第5章 刚体的定轴转动

在同一时间内, 各点对轴的转角 相等，但线速度不同。
描述刚体的定轴转动的物理量 (1) 角位置 θ 定轴转动的运动方程
转轴 刚 体
θ =θ (t )
(2) 角位移 Δθ (3) 角速度
(一般定逆时针为正)
O
Δθ = θ ( t + Δ t ) − θ ( t )
参考 方向
r r r r θ Δθ = dθ ω = dθ 方向与 d θ d相同 ω = lim r r dt Δ t →0 Δ t dt r ω β 2 r dω d θ (4) 角加速度 2 β= = 2 β = dω = d θ2 dt r dt dt dt r r 矢量描述: dω > 0, β 与 ω 同向 r r r r r d θ 方向由右手螺旋确定 dω < 0, β 与 ω 反向 β
动画
炮弹在飞行轨道上爆炸成碎片，质心仍在抛物线上…… 6
3. 刚体的转动 刚体定轴转动的描述 转动：刚体各点都绕同一直线 (转轴)作圆 周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动 . 转轴 最简单的情况是转轴的位置和 方向都固定不变的转动，称为 刚体的定轴转动。
刚 体
特征: 转轴上各点 静止，其它各质元都 在垂直于转轴的平面 用角量来描述转动规律较为方便。 内作圆周运动。 7
R 球(沿直径) 2 J = mR 2 5
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例1.如图所示,一个均匀半圆薄板的质量为m, 半径 为R.以其直径边为转轴, 它的转动惯量多大？ 解: 设面密度为 σ . 取窄条状面元dS. dθ 对应的弧长为Rdθ dh
R
θ
dθ
dS h
∴ dh = Rdθ ⋅ cosθ ? dS =[2 R cosθ + (2 R cosθ − 2 Rdθ ⋅ sinθ )]⋅dh / 2 σ= m = 2 R2 cos2θ dθ 2
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r r r r r r Li = m i ω r i ( zi k × τ i + ri k ) Mz = M ⋅ k v r r dL r ω Mz = M ⋅ k = ⋅ k r r r dt
(Z轴)转轴
令: J = ∑m i ri2——转动惯量
将Mz改写为M，则
d∑ Li r d∑ Li ⋅ k = ⋅k = dt dt d(∑mi ri2ω) = β ∑mi ri2 = dt
M
用求导的方法 积分加初始条件
J , M → β (t) → ω(t) → θ (t)
例2. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 < m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。 动画 已知： m1，m2 ，m， R ，Mr 求： a , T1 , T2
r r
θA
F 总可分解成两个分量： r r r
F = F⊥ + F//
r F⊥
o′′
∴
r v 计算 M 时, 只需考虑 F⊥的力矩, 即Mz .
对刚体绕o′o′′轴的转动无贡献
力 F 对z 轴的力
Mz (F)= Fτ r = F⊥h
• 力矩取决于力的大小、方向和作用点 • 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向
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几种常见刚体的转动惯量：
匀质薄圆盘 l R 1 J = ml 2 12 l R1 R2 1 J = ml 2 3 m 2 2 圆筒 J = ( R1 + R2 ) 2
R
m
R
m
R 圆柱体(沿几何轴) 1 J = mR 2 2
薄圆环或圆筒(沿几何轴) J = mR 2
R
m
薄球壳
2 J = mR 2 3
r r r r M = Mxi + My j + Mzk r r r r r r Mz = (Mxi + My j + Mzk)⋅ k = M⋅ k
r r r = m i ω r i ( zi k ×τ i + ri k )
O
v Ri
在轴上任选参考点O,则任一质元A对O 的角动量为: r r r r r r Li = Ri × m i vi = m i ( zi k - ri ni ) × ri ωτ i
J = ∑ miri ——刚体对定轴(z 轴)的转动惯
2
由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决 与外力无关，是表征刚体转动惯性的特征量。 与牛顿第二定律比较： r r r M
F = ma r r M = Jβ
β J
r
m
r a
r F
J
M
J小
M
J大
m反映质点的平动惯性 J反映刚体的转动惯性 注意J 的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关. 10 在总质量一定的情况 质量分布离轴越远J 越大.
dJ = h2⋅ σ dS = σ ( R sinθ )2⋅2 R2cos2θ dθ
πR /2
m R4cos2θ sin2θ dθ mR2 2 =2 2 = sin 2θ dθ πR /2 π 2 π 2 mR2 2 2θ dθ = mR ∴ J = ∫ dJ = ∫0 sin 4 20 π
（3）平行轴定理
3） 运动描述仅需一个坐标 .
匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量 时，刚体做匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v 0 + at
ω = ω0 + βt
2
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
2 2 0
θ = θ 0 + ω 0t + β t
J
= ∑ m i ri2
M
dm r
（2）质量连续分布的系统(如:刚体)
J = ∫ r 2⋅ dm
M
在SI制中，J 的单位： kg . m2,标量 线密度 质量元dm 的计算方法如下： dm = λ dl 面密度 质量为线分布： dm = σ dS 质量为面分布： 质量为体分布：
dm =ρ dV
体密度
= 1 mL2 JC L 12 1 mL2 JC是通过质心的轴的转动惯量， JA = JA是通过棒端的轴的转动惯量 3
两轴平行，相距L/2。
A
C
B
上述结论可以推广： 若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体 对其转动惯量为J，则有：
J A − JC = 1 mL2 − 1 mL2 = m( L )2 3 12 2 J A = J C + m( L ) 2 2
J ＝ J C＋ md ——平行轴定理
2
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飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
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4. 刚体定轴转动定律的应用
θ (t ) → ω (t ) → β (t ) J →
MJ dt dt J = ∫ r 2⋅ d m
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2. 定轴转动定律
r r dL 质点系的角动量定理: M = r r dt r r L = ∑ Li = ∑ ri × Pi r r r r M = ∑Mi = ∑ri × Fi
ω
(Z轴)转轴
刚 体
只有力矩的z向分量对 定轴转动有作用! 故求此分量Mz的表达式:
v τi A ni O′ ri
v
刚体的平动和转动
Translation and Rotation of a Rigid Body 受力时大小和形状都保持不变的物体。 是一种理想化的模型，但有重要的实际意义。 刚体可看成是各质点间相对位置保持不变的 特殊的质点系 。 关于质点系的力学规律都可用于刚体 。
2
2. 刚体的平动 质心 连接刚体内任意两点的一条直线在运动的 各个时刻的位置都彼此平行。刚体的这种运动 称为平动。例：黑板擦、电梯、活塞的运动。 刚体作平动时，其上各个质点的运动状态 完全相同，故可用任意一点的运动代表刚体整 体的运动。 特征：各个质点的位移、速度、加速度相等。 B A A' B' A" 动画 动画
r ∑ m i ri
即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中 于该点,是质点系受的所有外力。 注意：质心上可能既无质量，又未受力。 5
不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质 心的运动就像物体的全部质量都集中于此，而且所有的外 力都作用于其上的一个质点的运动一样。 例： 将一哑铃抛出时，哑铃上每个质点的轨道都不是 抛物线，但质心仍然作抛物线运动。
类似一维运动,各角量的方向 由“+”,“–”号表示。
r
dS
P
注意: 这里的角量单位都用弧度(rad)
v v v a n = ω× v
7
v v aτ = β × r
r r r v =ω × r v
矢量式
定轴转动的特点
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
v v v v 2） 任一质点运动 Δθ , ω , β 均相同，但 v, a 不同；
1 2
2
v = v + 2a ( x − x 0 )
ω = ω + 2 β (θ − θ 0 )
2 2 0
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第2节
刚体定轴转动定律
Principle of Rotation of a Rigid Body About a Fixed Axis
•力 •
改变质点的运动状 改变刚体的转动状态
质点获得加速 刚体获得角加速
v v ∫ r dm rc = M
xc = 1 ∫ x d m M yc = 1 ∫ ydm M zc = 1 ∫ zdm M
几何对称中心