5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
5.3应用一元一次方程
5.3应用一元一次方程—水箱变高了1、判断题①锻压前的体积等于锻压后的体积。
②在日历上任意相邻的两个数之差为1。
③“胖”的物体比“瘦”的物体体积大。
④在日历上用正方形圈住4个数的和是10。
2、用直径为4cm的圆钢铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取长度为的圆钢。
3、一块长、宽、高分别为5cm、3cm、2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱，若它的高是xcm，则可列方程。
4、要锻造一个直径20cm、高16cm的圆柱形毛坯，应截取直径16cm的圆钢cm。
5、将一个底面半径是5 cm，高为10厘米的纸盒盒改造成一个直径为20 cm的圆柱体，若体积不变高为多少厘米？6、今有三个底面为正方形且高度相等的长方体容器，如果甲、乙、丙的底面长分别为5、12、13，今将甲、乙两个容器装满水倒入丙器中，水是否会溢出？试解答说明。
7、其他题型练习①用一个正方形在某个月的日历上圈出3×3个数的和为126，则这9天中的第三天是几号？②有一个三位数，其各位数字之和为16，十位数字是个位数字与百位数字的和若把百位与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
③在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？④学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
⑤某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？⑥你能在日历中圈出一个正方形，使正方形所圈出的4个数和为78吗，如果能 那么这4天分别是几号，如果不能，请说明理由。
⑦有一些分别标有3、6、9、12……的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，小华拿到了相邻的5张卡片，这些卡片之和为150。
⑴ 小华拿到了哪5张卡片分别是什么？⑵ 你能拿到5张相邻卡片使得这些卡片上的数之和为100吗。
5.3应用一元一次方程-水箱变高了
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方 形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
长方形的周长=10米铁丝的长 问题中的等量关系： 解：（1）设长方形的宽为X米，
则它的 长为 （X+1.4） 米，
由题意得： (X+1.4 +X) ×2 =10 解得：X=1.8 长是：1.8+1.4=3.2（米）
七年级 数学 第五章 一元一次方程
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
2(a+b) 长方形的周C=_____ ____;
ab 长方形面积S=_______; abc 长方体体积V=_________.
b a c a
b
4a 正方形的周C=_______;
2 a 正方形面积S=_______; 3 a 正方体体积V=______.
等量关系：2×宽边长+长边长=35
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米， 根据题意得：2x+（x+5）=35 解得x=10 因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米） 而墙的长度只有14米，所以小王的设计是不符合实际的。 根据小赵的设计可以设宽为x米，长为（x+2）米， 根据题意，得 2x+（x+2）=35
4.
5.
解得: x= 6.25 .
检验（1.是否满足方程；2是否符合题意。）
答：水箱的高度将由原来的 4m增高为6.25m. 6. 答。
小试牛刀
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块， 浸没在半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高 多少？（不外溢）（结果用含 的代数式表示）
4 x =10 由题意得：
北师大版七年级数学《5.3应用一元一次方程——水箱变高了》
我变形了
例 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形， （1）使得长方形的长比宽多1.4m，此时长方
形的长、宽各为多少米？
解：（1）设长方形的宽为x米，则 它的长为(x+1.4) 米， 由题意得，2 ( x+1.4 +x ) =10
2 ( 2x+1.4) =10
x x+1.4
2x+1.4 =5 2x=3.6 x=1.8
北师大版七年级数学上册
第五章 一元一次方程
3.应用一元一次方程 ——水箱变高了
一切问题都可以转化为数学问 题，一切数学问题都可以转化为代 数问题，而一切代数问题又都可以 转化为方程。因此，一旦解决了方 程问题，一切问题将迎刃而解。
———[法]笛卡儿
我变瘦了
某居民楼顶有一个底面直径和高 均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行 维修改造，为减少楼顶原有储水箱的 占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m.那么在容积不变的前提 下，水箱的高度将由原来的4m变为多 少米？
答：正方形的边长为2.5m，面积比（2）中长方形多了0.16m2
（4）如果用10m的铁丝围成一个圆，此时圆形的半 径为多少米？它所围成的面积是多少？
练一练
墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右
图实线所示.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩
绳钉成一个长方形，如右图虚线所示.小颖所钉长方形
的长、宽各为多少厘米？
10
10
10
6
10
6
巩固提高
把一个正方形的一边增加4厘米，它的对边 减少11厘米，则这个正方形就变成了一个梯形. 如果这个梯形两底的长度比是4∶9，求这个梯 形的面积.
