八下二次根式的加减乘除
专题：二次根式的计算(八年级下册)
专题：二次根式的计算（八年级下册）1. 什么是二次根式？二次根式是指以平方根为底数的根式，其中底数为一个非负实数，指数为2的根式。
2. 二次根式的基本性质- 二次根式的指数为2，即根号内的数被平方。
- 二次根式的底数必须是非负实数。
- 二次根式可以进行加减乘除运算。
3. 二次根式的加减运算对于两个二次根式a√x和b√x，其中a和b为实数，x为非负实数，可以进行以下加减运算：- 当根号内的数相同（x相同）时，可以直接合并系数：a√x ± b√x = (a ± b)√x。
- 当根号内的数不同（x不同）时，无法直接合并系数，保留原样。
4. 二次根式的乘法运算对于两个二次根式a√x和b√y，其中a和b为实数，x和y为非负实数，可以进行以下乘法运算：- 将根号内的数相乘：a√x * b√y = ab√(xy)。
5. 二次根式的除法运算对于两个二次根式a√x和b√y，其中a和b为实数，x和y为非负实数，可以进行以下除法运算：- 将根号内的数相除：(a√x) / (b√y) = (a / b)√(x / y)。
6. 简化二次根式当二次根式的底数不能被开平方时，可以通过找出底数的因数来进行简化。
例如：- √12 = √(4 * 3) = 2√3- √18 = √(9 * 2) = 3√27. 实例演练例题1：计算：3√5 + 2√5解答：由于根号内的数相同，可以直接合并系数：3√5 + 2√5 = (3 + 2)√5 = 5√5例题2：计算：4√7 * 2√3解答：将根号内的数相乘：4√7 * 2√3 = 8√(7 * 3) = 8√21例题3：计算：(5√6) / (√2)解答：将根号内的数相除：(5√6) / (√2) = (5 / 1)√(6 / 2) = 5√3以上是关于二次根式的计算的基本知识和方法，希望对你的学习有所帮助！。
八年级下册数学二次根式笔记
八年级下册数学二次根式笔记
一、二次根式的定义
1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。
二、二次根式的性质和运算法则
1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。
2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。
3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。
4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。
三、二次根式的化简
1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。
4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。
四、二次根式的应用
1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。
2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。
五、练习与巩固
为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。
可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。
在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。
初二数学二次根式的乘法与除法运算
初二数学二次根式的乘法与除法运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，学好二次根式的乘法与除法运算对于学生正确理解和解决相关的数学问题至关重要。
本文将详细介绍二次根式的乘法与除法运算方法，旨在帮助初二学生掌握这一知识点。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的操作。
具体方法如下：首先，我们需要将两个二次根式进行合并，合并的规则是将根号内的数相乘，并将外面的系数相乘。
例如：√a * √b = √(a * b)当然，在实际运算中还需要注意一些特殊情况，如二次根式的下标、系数与被开方数的关系等。
下面通过例子来说明：例1：化简√8 * √3解析：根据乘法运算的规则，√8 * √3可以合并为√(8 * 3)，即√24。
进一步化简：√24 = √(4 * 6) = √4 * √6 = 2√6例2：化简2√5 * 3√5解析：根据乘法运算的规则，2√5 * 3√5可以合并为(2 * 3)√(5 * 5)，即6√(25)。
进一步化简：6√(25) = 6 * 5 = 30通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的乘法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的操作。
具体方法如下：首先，我们需要根据乘法的逆运算，将除数的根号有理化为整数。
例如，将√a有理化为√(a * a)。
然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并，并化简。
例3：化简√32 / √8解析：首先，我们有理化除数：√8 = √(8 * 8) = 8然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：√32 / 8 =√(32 / 8) = √4 = 2例4：化简3√12 / 2√3解析：首先，我们有理化除数：2√3 = 2 * √3然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：3√12 / (2 * √3) = 3 * (√(12 / 3)) / (2 * √3) = 3 * √4 / 2 = 3 * 2 / 2 = 3通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的除法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
二次根式的运算和性质
二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。
本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。
例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。
2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。
例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。
3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。
例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。
综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。
掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。
二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。
二次根式运算专题：八年级下册
二次根式运算专题：八年级下册1. 简介二次根式是数学中的一种基本表达形式，通常表示为√a，其中a是非负实数。
在八年级下册的数学课程中，我们将学习如何进行二次根式的运算，包括加减乘除以及指数幂的运算。
2. 二次根式的加减法2.1 同底数二次根式的加减法同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √a = 2√a√a - √a = 02.2 不同底数二次根式的加减法不同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √b = √(a + b) （a ≥ b）√a - √b = √(a - b) （a ≥ b）3. 二次根式的乘除法3.1 同底数二次根式的乘除法同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √a = √a^2 = a√a / √a = 13.2 不同底数二次根式的乘除法不同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √b = √(a * b)√a / √b = √(a / b)4. 二次根式的指数幂二次根式的指数幂运算规则如下：(√a)^n = √(a^n) （n为正整数）(√a)^(-n) = 1 / (√(a^n)) （n为正整数）5. 综合练习以下是一些八年级下册数学课程中关于二次根式运算的综合练习题：1. 计算：(√2 + √3) * (√2 - √3)2. 计算：√8 / √23. 计算：(√3)^44. 计算：√(16 * 9)6. 总结通过本专题的学习，我们了解了二次根式的加减法、乘除法以及指数幂的运算规则，并通过综合练习题进行了巩固。
希望同学们能够掌握这些运算方法，并在实际问题中灵活运用。
二次根式(第2课时)八年级数学
巩固练习
变式训练
计算：
(1) 5 12 4 27 ;
(2) 6 15 10 .
