12球称重问题逻辑推理
用信息论构造出称球问题的解
种天气会出现，今天是不确定的，今天只是知道明天各种天气的发生 概率，并且知道所有各种天气出现的概率总和为 1。我们来看看事件 集合中发生某事件的信息大小和该事件发生的概率之间的关系。 某事 件发生的概率越小，该事件发生后给我们的“震撼”越大。比如“明 天发生、不发生地震”这一事件集合中，明天不发生地震的概率远大 于发生地震的概率，所以真的明天发生了地震，那我们所获得的信息 量就比没有发生地震要大的多。此外，信息具有可加性，“今天地震 了又下雨” 给我们的信息应该是今天发生了地震和今天下雨两个事件 的信息的和， 而两个事件同时发生的概率又是这两个事件各自发生概 率的乘积，基于此，香农将某一“发生概率为 P”的事件的出现带来 的信息量定义为 1/P 的对数，即 log r 1/P。基数 r 的不同，使得信息 量可以有不同的单位，基数 r=2，单位就是比特。比如抛一枚硬币结 果是“国徽向上”的信息量是 log 21 (1 2) =1 比特。 好，我们仅用这一点信息理论，就可以解决上面提出来的那个称 球问题了。我们的想法是，如果确定 12 个球当中的坏球需要的信息 量是 A，而从每次天平的称量结果可以至少获得的信息量是 B，那不 小于 A/B 的整数就应该是所需的最小的称量次数了。在称以前，十二 只球的任何一个都可能是坏球，而且概率一样，都是 1/12，所以称 量最终确定了是哪一只后，我们得到了表征“坏球是 12 个球中的哪 一个”的 log 21 (1 12) = log 212 比特信息。另外，表明“好”球、“坏” 球是以球的轻重为标准的，所以，如我们从前面策略树上看到的，最 终的结果不仅是我们找到了坏球，而且知道了坏球比好球是轻了，还
下面开始， 叙述更加繁琐， 如果大家对推导、 证明过程没有兴趣， 可以只阅读每节最后归纳的结论。 为了叙述的方便，我们将表述“坏球出现在 N 个球的前面 X 个球 中，那一定是重了，如果出现在剩下的(N-X)个球中，那一定是轻了” 想象成一次称量（X；N-X）的结果（我们在球数少的一侧加上标准重 量的球），我们称这次想象的称量为第一次称量，即我们的第一次称 量得到了坏球是轻是重的“分布”，这样，我们要研究的就是后续的 第二次、第三次……的称量操作方法。 第二次称量的称法是这样的：我们尽可能将 X 个球均分成 3 组， 这样各组之间的球数差不会超过 1 个。如果这 3 组中包含了坏球，那 坏球一定是重了，故我们记为重组 1、重组 2、重组 3。同样，余下 的 N-X 个球，也这样分成 3 组，分别记为轻组 1、轻组 2、轻组 3， 如果这 3 组中包含了坏球，那坏球一定是轻了。我们分别取重组、轻 组各 1 组，合成新的三部分，由于原来轻重各自组的球数差不会超过 1 个，这样适当的取组安排可以使得三部分的球数差也不会超过 1。 我们的目的是将要进行称量的球最为均匀地分成三部分（如果 N 是 3 的正整数幂，那三部分的球数都相等）。比如，如果：重组 1 球数≥ 重组 2 球数≥重组 3 球数，轻组 1 球数≥轻组 2 球数≥轻组 3 球数， 我们组合的三部分就可以是（重组 1、轻组 3）、 （重组 2、轻组 2）、 （重组 3、轻组 1）。我们对这三部分的球进行三种操作：1、“留” （指这部分球留在前一次 “想象” 称量时所在天平的盘中） 。 2、“换” （指这部分球前一次“想象”称量在左盘的，现在要换到右盘；原来
12铁球问题答案 逻辑思维题
把球编为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13个时编号为⒀） 第一次称：先把①②③④与⑤⑥⑦⑧放天平两边， ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把①⑨与⑩⑾作第二次称量， ⒈如相等，说明⑿特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿是重还是轻 ⒉如①⑨＜⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个重的，要么⑨是轻的。 把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨轻，不等可找出谁是重球。 ⒊如①⑨＞⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个轻的，要么⑨是重的。 把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨重，不等可找出谁是轻球。 ㈡如左边＜右边，说明左边有轻的或右边有重的 把①②⑤与③④⑥做第二次称量 ⒈如相等，说明⑦⑧中有一个重，把①与⑦作第三次称量即可判断是⑦与⑧中谁是重球 ⒉如①②⑤＜③④⑥说明要么是①②中有一个轻的，要么⑥是重的。 把①与②作第三次称量，如相等说明⑥重，不等可找出谁是轻球。 ⒊如①②⑤＞③④⑥说明要么是⑤是重的，要么③④中有一个是轻的。 把③与④作第三次称量，如相等说明⑤重，不等可找出谁是轻球。 ㈢如左边＞右边，参照㈡相反进行。 当13个球时，第㈠步以后如下进行。 把①⑨与⑩⑾作第二次称量， ⒈如相等，说明⑿⒀特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿还是⒀特别，但判断不了轻重了。 ⒉不等的情况参见第㈠步的⒉⒊