通过这节课的学习，你有哪些方面的收获？
5.3水箱变高了
周长一定的长方形，长和宽的 差值越小，长方形的面积越大.
当长和宽相等时（即为正方形 时），长方形（正方形）的面 积最大.
应用方程解决问题的一般步骤：
审 设 列 解 答
审清题意，找出等量关系 设出未知数把有关的量用含有未知 数的代数式表示 根据等量关系列出方程。 解方程
检验作答
P142 随堂练习
（3）使得该长方形的长和宽相等，即 围成一个正方形，此时正方形的边长是 多少米？围成的面积与（2）所围成的 面积相比，又有什么变化？ 解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米； 面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）
提示：变化前的体积=变化后的体积
例 用一根长10米的铁丝围成一个长方形 （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米， 此时长方形的长、宽各是多少米呢？ 等量关系： （长+宽）× 2 = 周长. 解：（1）设长方形的宽为x米，则 它的长为(x+1.4) 米， 2 ( x+1.4 +x ) =10. 解,得 x=1.8. 长为：1.8+1.4=3.2（米）; 答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(1) 正方形的周长公式 . S=a2 (2)长方形的周长公式 . S=ab (3)圆的周长公式 式 S=πr2 .
C=4a
面积公式
C=2(a+b) 面积公式
面积公 .
C=2πr
1 2 (a+b)h
(4)梯形的面积公式 S=
(5)长方体的体积公式 V=abc
(6)圆柱体的体积公式
.
.
2h V= πr
习题5.6 144页 问题解决 2 3 （必做） 数学理解 1 （选做） 全品53页（选做5，8）
5.3 应用一元一次方程-----水箱变高了
一元一次方程-----水箱变高了学习目标：1．了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系．2．通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题．学习重点：1．寻找图形问题中的等量关系，建立方程．2．根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法．学习难点：寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．学习过程一.激趣导入提出问题情境1：成语“朝三暮四”的故事.从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）请回答：猴子为什么高兴了？事实又是怎样的呢？情境2：两瓶矿泉水容量一样，一个短且宽，另一个长且窄.请大家说一说哪瓶矿泉水多？为什么？生：一样多.师：很好！同学们不仅观察的仔细，考虑问题也比较有深度.情境3：用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？生1：直径变大.生2：高度变小，底面周长变大、表面积……生3：体积不变（质量不变）.师：本节课我们将利用一元一次方程知识解决与体积变化有关的问题.二、合作探究，展示交流探究1：等体积问题某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高了多少米？分析：1.在这个问题中水箱的_______不变. ( 体积)根据题意，可以找出如下的等量关系：____________________.( 这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积．)2.设水箱的高变为x m,试填写下表：旧水箱新水箱底面半径/m 2 1．6高/m 4 x体积/ m3π×22×4 π×1．62×x3.根据等量关系，列出方程__________________________因此，水箱的高变成了_______米.这个题的解答过程如下：解：设新水箱圆柱的高为x厘米，根据题意，列出方程解得x=答：高变成了254米．练习1 有一块长、宽、高分别为4cm、3cm、cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5的圆柱，若设它的高为x cm，则可列方程为_________________.探究2：周长相等问题教师：用一根铁丝铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？学生：不变，都相等．教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试．学生：面积发生变化．例1 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为()m．根据题意，得解这个方程，得x=x+1.4=此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m．(2)此时长方形的宽为x m，则它的长为() m．根据题意，得．解这个方程，得x=．x+0.8=此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.1×2.9=6.09(m2)，而(1)中长方形的面积为3．2×1.8=5.76(m 2)．此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33(m2)．(3)设正方形的边长为x m．根据题意，．解这个方程，得x=正方形的边长为2.5m，正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2)，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16(m2)．教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度10米．由此便可建立“等量关系”．但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到最大．例2：一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？教师：这个题目中两人的设计中不变的量是什么？下面通过计算，．你认为谁的设计符合实际？解：根据小王的设计可以设宽为x米，长为()米，根据题意，解这个方程得：x=因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米)而墙的长度只有14米，小王的设计是不符合实际的．小赵的设计可以设宽为x米，长为(x+2)米，根据题意，得，2x+(x+2)=35 ，解这个方程得：x=11因此小赵的设计的长为x+2=11+2=13(米)．而墙的长度是14米，显然小赵的设计符合要求．此时，鸡场的面积为11×13=143(米2)．三、训练反馈，应用提升1、墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少？教师：用实物演示图形的变化过程．引导学生思考：⑴问题中的已知量和未知量？⑵在图形的变化过程中哪些量在改变？哪些量没有变？解：四、课堂小结: 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？1．通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”,2.通过对用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键．3．解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性．五、达标检测，反馈矫正1、用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形。