解：(1) 5 12 4 27 (2) 6 15 10
(5 4) 12 27 6 15 10
20 4 3 3 9 20 (2 3 3)2
=20×18=360
解：（1）S = ab = 8 12 = 812
= 42 23
=4 6
（2）S = ab = 2 50 3 32
= 6 5032
= 6 402
=240
课堂检测
拓广探索题
已知 7 a, 70 b, 试着用a, b表示4.9 .
解：因为
4.9 100 10 4.9,
又因为
所以 ab 10 4.9,
所以 4.9 1 ab.
10
课堂小结
二次根式 的运算
乘法法则 除法法则 加减法则
乘法公式
a b a b a 0,b 0.
a a (a 0,b 0). bb
加减法的运算步骤：“一化简二判断 三合并”.
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
36
6
49 = __7___.
观察两者有什么关系？
探究新知
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4= 9
4； 9
(2) 16 = 16； 特殊
25 25
一般 a a
bb
(3) 36 36.
二次根式的基本运算
二次根式的基本运算二次根式是高中数学中的重要内容，它在数学中发挥着重要的作用。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的基本运算。
对于二次根式的加减乘除，我们将逐一探讨其运算规则和示例。
一、二次根式的加法运算要进行二次根式的加法运算，首先要保证根号下的数相同。
如果根号下的数相同，我们可以直接将系数相加。
例如：√2 + √2 = 2√2√3 + 2√3 = 3√3对于不同的根号下的数相加，我们无法简化，只能保留原样，表达为：√2 + √3二、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法类似，也要保证根号下的数相同。
如果根号下的数相同，我们可以直接将系数相减。
例如：√5 - √2 = √5 - √22√3 - √3 = √3对于不同的根号下的数相减，我们同样无法简化，保留原样即可，表达为：√5 - √3三、二次根式的乘法运算要进行二次根式的乘法运算，我们可以运用分配律的规则，将系数和根号下的数分别相乘。
例如：√2 * √3 = √62√5 * 3√2 = 6√10对于相同根号下的数相乘，我们可以将系数相乘，根号下的数保持不变。
例如：2√5 * 3√5 = 6 * 5 = 30四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算需要运用到有理化的方法。
具体方法是将分母有理化，即乘以分母的共轭式，并利用乘法法则进行运算。
例如：√6 / √2 = (√6 * √2) / (√2 * √2) = √12 / 2 = √12 / 2√2 = √32√10 / √5 = (2√10) / (√5) = (2√10 * √5) / (√5 * √5) = 2√50 / 5 = 2 *√(25 * 2) / 5 = 2 * √50 / 5 = 2 * 5√2 / 5= 2√2综上所述，二次根式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于加法和减法，我们只需保证根号下的数相同，将系数相加或相减即可。
对于乘法和除法，我们要运用分配律和有理化的方法进行计算。
八年级数学下册12_3二次根式的加减“三步六字”围攻二
“三步六字”围攻二次根式的加减二次根式加减时，必需先将所给式子中的每一个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行归并，因此进行二次根式的加减运算时，能够分成“三步六字”围攻，智取其值.一、运算进程解读第一步：化简——把每一个根式化简成“最简二次根式”所谓“最简二次根式”确实是二次根式必需符合如下的两个特点：（1）被开方数不含分母.若是被开方数是分式或分数，能够利用)0,0(>≥=b a ba b a ，然后再分母有理化取得)0,0(>≥=b a b ab b a .如93271271==. （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.也确实是说应该把能开得尽方的因数或因式开出来.如222282=⨯=第二步：观看——观看被开方数相同的项.在第一步化简的基础上，观看寻觅出被开方数相同的项，将它们别离聚集在一路，专门要注意必然是化简后再识别，避免显现以为12与31，8与5.0被开方数是不相同错误现象. 第三步：归并——归并同类二次根式（即被开方数相同二次根式）与整式的归并同类项相似，归并同类二次根式时，只是把被开方数相同的二次根式外面的因数或因式进行加减，根式内部的被开方数（或式）维持不变.