第二种。
把12个球分3组，每组4个，第一次称，将其中2组放天平两端 ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把前8中取2个和后4中的2 个秤，这样可以排除2个，再从2个不确定的球中取1个和前8中的1个秤，则得哪一个是特殊球。
（二），若不等，重新编号，将重的一边编号为1-4，轻的编号为5-8。剩下的4个编号为9-12.第二次称，将1，2，5，6和7，9，10，11放在天平两端，（1），若相等，则说明要么3，4中有一个重的，要么8是轻的，将3，4称量，可得。（2），若1...<7...则说明5，6中有一个轻的，将2个称量可得。（3），若1...>7...说明要么1，2中有一个重的要么7是轻的，将1，2称量可第一次称，将其中2组放天平两端 ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把前8中取2个和后4中的2 个秤，这样可以排除2个，再从2个不确定的球中取1个和前8中的1个秤，则得哪一个是特殊球。
12个球称3次找坏球的解答
10号球，且重－右、左、平 10号球，且轻－左、右、平
11号球，且重－左、右、左 11号球，且轻－右、左、平
12号球，且重－右、左、左 12号球，且轻－左、右、右
三·问题延伸
1，13个球称3次的问题：
从上面的解答中被除去的3个向量为(0,0,0)(1,1,1)(-1,-1,-1).而要能判断第13个球，必须加入1对对偶向量，如果加入的是(1,1,1)(-1,-1,-1),则
有三种结果：
一.平衡。说明有问题的是9－12号。
＊＊把1－3放在左边，9－11放在右边。
有三种结果：
1.平衡。说明12号有问题。
＊＊把1号放在左边，12号放右边。
左重则12号轻了，右重则12号重了。不可能平衡。
2.左重。说明9－11中有一个球轻了。
＊＊把9号放在左边，10号放在右边。
即
J*M=J*(E,-E)=(B,-B)=X -----（设X为3×24的矩阵）
因为X为24列共12对互偶的列向量，而C为27列，可知从C除去的3列为(0,0,0)和1对任意的互偶的列向量，这里取除(1,1,1)和(-1,-1,-1).
由上式得J*E=B推出J=B,X=(J,-J)。因此把从27个3维列向量中去除(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)然后分为互偶的两组(对应取反)
左重则10号轻了，右重则9号轻了，平衡则11号轻了。
3.右重。说明9－11中有一个球重了。
＊＊把9号放在左边，10号放在右边。
左重则9号重了，右重则10号重了，平衡则11号重了。
二。左重。说明有问题的是1－8号。
智力题——12个球3次称重找出重量不同的那个，并给出轻还是重（如果是13个球呢？）
智⼒题——12个球3次称重找出重量不同的那个，并给出轻还是重（如果是13个球呢？）1.12个球找出重量不同的那个，并给出是轻还是重⾸先明⽩此题的基本套路：A.如果最后能把范围限制在2个球，（知道其中有⼀个是坏球）那么显然⼀次就可以称出。
B.同理把范围缩减在3个球也是可以⼀次称出的。
给12个球分成3组，每组四个。
第⼀次称重：把1、2、3、4放在天平的左⾯，5、6、7、8放在天平的右⾯，将出现3种情况：1. 1234重2. 5678重3. 平衡 其中1、2本质上是⼀种情况，第3种情况⽐较简单，说明坏球在剩下的9、10、11、12⾥。
第⼆次称重若是前两种情况中的⼀种，⽅法如下：参考开头所说的套路，基本要想办法将球最后分成两个⼀组或三个⼀组，那么将6、7、8号球从天平右边取下，2、3、4号从左边换到右边，任取9-12号中的3个，（假设是9、10、11号），放到天平的左⾯。
形成天平的左⾯是1、9、10、11号球，右⾯是5、2、3、4号球（为了便于看清不同组的球，⽤不同颜⾊做区分）的情况。
这样称的结果同样有3种：1.1 1、9、10、11重1.2 5、2、3、4重1.3 平衡对于第⼀种情况来说，已知1、2、3、4 > 5、6、7、8 且9、10、11、12都是好球，且1、9、10、11 > 5、2、3、4，那么可能只可能是1或5坏球，且是1轻或者5重对于第⼆种情况来说，已知1、2、3、4 > 5、6、7、8 且9、10、11、12都是好球，且1、9、10、11 < 5、2、3、4，那么只可能是坏球在2、3、4当中，且⽐较重若是最后⼀种情况（1、2、3、4与6、7、8、9平衡），则说明坏球在9、10、11、12⾥，那么任取9、10、11、12中的三个球（假设选9、10、11）出来与前⼋个正常球中的三个拿出来称重（假设选1、2、3），则称出来也有三种情况： 3.1 9、10、11重（说明坏球在这三个当中且是重球） 3.2 9、10、11轻（说明坏球在这三个当中且是轻球） 3.3 平衡（说明12是坏球，但不知轻重）第三次称重对于第⼆次的各种情况展开来讨论： 1.1 1、9、10、11重，按照套路A，范围缩⼩到两个球之内了，只需拿1或5其中⼀个跟另外任意⼀个好球称重即可。
