专题1.4.1-2 正弦函数与余弦函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版)

1.4.1-2正、余弦函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正弦函数、余弦函数图象的画法】1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。

2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。

3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。

（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。

（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。

【知识点2 正弦曲线、余弦曲线】1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2.图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。

【知识点3 函数图象的变换】图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。

sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【知识点4 周期函数的定义】函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.【知识点5 正弦函数、余弦函数的图象和性质】【知识点6 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．【考点1 正、余弦函数的定义域】【例1】（2019春•南湖区校级月考）已知函数()f x 的定义域为 ．【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可． 【答案】解：∵2sin （2x ﹣）﹣1≥0⇒sin （2x ﹣）≥，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，∴k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ．故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．【变式1-1】（2019秋•黄冈期末）函数y的定义域是．【分析】由题意可得sin x≥0，cos x≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．【答案】解：由题意可得sin x≥0，cos x≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，故函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈z．【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．【变式1-2】函数1sin21sin2xyx+=-的定义域为．【分析】此为一分式函数，令分母不为0即可解出函数的定义域来．【答案】解：令﹣sin x≠0，即sin x≠，如图x≠2kπ+，x≠2kπ+＝（2k﹣1）π﹣，k∈z，故其形式可以统一为x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．所以函数的定义域为{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}应填{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}【点睛】考查定义域的求法与解三角方程，本题中把两种情况的答案合二为一是一个技巧，答题者应细心体会其中的规律．【变式1-3】（2019秋•安福县校级期中）函数(2cos 21)y lg x =+的定义域为 ．【分析】由题意可得 ，化简可得 ，由此求出x 的范围，即得函数的定义域． 【答案】解：∵函数，∴，即 ．化简可得 ，解得﹣＜x ＜．故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题． 【考点2 正、余弦函数的值域】【例2】（2018秋•启东市校级月考）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的值域为 ．【分析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）＝sin 在区间上的值域．【答案】解：在区间上，2x ﹣∈[﹣，]，sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，故函数f （x ）＝sin 在区间上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[6x π∈，2]3π的值域 ． 【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sin x 的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．【答案】解：y ＝2cos 2x +3sin x +2＝2（1﹣sin 2x ）+3sin x +2＝﹣2（sin x ﹣）2+，x ∈[，]，∴sin x ∈[，1]，∴当sin x ＝时，函数f （x ）取最大值，当sin x ＝或sin x ＝1时，函数f （x ）取最小值5， 故函数f （x ）＝2cos 2x +3sin x +2，x ∈[，]的值域为[5，]，故答案为：[5，]【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．【变式2-2】（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin xy x-=+的值域为 ．【分析】先换元t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【答案】解：令t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]， 所以：，∵﹣1≤t ≤1， ∴2≤t +3≤4， ∴， ∴， ∴， 函数的值域为． 故答案为：．【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．【变式2-3】（2019秋•西城区期末）已知函数()sin()6f x x π=+，其中[3x π∈-，]a ．当2a π=时，()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是1[2-，1]，则a 的取值范围是 ．【分析】当a ＝时，由x ∈[﹣，]利用正弦函数的定义域和值域可得f （x ）的值域．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可得≤a +≤，由此解得a 的取值范围． 【答案】解：当a ＝时，由x ∈[﹣，]可得﹣≤x +≤，∴﹣≤sin （x +）≤1，∴f （x ）的值域是[﹣，1]． 若f （x ）的值域是[﹣，1]，则≤a +≤，解得≤a +≤π，即a 的取值范围是[，π]，故答案为[﹣，1]、[，π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 【考点3 正、余弦函数作图】【例3】（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04f x x πωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．（Ⅰ）求3()4f π； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π-，]2π上的图象．【分析】（1）根据T ＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可． 