2+bx+c；④y=3x2+3x2；⑤y=(m2+1)x2−x+3；⑥y=2x2−12x(4x−3)其中一定是二次函数的有______（从小到大填序号对应的数字，用逗号隔开）例3. 把二次函数y=（x+3）（2x-5）+x（3x-1）化为一般形式______，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______，b2−4ac =______．例4. 若y=(2a+4)x3|a|−4+10x+12是二次函数，则a的值为______.例5. 已知函数y=(2m2+5m)x2+3mx−8为二次函数，则m的取值范围是______.知识点二：实际问题中的二次函数关系由实际问题列二次函数关系式，一般分四步完成：一找：根据实际问题的意义，找出等量关系；二列：由等量关系列出函数关系式；三化：把关系式化为二次函数的一般形式；四定：根据实际意义，确定自变量的取值范围。

例1. 在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有______个。

九年级数学二次函数知识点总结及经典例题

精品文档二次函数知识点总结一、二次函数概念：2（的函数，叫做二次函数。

这是常数，1．二次函数的概念：一般地，形如）cbxax??y?ca，b，0?a里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实c，b0a?数．2的结构特征：2. 二次函数c?bxy?ax?⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．xx⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．ca，b，bca二、二次函数的基本形式2的性质：1. 二次函数基本形式：axy?a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

22??hx?y?a 3. 的性质：左加右减。

精品文档．精品文档2?? 4. 的性质：khy?a?x?三、二次函数图象的平移平移步骤： 1.??2，hk的形状不变，2????，确定其顶点坐标；⑴将抛物线解析式转化成顶点式，khk?hy?a?x将其顶点平移到⑵保持抛物线处，具体平移方法如下：axy?个单位|k|【或向下(k<0)】平移向上(k>0)22ky=axy=ax+】h(<0)(h>0)【或左向右】h<0)>0)【或左(向右(h】<0)>0)h【或左(h向右(个单位k|平移|个单位|k|平移个单位k|平移|】<0)向上(k>0)【或下(k个单位平移|k|2)x-hy=a(2+k)y=a(x-h个单位|】平移|k【或下向上(k>0)(k<0) 2. 平移规律．值正右移，负左移；值正上移，负下移”在原有函数的基础上“kh ．概括成八个字“左加右减，上加下减”2??与的比较四、二次函数2?hx??kyacbxy?a?x?2??2后者通过配方可以得到前者，是两种不同的表达形式，从解析式上看，与k?y?ax?hc?bx?y?ax222bac?b4b?4acb???ax?y?即，其中．?kh??，??a2a4aa42??的性质六、二次函数2c?ax??bxy2??b?b4acb，?时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当 1. 0a??x???a42aa2??by 当随的增大而减小；时，x??x a2b 的增大而增大；当随时，yx?x?a2 精品文档．精品文档2bac?4b当时，有最小值．y?x?a4a22??bb4ac?bb．当时，随2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为y，?0?a?x?x????aa42aa22??2b?4acbb 有最大值．随的增大而减小；当时，的增大而增大；当时，yyxx?x?x??a4aa22七、二次函数解析式的表示方法2）；，，1. 一般式：为常数，（c??bxy?ax0ba?ca2；，为常数，顶点式：2. ）（，k)?y?a(x?h0k?haa.轴两交点的横坐标），，是抛物线与3. 两根式（交点式）：（0?axx)x?xx?a(?x)(yx2121注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2二次函数解析式的即抛物线的解析式才可以用交点式表示．时，有抛物线与轴有交点，0b4?ac?x. 这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数1. a 的值越小，开口越大；时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之⑴当0?aaa 的值越大，开口越大．时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之⑵当0?aaa（同一次项系数2.b y轴）0 b为对称轴为在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．左异右ba 3. 常数项 c 轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；当时，抛物线与轴的交点在⑴yy0c?xyy 轴交点的纵坐标为轴的交点为坐标原点，即抛物线与；⑵当时，抛物线与00c?yy 轴下方，即抛物线与轴的交点在轴交点的纵坐标为负．⑶当时，抛物线与0?cxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．c九、二次函数与一元二次方程：轴交点情况）：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x22. 是二次函数时的特殊情况一元二次方程当函数值c?axbx?y?0?y0?bx?cax?轴的交点个数：图象与x????2，，00x，BAx轴交于两点时，图象与，其中的是一元二次方①当0ac??b?4?xx，)(x?xx122121??20a??bx?c?0ax . 程的两根．时，图象与轴只有一个交点；②当0??x.时，图象与轴没有交点当③0??x ；轴的上方，无论当时，图象落在为任何实数，都有0y?0a?1'xx．轴的下方，无论当时，图象落在为任何实数，都有0?y0?a2'xx2yc?y?ax?bx 2.抛物线，轴一定相交，交点坐标为；的图象与)(0c精品文档．精品文档二次函数对应练习试题一、选择题274x?y?x?( )的顶点坐标是1. 二次函数A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）2x2y??）个单位，得到的抛物线是（向上平移2. 把抛物线122221???2xy?1)y??2x?1yy??2(x?1)??2(x D. B. C. A.k2k??kxy(k?0)y?在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 3.函数和x20)c(a?y?ax?bx?②①4.已知二次函数a,b同号;的图象如图所示,则下列结论:x2??y0?4a?b3x?1x?其中正的值只能取④当③0.和时, 时当,函数值相等;( )确的个数是个 D. 4个 A.1个 B.2个 C. 320)??bx?c(ay?ax),如图的顶点坐标（已知二次函数-1，-3.2）及部分图象(5.2?x?1.3和x0?bx?cax?x的两个根分别是的一元二次方程由图象可知关于21）（B.-2.3C.-0.3D.-3.3 Ａ．－１.３2c??bxy?ax),bc(ac的图象如图所示，则点）6. 已知二次函数在（．第二象限 A．第一象限 B ．第四象限C．第三象限 D22?x?2x7.方程）的正根的个数为（x个 B.1个 C.2. 3 个A.0个y C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点222y2??x?x?xy?x??B. A.222222xx?y???y2xxy????xx2????xx?y? C. 或 D. 或精品文档．精品文档二、填空题23bx?y?x??b2x?，则的对称轴是_______9．二次函数。