趣味逻辑推理题-称球问题
趣味逻辑推理题
称 球 问 题
甲 丁
12个球中有1个球是次品，请用天平称3次找出那个次品球。
（注意：是次品球，次品球的轻重不知道，是要分析判断的。
）
这个问题的关键是不知道这个次品球比其他好球是轻还是重，这要通过分析判断才能确定，我在《趣味逻辑推理第133题》里已做了推理，为了更直观地说明这个方法，本文再用示意图来表述如下：
先把这12个球按顺序编号：
第一次称：
有两种结果：
（或者＜）
（说明次品球在9－12号球四个球中） （说明次品球在1－8号球八个球中）
―――――――――――――――――――――――――――――――――――― 第二次称：
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第三次称：。
给你12个球(外观一样)和一个天平怎样找出重量不同的那一个球？
12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球脑力练习12个球编号1-12第一次左边1，2，3，4右边 5，6，7，8第二次左边1，5，9，10右边 3，4，6，11第三次左边2，6，8，9右边3，5，10，12分组方法有很多种。
分组原则：1、任意两个球不能在称重区同一侧同时出现3次（比如1，2同在左3次，或同在左两次，右一次等等，这样都不行，这样分不清1，2的好坏）2、任意两个球不能在称重区同一侧同时出现2次，并在储备区（指没有上托盘）同时出现一次3、任意两个球不能在称重区同一侧同时出现1次，并在储备区（指没有上托盘）同时出现两次4、任意两个球不能在储备区（指没有上托盘）同时出现两次或以上。
左边对右边，情况可能为3种，大，平，小下面说的如大大平，表明第一次大，第二次大，第三次平。
1重出现大大平，1轻出现小小平2重出现大平大，2轻出现小平小3重出现大小小，3轻出现小大大4重出现大小平，4轻出现小大平5重出现小大小，5轻出现大小大6重出现小小大，6轻出现大大小7重出现小平平，7轻出现大平平8重出现小平大，8轻出现大平小9重出现平大大，9轻出现平小小10重出现平大小，10轻出现平小大11重出现平小平，11轻出现平大平12重出现平平小，12轻出现平平大最佳答案12个球分成3组，每组4个第一步，拿两组出来称。
4：4如果平衡的话，不标准的就在另外的那组4个。
第二步从那组中，拿出2个球，和两个标准的球上天平称，如果平衡，就在剩下的2个球。
第三步，那两个球拿出一个和标准的称。
平衡的话，不标准的就是剩下的那个，不平衡的话，就是上秤的这个。
回到第二步，如果不平衡，不标准的球就是在上秤的这两个里面，重复第三步。
从两个球里找，不标准的。
现在讨论4：4不平衡的情况，剩下的一组那4个都是标准的，一会要用这些标准的球参考。
第一步，4：4不平衡第二步，从较重的那组拿出3个球，放到一边。
再把较轻的一组拿出3个放到较重的那组。
快速排序里的学问系列(二)再看看称球问题
前面用猜数字游戏说明了二分的思想，这里再看一个常见的思维题：12个小球，其中有一个是坏球。
有一架天平。
需要你用最少的称次数来确定哪个小球是坏的并且它到底是轻还是重。
这个问题是一道流传已久的智力题。
网络上也有很多讲解，还有泛化到N个球的情况下的严格证明。
也有零星的一些地方提到从信息论的角度来看待最优解法。
本来我一直认为这道题目除了试错之外没有其它高妙的思路了，只能一个个方法试，并尽量从结果中寻找信息，然后看看哪种方案最少。
然而，实际上它的确有其它的思路，一个更本质的思路，而且根本用不着信息论这么拗口的知识。
我们先回顾一下猜数字游戏。
为了保证任何情况下以最少次数猜中，我们的策略是每次都排除恰好一半的可能性。
类比到称球问题上：∙坏球可能是12个球中的任意一个，这就是12种可能性。
∙而其中每种可能性下坏球可能轻也可能重。
于是“坏球是哪个球，是轻是重”这个问题的答案就有12×2=24种可能性。
现在我们用天平来称球，就等同于对这24种可能性发问，由于天平的输出结果有三种“平衡、左倾、右倾”，这就相当于我们的问题有三个答案，即可以将所有的可能性切成三份，根据猜数字游戏的启发，我们应当尽量让这三个分支概率均等，即平均切分所有的可能性为三等份。
如此一来的话一次称量就可以将答案的可能性缩减为原来的1/3，三次就能缩减为1/27。
而总共才有24种可能性，所以理论上是完全可以3次称出来的。
如何称的指导原则有了，构造一个称的策略就不是什么太困难的事情了。
首先不妨解释一下为什么最直观的称法不是最优的——6、6称：在6、6称的时候，天平平衡的可能性是0。
刚才说了，最优策略应该使得天平三种状态的概率均等，这样才能三等分答案的所有可能性。
为了更清楚的看待这个问题，我们不妨假设有6个球，来考虑一下3、3称和2、2称的区别：在未称之前，一共有12种可能性：1轻、1重、2轻、2重、…、6轻、6重。
3、3称：现在将1、2、3号放在左边，4、5、6放在右边3、3称了之后，不失一般性假设天平左倾，那么小球的可能性就变成了原来的一半（6种）：1重、2重、3重、4轻、5轻、6轻。
12个球称3次找坏球的最牛的解答(原作者-方)
