重庆科技学院大学物理应用题题库

5 73. 10 在一只半径为R 的半球形碗内, 有一粒质量为m 的小钢球, 沿碗的内壁作匀速圆周运动。

试求: 当小钢球的角速度为ω时, 它距碗底的高度h 为多少?[分析与解答] 取小球为隔离体，受重力→p 和支承力→N F （如图？？）。

其中，→N F 沿x 轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。

有θωωθsin sin 22mR mr ma F n N === ① mg F N =θcos ②且 Rh R -=θcos ③ 解得 2ωg R h -= 可见，h 随ω的增大而增大。

3. 13质量为m 的物体在黏性介质中由静止开始下落, 介质阻力与速度成正比, 即r F = βv,β为常量。

试( 1) 写出物体的牛顿运动方程。

( 2) 求速度随时间的变化关系。

( 3) 其最大下落速度为多少?( 4) 分析物体全程的运动情况。

[分析与解答] （1）物体受向下的重力mg 和向上的阻力F ，则牛顿运动方程为 ma v mg =-.β（2）由 v mg dt dv a β-==分离变量并积分 ⎰⎰=-t v dt v m g dv 00β 得 -t g v m g m =-ββln整理后得 )1(t m e mgv ββ--=（3）当∞→t 时，有最大下落速度βmg v =max （4）由)1(t m e mg dt dx v ββ--== 有 dt e mg dx t m t x )1(00ββ--=⎰⎰得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-)1(t m e m t mg x βββ 物体由静止开始向下作加速运动，并逐渐趋近于最大速度为βmg v =max ，此后趋于做匀速运动，物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。

3.15质量为m 的小球从点A 由静止出发，沿半径为r 的光滑圆轨道运动到点C （见图），求此时小球的角速度C ω和小球对圆轨道的作用力C N F 。

[分析与解答] 取小球为隔离体，受力情况如图。

取自然坐标系，由牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为 -dt dv m mg =αsin ①Rv m mg F N 2cos =-α ② 由于ααωααd dv R v d dv dt d d dv dt dv ===，代入式①并分离变量后积分 ⎰⎰-=ααα 900sin d Rg vdv v得 αcos 2Rg v = ③则小球在c 点的角速度C ω为 Rg R v C αωcos 2== 将式③代入式②，得 ααcos 3cos 2mg mg Rv m F N =+=其反作用力即为小球对轨道的作用力NC F 。

3.16 如图所示，在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为l ，密度为2ρ的均匀直棒，棒的下方恰与液面接触。

今剪断挂线，棒在重力P 和浮力F 作用下竖直下沉, 若2ρ>1ρ , 求棒下落过程中的最大速度。

[分析与解答] 按题设条件，剪断细线后，杆在下沉过程只受重力和浮力的作用（不计液体的黏滞阻力），随着杆往下沉，浮力逐渐增大，当重力和浮力相等时，杆下沉的加速度a=0,此时速度最大。

取x 坐标如图，根据牛顿第二定律，有 dtdv m F mg =- ① 式中，SL m 2ρ=，浮力Sxg F 1ρ=，故式①可写成dxdv SLv dt dx dx dv SL dt dv SLSxg SLg 22212ρρρρρ===- ② 对式②分离变量并积分，有 ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v xvdv gdx L x 00211ρρ 得 222121)21(v x L g gx =-ρρ ③ 设杆的速度最大时，杆进入液体的长度为x=l,则式 ③中的v 即为最大速度。

此时mg=F ,即lg 12S SLg ρρ=得 L l 12ρρ= ④将式④代入式③，得杆的最大速度为 Lg v 12max ρρ= 4.10 如图所示, 一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮, 两端分别拴有质量为m 和M 的物体A, B, 且M 稍大于m 。

物体B 静止在地面上, 当物体A 自由下落h 距离后, 绳子才被拉紧。

求绳子刚被拉紧时, 两物体的速度及B 能上升的最大高度。

质点的动量矩定理、动量矩守恒定律[分析与解答] 把整个过程分成三个阶段来处理。

第一阶段物体A 自由下落。

物体A 自由下落h 距离时，正好拉紧绳子，此时物体A 的速度为gh V 2=，方向向下。

第二阶段，绳子被拉紧，物体A 和物体B 同时受到绳子的冲力作用。

经过极短时间△t 后，以共同的速度V 运动，此时，物体的受力情况如图（B ）所示。

如取竖直方向为正方向，则物体Ad 的速度由-v 增为-V ，物体B 的速度由0增为V 。

根据动量原理得：0)(2-=⋅∆⋅-MV t Mg F T ①)()()(1mv mV t g m F T ---=⋅∆⋅- ②题4.10图由于作用时间极短，绳子冲力的冲量远大于重力的冲量，故式①，式②可简化为MV t F T =∆2mv mV t F T +-=∆1因21T T F F =，解得：m M gh m m M mv V +=+=2 第三阶段，绳子拉紧后，物体A 向下运动，B 向上运动，但由于M>m,A 和B 都作减速运动，故有Mg-T=Ma,T-mg=ma 求得g mM m M a +-= 物体B 以速度V 上升，其加速度与速度方向相反。

