导数的概念

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导数的定义与性质解析

导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。

在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。

对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。

导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。

2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。

- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。

切线的斜率即为导数的值。

- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。

- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。

- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。

- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。

- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。

- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。

综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。

高中数学导数的概念及其意义

高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。

2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。

3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。

二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。

2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。

3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。

导数的概念和定义

导数的概念和定义导数的概念和定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在实际应用中，导数可以用来求解函数的最大值、最小值、拐点等问题。

本文将从以下几个方面详细介绍导数的概念和定义。

一、导数的基本概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在该点处的切线斜率。

具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)其中，“lim”表示极限，“(x-a)”表示自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时所取得的差值，“f(x)-f(a)”表示因变量y沿着这个方向所取得的差值。

二、导数的几何意义从几何角度来看，函数在某一点处的导数等于该点处切线斜率。

具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处切线斜率k为：k = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)当自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时，切线斜率k即为导数f'(a)。

因此，导数可以用来描述函数在某一点处的变化率。

三、导数的符号表示通常情况下，我们用f'(a)来表示函数y=f(x)在x=a处的导数。

其中，f'表示函数的导数运算符，被称为“d/dx”或“dy/dx”。

四、导数的计算方法求解函数在某一点处的导数需要使用极限运算。

具体地说，可以通过以下几种方法来计算函数在某一点处的导数：1. 使用极限定义法：根据导数的定义公式，将自变量沿着无限接近于该点但不等于该点的方向逼近，并求出其极限值。

2. 使用公式法：对于常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等），可以直接使用其导数公式进行计算。

3. 使用运算法则：对于复合函数和多项式函数等复杂函数，可以使用求导法则（如加减乘除法则、链式法则等）进行计算。

五、导数存在的条件有些函数在某些点处可能不存在导数。

具体地说，一个函数在某一点处存在导数需要满足以下两个条件：1. 函数在该点附近存在连续性；2. 函数在该点附近存在斜率有限的切线。

导数的定义及其应用领域

导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。

本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。

一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。

二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。

如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。

2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。

三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。

例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。

通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。

2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。

例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。

这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。

3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。

例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。

这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。

4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。

生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。

导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。

5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。

导数的定义解释

导数的定义解释在数学中，导数是描述函数变化的重要概念，它表示函数增长率，既可以描述数字函数也可以描述几何函数，是数学进行求解和分析的基础。

导数的定义解释如下：1、定义：函数f（x）的n阶导数是指在变量x上，使函数的变化量（即增量）与x的变化量（即增量）的比值关系趋于某一常数，即定义为n阶导数的函数。

2、解释：函数f（x）的n阶导数，是指表示函数f（x）对变量x的变化量之比率的函数。

通俗点讲，就是当变量x发生变化时，函数f（x）所发生的变化量和x变化量之比例所确定的量。

3、形式：此量可以表示为函数f（x）的n次微分式：f（x）的n阶导数=f（（n）（x）/dxn上式中，dx表示变量x的微小变化量，即对变量x进行微分的步长，dx的数值等于变量x的变化量/微分次数，微分次数即n。

4、说明：从定义中可以看出，当函数f（x）变化时，函数f（x）的n阶导数可以看作是函数f（x）和变量x变化量之比例，也即函数f（x）关于变量x的变化率。

简单来说，导数是一种特征量，它可以对函数表达式进行更为细致的分析，可以表示函数的变化趋势，从而为数学求解和分析提供更多的有效信息。

以下为一个简单的例子，关于求解一元函数的最大值和最小值：已知函数f（x）=3x3+2x2+x+1求f（x）的最大值和最小值解：f（x）的一阶导数为f（x）=3x2+4x+1设f（x）= 0，得3x2+4x+1=0解得x=-1/6，x=-2又得f（-1/6）=-4/27，f（-2）=-17/2即函数f（x）在x=-1/6处取得最大值f（-1/6）=-4/27，在x=-2处取得最小值f（-2）=-17/2由此可见，导数在数学求解和分析中起着非常重要的作用，因此，对导数的定义解释也是十分重要的。

以上就是关于“导数的定义解释”的全部内容，希望能够帮助到大家。

在数学中，导数的概念非常重要，为我们的求解和分析提供了更多有效的信息，因此，要深入理解导数的定义解释，从而运用自如。

导数的概念定义

导数的概念定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数的概念定义可以从几何和代数两个方面来进行解释。

