误差和分析数据处理
误差分析和数据处理讲解
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理
（二）已知样本标准偏差（s） 对于有限次测定，须根据t分布进行统计处理 1. 使用单次测定值
μ = x t p,f s
2. 使用样本平均值
μ = x t p,f s x = x t p,f
t值可通过p90表4-3查得
s n
t分布的意义 真值虽然不知，但可以通过由有限次
测定值计算出一个范围，它将以一定的置
x-μ u= σ
y = Φ(u) = 1 e 2π
u2 2
标准正态分布曲线
【特点】曲线的形状与µ 和σ的大小无关。
三、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所包围的总面积，
表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上
述区间出现的概率总和为100%。
+
-
1 + Φ(u)du = e du = 1 2π -
正态分布曲线
（二）正态分布曲线的讨论
1.测定值的正态分布（x分布）
（1）x = μ时，其概率密度最大，曲线以x=μ
这一点的垂线为对称轴分布。 （2）精密度不同的两组测定值的正态分布曲 线，σ 值较小的相应的曲线陡峭，σ 值较大的曲 线较平坦。(☆)
（3）µ 和σ是正态分布的基本参数，一旦µ和
σ确定后，正态分布曲线的位置和形状就确了，这
二、正态分布
（一）正态分布曲线的数学表达式 测定次数无限增加，其测定值服从正态分布 的规律，其数学表达式为：
1 y = f(x) = e σ 2π (x-μ)2 2σ 2
σ-总体标准偏差，µ -总体平均值，在无系统 误差存在时，µ 就是真值T。y为测定次数无限时，
测定值xi出现的概率密度。 以x横坐标，y纵坐标 作图，得测定值的正态分布曲线。
误差和分析数据处理
第二节 误差及其表示方法
为了减小误差，提高分析结果的准确度，必须了解 分析过程中各种误差的来源及规律，正确设计和控 制卫生分析的测试过程，对实验数据进行正确处理， 使分析误差减小到预期水平。 一、误差（error） （一） 误差的分类、产生的原因及消除方法 误差按其性质和产生的原因，可以分为系统误差、 随机误差和过失误差。
第七章 误差和分析数据处理
第一节 概述 第二节 误差及其表示方法 第三节 数据处理 第四节 质量控制简介
第一节 概 述
一、分析数据的质量 检测数据的质量包括：（1）代表性：决定
于调查或取样的方案，采样人员的资职和技能， 样品的采集、保存与运输的技术。（2）可靠 性：决定于分析技术，它由数据的精密度和准 确度组成。（3）可比性：是指在权威性
2、随机误差（random error）
（1） 在系统误差已消除的情况下，测量结果减去在相同条 件下对同一被测物进行无限多次测量结果的平均值即为随机 误差。
随机误差遵从正态分布，具有如下特点： a. 有界性； b. 单峰性； c. 对称性； d. 抵偿性。 （2） 产生的原因 是大量随机因素造成的误差的迭加。 （3） 减小随机误差的方法 增加测量次数。
不确定度的A类评定 用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，
称为不确定度A类评定；所得到的相应标准不确定度称为A类 不确定度分量。它是用实验标准偏差来表征。 不确定度的B类评定
用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确 定度，称为不确定度B类评定；所得到的相应标准不确定度 称为B类不确定度分量。它是用实验或其他信息来估计，含 有主观鉴别的成分。 对于某一项不确定度分量究竟用A类方法评定，还是用B类方 法评定，应有测量人员根据具体情况选择。B类评定方法应 用相当广泛。
第二章 误差和分析数据处理
课堂互动 下面是三位学生练习射击后的射击靶 图，请您用精密度或准确度的概念来评 价这三位学生的射击成绩。
二、系统误差和偶然误差
误差(error)：测量值与真实值的差值
根据误差产生的原因及性质，可以将误差分为系统误 差和偶然误差。
1 系统误差 (systematic error) 又称可测误差，由某
§3 有效数字及计算规则
小问题：1与1.0和1.00相等吗? 答:在分析化学中1≠1.0≠1.00 一、有效数字(significant figure) 概念：分析工作中实际上能测量到的数字，除最后一 位为可疑数字，其余的数字都是确定的
如：分析天平称量：1.21 23 (g) 滴定管读数：23.20 (ml)
=0.17
S 0.17 RSD 100 % 100 % 1.1% 15.82 X
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
例: 两组数据
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21,
n=8 n=8 d1=0.28 d2=0.28 s1>s2 s1=0.38 s2=0.29 (2) 0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31，-0.27
(1)绝对误差 (δ) : δ= x－μ (2) 相对误差(RE): R E= δ / μ× 100%
注:
注1:两种误差都有正、负值之分。
小问题1：
买猪肉1000斤少0.5斤和买1斤少0.5斤哪个误差大?