5.3 应用一元一次方程-水箱变高了(分层练习)(解析版)
第五章 一元一次方程5.3 应用一元一次方程--水箱变高了精选练习一、单选题1．（2021·黑龙江·绥棱县教师进修学校期末）三角形三边比是3:4:5，周长是72，那么，最长边是（ ）A ．30B ．24C ．18D ．122．（2023·福建·泉州五中三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注： 明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（ ）A ．7x - 4 = 9x +8B．7x +4 = 9x -8C ．4879x x +-=D ．4879x x -+=【答案】B【分析】直接根据题中等量关系列方程即可．【详解】解：根据题意，7x +4 = 9x －8，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．3．（2022·全国·七年级课时练习）在一个底面直径为6cm ，高为9cm 的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为5cm ，向瓶中放入一块长、宽、高分别为2cm ，2cm ，4cm 的长方体铁块，则此时水柱的高为（ ）（p 取3）A ．559cmB ．14527cmC ．539cmD ．15127cm4．（2022·四川·三台博强蜀东外国语学校七年级阶段练习）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为210cm ，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）3cm ．A ．80B ．70C ．60D ．50【答案】C 【分析】据“空余容积+水的体积=瓶子的容积”和圆柱的体积公式作答．【详解】解：由左图知，水体积为40 cm 3，在左图中用v 表示瓶子的体积，空余容积为（v-40）cm 3；由右图知空余容积为()751020-´= cm 3，由左右两图得到的空余容积应相等得方程：v-40=20．v=40+20=60故选择：C ．【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法，关键是分析图形信息找等量关系．5．（2021·湖南·宁远县启慧学校七年级阶段练习）甲乙两桶共有48千克水，如果甲桶给乙桶加乙桶水的一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，那么两桶水的质量相等，问原来甲、乙两桶内各有多少千克水？若设原来乙桶内水的质量为x 千克，则可列方程为（ ）A ．()()()24848x x x x x x --=+---B ．()()()2[48248[]48]x x x x x --=----C ．()()()2484848x x x x x x --=+----D ．()()()()484848x x x x x x x x --++=+----【答案】A【分析】利用列表法，逐渐分析计算判断即可.【详解】根据题意，列表得：根据题意，得()()()24848x x x x x x --=+---，故选A.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练运用列表法分析变化规律，寻找等量关系是解题的关键.6．（2021·陕西·无七年级期末）为了保护生态环境，某山区县将该县某地一部分耕地改为林地，改变后林地和耕地面积共有180平方千米，其中耕地面积是林地面积的25%，若设耕地面积为x 平方千米，则根据题意，列出方程正确的是（ ）A ．18025%x x-=B ．()25%180x x =-C ．180225%x +=D ．180225%x -=【答案】B【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：林地面积+耕地面积=180km 2，耕地面积是林地面积的25%，若设耕地面积为x 平方千米，则林地面积为(180-x)平方千米，再由耕地面积是林地面积的25%，列方程即可．【详解】解：设耕地面积为xkm 2，则林地面积应该表示为()180x -平方千米，依题意得，()25%180x x =-故选：B【点睛】此类题目的解决需仔细分析题意，找准关键描述语：林地面积和耕地面积共有180km 2，耕地面积是林地面积的25%．进而利用方程即可解决问题．二、填空题7．（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x 和2.5，则x 的值为_______．【答案】4【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，列方程求解即可．【详解】解：由题意得：25 2.5x ´=，解得：4x =，故答案为：4．【点睛】本题考查比例的基本性质：内项之积等于外项之积．8．（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g ）和小瓶装（250g ）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．【答案】20000【分析】设每份为x 瓶，则大瓶销售了2x 瓶，小瓶销售了5x 瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．【详解】解：设每份为x 瓶，则大瓶销售了2x 瓶，小瓶销售了5x 瓶，根据题意得：2x ×500+5x ×250=22500000，解得x =10000，所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，故答案是：20000．【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．9．（2022·全国·七年级课时练习）将一根底面积为28.26平方厘米，高为10厘米的圆柱形铁块锻压成底面积为78.5平方厘米的“胖”铁块，此时的高为____________.【答案】3.6厘米.【分析】设“胖”铁块的高为x 厘米，根据锻造前的体积=锻造后的体积列方程求解即可.【详解】设“胖”铁块的高为x 厘米，由题意得78.5x=28.26×10,解之得x=3.6.故答案为3.6厘米.【点睛】本题考查了几何图形中一元一次方程的应用，根据“锻造前的体积=锻造后的体积”得到等量关系是解决本题的关键．10．（2022·全国·七年级课时练习）如图，一个尺寸为3604(´´单位：)dm 密封的铁箱中，有3dm 高的液体．当此铁箱竖起来(以34´为底面)时，箱中液体的高度是________dm ．【答案】45．【分析】设当此铁箱竖起来(以34´为底面)时，箱中液体的高度是x dm ，根据等积法列方程求解即得．【详解】设当此铁箱竖起来(以34´为底面)时，箱中液体的高度是x dm由题意得：3603=43x´´´´解得：45x =答：当此铁箱竖起来(以34´为底面)时，箱中液体的高度是45dm故答案为：45．