【答案】解：（1）依题意得，T ＝＝π，解得ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x ﹣），所以 f （π）＝sin （2×﹣）＝sin （π+）＝﹣sin＝﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．【变式3-1】画出下列函数的简图：π；（1）1sinx∈，2]=-，[0y xπ．（2）3cos1x∈，2]y x=+，[0【分析】根据五点做出函数的简图，即可得到结论．【答案】解：（1）列表如下：画出图形，如图：（2）列表为函数图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及图象之间的关系，属于基本知识的考查．【变式3-2】画出下列函数的图象．π（1）13cosy x=+，[0x∈，2]π．（2）2sin1x∈，2]=-，[0y x【分析】（1）用五点法作出函数y＝1+3cos x在一个周期上的简图．（2）用五点法作出函数y＝2sin x﹣1在一个周期上的简图．【答案】解：（1）列表：如图：（2）列表：如图：【点睛】本题主要考查用五点法作函数 y ＝A sin （ωx +φ）的图象、y ＝A cos （ωx +φ）的图象，属于基础题．【变式3-3】用多种方法在同一坐标系中画出下列函数． （1）sin y x =，[0x ∈，2]π （2）sin 1y x =+，[0x ∈，2]π （3）cos y x =，[2x π∈-，]2π （4）cos y x =-，[2x π∈-，3]2π． 【分析】利用五点作图法和图象的平移即可得到各个函数的图象． 【答案】解：同一坐标系中各个函数的图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考察作图能力，属于基础题． 【考点4 正、余弦函数的最小正周期】 【例4】求下列函数的最小正周期． （1）sin(3)2y x π=+；（2）|cos |y x =【分析】（1）由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，可得结论． （2）由条件根据函数y ＝|A cos （ωx +φ）|的周期为•，可得结论． 【答案】解：（1）y ＝sin （x +3）的最小正周期为＝4，（2）y ＝|cos x |的最小正周期为•＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，函数y ＝|A cos（ωx +φ）|的周期为•，属于基础题．【变式4-1】求下列函数的最小正周期 （1）cos2y x =； （2）sin 2xy =；（3）1sin y x =+．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解． 【答案】解：（1）∵y ＝cos2x ，∴最小正周期T ＝＝π；（2）∵y ＝sin ，∴最小正周期T ＝＝4π；（3）∵y ＝1+sin x ，∴最小正周期T ＝＝2π；【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 【变式4-2】求下列函数的最小正周期（1）2sin()32xy π=-（2）1cos(2)36y x π=-（3）|sin |y x =【分析】分析：（1）利用了y ＝A sin （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（2）利用了y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（3）根据y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，得出结论．【答案】解：（1）∵y ＝2sin （﹣）＝﹣2sin （），∴T ＝＝4π；（2）∵y ＝cos （2x ﹣），∴T ＝＝π；（3）根据y ＝|sin x |的周期等于y ＝sin x 的周期的一半，故y ＝|sin x |的周期为×2π＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y ＝A sin （ωx +φ ）、y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，属于基础题．【变式4-3】求下列函数的最小正周期． （1）1cos(2)33y x π=-；（2）cos ||y x =．【分析】（1）由条件利用y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．（2）根据y ＝cos|x |＝cos x ，而且y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．【答案】解：（1）y ＝cos （2x ﹣）的最小正周期为＝π，（2）y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期为＝2π．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，属于基础题．【考点5 正、余弦函数的奇偶性】 【例5】判断下列函数的奇偶性： （1）cos2y x =，x R ∈； （2）cos(2)2y x π=-；（3）2sin()3y x π=+；（4）cos()4y x π=-．【分析】分别化简函数后根据正弦函数、余弦函数的图象和性质逐一判断即可． 【答案】解：（1）由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos2x ，x ∈R 为偶函数； （2）∵y ＝cos （2x ﹣）＝sin2x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝sin2x ，为奇函数；（3）∵y ＝sin （x +π）＝﹣sin x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝﹣sin x ，为奇函数； （4）∵y ＝cos （x ﹣），且f （﹣x ）＝cos （﹣x ﹣）＝cos （x +），∴由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos （x ﹣），为非奇函数，非偶函数．【点睛】本题主要考察了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 【变式5-1】判断下列函数的奇偶性 （1）()sin()f x x x π=+； （2）1cos ()sin xf x x-=． 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． （2）利用半角公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝x sin （π+x ）＝﹣x sin x ，它的定义域为R ， 且满足f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故该函数为偶函数． （2）对于函数 f （x ）＝＝tan ，它的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝tan （﹣）＝﹣tan ＝﹣f （x ）， 故该函数为奇函数．【点睛】本题主要考查三角公式，三角函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【变式5-2】判断下列函数的奇偶性：（1）()2f x x ； （2）33()sin()42x f x π=+；（3）()f x =．【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f （﹣x ），与f （x ）比较即可判断其偶性．【答案】解：（1）定义域为R ，f （﹣x ）＝sin （﹣2x ）＝﹣sin2x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数； （2）f （x ）＝sin （+）＝﹣cos，定义域为R ，f （﹣x ）＝﹣cos （﹣）＝﹣cos＝f （x ）， 则f （x ）为偶函数；（3）由1﹣cos x ≥0且cos x ﹣1≥0，则cos x ＝1， 解得，x ＝2k π，k ∈Z ，则定义域关于原点对称，由于f （x ）＝0，则f （﹣x ）＝f （x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则f （x ）既是奇函数，也是偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题． 