第七讲 扩张原理与模糊数

f 1 : P (Y ) P ( X ), B | f 1 ( B) { x | f ( x ) B}
f : P ( X ) P (Y ), A | f ( A) { y | x A, y f ( x )}

由给定的映射f : X Y诱导出两个映射，称为经典 扩张原理.
6
模糊扩张原理

定义: 设U,V为经典集合,给定U到V的映射 f : U V，v | f(u) 可诱导出两个映射:一个是F(U)到F(V)的映射,记为f ; 另 一个是F(V)到F(U)的映射,记为f 1,分别定义为:
f : F (U ) F (V ), A | f ( A), A( u) f 1 (v ) f ( A)(v ) f ( u ) v A( u) 0 f 1 (v ) v f ( u )) f 1 : F (V ) F (U ), B | f 1 ( B ), f 1 ( B )( u) B(v ), v f ( u) ( 0)
(1( u1 ) 2( u2 ))
f ( A1 , A2 )(1) (1(0) 2(1)) 0.1 0.2 0.2 f ( A1 , A2 )(2)
u1 u2 2
(1( u1 ) 2( u2 )) (1(0) 2(2)) (1(1) 2(1))
第七讲 扩张原理与模糊数
2013-7-10
1
OUTLINE


一、扩张原理 二、模糊数 三、区间数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2013-7-10
2
扩张原理----经典扩张原理

定义: 设X,Y为经典集合,给定X到Y的映射 f : X Y，x | f(x) 可诱导出两个映射:一个是P(X)到P(Y)的映射,记 为f ; 另一个是P(Y)到P(X)的映射,记为f 1,分别 定义为:
1 A( x ) x f ( y) f ( A)( y ) 0
f 1 ( y ) f 1 ( y )

x f
1
A( x )
( y)
( 0)

x X , f 1 ( B )( x ) 1 x f 1 ( B ) f (x) B B( f ( x )) 1

定理: 设f :UV，AF(U),BF(V),则[0,1]有
f ( A) f ( A );

f 1 ( B ) f 1 ( B );

f 1 ( B ) f 1 ( B )
这里f(A)是(f(A))的简写.

推论: 设f :UV，AF(U),BF(V),则
f 1 ( B )(1) B( f (1)) 1 f 1 ( B )(9) B( f (9)) 0
2013-7-10 5

经典扩张原理性质:
f ( At ) f ( At );
tT tT tT tT
f ( At ) f ( At )
tT tT tT tT
f 1 ( B)( x) B( f ( x))
2013-7-10 4
例1:设X={3, 2, 1,1,2,3},Y={1,2,…,9},f:XY, x| y=x2 ,由f诱导出映射:
{1} | {1},
{2} | {4},
{3} | {9}
{1, 2} | {1, 4},{2, 3} | {4, 9},{1, 3} | {1, 9}
记A={1,3}, 则f(A)={1,9}
f ( A)(1) A( x ) A(1) A(1) 0 1 1 2
x 1
f ( A)(9) A( x ) A(3) A(3) 0 1 1 2
x 9
记B={1,9}, 则A= f 1(B)={3, 1,1,3}


f(A)称为A在f下的象, f 1 (B)称为B的原象.
7
2013-7-10
例2:设U={1,2,…,6},V={a,b,c,d}, a u 1, 2, 3 1 0.9 0.4 0.2 f ( u) b u 4, 5 , A 1 3 5 6 c u6 求B=f(A), f 1 (B) . 解: 根据扩张原理,
n 1 f ( u ,...,u ) v ( i1 Ai ( ui )) f (v ) f ( A1 , ..., An )(v ) 1 n 0 f 1 ( v ) 定理: 设f :UV，AiF(Ui),i=1,…,n, [0,1],

1 f ( A)( y ) A( x ) A( x1 ) A( x2 ) A( x2 ) ( arcsin( y 1)) f ( x ) y 2 1 arcsin( y 1) 1 y 1 sin 6 2 3 ( arcsin( y 1)) 1 sin 6 y 1 sin 2 f ( A)( y ) 1 ( arcsin( y 1) 1 sin 2 y 2 2 0 otherwise . 2013-7-10
f 1 ( Bt ) f 1 ( Bt ); f 1 ( Bt ) f 1 ( Bt )
f ( f ( A)) A f是单一映射时等号成立 f ( f 1 ( B)) B f是满映射时等号成立
f 1 ( BC )) [ f 1 ( B)]C
1
2013-7-10
11