【点睛】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是熟知前后液体体积不变．三、解答题11．（2021·全国·七年级课时练习）第一块试验田的面积比第二块试验田的3倍还多2100m ，这两块试验田共22900m ，两块试验田的面积分别是多少？【答案】第一块试验田面积为22200m ，第二块试验田面积为2700m ．【分析】首先设第二块实验田面积是2m x ，则第一块实验田的面积23100m x +，再根据两块实验田面积总和是22900m ，列出方程即可．【详解】解：设第二块实验田面积是2m x ，由题意得：31002900x x ++=，解得：2700m x =，第一块实验田的面积：237001002200m ´+=．答：两块试验田的面积分别是2700m ，22200m ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．12．（2022·全国·七年级专题练习）墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm ）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？【答案】长为16cm ，宽为10cm ．【分析】设长方形的长为cm x ，由梯形与长方形的周长相等列方程可得2(10)10462x +=´+´，再解方程可得答案.【详解】解：设长方形的长为cm x ，根据题意，得2(10)10462x +=´+´．25220,x \=-解得：16,x =所以长方形的长为16cm ，宽为10cm ．一、填空题1．（2022·全国·七年级专题练习）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．【答案】20000【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程，得500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，解得x=100002x=20000∴大瓶有20000瓶．故答案为：20000【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．2．（2022·全国·七年级课时练习）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：4，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是___厘米．3．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期末）如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与204个面积相等的小正方形.若灰色长方形的长与宽之比为7：3，试求AD：AB的值．【答案】9：4【分析】可设灰色长方形的长上摆7x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，因为将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与204个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，从而可求解．【详解】解：设灰色长方形的长上摆7x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，根据“长方形ABCD分割成1个灰色长方形与204个面积相等的小正方形”可知：2(7x+3x)=204-4，解得：x=10，则灰色长方形的长上摆了70个小正方形，宽上摆了30个小正方形，∴AD=72个小正方形的边长，AB=32个小正方形的边长，∴AD：AB=72：32=9：4．【点睛】此题考查理解题意能力及一元一次方程的应用，关键是看到灰色长方形的周长和204个小正方形的关系从而求解．4．（2022·全国·七年级专题练习）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醐洒酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设清酒x 斗，那么可列方程为_________．【答案】()103530x x +-=【分析】设清酒x 斗，则醐洒酒为（5-x ）斗，一斗清酒价值10斗谷子，x 斗清酒价值10x 斗谷子；一斗醐洒酒价值3斗谷子，（5-x ）斗醐洒酒价值3（5-x ）斗谷子．存在“换x 斗清酒和（5-x ）斗醐洒酒共用30斗谷子”的等量关系，根据等量关系可列方程．【详解】解：设清酒x 斗，则醐洒酒为（5-x ）斗．()103530x x +-=．故答案为：()103530x x +-=．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．5．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A 、B 、C 三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A 、B 、C 三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的16种植C 经济作物，则C 的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的38，且A 、B 、C 三种经济作物的总产值提高了13，则该村还需种植A 、B 两种经济作物的面积之比是__________．二、解答题6．（2022·全国·七年级）一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b．又知另一长方体形容器的长为b，宽为a，若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），水面的高度是多少？7．（2022·全国·七年级课时练习）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．（1）使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？8．（2022·全国·七年级专题练习）有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略不计），容器内水的高度为10cm．（1）如图1，容器内水的体积为______3cm（结果保留p）．（2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹没于水中），求水面上升的高度是多少？（3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？。
5.3 一元一次方程的应用——水箱变高了
5.3 一元一次方程的应用——水箱变高了知识回顾】1、边长分别为a 、b 的长方形的周长是_________，面积是_______________．2、边长为a 的正方形周长是_______________， 面积是_______________．3、半径为r 的 圆的周长是_______________， 面积是_______________．4、底面半径为r ，高为h 圆柱的体积（容积）是______________．探究新知】探究活动1：（形变，体积不变问题）例1 某居民楼顶有一个底面直径和高均为6m 的圆柱形储水箱。