二次函数知识点总结与重难点精析

二次函数知识点总结与重难点精析一、引言本文旨在总结九年级数学中的二次函数知识点，重点探讨二次函数的基本概念、图象与性质，以及相关应用。

希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高数学学科的成绩和兴趣。

二、二次函数的基本概念1.二次函数定义：一般地，形如y = ax²+ bx + c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中，x为自变量，y为因变量。

2.二次函数图象：二次函数的图象是一条抛物线，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b²)/4a)，对称轴为x=-b/2a。

三、y=ax²的图象与性质1.定义域：对于y=ax²，其定义域为全体实数。

2.值域：当a>0时，值域为[0. +∞);当a<0时，值域为(0. +∞)。

3.奇偶性：当a=0时，既是奇函数又是偶函数;当a≠0时，是偶函数。

4.对称性：二次函数y=ax²的图象关于y轴对称。

5.增减性：当a>0时，在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0.+∞)上单调递增;当a<0时，在区间(-∞，0)上单调递增，在区间(0.+∞)上单调递减。

6.最值：当a>0时，有最小值0;当a<0时，有最大值0.四、重难点分析1.重点掌握y=ax²的图象与性质。

包括抛物线的形状、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等。

2.理解并掌握二次函数的定义域、值域和奇偶性等基本性质。

3.能够根据二次函数的图象和性质进行分类讨论，准确地确定函数的单调性和最值。

4.能够运用二次函数的知识解决实际问题，如利用二次函数的最值求最优化问题等。

五、知识点应用1.求二次函数的最大(小)值：要结合函数的图象和性质，首先确定函数的对称轴和开口方向，然后根据函数的单调性求出最大(小)值。

2.求二次函数的零点：通过观察函数的图象和性质，找到函数与x轴的交点坐标，即为函数的零点。

九年级数学下册二次函数知识点总结

九年级数学下册二次函数知识点总结
本文档总结了九年级数学下册中关于二次函数的重要知识点。

一、二次函数的定义与特征
- 二次函数的定义：二次函数是一个含有平方项且不含有其他次数项的函数，一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

- 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线，开口的方向由a的正负决定。

- 二次函数的顶点：二次函数的图像的顶点是抛物线的最高点或最低点，其横坐标为 x = -b/2a。

二、二次函数的图像与性质
- 二次函数的对称性：二次函数关于其顶点对称，即对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，若 (x, y) 在图像上，则 (-x, y) 也在图像上。

- 二次函数的平移：二次函数的图像可以通过平移上下左右来得到新的图像，平移的规律与平移向量的特点相关。

- 二次函数的最值：当二次函数的抛物线开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的抛物线开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

三、二次函数的解法与应用
- 二次函数的解法：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 来得到。

其中√ 表示平方根。

- 二次函数的应用：二次函数在现实生活中有广泛的应用，如物体自由落体、抛物线轨迹等。

以上是九年级数学下册二次函数知识点的总结，希望对你的研究有所帮助。

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++〔a b c ，，是常数，0a ≠〕的函数，叫做二次函数。

这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的构造特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质： a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