二、典型案例剖析【例1】（临沂）27－1831－12 分析：因为题中的二次根式都不是最简二次根式，因此必需对每一个二次根式先进行化简.解：原式=332⨯－23312⨯－322⨯ =33－2－23=（33－23）－2 =3－2【例2】（新疆乌鲁木齐市）计算：⎛÷ ⎝分析：此题是加减乘除的混合运算，依照运算顺序应当先算有括号内的，事实上括号内确实是二次根式的加减，可用“三步六字”去解决.解：原式⎛=÷ ⎝143==．【例3】02)+分析：此题是一个较为复杂的“二次根式的加减”运算问题，需要弄清两个性质，一个确实是“任何不等于0的数的零次幂都等于1”，另一个确实是二次根式的性质：||2a a =，还要把握一个去括号法那么：去掉括号和括号前的“－”时，括号内各项都要变号.02)++(11|1=++-．111=-+．1= 创新展台：【例4】（邵阳市）阅读以下材料，然后回答下列问题. 在进行二次根式运算时，咱们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实咱们还能够将其进一步化简： 35＝5535553＝⨯⨯；……① 32＝363332＝⨯⨯……② 132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（ ……③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
八年级数学下册教学课件-二次根式的混合运算
(1) ( 2 − 6 ) × ( 2 + 6 )
(2) (2 5 + 2 )2
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
2−5
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 2-5 2+3 2-15
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
= 5 × 5 - 3× 3
=5-3=2
=- 13 - 2 2
观察式子5结构，你想到了什么？
( 5 + 3 )( 5 − 3)
=
5
=5-3
=2
2
−
3
2
02
练一练
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
=[ 3
2−
=-44 5
2 5
2
](4 5)
02
练一练
1．已知 =
−
,
=
+
，求
− 的值.
【详解】
3− 2
3+ 2
，y＝
，
2
2
3+ 2
3− 2
∴y−x＝
−
＝ 2，
2
2
3− 2 3+ 2 1
xy＝
•
八年级下册数学二次根式的加减
【1】八年级下册数学二次根式的加减在八年级下册数学教材中，二次根式的加减是一个重要的知识点。
对于许多学生来说，二次根式的加减可能是一个比较难以理解的概念。
然而，只要我们能够掌握一定的技巧和方法，就能够轻松地解决二次根式的加减运算。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨八年级下册数学二次根式的加减，以帮助读者更深入地理解这一知识点。
【2】二次根式的概念让我们来回顾一下二次根式的概念。
在数学中，二次根式是指形如√a 的数，其中a为非负实数。
对于二次根式的加减，我们需要掌握一些基本的运算规则，例如同类项相加减、合并同类项等。
这些规则将帮助我们在解决二次根式的加减问题时更加得心应手。
【3】二次根式的加减规则接下来，让我们来了解一下二次根式的加减规则。
当我们在进行二次根式的加减运算时，需要注意以下几点：1. 同类项相加减：只有当根号内的数相同，即根号下的被开方数相等时，才能进行加减运算。
2. 合并同类项：在进行二次根式的加减运算时，需要将根号内的数合并成一个根号。
【4】举例说明为了更加直观地理解二次根式的加减运算，让我们通过举例进行说明。
假设我们要计算√8 + 2√8的结果。
我们可以发现这两个二次根式是同类项，因为它们的根号内的被开方数都是8。
根据加法的运算规则，我们可以将这两个二次根式相加，得到3√8。
【5】深入探讨除了简单的加减运算外，二次根式的加减也涉及到更深入的探讨。
当我们需要进行多项式的二次根式加减运算时，就需要运用更多的技巧和方法。
在解决这类问题时，我们可以考虑将多项式展开，然后按照同类项的规则进行合并，最终得到简化的结果。
【6】总结回顾通过本文的讨论，我们对八年级下册数学二次根式的加减有了更深入的了解。
在实际的学习和应用中，我们可以通过大量的练习来提高自己的计算能力和思维能力。
对于一些复杂的问题，我们也可以寻求老师和同学的帮助，共同探讨解决方法。
【7】个人观点和理解在我个人看来，二次根式的加减是数学中的一道重要课题，它不仅考验了我们的计算能力，也锻炼了我们的逻辑思维能力。
八年级数学下册第十六章二次根式二次根式的乘除二次根式的除法
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数学八下二次根式