现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由6m 减少为4m 。
那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的6m 变为多少米？在这个问题中的等量关系是： =解：设水箱的高度变为x m （请完成下面的表格来帮助分析）.根据等量关系，列出方程：解得x =因此，水箱的高度变成了 m 。
答：探究活动2（形变，周长不变问题）例2用一根长10m 的铁丝围成一个长方形.（1）使得长方形的长比宽多1.4m ，此时长方形的长、 宽各为多少米？面积为多少？ 解：设此时长方形的宽为 m ，则 根据题意，得 解这个方程，得 此时长方形的长为 ，宽为 ，面积为（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？解：它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？设此时长方形的宽为，则根据题意，得解这个方程，得此时长方形的长为，宽为，面积为此时长方形的面积比（1）中面积 m².（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？解：设根据题意，得解这个方程，得此时正方形的长为，面积为的面积比（2）中面积 m².课堂反馈】1.如图所示，将一个底面直径为10cm，高为36cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱.假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？2.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如右图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米?课堂小结】列一元一次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、验、答” ．（1）“审”是指读懂题目,弄清题意,明确题目中的已知量,未知量,以及它们之间的关系,审题时也可以利用图示法,列表法来帮助理解题意；（2）“设”是指设元,也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)；（3）“列”就是列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程；（4）“解”就是解方程,求出未知数的值；（5）“验”就是验解,即检验方程的解能否保证实际问题有意义；（6）答”就是写出答案(包括单位名称)．。
53应用一元一次方程——水箱变高了
53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。
我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。
假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。
根据题意，水箱的体积变大了。
即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。
由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。
这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。
现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。
根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。
这说明增加的高度必须大于0。
这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。
例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。
那么现在的高
度就变成了2+1=3米。
通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。
总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。
在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。
当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。
但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。
我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。
希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。
5.3 应用一元一次方程水箱变高了
知1－练
2一个长方形的周长是40来自cm，若将长减少8 cm， 宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正
方形的边长为( B )
A．6 cm C．8 cm B．7 cm D．9 cm
3 一个三角形的三条边的长度之比为2:4:5，最 长的边比最短的边长6 cm，求该三角形的周
长．
该三角形的周长为22
知2－讲
第五章 一元一次方程
5.3
应用一元一次方程——水箱变高了
复
习
回
顾
列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？
知2－导
知识点
1
等积变形
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆 柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有 储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减
少为3.2 m.那么在容积不
变的前提下， 水箱的高 度将由原先的4 m变为多 少米？
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+1.6）米， 根据题意，得 x+x+1.6=20÷2 2x=8.4 x=4.2 长方形的长4.2+1.6＝5.8
x+1.6
x
S=5.8×4.2＝24.36米 此时长方形的长为5.8米，宽为4.2米， 2， （1）中的长方形围成的面积：6.2×3.8＝23.56米2
底面积×高 4、圆柱的体积= ____________.
知1－讲
1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变 化前后的物体的周长不变． 2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关 键是根据周长这一固定值列方程求解．
知1－练
1 一个长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，
那么这个长方形的长与宽分别是( B A．9 cm，7 cm B．5 cm，3 cm C．7 cm，5 cm D．10 cm，6 cm )
5.3应用一元一次方程—水箱变高了讲解
解：设正方形的边长为x米.