设最后B 上升的高度为H ，则有H a V )(202-=- 故 2222222)(2)2(2m M h m g m M gh m a V H -=-== 4.14 我国第1 颗人造卫星—东方红1号沿椭圆轨道绕地球飞行, 近地点439km, 远地点2384 km, 已知在近地点的速度v 1 = 8.1 km/s , 试求卫星在远地点的速度v 2 和卫星的运动周期T 。

[分析与解答] （1）求2v ：如图所示，地球的中心点O 位于椭圆轨道的一个焦点上。

设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该引力总指向O 点，故卫星在运动的全过程中对O 点的动量矩守恒。

即：21L L = ①由于两者的方向一致，式①可直接用大小来表示 ，有 )()(2211l R mv l R mv +=+ ：得 s km l R l R v v /30.62384637843963781.82112=++⨯=++= （2）求T ：卫星径矢r 在单位时间内扫过的面积为面积速度dt ds 。

卫星运行的周期T 即为椭圆面积S 与ds/dt 的比值。

由于椭圆面积为))(()]()[(22121l R l R l R l R S +++++=π 根据开第二普勒定律，有： ==dt ds mL 2不变量 对近地点而言： )(111l R mv L L +== 则面积速度为：)(2111l R v dt ds += 故h s l R v l R l R l R l R dt ds s T 29.21026.8)())(()]()[(/3112121=⨯=++++++==π 4.20 求解下列各题:(1) 质量为m 的物体自静止出发沿x 轴运动, 设所受外力为F x = bt , b 为常量, 求在时间T(s) 内此力所做的功。

(2) 物体在外力F x = 5 + 10x (SI ) 作用下, 由x = 0 沿x 轴方向运动到x =3m 处, 求外力所做的功。

(3) 一物体在介质中的运动方程为x = ct 3 , c 为常量。

设介质对物体的阻力正比于速度的二次方, 即2kv F r =。

试求物体由x 0 = 0 运动到x = l 时, 阻力所做的功。

[分析与解答] （1）由加速度dtdv m bt m F a ===得： ⎰⎰=T v dt m bt dv 00 22T m b v = 由动能定理2022121mv mv A -= 由于v 0=0 ，得422821⋅⋅==⋅T mb mv A （2）有变力做功的计算方法，有????J dx x dA A 60)105(30=+==⎰⎰ 4.29 如图所示,质量为m,速度为v 的钢球,射向质量为m ′置于光滑水平面上的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k 的弹簧。

此靶最初处于静止状态,求钢球射入靶内弹簧后, 弹簧被压缩的最大x 。

[分析与解答] 建立如图所示的x 坐标，这是一个沿x 方向的一维碰撞问题。

碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触，直至弹簧被压缩到最大，小球与靶刚好共同达到共同速度为止的运动过程。

在这过程中，小球和靶组成的系统在x 方向不受外力作用，因此，在此方向上动量守恒。

即,,)(v m m mv += ①式中，,v 为小球与靶碰后的共同速度。

在此过程中，除了弹性力（保守内力）做功以外，没有其他外力和非保守力做功。

故系统的机械能守恒，取弹簧原长时的O 点为弹性势能零点，则有 2max 2,,221)(2121kx v m m mv ++= ② 解式① ，式② 得)(,,m ax m m k m m v x += 4 .31 如图所示, 弹簧下面悬挂着质量分别为m 1,m 2 的两个物体A 和B ,设弹簧的劲度系数k = 8.9N/ m , m 1 = 0.5kg, m 2 =0.3 kg 。

开始时它们都处于静止状态。

若突然把A, B 之间的连线剪断, 求物体A 的最大速度是多少? [分析与解答] 在A ，B 连线被剪断前，系统在1O 位置处于平衡（如图b ），此时弹簧伸长1y ，则 121)(ky g m m =+ 即m g k m m y 88.08.9*9.83.05.0211=+=+= 在A ，B 连线剪断后，弹簧下端只挂了物体A ，系统将在2O 位置处于平衡，则有21ky g m =即m k g m y 55.08.99.85.012=⨯== 根据运动分析，连线剪断后，物体A 将以2O 为平衡位置上下来回振动，可见物体A 通过2O 位置时，具有最大速率m v 。

由于在运动中物体A 与弹簧组成的系统只受弹性力ky 和重力g m 1的作用，故机械能守恒，取O 点（即弹簧原长处）为重力势能和弹性势能的零点，对A 位于1O 及2O 处两状态时总机械能相等，则有 1121222121212121gy m ky ky gy m v m m -=+- 解得sm y y g m y y k m v m /39.1)]55.088.0(8.95.02)55.088.0(9.8[5.01)(2)([12221122211=-⨯⨯⨯--⨯=---=4.33 如图所示, 在光滑的水平面上,有一轻质弹簧, 其劲度系数为k, 它的一端题固定, 另一端系一质量为m 1 的滑块, 最初滑块静止, 弹簧呈自然长度l0 , 今有一质量为m 2 的子弹以速度v 0 沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中, 滑块在水平面内滑动, 当弹簧被拉伸至长度为l 时, 求滑块速度的大小和方向。