一、几何意义几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。

具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点切线的斜率即为f'(a)。

当x靠近a时，函数值f(x)也会越来越接近于f(a)，此时切线斜率也会越来越接近于f'(a)。

因此，导数可以用来描述函数在某一点附近的变化情况。

二、代数意义代数意义上，导数可以理解为函数在某一点处的极限值。

具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点导数的定义式为：f'(a)=lim(x->a){(f(x)-f(a))/(x-a)}这个式子表示当x无限接近于a时，(f(x)-f(a))/(x-a)的极限值即为该点导数。

这个极限值可以看作是函数在该点处微小增量与自变量微小增量之比的极限值。

三、符号表示通常情况下，我们用dy/dx或y'来表示函数y=f(x)的导数。

其中，dy/dx表示y关于x的导数，y'表示函数f(x)的导数。

四、求导法则求导法则是计算导数的基本方法。

以下是常用的求导法则：1. 常数函数的导数为0。

2. 幂函数的导数为其指数乘以系数。

3. 指数函数的导数为其自身乘以ln(a)。

4. 对数函数的导数为其自变量倒数。

5. 三角函数和反三角函数的导数可以通过公式推出。

6. 复合函数求导需要使用链式法则或者换元法等方法。

五、应用1. 导数可以用来求解最值问题。

当函数在某一点处取得最大值或最小值时，该点处必须满足其切线斜率为0或不存在。

因此，我们可以通过计算函数在每个可能取得最值的点处的导数来确定最值点。

2. 导数可以用来分析曲线形状。

通过计算不同点处的斜率，我们可以了解曲线在不同位置上升或下降程度以及拐点位置等信息。

3. 导数还有其他应用，如牛顿迭代法、泰勒展开式等。

导数的定义

x x0
x0
x
二、导数概念
1.导数定义
定义: 设y f (x)在点x0的某邻域内有定义, 若存在极限
y lim
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x0 x x0
x
则称此函数在x0可导，极限值为函数 f 在点 x0 处
的导数或微商 , 记作
因此，在x =2处函数y =x的导数
f (2) lim y lim f (2 x) f (2) lim x
x0 x x0
x
x0 x
=1
用（2）式.
f (2) lim f (x) f (2)
x2 x 2
x

f
2
( x0
)

lim
x x0

1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)

g 2
(2t0
t).
令
t 0 ，得瞬时速度
v(t0 )

lim
t 0
g(t0 2
t)

gt0
2.切线问题割线的极限位置——切线位置
切线
切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。
f ( x) f ( x0 ) . x x0
lim =1
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0

函数的导数的含义

函数的导数的含义
函数的导数，也被称为导函数值或微商，是微积分中的重要基础概念。

当函数自变量产生一个增量时，函数输出值的增量与自变量增量的比值在增量趋于0时的极限存在，该极限值即为导数。

导数可以表示函数在某一点处的变化率，也就是函数在该点处的瞬时变化率。

这个变化率可以用来描述函数在该点处的陡峭程度，如果导数的值很大，那么函数在该点处的变化就很剧烈。

如果导数的值很小，那么函数在该点处的变化就很缓慢。

另一方面，导数也可以表示函数在某一点处的切线斜率，也就是函数在该点处的瞬时速度。

这个速度可以用来描述函数在该点处的增长速度，如果导数的值为正，那么函数在该点处是递增的；如果导数的值为负，那么函数在该点处是递减的；如果导数的值为零，那么函数在该点处是达到了极值。

高等数学-导数的概念

内有定义，如果当 →
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存

→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−

→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0

→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)

=
→0
→0

=
1
()3
−0

1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，

导数的概念及其意义、导数的运算

§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案－1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)，所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ，当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2，得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，将P (1,2)代入y ＝kx ＋1，可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______．答案 [2，＋∞)解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)．题型三两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3，所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)，与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +，记f (x )＝12e2x x +，则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________．答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0，故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案－1解析因为f (x )＝x cos x ，所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]，使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析方法一设切点(x 0，y 0)，y 0>0，则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－∞，2ln 2－2)解析由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时，有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4，当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。

大学导数知识点总结

大学导数知识点总结一、导数的概念导数是微积分中一个非常重要的概念，它是某一函数在某一点上的变化率。

在几何意义上，导数表示了曲线在某一点的切线斜率；在物理学中，导数表示了物体在某一时刻的速度和加速度。

因此，导数在数学、物理、经济等领域中都有着非常广泛的应用。

设y=f(x)，x为自变量，y为因变量。

如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，则称函数f(x)在点x=a处可导，记作f'(a)。

导数f'(a)就是函数f(x)在点x=a处的瞬间变化率，也就是函数的斜率。

导数的计算是微积分中的一个重要内容，它可以通过极限的方法来求得。

二、导数的计算方法求导数的过程即为求函数的瞬间变化率的过程，常用的方法有以下几种：1. 函数的基本求导公式：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等求导公式。