由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米； 面积为：2.5×2.5=6.25(平方 米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平 方米）.
自学检测二（5分钟）
完成课本144页“习题5.6”第2题
当堂训练（10分钟）
完成课本144页“习题5.6”第1、3题
r
圆周长l =_2__r__ r
圆柱体体积
面积S=____r_2__
h
V=___r__2_h___.
自学指导一（5分钟） 自学书本 P141，并把表格填好；
底面半径 高
容积
旧水箱 新水箱
2
1.6
4
x
π×22 ×4 π×（1.6）2 X
根据等量关系，列出方程：
π×22 ×4 = π×（1.6）2 X
解：设锻压后圆柱高为 x 厘米，填写下表：
锻压前
锻压后
底面半径
高
体积
x x
自学指导二（10分钟）
自学课本141页例题，试着把问题解决。
例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长 方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
等量关系：（长+宽）× 2 = 周长.
自学检测一（10分钟） 1、书本 P184 随堂练习
解：由题意彩绳的总长为52 CM 设所钉长方形的宽为x CM， 则2（10+x）=52
10+x=26 x=16
答：所钉长方形的长为10厘米，宽为16厘米。
2、张师傅要将一个底面直径为20厘米，高 为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径 为10厘米 的“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻 压过程中，圆柱体积保持不变，那么圆柱的 高变成了多少？锻压前的体积=锻压后的体积
应用一元一次方程——水箱变高了
5.3应用一元一次方程——水箱变高了制作人：王目桥审核人：【学习目标】（1）通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。
（2）体会运用方程解决问题的关键是找出等量关系，以及认识方程模型的重要性。
（3）通过对“变量中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力。
【重点、难点】重点：“形积”之间的变化问题。
难点：找出“变量中的不变量”，建立等量关系。
【学习过程】一、课前预习1、解一元一次方程的一般步骤有哪些？2、相关公示：长方体体积= ××正方体体积=圆柱体体积= 圆锥体体积=长方形周长= 三角形面积=长方形面积= 梯形的面积=圆的周长= 圆的面积=二、新课探究听老师讲故事：阿基米德洗澡的故事，听完后，让学生思考：在这一过程中，哪些是变量？哪些是不变量？引出课题：提问：“水箱变高了”指的是什么？在这一情景中哪些是变量？哪些是不变量？（二人一组交流）三、典例分析：例1：（思考与交流）：如图将一个底面直径为20cm，高为10cm的圆柱，锻造成一个直径为10cm 的“高”圆柱，它的高变成了多少？请回答：（1）在锻造圆柱的过程中，哪些是变量？哪些是不变量？（2）相等关系为： ，即： 。
（3）设未知数： 。
（4）所列方程为： 。
（请同学们独自求出此方程的解）总结：等体积变形：即物体的 或 发生变化，但变化前后的 不变，利用 这一等量关系，可列方程解决等积变形问题。
变式训练：有一个底面直径为10m 的圆柱形储油器，油中浸有一个钢球，其直径为2m ，若从油中捞出钢球，问液面将下降多少米？例2：（思考与交流）用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？请回答：（1）在这一过程中，变量是 ，不变量是 。
（2）相等关系是： 。
锻压（3）设未知数：。
（4）列出方程为：。
总结1：等长变形：即用物体围成不同的图形，图形的、发生了变化，但不变，利用不变列出方程。
应用一元一次方程_水箱变高了
长是：1.8+1.4=3.2 面积： 3.2 × 1.8=5.76 此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76米2.
做一做
1、用这10米长铁丝围成一个长方形。 （1）使长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一 次所围成的长方形相比，面积有什么变化？
积随着长与宽的变化而变化，当 长与宽相等时，面积最大。
你学会了什么？
应用方程解决问题的一般步骤：
审 审清题意 设 把有关的量用含有未知数的代数式表示 列 根据等量关系列出方程。 解 解方程 答 检验作答
谢谢！
X
X+0.8
解：（1）设长方形的宽为x米，则 它的长为（x+0.8）米。 根据题意，得：
(X+0.8 +X) ×2 =10
x=2.1 长为：2.1+0.8=2.9 面积：2.9 ×2.1=6.09 答:该长方形的长为2.9米,面积为6.09米2
（2）若使长方形的长和宽相等，即围成一 个正方形，此时正方形的边长是多少米？ 围成的面积与前两次围成的面积相比，又 有什么变化？
棚的长和宽各是多少呢？
墙面
x X+4
铁丝
思考（讨论）试一试
若小明用10米铁丝在墙边围成一
个长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在 宽的一边有一扇1米宽的门，那么，请 问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少 呢？
墙
门 铁丝
本节课收获 1、锻压前体积 = 锻压后体积
锻压前重量 = 锻压后重量 2、长方形周长不变时，长方形的面
想 一 想 什么发生了变化？
什么没有发生变化？
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
(x+x+4)×2=10
解得 x=0.5 ，所以x+4=4.5.