序古老的智力题详述:有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。
以下会给4个解答，一个比一个牛，一个比一个震撼！第一篇先给个被号称网上最牛的解答，一种新的完全的数学解法（线代+信息论），该文解法创于2005年，一次与友人聊天建议发表到QQ346546618的个人空间（2006年7月），后被网友转载到各大网站并被收入到百度文库。
第二篇会给个EXCEL进阶解法，网友们可以用此法加上分块矩阵的方法继续找出9球称4次找2异常球的具体解法或更复杂的称球问题。
第三篇会给出2个很漂亮完美的非常特别的解，其称量结果的三进制和异常球序号及和轻重状态具有简洁的一一对应关系。
第一篇（学好数理化走遍天下都不怕）原文：网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这里我提出一种新的完全的数学解法:一·首先提出称量的数学模型:把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢?1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态.2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.3),描述称量结果:由1),2)已经可以确定一个称量式∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为:(-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1,从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻;同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重.4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是∑各球的放法=0-------------------------(3)式这样就解决了称量的数学表达问题.对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成的3维列向量b,得J*i=b二·称球问题的数学建模问题的等价：设J为3×12的矩阵，满足每行各项之和为0。
12球称重问题逻辑推理
12球称重问题逻辑推理题目：有12个外观一样的球，有且仅有一个是坏球，但是不知道坏球是比好球轻还是重，利用天平最多称重三次找出这个坏球，并指出是比好球轻还是重。
推理：将12球分成ABC三组，每组4个，随机选两组进行称重A and B，此时有三种情况1. A=B，则坏球在C组中。
此时C1C2 and C3A1，有三种情况1.1 C1C2> C3A1 则C1C2重或C3轻，此时C1 and C2，有三种情况1.1.1 C1>C2，则C1是坏球，且坏球重于好球1.1.2 C1<C2，则C2是坏球，且坏球轻于好球1.1.3 C1=C2，则C3是坏球，且坏球轻于好球1.2 C1C2<C3A1 则C1C2轻或C3重，此时C1 and C2，有三种情况1.2.1 C1>C2，则C2是坏球，且坏球轻于好球1.2.2 C1<C2，则C1是坏球，且坏球轻于好球1.2.3 C1=C2，则C3是坏球，且坏球重于好球1.3 C1C2=C3A1 则C4是坏球，此时C4 and A1，就可知道坏球轻重2 A>B，则A重或B轻。
此时A1A2B1B2 and A3B3C1C2，有三种情况2.1 左>右，则A1A2重或B3轻，此时A1 and A2，可知道结果。
有三种情况2.1.1 A1>A2，则A1是坏球，且坏球重于好球2.1.2 A1<A2，则A2是坏球，且坏球重于好球2.1.3 A1=A2，则B3是坏球，且坏球轻于好球2.2 左<右，则B1B2轻或A3重，此时B1 and B2，可知道结果。
有三种情况2.2.1 B1>B2，则B2是坏球，且坏球轻于好球2.2.2 B1<B2，则B1是坏球，且坏球轻于好球2.2.3 B1=B2，则A3是坏球，且坏球重于好球2.3 左=右，则A4重或B4轻，此时A1 and A4，可知道结果。
3 A<B，则A轻或B重。
十二个球问题的思路整理
十二个球问题的思路整理问题：有12个球，形状和外观完全一致，有是11个是标准球，1个球是坏球（或轻或重），给你一架天平，最多称重3次，找出坏球并告知轻重。
一 简化版及解决问题○1：4个球，其中有1个坏球，可用除这4个球意外的标准球，用天平2称区分出坏球并告知轻重。
方法○1：4个球编号○a ○b ○c ○d 辅助标准球○e 。
步骤2实际解决了一个子问题○1：3个球○a ○b ○c ，或者○a ○b 有一个重或者○c 轻的情况下一称可找出坏球的解决方法，记为子方法○1，轻重交换的情况是它的对偶方法也记为子方法○1。
下面不再啰嗦。
○a ○b —○c ○e 步骤1平左重右重○d 是坏球，与○e 比较一次可知轻重。
○a —○b 步骤2与左重对偶（重换轻）平左重右重○c 是轻的坏球 ○a 是重的坏球 ○b 是重的坏球二 原问题的解决方法○2：12个球编号○a ○b ○c ○d ○e ○f ○g ○h ○i ○j ○k ○l 。