这些基本求导公式是求导的起点，通过它们可以得到更复杂函数的导数。

2. 导数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么f(x)与g(x)的和、差、积、商函数在点x=a处的导数可分别表示为(f+g)'(a)、(f-g)'(a)、(fg)'(a)、(f/g)'(a)。

3. 复合函数求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

4. 隐函数求导：对于以x和y为自变量的方程，如果y不能表示为x的函数形式，则称y是x的隐函数。

对隐函数求导需要利用隐函数求导的公式。

5. 参数方程求导：对参数方程x=x(t)和y=y(t)所确定的轨迹求切线斜率时，需要计算dy/dx=y'(t)/x'(t)。

6. 反函数求导：如果函数y=f(x)在一段区间内是单调、连续、可导的，并且f'(x)≠0，则其反函数在对应区间内也是可导的，且有f^(-1)'(y)=1/f'(x)，即反函数的导数等于原函数导数的倒数。

导数概念

一．导数的概念1.导数的定义：如果当0x ∆→时，y x∆∆有极限，就说函数()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()y f x =在点0x 处的导数。

记作0'()f x 或0'|x x y =。

即00000()()'()=lim lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆=∆∆。

2.导数的几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处切线的斜率，即0'()k f x =。

此时相应的切线方程为000'()()y y f x x x -=-。

3.导函数：函数()y f x =的导数，是一个函数。

其求法与在一点处导数一致。

()y f x =在0x 处的导数0'()f x 就是导函数'()y f x =在0x 处的函数值。

二．基本初等函数的导数三．导数的运算1.和、差、积、商的求导法则（1）加减：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；（2）积：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+；（3）商：2()'()()()'()'()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

2.复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =可看做(),()y f u u g x ==的复合，其求导法则为'''u x y y u =⋅，即是等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积四．导数的应用1.函数的单调性：求函数的单调区间①确定函数的定义域；②解方程'()0f x =，得到所有在定义域内的根；③将定义域内的间断点与解得的根从小到大排列，得到若干个区间；④确定每个区间'()f x 的符号，'()0f x >的为增区间，'()0f x <的为减区间。

导数的概念-课件-导数的概念

导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等领域，导数被用于优化设计、控制工程和流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等领域，导数被用于计算图像处理、数据拟合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的形状等方面有重要应用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导，则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。

导数的概念导数公式与应用

导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。

具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。

导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。

二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。

这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。

2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln⁡(a)。

这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。

4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln⁡(a))。

5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。

- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。

- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。

6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。

- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。

- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。

以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。

三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。

1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。

导数的理解

导数的理解
导数是微积分中的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。

导数的概念最早由莱布尼茨和牛顿独立发明，是微积分的基础之一。

导数的理解对于学习微积分和应用数学都非常重要。

导数的定义是函数在某一点处的变化率，也就是函数在该点处的斜率。

导数可以用极限的概念来表示，即函数在某一点处的导数等于该点处的极限值。

导数的符号通常用f'(x)表示，也可以用dy/dx表示。

导数的意义在于描述函数在某一点处的变化率。

例如，如果一个函数在某一点处的导数为正，那么函数在该点处是递增的；如果导数为负，那么函数在该点处是递减的；如果导数为零，那么函数在该点处是平稳的。

导数还可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数的拐点等。

导数的计算方法有很多种，其中最常用的是求导法则。

求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

这些法则可以帮助我们快速准确地求出函数在某一点处的导数。

导数在实际应用中有很多用途。

例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来描述市场的变化率和趋势；在工程学中，导数可以用来描述电路的电流和电压
等。

导数在各个领域都有广泛的应用。

导数是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们描述函数的变化率和趋势，求出函数的最大值和最小值，以及在实际应用中解决各种问题。

对于学习微积分和应用数学的人来说，理解导数的概念和计算方法是非常重要的。

导数的基本概念和计算

导数的基本概念和计算导数是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。

它具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域。

本文将介绍导数的基本概念和计算方法，旨在帮助读者更好地理解和运用导数。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在某一点x处的导数记作f'(x)或者dy/dx，可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示自变量x的增量。

导数的几何意义是函数曲线在该点的切线斜率。

二、导数的计算根据导数的定义，我们可以通过求极限的方法来计算导数。

下面是一些常用的导数计算规则。

1. 常数法则：对于常数c，导数为0，即d(c)/dx = 0。

2. 幂函数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是常数，导数为d(x^n)/dx = n*x^(n-1)。