答：鸡棚的长为4.5米，宽为0.5米.
1.列方程的关键是正确找出等量关系. 2.日历中每一竖列数字之间的规律：每一竖列相邻两个数 字之间相差7. 3.日历中每一横行数字之间的规律：每一横行相邻两个数 字之间相差1. 4.锻压前体积 = 锻压后体积 5.水面增高体积=长方体体积 6.水面增高体积=不规则物体的体积
世俗的评判标准，未必真的能评价一个人
的真正质量.只有我们的内心能做出准确的
回答.
3 应用一元一次方 程——水箱变高了
1.经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概
括、分析问题和解决问题的能力.
2.能应用一元一次方程解决日历中的数字问题. 3.能应用一元一次方程解决同积变形问题.
我在日历上圈出一个竖列上相邻的三个日期，然后你 们把它们的和告诉我，我就能马上知道这三天分别是几 号？
学以致用： 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的 装饰物，小影将梯形下底的钉子去掉， 并将这条彩绳钉成一个长方形，那么， 小影所钉长方形的长和宽各为多少厘米？ 10 6 温馨提示： 等量关系：彩绳的长度不变. 10 10 6 10
1.下表为某月的日历.（1）在此日历上用一个矩形任意圈
出如图所示的6个数，如果圈出的6个数之和为51，这6天
解得
x9 .
答：高变成了9 cm.
【跟踪训练】
1.把一块长、宽、高分别为5cm,3cm,3cm的长方体木块，
浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将 增高多少？（不外溢）
温馨提示： 等量关系：水面增高体积=长方体体积
2.小明要用一根长10米的铁丝围成一个长方形，开始他想 使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为 多少米？面积呢？
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了1. 分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题.2. 通过具体问题的解决体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系.自学指导看书学习第141、142页的内容，思考下列问题.1. 前面学习的解一元一次方程的步骤有哪几步？2. 解决“水箱变高了”问题应注意什么？知识探究1. 解一元一次方程的一般步骤为：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.2. 解决“水箱变高了”的关键是找出当形状、体积或面积发生变化时存在的等量关系进而列方程求解.一般常见的有以下几种情况：（1）形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等.（2）形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等.（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.自学反馈1.用5.2cm 长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6cm,求围成的长方形的长和宽各是多少米？ 设宽为x m,可得方程 2（x+x+0.6）=5.2 ；设长为x m,可得方程 2（x+x-0.6）=5.2 .2.一个圆柱体，半径增加到原来的3倍，而高度变成原来的31，则变化后的圆柱体积是原来圆柱体体积的（ C ）A.6倍B.2倍C.3倍D.9活动1：小组讨论1.用一根铁丝围成一个4dm 、宽2dm 的长方形，然后再将这个长方形改成正方形，则下列说法错误．．的是（ D ） A.铁丝的长度没变B.正方形的面积比长方形多1dm 2C.图形的形状发生了变化D.长方形和正方形的面积相等2.将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：根据等量关系，列出方程: π∙52∙36= π∙102∙ x解得x= 9因此，“矮胖”形圆柱，高变成了 9 m.活动2：活学活用1.一个长方形的周长为40cm,若长减少6cm，宽增加4cm，长方形就变成了正方形，则原长方形的长为15 cm,宽为5cm.2.用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2米，求两个等长铁丝长度，并通过计算比较说明谁的面积大（π≈3）.解：设圆的半径为x米，由题意得，正方形的边长为（x+2）米，根据等量关系，列出方程: 4（x+2）=2π∙x.解得x=4.因此，圆的半径为4米，正方形的边长为6米，则圆的面积为π∙42≈48，正方形的面积为62=36，所以圆的面积比较大.“水箱变高了”问题的解题关键.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.。