【高考试题】2016年全国高考数学试题(浙江卷)★答案(理科)

【高考试题】2016年全国高考数学试题（浙江卷)★答案（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{}
{
}
2
13,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B
【解析】根据补集的运算得{
}
[](]2
4(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧
．故选B ． 2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】
C
3. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域
200
340x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │= A ．22 B ．4 C ．32 D ．6 【答案】C
【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而
''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2
=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R ，
22(12)(12)32==--++=AB QR ．故选C ．
4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是
A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <
B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <
C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <
D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D
【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2
n x ≥的否定是2
n x <．故选D ． 5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B
6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*
N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则
A ．{}n S 是等差数列
B ．2
{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列
【答案】A
【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即11
2
n n n n S h B B +=
，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么
1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那
么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=
+⋅，111111
(tan )2
n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111
(tan )2
n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．学科&网
7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，
则
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A
【解析】由题意知2
2
11-=+m n ，即2
2
2=+m n ，222
122222
1111
()(1)(1)-+=
⋅=-+m n e e m n m n ，代入222=+m n ，得212,()1>>m n e e ．故选A ．
8. 已知实数a ，b ，c
A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100
B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100
C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100
D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9. 若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9
【解析】1109M M x x +=⇒=
10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________． 【答案】2 1
【解析】22cos sin 22sin(2)14
x x x π
+=+
+，所以2, 1.A b ==
11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2
，体积是 cm 3
.
【答案】72 32
【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =5
2
，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】4 2
【解析】设log ,1b a t t =>则，因为215
22
t t a b t +=
⇒=⇒=， 因此2
2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==
13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121
14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是
.
【答案】
1
2
【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠= ， 所以30BAD BCA ∠==
.
由余弦定理可得222
2cos AC AB BC AB BC B =+-⋅ 2222222cos12012=+-⨯⨯= ，
所以23AC =.
设AD x =，则023t <<，23DC x =-.
在ABD ∆中，由余弦定理可得222
2cos BD AD AB AD AB A =+-⋅
22222cos30x x =+-⋅ 2234x x =-+.
故2234BD x x =
-+.
在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.
由余弦定理可得2222222(234)3
cos 2222
PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，
所以30BPD ∠=
.
E
D
C
B
A
P
过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =
则11
sin 22
PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 即2112342sin 3022
x x d x -+⨯=⋅ ， 解得2
234
x d x x =
-+.
而BCD ∆的面积111
sin (23)2sin 30(23)222
S CD BC BCD x x =⋅∠=-⋅=- . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.
故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234
BcD BcD BcD x
V S h S d S d x x x θ∆∆∆=
⨯=≤⋅=⨯-⋅
-+ 21(23)
6234
x x x x -=
-+.
设22234(3)1t x x x =
-+=-+，因为023x ≤≤，所以12t ≤≤.
则2|3|1x t -=-
.
（2）当323x <≤时，有2|3|31x x t -=-=-， 故231x t =+-.
此时，221(31)[23(31)]6t t V t
+--+-=。