小问题2： 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021克，另一 个是0.5432克，两个测量值的绝对误差都是0.0001 克，试通过计算相对误差来说明哪种表示法更好。
误差与分析数据的处理
误差与分析数据的处理概述在科学研究和实验中，我们常常会遇到误差。
误差是指观测值与真实值之间的差异，是由各种不确定性引起的。
正确地处理误差并分析数据是科学研究和实验的重要环节。
本文将介绍误差的分类以及分析数据时常用的方法和技巧。
误差分类根据误差的来源和性质，可以将误差分为以下几类：1.系统误差：系统误差是由于实验仪器、测量方法或操作者的偏差引起的误差。
例如，仪器的不准确性、测量方法的局限性以及操作者的技术水平都可能导致系统误差。
系统误差在实验过程中是相对固定的，可以通过校正或调整仪器、改进测量方法和提高操作技巧来减小。
2.随机误差：随机误差是由于各种无法预测和无法避免的因素引起的误差。
例如，环境条件的变化、仪器的漂移以及实验中的偶然因素都可能导致随机误差。
随机误差在实验过程中是随机出现的，并且不具有固定的方向和大小。
减小随机误差的方法包括增加样本量、重复实验以及使用统计方法对数据进行分析。
数据处理方法在分析数据时，我们常常需要采用一些方法来处理误差和提取有用的信息。
下面是一些常用的数据处理方法和技巧：1.平均值：平均值是最基本的数据处理方法之一。
通过将多个观测值相加并除以观测值的个数，可以得到平均值。
平均值可以反映数据的总体趋势，但在存在较大偏差或异常值的情况下不具有代表性。
2.方差和标准差：方差和标准差是衡量数据分散度的指标。
方差是观测值与平均值之间差异的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
较大的方差和标准差表示数据较为分散，较小的方差和标准差表示数据较为集中。
3.置信区间：置信区间是对数据的估计范围。
通过计算平均值和标准差，可以得到数据的置信区间。
较大的置信区间表示数据的估计范围较大，较小的置信区间表示数据的估计范围较小。
4.线性回归：线性回归是一种用于量化数据之间关系的方法。
通过将数据拟合到一条直线上，可以得到数据之间的线性关系和相关性。
线性回归可以帮助我们预测和预测数据。
数据分析技巧在进行数据分析时，我们还需要一些技巧和策略来处理误差和解释数据。
数据分析中常见误差和偏差的处理方法
数据分析中常见误差和偏差的处理方法数据分析是指通过收集、整理、处理和解释数据，以揭示数据中隐藏的模式、关系和趋势，从而支持决策和行动。
然而，由于数据本身的特点和数据收集过程中的不确定性，常常会出现误差和偏差，影响数据分析结果的准确性和可靠性。
本文将介绍数据分析中常见的误差和偏差，并探讨如何有效地处理它们，以确保数据分析结果的准确性。
一、抽样误差的处理方法在数据分析中，常常需要从整体数据中选取一个代表性的子集进行分析，这个过程称为抽样。
然而，由于抽样的随机性和有限性，可能导致抽样误差。
为了减小抽样误差，可以采取以下处理方法：1. 增加样本容量：增加样本容量可以减小抽样误差。
当样本容量足够大时，抽样误差趋于零。
因此，根据具体情况，可以适当增加样本容量。
2. 使用层次抽样：层次抽样是指将总体按照一定的规则划分为若干层，然后从每一层随机选取样本进行分析。
这样可以保证各个层次的代表性，减小抽样误差。
二、测量误差的处理方法测量误差是指由于测量设备或测量方法的限制而引入的误差。
为了处理测量误差，可以采取以下方法：1. 校准测量设备：经常对使用的测量设备进行校准，校准的目的是调整测量设备的偏差，提高测量的准确性。
2. 多次测量取平均值：对同一指标进行多次测量，并取平均值作为测量结果。
由于测量误差是随机的，多次测量取平均值可以减小测量误差。
三、样本选择偏差的处理方法样本选择偏差是指在样本选择过程中，样本与总体之间存在系统性差异而引入的偏差。
为了处理样本选择偏差，可以采取以下方法：1. 随机抽样：采用随机抽样的方法可以减小样本选择偏差。
随机抽样可以确保样本具有代表性，并能够反映总体的特征。
2. 控制变量法：在样本选择过程中，控制与研究对象相关的其他变量，以减小样本选择偏差。
通过控制变量，可以消除其他因素对研究结果的影响，使样本选择更加准确。
四、分析偏差的处理方法分析偏差是指在数据分析过程中，由于分析方法、模型选择或统计技术的不合理而引入的偏差。
数据处理及误差分析
数据处理及误差分析1. 引言数据处理及误差分析是科学研究和工程实践中一个至关重要的领域。