步骤2的解释：当步骤1不平，丢弃○c ○d ○e ，左右交换一个球（○b 和○f ），然后补充好球○l 到左侧。
这样如果天平变平衡，说明○c ○d ○e 中有坏球，并且由步骤1知道：○c ○d 中有重的坏球或者○e 是轻的坏球，用子方法○1；如果天平平衡不改变（还是左重），说明交换的○b 和○f 都是好球，得知：○a 是重的坏球，或者○g ○h 之一是轻的坏球，用用子方法○1的对偶；天平平衡改变了（变右重），说明交换的○b 和○f 中有坏球，或者○b 是重的坏球或者○f 是轻的坏球，任意拿一个好球比较下就可以区分。
三 一次性解法逻辑性分析起来确实有点烧脑。
实际上，称三次，每次天平可能有三种状态，于是可以排列出3*3*3=27种状态，而12个球轻重异常状态只有12*2=24种，于是合理组合，是可以根据三次天平的状态直接找出哪个球异常的。
下面给出这种组合：○l —○b 步骤3○a ○b ○c ○d —○e ○f ○g ○h 步骤1平左重右重○i ○j ○k ○l 符合方法○1 ○a ○f ○l —○b ○g ○h 步骤2与左重对偶（交换符号）平左重右重○c ○d ○e 符合子方法○1 ○a ○g ○h 符合子方法○1的对偶 平右重○f 是重的坏球 ○b 是重的坏球。
智力题之称球问题
称球问题12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)参考答案1：首先，把12个小球分成三等份，每份四只。
拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）情况一：天平是平衡的。
那么那八个拿上去称的小球都是正常的，特殊的在四个里面。
把剩下四个小球拿出三个放到一边，另一边放三个正常的小球（第二次）如天平平衡，特殊的是剩下那个。
如果不平衡，在天平上面的那三个里。
而且知道是重了还是轻了。
剩下三个中拿两个来称，因为已经知道重轻，所以就可以知道特殊的了。
（第三次）情况二：天平倾斜。
特殊的小球在天平的那八个里面。
把重的一侧四个球记为A1A2A3A4，轻的记为B1B2B3B4。
剩下的确定为四个正常的记为C。
把A1B2B3B4放到一边，B1和三个正常的C 小球放一边。
（第二次）情况一：天平平衡了。
特殊小球在A2A3A4里面，而且知道特殊小球比较重。
把A2A3称一下，就知道三个里面哪个是特殊的了。
（第三次）情况二：天平依然是A1的那边比较重。
特殊的小球在A1和B1之间。
随便拿一个和正常的称，就知道哪个特殊了。
（第三次）情况三：天平反过来，B1那边比较重了。
特殊小球在B2B3B4中间，而且知道特殊小球比较轻。
把B2B3称一下，就知道哪个是特殊的了。
（第三次）参考答案2：此称法称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。
经典逻辑题
• 这个题的问题是“有 12个球，外表相同， 有一个重量不同，但 轻重不知，请用天平 称三次找出这个球。 • 这个问题需要分情况 讨论。 • 首先，分成三堆，每 堆4个，分别设成红， 黄，蓝。
பைடு நூலகம்
第一次称第一种情况
• 先将红堆跟黄堆称 • 第一种情况就是天平 不倾斜。也就是说问 题球在蓝堆里面。 • 这种情况下所有红球 和黄球都可认为是正 常球。
• 从蓝堆里拿出两个放 在天平两端 • 从天平上拿下来一个 蓝球，换上另一个蓝 球 • 以上两步的结果很容 易可以找出蓝球中的 问题球
第一次称第二种情况
• 天平倾斜 • 这时问题球可能在红 堆里，也可能在黄堆 里。 • 蓝球可以视为正常球 • 我们假设黄球重
• 这时我们就需要一些 技术处理了 • 我将红球拿下三个， 将黄球拿出两个放到 天平左边，将一个正 常球（蓝球）放在天 平右边 • 看结果
第二种情况第二次称
• 结果可能有三种 • 第一种就是天平不再 倾斜 • 也就是说问题球出在 刚刚拿下来的三个红 球里，而且问题球比 较轻 • 再称一次即可找出问 题球
• 第二种就是天平左边 重 • 这时问题球一定在天 平左边的两个黄球之 中，而且问题球比较 重 • 这两个黄球，哪个重 哪个就是问题球
• 第三种就是天平右边重 • 这时问题球可能在天平 右边的两个黄球中，也 可能是天平左边的红球 • 把天平右边的黄球再称 一次，如果一样重，那 问题球就是那个红球， 如果不一样重，那问题 球就是重的那个黄球
后记
• 如果你不相信这是我解出来的，我也可以理解， 如果是我，我也不信 • 不过如果你了解了我解这道题的过程，你就会 相信了。我用了5个小时，用了n多种方法，最 后总结出来这道题的关键在于“三分法”，因 为“三分法”可以尽可能的减少天平的使用次 数 • 最后，谢谢您观看此幻灯片 • 如需转载，请注明作者。
12球称重问题逻辑推理
12球称重问题逻辑推理一、题目内容有12个球，其中11个球质量相同，另一个球质量不同（可能轻也可能重）。
使用一个没有砝码的天平，最多称3次，找出这个质量不同的球，并确定它是比其他球轻还是重。
二、解题思路（一）第一次称重将12个球平均分成三组，每组4个球，标记为A组、B组、C组。