这是求导数的基本法则之一。

3. 和差法则：对于两个函数u(x)和v(x)，其导数满足(d(u+v)/dx) = du/dx + dv/dx。

4. 乘法法则：对于两个函数u(x)和v(x)，其导数满足(d(uv)/dx) = u * dv/dx + v * du/dx。

5. 除法法则：对于两个函数u(x)和v(x)，其导数满足(d(u/v)/dx) = (v * du/dx - u * dv/dx)/(v^2)。

6. 复合函数法则：对于复合函数f(g(x))，其导数满足(d(f(g(x)))/dx) = (df/dg) * (dg/dx)，其中df/dg表示f对于g的导数，dg/dx表示g对于x的导数。

三、导数的应用导数在数学和实际应用中具有广泛的用途。

下面是一些常见的导数应用示例。

1. 函数极值：函数的极值点对应于函数曲线的斜率为零的点。

通过求函数的导数，我们可以确定函数的极值点。

2. 切线和法线：导数也可以用来求函数曲线在某一点的切线和法线方程。

高中导数的概念

高中导数的概念导数定义一、导数第一定义设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内) 时相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第一定义二、导数第二定义设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内) 时相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义三、导函数与导数如果函数y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间I 内可导。

这时函数y = f(x) 对于区间I 内的每一个确定的x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数y =f(x) 的导函数记作y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。

导函数简称导数。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续。

不连续的函数一定不可导。

导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

右上图为函数y = ƒ(x) 的图象，函数在x_0处的导数ƒ′(x_0) = lim{Δx→0} [ƒ(x_0 + Δx) - ƒ(x_0)] / Δx。

如果函数在连续区间上可导，则函数在这个区间上存在导函数，记作ƒ′(x)或dy / dx。

导数的定义与基本性质

导数的定义与基本性质一、导数的定义1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率的量。

在函数f(x)的定义域中，函数在x=a处的导数表示函数的变化速率，记作f'(a)或df/dx|a。

2. 导数的几何意义函数在某一点的导数表示函数在该点切线的斜率。

斜率正表示函数递增，负表示函数递减，斜率为零表示函数有极值。

二、导数的基本性质1. 可导性若函数f(x)在某一区间内处处可导，则该函数在此区间上连续。

2. 代数运算(1) 常数函数的导数为零，即d/dx(c) = 0。

(2) 导数与函数的和差规则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)。

(3) 导数与函数的乘积规则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。

3. 反函数与复合函数(1) 若函数y=f(x)可逆，则其反函数y=f^(-1)(x)存在。

(2) 若函数f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)≠0，则其反函数f^(-1)(x)在(f(a),f(b))上可导，且有(f^(-1))'(y) = 1 / f'(f^(-1)(y))。

4. 高阶导数若函数f(x)的导数f'(x)在某一区间内可导，则导数f'(x)的导数f''(x)称为函数f(x)的二阶导数。

依此类推，可以定义f(x)的任意阶导数。

5. 导数的应用导数可以用于求曲线的斜率、切线方程，求函数的极值点，分析函数的递增递减区间等。

结语：导数的定义与基本性质是研究微积分的重要内容，对于深入理解函数的性质和应用具有重要意义。

在实际问题中，导数在物理、经济、生物等领域的应用广泛，对于解决实际问题起到了重要的作用。

因此，理解导数的定义和基本性质对于学生的学习和发展是至关重要的。

导数的定义与计算

导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。

它在数学和科学领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种问题。

本文将介绍导数的定义与计算方法。

一、导数的定义导数表示函数在某一点上的瞬时变化率。

我们以函数 f(x) 为例进行说明。

函数 f 的导数在点 x 处的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim 表示极限，h 为一个无穷小量，表示 x 的增量。

导数的定义表示当 x 的增量无穷小时，f(x) 在该点上的变化率。

二、导数的计算1. 基本函数的导数计算对于简单的函数，我们可以利用导数定义来计算其导数。

以下是一些常见函数的导数计算公式：常数函数导数为 0：f(x) = c，则 f'(x) = 0，其中 c 为常数。

幂函数导数为其指数乘以常数：f(x) = x^n，则 f'(x) = nx^(n-1)，其中 n 为常数。

指数函数导数为其自身乘以常数：f(x) = a^x，则 f'(x) = ln(a)*a^x，其中 a 为常数。

对数函数导数为其自身的倒数：f(x) = log_a(x)，则 f'(x) = 1 /(x*ln(a))。

三角函数导数：正弦函数导数为余弦函数：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。

余弦函数导数为负的正弦函数：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。

其他三角函数的导数计算与此类似。

2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的导数。

导数的加法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。

导数的乘法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。