在收集和处理数据的过程中，往往会受到各种因素的干扰和误差的影响。
因此，正确地处理这些数据并进行误差分析，对于准确得出结论和进行科学决策至关重要。
2. 数据处理数据处理是指对收集到的数据进行整理、分析和解释的过程。
它包括了数据清洗、数据转换、数据提取和数据集成等步骤。
2.1 数据清洗数据清洗是指对原始数据进行筛选、剔除异常值和填充缺失值等处理。
清洗后的数据更加可靠和准确，能够更好地反映实际情况。
2.2 数据转换数据转换主要是将原始数据转化为符合分析需求的形式。
比如，将连续型数据离散化、进行数据标准化等。
2.3 数据提取数据提取是指从庞大的数据集中挑选出有意义和相关的数据进行分析。
通过合理选择变量和提取特征，可以提高数据分析的效率和准确性。
2.4 数据集成数据集成是指将来自不同数据源的数据进行整合和合并，以满足分析需求。
通过数据集成，可以获得更全面、更综合的数据集，提高分析结果的可信度。
3. 误差分析误差分析是对数据处理过程中产生的误差进行评估和分析。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
3.1 系统误差系统误差是由于数据收集和处理过程中的系统性偏差导致的。
它们可能是由于仪器精度不高、实验环境变化等原因引起的。
系统误差一般是可纠正的，但要确保误差产生的原因被消除或减小。
3.2 随机误差随机误差是由于抽样误差、观察误差等随机因素导致的。
它们是不可预测和不可消除的，只能通过多次重复实验和统计方法进行分析和控制。
4. 误差分析方法误差分析通常采用统计学和数学方法进行。
其中，常用的方法有误差传递法、误差平均法、误差椭圆法等。
4.1 误差传递法误差传递法是将各个步骤中产生的误差逐步传递，最终计算出整个数据处理过程中的总误差。
它能够帮助我们了解每个步骤对最终结果的影响程度，并找出影响结果准确性的关键因素。
4.2 误差平均法误差平均法是通过多次实验重复测量，并计算平均值来减小随机误差的影响。
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中,我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品,虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法,尽可能将误差减到最小,以提高分析结果的准确度。
1。
1 真实值、平均值与中位数（一)真实值真值是指某物理量客观存在的确定值.通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均,在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)。
(二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值,只能是近似真值，或称为最佳值.一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种:（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明:在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值;n ――观察的次数.（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中;n x x x 21、—-各次观测值；n w w w 21、—-各测量值的对应权重。
第二章 误差和分析数据的处理
第二章误差和分析数据的处理第一节误差及其产生的原因定量分析的任务是准确测定试样中各组分的含量，因此必须使分析结果具有一定的准确度。
不准确的分析结果将会导致生产上的损失、资源上的浪费和科学上的错误结论。
在定量分析中，由于受到分析方法、测量仪器、所用试剂和分析人员主观条件等方面的限制，故使测定的结果不可能和真实含量完全一致；即使是分析技术非常熟练的分析人员，用最完善的分析方法、最精密的仪器和最纯的试剂，在同一时间，同样条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不会完全一样。
这说明客观存在着难于避免的误差。
因此，人们在进行定量分析时，不仅要得到被测组分的含量，而且必须对分析结果进行评价，判断分析结果的准确性（可靠程度），检查产生误差的原因，采取减小误差的有效措施，从而不断提高分析结果的准确程度。