扩张原理可以从模糊变换推得．事实上，扩张原理是 一个模糊变换，这个变换就是由映射f : U V确定的 普通关系f(u,v)=1 if v=f(u) & f(u,v)=0 if vf(u) 导出的。 具体做法如下： 由于f是模糊变换，

f ( A)(v) A f (v) ( A(u) f (u, v))
f ( A)(a ) A( x ) A(1) A(2) A(3) 1 0 0.9 1
f ( u ) a
f ( A)(b) A( x ) A(4) A(5) 0 0.4 0.4
f ( u ) b
f ( A)(c ) A( x ) A(6) 0.2, f ( A)(d ) 0
f ( x ) y
1 arcsin( y 1) 2

当1sin6y<1+sin2时
f ( x ) y
f ( A)( y ) A( x ) A( x1 ) A( x2 ) A( x2 ) 3 ( arcsin( y 1))

当1+sin2y 2时
x2 arcsin( y 1) ( , 3] 2
f ( y ) A( x ) A( x1 ) A( x2 )
f ( x ) y
2013-7-10
10

当1y<1sin6时
f ( A)( y ) A( x ) A( x1 ) A( x2 ) A( x1 )
0.1 0.9 0.1 0.2 0.8 0.2 A 1 1 ; 2 A2 0 1 2 1 2 3 根据扩张原理,则
f ( A1 , A2 )( u)
u1 u2 u 0 1 1

( A( u1 ) A( u2 ))
u1 u2 u
(0.1 0.8) (0.9 0.2) 0.2 ... f ( A1 , A2 )(3) 0.8, f ( A1 , A2 )(4) 0.2, f ( A1 , A2 )(5) 0.1 2 0.1 0.2 0.8 0.2 0.1 1 1 2 3 4 5
2013-7-10 15
凸模糊集合

所谓集合A是凸的，是指对于A中任意两点x,y, 以及[0,1]的任意实数，连接x,y的线段上的点 z= x+(1- )y都包含于A中.
x x z
y y 凸集 非凸集
z
2013-7-10
16

定义: 设R是实数集,A是R上的模糊集合,若对于 R上任意的x1, x2, x3,且x1>x2>x3,都有 A(x2) A(x1) A(x3)
f ( u ) c

2013-7-10
1 0.4 0.2 B f ( A) a b c
8
类似地
f 1 ( B )(1) B( f (1)) B(a ) 1 f 1 ( B )(2) B( f (2)) B(a ) 1 f 1 ( B )(3) B( f (3)) B(a ) 1 f 1 ( B )(4) B( f (4)) B(b) 0.4 f 1 ( B )(5) B( f (5)) B(b) 0.4 f 1 ( B )(6) B( f (6)) B(c ) 0.2 1 1 1 0.4 0.4 0.2 f ( B) 1 2 3 4 5 6
1
2013-7-10
9
例3:设X,Y为实数域, 映射f(x)=1+sinx,
x 0 x 2 A( x ) 2 3 x 2 x 3
求f(A) .
解: 函数y=f(x)在[0,3]上对应 两个x的值,即

x1 arcsin( y 1) (0, ]; 2
A(x)
A(x)
x1 x2 x3 凸模糊集
x1 x2 x3 非凸模糊集
17
2013-7-10


定理1 A是凸模糊集,当且仅当[0,1],截集A是凸集.
证 设A是凸模糊集,[0,1],若x1, x2A,即A(x1), A(x2),不妨设x1<x2, 则对任意x3 [x1,x2]有 A(x3) A(x1) A(x2) 即x3A, A是凸集.
3
2013-7-10

使用特征函数来表示集合f(A)和f 1(B),有:
y Y , f ( A)( y ) 1 y f ( A) x A, y f ( x ) x X , A( x ) 1, y f ( x ) { A( x ) | x f 1 ( y )} 1
uU
( A(u) 1) A(u)
f ( u ) v f ( u ) v
f 1 ( B)(u) B f 1 (u) ( B(v) f 1 (v, u))
vV
( B(v) 1) B(v)
f ( u ) v f ( u ) v
2013-7-10 12
f ( A)


[0,1)
f ( A );

f 1 ( B ) f 1 ( B )
2013-7-10

[0,1)
f 1 ( B );

[0,1]
f 1 ( B )
13
多元扩张原理

定义: 设U1,…, Un, V为经典集合,给定映射 f : U1… Un V，v | f(u1,…, un) 可诱导出F(U1)… F(Un)到F(V)的映射,隶属函数为:
f(A1,… ,An) = f((A1),… ,(An)) 的充要条件是vV, (u1,… ,un)f 1(v),且
f ( A1 ... An )(v ) Ai (ui )
i 1
2013-7-10 14
n
例1:设U={0,1,2,…,n}, f : UUU ,u=f(u1,u2)=u1+u2,