()2三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k=-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a的大小确定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；0b =02b a -=y当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔 .② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用二次函数考察重点及常见题型1．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，那么m 的值是 2．综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)如图，假如函数bkxy+=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bxkxy的图像大致是〔〕y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

九年级数学中的二次函数是一个非常重要的内容，主要包括函数定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系、应用等方面的知识。

下面对这些知识点进行归纳总结。

1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

2.二次函数的图像和性质：-当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在最低点；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，顶点在最高点。

-顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。

-当函数的a值较大时，抛物线开口越大，图像越扁平；当a值较小时，抛物线开口越小，图像越瘦高。

-当函数的c值为正时，图像在y轴上方；当c值为负时，图像在y轴下方。

-二次函数的对称轴与x轴交点为顶点坐标的x坐标。

-二次函数的图像关于对称轴对称。

3. 二次函数的解析式：二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以用来表示二次函数的解析式。

4.根与系数之间的关系：- 二次函数的根是函数f(x) = ax^2 + bx + c的解，即使得f(x) = 0的x值。

二次函数的根可能有两个、一个或没有。

-当二次函数有两个根时，即存在两个解x1和x2，那么二次函数可以表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2)。

-二次函数的根与系数之间的关系可由韦达定理得到。

设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：-x1+x2=-b/a-x1*x2=c/a5.二次函数的应用：-二次函数可以应用于描述各类抛物线问题，如求抛物线的顶点、根、对称轴等。

-二次函数可以用来表示抛物线轨迹的运动问题，如抛物线运动的高度、时间等。

总结：二次函数是九年级数学中的重要内容，掌握二次函数的定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系以及应用可以帮助我们更好地理解和解决与抛物线相关的问题。

九年级二次函数知识点归纳

九年级二次函数知识点归纳在九年级数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。

它是高中数学的基础，也是后续学习的重要基础。

本文将对九年级二次函数的一些关键知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

1. 二次函数的定义二次函数是指函数表达式中含有二次项（x²）的函数。

一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。

在二次函数中，二次项起主导作用，决定函数的开口方向和形状。

2. 二次函数的图像和性质二次函数的图像通常是一个抛物线，开口方向取决于一次项的系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数的图像呈现出对称性，对称轴为x轴的负半轴和正半轴的中垂线。

二次函数的顶点即为对称轴上的一个点。

3. 二次函数的顶点坐标和轴对称性通过顶点坐标和对称轴，可以方便地确定二次函数的图像特征。

顶点坐标为x = -b/2a处的点，其中x为顶点的横坐标，y为顶点的纵坐标。

对称轴的方程为x = -b/2a。

通过顶点和对称轴，可以画出二次函数的大致图像。

4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数图像与x轴相交的点，也是函数的根。

要求函数值f(x)等于0，可以通过解一元二次方程来求得二次函数的零点。

一元二次方程一般形式为ax² + bx + c = 0，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法来解方程，从而得到二次函数的零点。

5. 二次函数的极值二次函数的函数值在顶点处取得最值，当a>0时，函数的最小值在顶点处；当a<0时，函数的最大值在顶点处。

通过求出顶点坐标，可以确定二次函数的极值点。

6. 二次函数的图像平移二次函数的图像在坐标平面中可以向左、向右、向上或向下进行平移。

平移的规律是在函数表达式中的x值部分添加一个常数h，表示横向平移的距离，并在函数表达式中的f(x)值部分添加一个常数k，表示纵向平移的距离。

初三下册数学《二次函数的图象和性质》知识点总结

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
初三下册数学《二次函数的图象和性质》知识点总结
及时对知识点进行总结，整理，有效应对考试不发愁，下文由初中频道为大家带来了二次函数的图象和性质知识点总结，欢迎大家参考阅读。

二次函数图像的性质：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点是原点(0,0)。

(1)二次函数图像怎幺画?作法：①列表：一般取5 个或7 个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y 轴的两侧各取2 个或3 个点，注意对称取点;
②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。

(2)二次函数与的图像和性质：
2.二次函数(a，k 是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。

函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。

当a 大于0 时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x 小于0 时)，曲线自左向右下降，函数y 随x 的增大而减小;在对称轴的右边(x 大于0 时)，曲线
自左向右上升，函数y 随x 的增大而增大。

顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y 取得最小值，即当x=0 时，y 最小值=k。

当a 小于0 时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x 小于0 时)，曲线自左向右上升，函数y 随x 的增大而增大;在对称轴的右边(x 大于0 时)，曲线
自左向右下降，函数y 随x 的增大而减小。

顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y 取得最大值，即当x=0 时，y 最大值=k。

今天的努力是为了明天的幸福。