把A组和B组放在天平两端进行称重。
1. 情况一：A组 = B组- 说明质量不同的球在C组中。
A组和B组的8个球都是标准球。
- 第二次称重：从C组中任意取3个球（标记为C1、C2、C3），再从A组或B 组中取3个标准球，放在天平两端称重。
- 情况一：如果这两组球相等，那么C组剩下的那个球（C4）就是质量不同的球。
- 第三次称重：将C4与一个标准球称重，就可以确定C4是比标准球轻还是重。
- 情况二：如果C1、C2、C3这组球比标准球重（或轻）。
- 第三次称重：从C1、C2、C3中任意取两个球（比如C1和C2）放在天平两端。
- 如果C1 = C2，那么C3就是质量不同的球，且根据第二次称重可知它比标准球重（或轻）。
- 如果C1 > C2（或C1 < C2），且第二次称重时C1、C2、C3比标准球重，那么C1就是质量不同的球且重（如果第二次称重时C1、C2、C3比标准球轻，那么C2就是质量不同的球且轻）。
2. 情况二：A组≠B组- 说明质量不同的球在A组或者B组中，C组的4个球是标准球。
假设A组重（B组重的情况同理）。
- 第二次称重：把A组中的3个球（标记为A1、A2、A3）和B组中的1个球（B1）放在天平左边，把A组剩下的1个球（A4）和3个标准球（来自C组）放在天平右边。
- 情况一：左边 = 右边- 说明质量不同的球在B组剩下的3个球（B2、B3、B4）中，而且这个球比标准球轻。
- 第三次称重：从B2、B3、B4中任意取两个球（比如B2和B3）放在天平两端。
- 如果B2 = B3，那么B4就是质量不同的球且轻。
- 如果B2 > B3，那么B3就是质量不同的球且轻（如果B2 < B3，那么B2就是质量不同的球且轻）。
12个球称重找次品
12个球称重找次品首先，把12个小球分成三等份，每份四只。
拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）情况一：天平是平衡的。
那么那八个拿上去称的小球都是正常的，特殊的在四个里面。
把剩下四个小球拿出三个放到一边，另一边放三个正常的小球（第二次）如天平平衡，特殊的是剩下那个。
如果不平衡，在天平上面的那三个里。
而且知道是重了还是轻了。
剩下三个中拿两个来称，因为已经知道重轻，所以就可以知道特殊的了。
（第三次）情况二：天平倾斜。
特殊的小球在天平的那八个里面。
把重的一侧四个球记为A1A2A3A4，轻的记为B1B2B3B4。
剩下的确定为四个正常的记为C。
把A1B2B3B4放到一边，B1和三个正常的C小球放一边。
（第二次）情况一：天平平衡了。
特殊小球在A2A3A4里面，而且知道特殊小球比较重。
把A2A3称一下，就知道三个里面哪个是特殊的了。
（第三次）情况二：天平依然是A1的那边比较重。
特殊的小球在A1和B1之间。
随便拿一个和正常的称，就知道哪个特殊了。
（第三次）情况三：天平反过来，B1那边比较重了。
特殊小球在B2B3B4中间，而且知道特殊小球比较轻。
把B2B3称一下，就知道哪个是特殊的了。
（第三次）参考答案2：此称法称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
数学解题十二个球
解题方法的反思
在解决这道数学题的过程中，我发现 数形结合的方法非常有效，可以将抽 象的数学问题转化为直观的几何图形 问题，从而更容易找到解决问题的关 键点。同时，我也意识到了在解题过 程中要仔细阅读题目，理解问题的要 求，并注意每个细节对结果的影响。
对数学解题的反思
01
数学解题的要点
在解决数学问题时，首先要仔细阅读题目，理解问题的要求，然后采用
概率法答案解析
概率法
概率法答案
概率法解析
通过概率计算和统计分析，求解出未 知数的值。
通过概率法，我们可以得出12个球中 有一个是次品，次品球的重量与正品 球重量之差为0.5克。
首先，我们假设正品球和次品球被选 中的概率是相等的，然后我们计算出 正品球和次品球被选中的概率。接着 ，我们根据天平的平衡原理，计算出 正品球和次品球的重量差。最后，我 们通过统计分析，得出次品球的重量 差为0.5克。
例如，对于12个球的问题，我们可以设11个球的重量为x，未 知的球重量为y，然后根据题目条件建立等式或不等式，如 “(11x+y)/12=x”，解这个方程可以得到y的值，即未知球的 重量。
几何法
几何法是一种通过几何图形和空间关系来解决问题的方法 。在解决12个球的问题时，我们可以将问题转化为几何问 题，利用几何图形的性质和空间关系来求解。
几何法解题步骤
01
02
பைடு நூலகம்03
分析图形
根据题意，画出相关图形， 并标注已知条件。
寻找关系
利用几何性质和已知条件， 找出图形之间的关系。
计算结果
通过几何计算，得出最终 结果。
概率法解题步骤
确定事件
根据题意，确定所求事件及其相 关事件。
关于12个小球称重的问题，终于得出了以下答案
关于12个⼩球称重的问题，终于得出了以下答案⼯作后发觉脑⼦如果不⽤是要⽣锈的，所以以这道题来练练脑袋。
在某⼈的帮助下，我得出了以下答案，希望有什么补充的⼤家提出来。
问题：12个⼩球，其中有⼀个重量和其他的不同（以下称为坏球，其余11球称为好球），使⽤⽆砝码的天平称量3次，如何确定出那个⼩球有问题。