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
八年级下册：二次根式的精细计算
八年级下册：二次根式的精细计算
简介
本文档将介绍八年级下册中关于二次根式的精细计算。
我们将探讨二次根式的定义、化简、运算和应用等方面，帮助学生更好地理解和应用二次根式。
二次根式的定义
二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
例如，√4、√9都是二次根式。
二次根式的化简
要化简二次根式，我们需要找到该根式的因数。
例如，对于√12，我们可以将12分解为2*2*3，然后提取平方因子，得到
√(2*2*3)=2√3。
二次根式的运算
加减运算
对于同样根指数的二次根式，可以进行加减运算。
例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。
乘法运算
对于同样根指数的二次根式，可以进行乘法运算。
例如，√2 * √3 = √(2*3) = √6。
除法运算
对于同样根指数的二次根式，可以进行除法运算。
例如，√6 /
√2 = √(6/2) = √3。
二次根式的应用
二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。
例如，在几何学中，二次根式可以用来计算直角三角形的斜边长度；在物理学中，
二次根式可以用来计算物体的速度和加速度等。
总结
通过本文档的学习，我们了解了八年级下册中关于二次根式的
精细计算。
我们学习了二次根式的定义、化简、运算和应用等方面。
希望同学们能够通过实践运用，掌握二次根式的计算技巧，提升数
学能力。
人教版八年级下册数学教案：16.2二次根式的乘除
举例：√27 ÷ √3 = √(27 ÷ 3) = √9 = 3
二、核心素养目标
1.培养学生运用二次根式乘除法则解决问题的能力，强化数学运算和数学表达的核心素养。
2.通过对二次根式的乘除运算，提高学生的数学思维能力，使其能够理解数学知识之间的内在联系。
人教版八年级下册数学教案：16.2二次根式的乘除
一、教学内容
人教版八年级下册数学教案：16.2二次根式的乘除。本节内容主要包括以下两部分：
1.二次根式的乘法法则：对两个二次根式进行乘法运算时，可先将根号外的数相乘，再将根号内的数相乘，最后简化根号内的结果。
举例：√6 × √8 = √(6 × 8) = √48 = 4√3
2.教学难点
-难点内容：本节课的教学难点在于二次根式乘除法则的应用和根号内数的简化。
-应用难点：学生在应用乘除法则难点：根号内数的简化涉及到对数的因数分解，学生在分解过程中可能会遇到困难，如√48 = √(16 × 3) = 4√3，需要识别出16是4的平方。
3.培养学生在解决实际问题时，能够运用二次根式的乘除法则进行简化和求解，提升数学应用意识和解决问题的核心素养。
4.引导学生通过自主探究、合作交流，培养逻辑推理和数学抽象的核心素养，增强对二次根式乘除法则的理解和运用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：本节课的教学重点是掌握二次根式的乘除法则，并能熟练运用其进行计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
八年级数学下册12.1二次根式如何进行二次根式的加减法运算素材苏科版
如何进行二次根式的加减法运算？难易度：★★★关键词:二次根式、加减法运算答案:二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．步骤：①如果有括号,根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．【举一反三】典例：计算：思路导引：先化简二次根式,再合并同类二次根式．原式= ．化简二次根式要注意观察被开方数，若被开方数为分式形式，要注意分母有理化；若被开方数是整式或整数形式,要用分解因式来化简．标准答案：尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
人教版八年级数学下册课件 二次根式的乘除(1)
(5)在本章中如果没有特别说明,所有的字母都表示正数.
3.化简:
(1) 2×100;
(2) 8;
10 2
2 2
(3) 4a3;
(4)
2a a
2 6
－2 × －12 .
精典范例
4.【例 1】若 a· b= ab成立,则 a,b 满足的条件是( B )
A.a＞0,b＞0
B.a≥0,b≥0
3
(4)3 5×2 10.
30 2
小结:根据二次根式的乘法法则 · = (a≥0,b≥0).
9.计算:
(1) 18× 30;
6 15
(2) 3×
2
;
75
2
5
1
(3) 21×(－ 7);
(4) 3x· xy.