【变式5-3】判断下列函数的奇偶性． （1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x--=++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．【分析】（1）容易判断f （x ）的定义域包含x ＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f （x ）为非奇非偶函数；（2）容易得出f （﹣x ）＝f （x ），从而得出f （x ）为偶函数． 【答案】解：（1）∵；∴时，f （x ）有意义，时，f （x ）没意义；∴f （x ）的定义域关于原点不对称； ∴f （x ）为非奇非偶函数；（2）f （﹣x ）＝sin 4（﹣x ）﹣cos 4（﹣x ）+cos （﹣2x ）＝sin 4x ﹣cos 4x +cos2x ＝f （x ）； 即f （﹣x ）＝f （x ）； ∴f （x ）为偶函数．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点． 【考点6 正、余弦函数的对称轴及对称中心】【例6】（2019春•资阳区校级月考）求函数12sin()26y x π=-的对称轴和对称中心．【分析】由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y ＝2sin （x ﹣）的对称轴和对称中心． 【答案】解：对于函数y ＝2sin （x ﹣），令x ﹣＝k π+，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称轴方程为 x ＝2k π+，k ∈z ．令x ﹣＝k π，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称中心为 （2k π+，0）k ∈z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题． 【变式6-1】求2cos(2)6y x π=-单调性对称轴对称中心．【分析】对于函数y ＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得x 的范围，可得函数的增区间；令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得x 的范围，可得函数的减区间．令2x ﹣＝k π，求得x 的值，可得函数的图象的对称中心． 【答案】解：对于y ＝2cos （﹣2x ）＝2cos （2x ﹣）， 令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ． 令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得k π+≤x ≤k π+， 可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈z ． 令2x ﹣＝k π，求得x ＝+， 可得函数的图象的对称中心为（+，0）．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．【变式6-2】变式训练1：求函数的对称轴，对称中心（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123f x x π=-+．【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可． 【答案】解：（1）f （x ）＝sin （2x +π）；令2x +π＝，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z 令2x +π＝k π，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称中心（，0）．k ∈Z（2）f （x ）＝2cos （x ﹣）+1．令x ﹣＝，k ∈Z可得：x ＝2k π ∴对称中心（2k π，1）．k ∈Z令x ＝k π，k ∈Z可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题． 【变式6-3】求下列函数图象的对称轴、对称中心． （1）sin()24x y π=-；（2）2sin(2)3y x π=++．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【答案】解：对于（1）y ＝sin （﹣），令﹣＝k π+，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝2k π+，k ∈Z ．令﹣＝k π，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称中心为（2k π+，0），k ∈Z ．（2）对于y ＝2+sin （+2x ），令2x +＝k π+，求得x ＝k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝k π+，k ∈Z ．令2x +＝k π，求得x ＝k π﹣，可得函数的图象的对称中心为（k π﹣，0），k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 【考点7 正、余弦函数的单调性】【例7】（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23π为最小正周期．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3， f （x ）＝3sin （3x +）．（2）令3x +＝k π+，求得x ＝+，故函数的图象的对称轴方程为 x ＝+，k ∈Z ．令 2k π﹣≤3x +≤2k π+，求得﹣≤x ≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题． 【变式7-1】（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π=-+∈的最小值为1． （Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m 的值及取此最小值时的x 值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间． 【答案】解：（Ⅰ）函数 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+m （m ∈R ）的最小值为﹣2+m ＝1，∴m ＝3． 取取此最小值时，2sin （2x ﹣）＝﹣1，2x ﹣＝2k π﹣，求得x ＝k π﹣，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+3，它的最小正周期为＝π，令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题． 【变式7-2】（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求不等式()1f x >的解集．【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x 的范围即可；（2）由f （x ）＞1可得，则，k ∈Z ，解出x 的范围即可． 【答案】解：（1）， 由， ∴，∴f （x ）的单调递增区间为；（2）∵f （x ）＞1，∴，∴，∴，k ∈Z ， ∴，k ∈Z ，∴不等式的解集为，k ∈Z ．【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．【变式7-3】（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π=-，[,]82x ππ∈-（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．