解答：⾸先将12个⼩球分为3组，分别是A1 A2 A3 A4, B1 B2 B3 B4以及C1 C2 C3 C4。
情况⼀：A1 A2 A3 A4与B1 B2 B3 B4进⾏称量，此时若天枰平衡，坏球肯定是C1 C2 C3 C4中的⼀个。
任意拿好球A1 A2与C1 C2称量。
1.若天枰达到平衡，则坏球必在C3 C4中，之后再次选⼀好球与C3或C4称量，此时若称量C3时天枰平衡，则坏球必是C4；若称量C3时天枰倾斜，则C3即是坏球。
2.若天秤倾斜，则坏球必在C1 C2中，之后的⽅法不再复述，与上⾯相同。
情况⼆：A1 A2 A3 A4与B1 B2 B3 B4进⾏称量，此时若天枰倾斜，进移动⼩球，从⽽进⾏第⼆次测量。
此处可知C1 C2 C3 C4必是好球。
拿出⼩球A1 A2 A3,使A4 B1 B2 B3与B4 C1 C2 C3进⾏第⼆次称量。
这种情况下我们可得出以下⼏种情况。
第⼆次称量时天枰达到平衡：第⼆次称量时天枰达到平衡, 此时若B球中的任意⼀球是坏球，则会造成天秤的不平衡，所以B的四球肯定是好球，继续推得A4是好球，此时坏球必是拿出的A1 A2 A3中的⼀个。
第三次称量⽤A1与A2，此时若天枰平衡，A3必是坏球；此时若天枰倾斜⼜可分为两种情况，若第⼀次称量时天枰左重右轻，可知坏球肯定⽐好球重，那么第三次称量天秤倾斜时，则哪边重哪边是坏球。
反之若第⼀次称量时天秤左轻右重，可知坏球肯定⽐好球轻，那么第三次称量天枰倾斜时，哪边轻哪边就是坏球。
第⼆次称量时天秤倾斜⽅向不变（此时A1 A2 A3肯定是好球）即第⼀次称量左边⽐右边重，第⼆次称量仍然左边⽐右边重。
小球称重，面试逻辑题总结
⼩球称重，⾯试逻辑题总结有12个⼩球，有⼀个质量和其它⼗⼀个不⼀样，不知道是重还是轻。
⽤⼀个天秤称三次，把这个质量不同的球给区别出来将12个⼩球编号 1~C1 对⽐ 1234 & 56781.1 1234 = 5678，则坏球在9ABC中，第⼆次称 1239 & 56AB1.1.1 1239 = 56AB，则坏球是C1.1.2 1239 > 56AB，则坏球在9AB中，且 9 > AB 第三次称 A & B1.1.2.1 A = B，坏球是9， 9偏重1.1.2.2 A > B，坏球是B， B偏轻1.1.2.3 A < B，坏球是A， A偏轻1.1.3 1239 < 56AB，则坏球在9AB中，且 9 < AB 第三次称 A & B1.1.3.1 A = B，坏球是9， 9偏轻1.1.3.2 A > B，坏球是A， A偏重1.1.3.3 A < B，坏球是B， B偏重1.2 1234 > 5678, 则坏球在1~8中，且要么1234中有偏重的坏球，要么5678中有偏轻的坏球，称 2345 & ABC11.2.1 2345 = ABC1，则坏球在678中，第三次称 6 & 71.2.1.1 6 = 7，则坏球是8，8偏轻1.2.1.2 6 > 7，则坏球是7， 7偏轻1.2.1.3 6 < 7, 则坏球是6， 6偏轻1.2.2 2345 > ABC1，则坏球在234中，因为如果234是正常，说明 5 > 1，显然1.2 1234 > 5678 不成⽴，第三次称 2 & 31.2.2.1 2 = 3, 4是坏球，4偏重1.2.2.2 2 > 3, 2是坏球，2偏重1.2.2.3 2 < 3, 3是坏球，3偏重1.2.3 2345 < ABC1，说明坏球在51中，因为如果51正常，说明 234 < ABC ,显然 1.2 1234 > 5678不成⽴，克制 5 < 1，第三次称1& A1.2.3.1 1 = A，坏球是5，5偏轻1.2.3.2 1 > A，坏球是1，1偏重1.2.3.3 1 < A，此情况不存在1.3 1234 < 5678，判断⽅法同1.2。
秤12个球的问题系列1
秤12个球的问题系列1有12个球，外表一样，但是有一个球的质量跟其他的11个球质量是不一样的，现在有一个天平，如何利用天平秤3次找出那个不一样的球呢？并且说明这个球的轻重。
这个问题本人花了将近有4年的时间，终于找到了一种秤的方法，可以找到这个不一样的球是那个球，并且可以得出那个球是清了还是重，现将方法写出来，为大家锻炼思维能力做出点贡献吧。
首先呢必须将12个球分成3份，即每份4个球：拿出天平开始秤第一堆和第二堆球：3分里面任意拿出两份作比较会有3中取法，但是不管怎么取，结果只会有三种：左右一样重，左边重，右边重。
针对这三种情况需要单独做出分析，我先介绍一样重，然后在介绍左边重，之后介绍右边重，详细说明怎么找到哪一个有问题的球，是重了还是轻了。
第一情况：左右一样重。
分析：这说明1~8的这8个球是没有问题的，全是一样的重，出问题的球一定是在9~12里面，这时候我们还剩2次机会找出这个球，接下来怎么成球呢？采用混合秤球法：在剩余的4个球里面取出一个球，比如是9号球，拿出来，把1号球放进去，分成两堆，如图：1号球是正常的球开始秤这4个球，结果如下：如果出现第一种情况，那肯定是我们最想看到的情况，有问题的肯定是9号球，最后一次机会就是拿着1号球跟9号球进行对比，可以知道9号球是重了还是轻了。
