福建省上杭一中2009-2010学年高二下(选修2—2)

上杭一中2009—2010学年度第二学期半期考试
高二数学(理)试题
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
2．在
8
2
x ⎛ ⎝的展开式中，常数项是（ ）
Ａ．28- Ｂ．7- Ｃ．7
Ｄ．28
3．下列结论中正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点
B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值
C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值
D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值
4．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．-1<a <2
B ． -3<a <6
C ．a <-3或a >6
D ．a <-1或a >2
5．'
()f x 是()f x 的导函数，'
()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）
A B C D
6．用数学归纳法证明42
2
1232
n n n +++++=……，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加
上（ ）
A. 2
2
2
(1)(2)k k +++++……（k+1） B. 2
(1)k +
C. 42(1)(1)2
k k +++ D. 21k +
7．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A ．a b c ，，都是奇数
B ．a b c ，，都是偶数
C ．a b c ，，中至少有两个偶数 Ｄ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数
8．若2009220090122009(12)()x a a x a x a x x R -=+++
+∈，则2009
12
022009
22
2
a a a a +
+++
的值为( )
A. 2
B. 0
C. -1
D. -2
9．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( ) A. 540 B. 300 C. 180 D. 150
10．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：
‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱。

给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2
+‖CB ‖2
=‖AB ‖2
； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第II 卷 非选择题（100分）
二．填空题（4×5=20）
11．若复数2
(1)ai +在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a 的取值范围 ． 12．函数3
4y x ax =-+在(1,)+∞上为增函数,则a 的取值范围是 . 13．与直线250x y -+=平行的抛物线2
y x =的切线方程为 . 14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内
有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个
的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2
4
a 。

类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 。

15．某中学拟于下学期在高二年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路
与布尔代数》等三门数学选修课程，在计划任教高二年级的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，这三门课程都能任教的只有2人，现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3名教师任教，则不同的安排方案共有 。

三．解答题。

(本大题共6小题，16—19小题每题13分，第20-21题14分，共80分。

解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 16．（本小题满分13分）
4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？（用数字做答）
(1)教师必须坐在中间；
(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起； (3)教师不能坐在两端，且不能相邻．
17.（本小题满分13分）
已知*22)(N )n n x
∈的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1 （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含32
x 的项；
18.（本小题满分13分）
设函数()32
()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数.
（Ⅰ）求b 、c 的值; （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值.
19.（本小题满分13分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
23和3
4
，假设两个射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否中目标相互之间也没有影响。

（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击。

则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？
20.（本小题满分14分）
如图所示，已知曲线2212::2(1)C y x C y x ax a ==-+>与曲线交于点O 、A ，直线
(01)x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别交于点D 、B ，连结OD ，DA ，AB.
（1）求证:曲边．．四边形ABOD （阴影部分：OB 为抛物线弧）的面积()S f t =的函数表达
式为 322
1
()(01)
6
f t t at a t t =-+<≤
（2）求函数()S f t =在区间(]0,1上的最大值
21．（本小题满分14分） 设函数1
()(,f x ax a b x b
=+
∈+Z ），曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。

（1）求()f x 的解析式；
（2）证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

参考答案
审核人：王君 校对：陈亮
一、选择题：
解：(Ⅰ)∵f(x)=x3+bx2+cx(x R), ∴f'
)
(x
=3x2+2bx+c
∴g(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c;由奇函数定义知:
G(-x)=-x3+（b-3）x2-(c-2b)x+c=-x3-(b-3x)2-(c-2b)x+c=-g(x)
∴b-3=-(b-3); -(c-2b)=-(c-2b); -c=c
解得：b=3; c=0
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得:g(x)=x3-6x, 令g'
)
(x
=3x2-6x=0
得:x=±2;又由g'
)
(x ＞0得：x∈(-∞,- 2)∪(2,+∞)
故22220
11(2)(2)()22t
S x ax dx t t t at t a t =
-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰322
16
t at a t =-+ 3221
()(01)6
S f t t at a t t ∴==-+<≤
222211
(2)()2()0,20
22:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t ''=-+=-+===≤ 令即解得或由舍去)
若2(212
a a +≥≥
即,01,()0t f t '<≤∴≥
图象是以原点中心的中心对称图形。

而1
()111
y f x x x ==-+
+-。

可知，函数()g x 的图象按向量a =（1,1）平移，即到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点（1,1）为中心的中心对称图形。

（3）证明：在曲线任取一点0001(,)1x x x +
-，由02
01'()(1)f x x =-知，过此点的切线方程为2
0002
0011
[1]()1(1)
x x y x x x x -+-=----。

令1x =，得0011x y x +=-，切线与直线1x =的交。