【分析】（1）x ∈[﹣，]⇒2x ﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f （x ）＝cos （2x ﹣）的单调区间；（2）利用（1）f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x 的值． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝cos （2x ﹣），x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，由﹣≤2x ﹣≤0得：﹣≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调递增区间为[﹣，]；由0≤2x ﹣≤得，≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调减区间为[，]；（2）∵f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f ＝0， f ＝， f＝cos＝﹣cos ＝﹣1，∴函数f （x ）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x ＝，最小值为﹣1，此时x ＝．【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题． 【考点8 正、余弦函数的综合应用】【例8】（2019春•延吉市校级期中）已知函数()12sin(2)3f x x π=+-．（1）求对称轴，对称中心（2）求()f x 在[,]42x ππ∈的最大值和最小值；（3）若不等式|()|2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）令2x ﹣＝可得对称轴，令2x ﹣＝k π可得对称中心；（2）由x ∈[]，可求，结合正弦函数的图象及性质可求；（3）由|f （x ）﹣m |＜2可得m ﹣2＜f （x ）＜m +2恒成立，从而有m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2可求．【答案】解：（1）令2x ﹣＝可得对称轴x ＝，k ∈z ， 令2x ﹣＝k π可得，x ＝，k ∈z 可得对称中心为（，1），k ∈z ，（2）∵f （x ）＝1+2sin （2x ﹣），∵x ∈[]，∴，∴，∴f （x ）在x ∈[]的最大值3，最小值2，（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[]上恒成立，∴m ﹣2＜f （x ）＜m +2，∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，解题 的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用．【变式8-1】已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2π，值域为[5-，1]．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π=--的最小值并求出对应x 的集合．【分析】（1）由x 的取值范围，求出2x +的取值范围，从而求出2sin （2x +）的取值范围；讨论a＞0、a ＜0时，函数f （x ）的最值问题，从而求出a 和b 的值．（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出． 【答案】解：（1）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤， ∴≤sin （2x +）≤1， ∴﹣1≤2sin （2x +）≤2，当a ＞0时，解得a ＝2，b ＝﹣7， 当a ＜0时，，解得a ＝﹣2，b ＝1，（2）当a ＝2，b ＝﹣7时，g （x ）＝﹣8sin （﹣7x ﹣）＝8sin （7x +），其最小值为﹣8，7x +＝﹣+2k π，k ∈Z ，即x ＝﹣+，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝﹣+，k ∈Z }，当a ＝﹣2，b ＝1时，g （x ）＝﹣8sin （x ﹣）＝﹣8sin （x ﹣），其最小值为﹣8，x ﹣＝+2k π，k ∈Z ，即x ＝π+2k π，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝π+2k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值． 【变式8-2】已知函数23()sin cos 2f x x a x =+-，a R ∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）对于区间[0，)2π上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）把a ＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值； （2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x 换元，则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，分离参数a ，由对勾函数的单调性求得g （t ）＝t +在t ∈（0，1]上的最小值，则答案可求．【答案】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin 2x +cos x ﹣ ＝＝．当cos x ＝时，f （x ）取最大值为；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x ，∵x ∈[0，），∴t ＝cos x ∈（0，1]．则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，即，也就是a ≤t +在t ∈（0，1]上成立，令g （t ）＝t +，由对勾函数的单调性可得在t ∈（0，1]上g （t ）的最小值为g （1）＝．∴a．即实数a 的取值范围是（﹣∞，]．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．【变式8-3】（2019春•鹤壁期末）已知函数()sin(2)3f x x π=-．（Ⅰ）当1(2x π∈-，)3π-，2(0,)6x π∈时12()()0f x f x +=，求12x x -的值； （Ⅱ）令()()3F x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++…0≤m 恒成立，求m 的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用正弦函数的诱导公式，解方程即可得到所求值；（Ⅱ）令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，转化为二次不等式恒成立问题解法，结合图象可得m 的最大值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x 1）+f （x 2）＝0， 即为sin （2x 1﹣）+sin （2x 2﹣）＝0， 即有sin （2x 1﹣）＝﹣sin （2x 2﹣）＝sin （﹣2x 2），可得2x 1﹣＝2k π+﹣2x 2，或2x 1﹣＝2k π+π﹣+2x 2，k ∈Z ，即有x 1+x 2＝k π+或x 1﹣x 2＝k π﹣，k ∈Z ， 由x 1∈（﹣，﹣），x 2∈（0，），可得x 1﹣x 2∈（﹣，﹣），可得x 1﹣x 2＝﹣； （Ⅱ）F （x ）＝f （x ）﹣3即F （x ）＝sin （2x ﹣）﹣3，令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，对任意x都有F2（x）﹣（2+m）F（x）+2+m≤0恒成立，即为t2﹣（2+m）t+2+m≤0，则16+4（2+m）+2+m≤0，4+2（2+m）+2+m≤0，即m≤﹣．且m≤﹣，．解得m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的性质，以及化简运算能力，属于中档题．。