－7 3
x y
3
6.【例 3】(人教 8 下 P7、北师 8 上 P42 及 P48)化简:
(1)符号语言:一般地,二次根式的乘法法则是 a· b=
ab
(a≥0,b≥0).
(2)文字语言:二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
(3)在进行二次根式的乘法运算时,一定不能忽略其被开方数
a,b均为非负数这一条件.
(4)乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中仍然可适用.
对点训练
1.(人教 8 下 P6、北师 8 上 P41)计算下列各式,你能发现什么
规律?
(1) 4× 9= 6
4×9= 6
,
;
(2) 16× 25= 20 ,
16×25= 20
;
(3) 25× 36= 30 ,
25×36= 30 .
规律: a· b= ab (a≥0,b≥0).
八下二次根式的加减乘除
教学内容测测吧 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为（ ）A ．m≤3 B．m ＜3 C ．m≥3 D．m ＞32．下列式子中二次根式的个数有（ ）⑴31； ⑵3-； ⑶12+-x ； ⑷38； ⑸2)31(-； ⑹)1(1>-x x ； ⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是（ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－24．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．23a B ．31 C ．5.2 D ．22b a -5．计算 (1)知识梳理二次根式的乘法法则0,0).a b =≥≥二次根式的除法法则()a b ≥0,＞0【注意：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数】最简二次根式：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式【注意：二次最简二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2；③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.】可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并二次根式的加减：实质上就是化成最简二次根式，再把可以合并二次根式合并，即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.【警报：对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.】二次根式的混合运算：和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）【注意：二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式】二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别：随堂检测1.把下列各式化成最简二次根式：= (2)= (3)=2．下列各式计算正确的是（ ）A ．．C ．=3×2×5=30D ．3．下列各式计算错误的是（ ）A =13B =0C =1 D ．-1+134cm ，底边为cm ，求它的面积．5.计算：（1）（23）·（-12）； （2）（（3（46-两数的大小，并说明理由．7.实数a，b8.最简二次根式3aa＝，b＝；挑战中考1.（2013•衡阳）计算的结果为（）CA ．BC．D．3+3.（2013泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．4.（2013•|1|0a b++=，则b a=_________。
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互助教育教学教案
教学内容
测测吧
1．若m -3为二次根式，则m 的取值为（ ）
A ．m≤3 B．m ＜3 C ．m≥3 D．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有（ ） ⑴
3
1
； ⑵3-； ⑶12+-x ； ⑷38； ⑸2)31(-； ⑹)1(1>-x x ； ⑺322++x x .
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．当
2
2-+a a 有意义时，a 的取值范围是（ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．23a B ．
3
1
C ．5.2
D ．22b a -
5．计算 (1)
知识梳理
二次根式的乘法法则
0,0).a b =≥≥
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
()a b ≥0,＞0【注意：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数】
最简二次根式：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式【注意：二次最简二次根式
互助教育教学教案
有如下特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2；③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.】
可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并 二次根式的加减：实质上就是化成最简二次根式，再把可以合并二次根式合并，即先将各个二次根式都化成
最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.【警报：对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.】
二次根式的混合运算：和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的
（或者先去括号）【注意：二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式】
二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别：
随堂检测
1.把下列各式化成最简二次根式：
= (2)= (3)= 2．下列各式计算正确的是（ ）
A ．．
C ．×2×5=30
D ．3．下列各式计算错误的是（ ）
A 13
C
D ．13
4cm ，底边为，求它的面积．
互助教育教学教案
5.计算：（1）（2
3
·（-
1
2
；（2）（
（3
+（4
6
7.实数a，b
8.
最简二次根式3a
a＝，b＝；
挑战中考
1.（2013•衡阳）计算的结果为（）
C
互助教育教学教案
A ．
B
C ．
D ．3+ 3.（2013泰安）化简：
（
﹣
）﹣
﹣|
﹣3|= ．
4.（2013•|1|0a b ++=，则b
a =_________。
5. （2012湖北孝感）下列运算正确的是（ ）
A ．3a 2·2a 2＝6a 6
B ．4a 2÷2a 2＝2a
C ．= D
6.（2012
课后作业
1．已知，实数a 、b 在数同上对应点的位置如图，化简：|a —b|+（a+b ）2
2.把下列各式化成最简二次根式：
(1)= (2)= (3)= 3．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）
（1161
3
（ ）; （2=1 （ ）
（3 ）; （4（ ）
4．一个三角形的面积为
互助教育教学教案
5．比较两个实数大小： 6.若
a+b
5b 与3a+2b 已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a= ，b= 。
7．计算：
（114 （2）
12
（32)
（4。