第二种情况就有点棘手了，因为我们只剩下最后一次机会了，怎么办呢？冷静下来，看看现在我们得到了那些信息：出问题的球一定是在10号球、11号球和12号球这3个球之间，而且我们还得倒一个信息（G代表质量，数字代表球的序号）G1 +G10 > G11 + G12.造成天平不平衡的因素取决于3个球里面的一个球，因此接下来我们将3个球里面一个球拿出来，比如10号球，放进去一个2号球，并且将4个球重新分组进行称重，如图所示：这时候我们的三级次机会已经用完了，但是我们还是不能直接指导答案，这时候只能分析得出答案了：第一种情况：1号球、11号球、2号球、12号球都是一样的，正常球，那么很明显手里面的10号球就是有问题的球，根据G1 +G10 > G11 + G12 我们可以得出10号球是问题的球，而且是超重的。
逻辑找球
逻辑找球
假设现在有12个球，其中有一个球与其它11个球重量不同，给你一个天平，只准称3次，请你找出这个特殊球，并判断它是偏重还是偏轻。
（提示；换三调一法）
答案
先分为三组，分别标号A，Ｂ，Ｃ，Ｄ；
１，２，３，４；＆，％，＃，×；并记特殊球为Ｋ。
再随机取两组，不妨取１,２,３,４；＆，％，＃，×；将这两组分别放在天平左右两端，进行第一次测量；其结果会有三种情况。
分别为；（１）左重右轻；（２）右重左轻；（３）保持平衡；
我们先讨论（３），此时Ｋ必在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ；中。
将其分为两组｛Ａ，Ｂ，C｝、｛Ｄ｝。
取三正常球｛１,２，3｝再与｛Ａ，Ｂ，C｝分别放在天平左右两端，进行第二次测量；其结果会有三种情况。
分别为（１）左重右轻；（２）右重左轻；（３）保持平衡；在（１）下，说明Ｋ偏轻，且K在A，B,C 中，再将A，B，进行第三次测量，便可找出Ｋ。
（２），（３）类似。
我们再来讨论（１），此时Ｋ必不在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ；中。
我们将Ａ，Ｂ，Ｃ；与１,２,３；对换；再将４与＃对换，进行第二
次测量，此时有三种情况，分别为；（１）左重右轻；（２）右重左轻；（３）保持平衡；在（１）下，说明Ｋ在４，＃，％，＆，×；中，且仍为（１），说明Ｋ在％，＆，×；中，且Ｋ偏轻，取％，＆；进行第三次测量即可找出Ｋ。
在（2）下，说明K在4，#中，取A与4进行第三次测量，即可找出Ｋ且可知轻重。
在（3）下，说明K在1,2,3中，且K偏重，进行第三次测量，即可找出Ｋ。
（2）同（1）法。
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12球称重问题逻辑推理
题目：有12个外观一样的球，有且仅有一个是坏球，但是不知道坏球是比好球轻还是重，利用天平最多称重三次找出这个坏球，并指出是比好球轻还是重。
推理：将12球分成ABC三组，每组4个，随机选两组进行称重
A and B，此时有三种情况
1. A=B，则坏球在C组中。
此时C1C2 and C3A1，有三种情况
1.1 C1C2> C3A1 则C1C2重或C3轻，此时C1 and C2，有三种情况
1.1.1 C1>C2，则C1是坏球，且坏球重于好球
1.1.2 C1<C2，则C2是坏球，且坏球轻于好球
1.1.3 C1=C2，则C3是坏球，且坏球轻于好球
1.2 C1C2<C3A1 则C1C2轻或C3重，此时C1 and C2，有三种情况
1.2.1 C1>C2，则C2是坏球，且坏球轻于好球
1.2.2 C1<C2，则C1是坏球，且坏球轻于好球
1.2.3 C1=C2，则C3是坏球，且坏球重于好球
1.3 C1C2=C3A1 则C4是坏球，此时C4 and A1，就可知道坏球轻重
2 A>B，则A重或B轻。
此时A1A2B1B2 and A3B3C1C2，有三种情况
2.1 左>右，则A1A2重或B3轻，此时A1 and A2，可知道结果。
有三种情况
2.1.1 A1>A2，则A1是坏球，且坏球重于好球
2.1.2 A1<A2，则A2是坏球，且坏球重于好球
2.1.3 A1=A2，则B3是坏球，且坏球轻于好球
2.2 左<右，则B1B2轻或A3重，此时B1 and B2，可知道结果。
有三种情况
2.2.1 B1>B2，则B2是坏球，且坏球轻于好球
2.2.2 B1<B2，则B1是坏球，且坏球轻于好球
2.2.3 B1=B2，则A3是坏球，且坏球重于好球
2.3 左=右，则A4重或B4轻，此时A1 and A4，可知道结果。
3 A<B，则A轻或B重。
此时A1A2B1B2 and A3B3C1C2，有三种情况
3.1 左>右，则B1B2重或A3轻，此时B1 and B2，可知道结果。
有三种情况
3.1.1 B1>B2，则B1是坏球，且坏球重于好球
3.1.2 B1<B2，则B2是坏球，且坏球重于好球
3.1.3 B1=B2，则A3是坏球，且坏球轻于好球
3.2 左<右，则A1A2轻或B3重，此时A1 and A2，可知道结果。
有三种情况
3.2.1 A1>A2，则A2是坏球，且坏球轻于好球
3.2.2 A1<A2，则A1是坏球，且坏球轻于好球
3.2.3 A1=A2，则B3是坏球，且坏球重于好球
3.3 左=右，则A4轻或B4重，此时A1 and A4，可知道结果。