分析结果与真实结果之间的差值称为误差。
分析结果大于真实结果，误差为正；分析结果小于真实结果，误差为负。
一、误差的分类根据误差的性质与产生的原因，可将误差区分为系统误差和偶然误差两类。
（一）系统误差系统误差（systematic error）也叫可定误差（determination error），它是由某种确定的原因引起的，一般有固定的方向（正或负）和大小，重复测定可重复出现。
根据系统误差的来源，可区分为方法误差、仪器误差、试剂误差及操作误差等四种。
（1）方法误差：由于分析方法本身的缺陷或不够完善所引起的误差。
例如，在质量分析法中，由于沉淀的溶解或非被测组分的共沉淀；在滴定分析法中，由于滴定反应进行不完全，干扰离子的影响，测定终点和化学计量点不符合等，都会产生这种误差。
（2）仪器误差：由于所用仪器本身不够准确或未经校正所引起的误差。
例如，天平两臂不等长，砝码、滴定管刻度不够准确等，会使测定结果产生误差。
（3）试剂误差：由于试剂不纯和蒸馏水中含有杂质引入的误差。
（4）操作误差：由于操作人员的习惯与偏向而引起的误差。
例如，读取滴定管的读数时偏高或偏低，对某种颜色的变化辨别不够敏锐等所造成的误差。
分析化学实验：误差和分析数据处理
⑷ 确定 F ≥ Fα, f1, f2 存在显著差异，否则无。
2020/5/5
三、判断一组测量值是否存在
显著的系统误差 判断两组测量值之间是否存在 t 检验
显著性差异
1. 测量值的集中趋势和分散程度 ⑴ 平均值表征集中趋势∵n→∞ 时
x →μ(总体均值)
⑵ 标准偏差表征分散程度n→∞ 时
(σ—总体标准偏差) (xi )2
准确度高（消除了系统误差） 准确度低（存在系统误差）
三、误差的传递
1. 系统误差的传递：
即测量值
若真值为R则由各步测定计算值为R+δR
⑴ 若R=x+y-z
各因子绝对误差为δx、δy、δz则： R+δR ＝(x+δx)+(y+δy)(z+δz)
＝(x+y-z)+(δx+δyδz)
∴δR＝δx +δy δz
M 0
c m 前 m 后 V
c
m
V
c ％＝[ 0.2 （ 0.2） 100 .00 100 .05 ] 100
c (1062 .3 0.4)
100 .05
＝ 0.09 %
c ＝0.09％ 0.1002 mol L-1＝ 9.0 10 5 mol L-1
c＝0.1002 0.000090 ＝0.10011 0.1001 mol L-1
x＝62.44％；
d＝0.04％；
d x
＝0.06％；
S＝0.06％ 。
3. 甲、乙的偏差比较：
原因：
甲∣d最大∣
d
∧
d、x 相同，S甲＜ S乙乙∣d最大∣
2020/5/5
3. 准确度～精密度
误差和数据处理
三、有效数字的运算法则
根据误差传递规律
加减法中 按小数点后位数最少的（绝对误差传递） 0.5362 + 0.001 + 0.25 = 0.79
0.5362 0.001 0.25
绝对误差 0.0001 0.001
0.01
29
有效数字的运算法则
根据误差传递规律
乘除法中 按有效数字位数最少的（相对误差传递） 0.0121 25.64 1.0578 = 0.328
例2-5：用8－羟基喹啉测定Al含量，9次测定的标准偏差为0.042%，
平均值为10.79%。估计真值在95％和99％置信水平时应是多大？
95％置信度时：
P =0.95 a =1-P =0.05 f=9-1=8
查表 t0.05,8=2.306
代入公式 ＝x tS/n =10.79 0.032%
测量步骤的准确度应与分析方 法的准确度相当
增加平行测定的次数
（四）消除测量中的系统误差
19
提高分析结果准确度的方法
（一）选择恰当的分析方法 （二）减小测量误差 （三）减小偶然误差的影响
（四）消除测量中的系统误差
经典方法比较 校准仪器 对照实验 回收实验 空白实验
试样中组分含量
标样中组分含量
＝
试样中组分测得量
26
有效数字的修约规则
在修约标准偏差等时 修约的结果应使准确度 降低 例如:标准偏差（S）＝0.213
取两位时，修约为 0.22 取一位时，修约为 0.3
27
有效数字的修约规则
与标准限度值比较时不应修约
例如:
某标准试样中镍含量≤0.03％为合格
获得的测量值为
0.033％
修约为
分析数据时常见的误差与处理方法
分析数据时常见的误差与处理方法数据分析在现代社会中起着至关重要的作用，它帮助人们更好地理解和解释现象，从而指导决策和行动。
然而，在数据分析过程中，常常会出现各种误差，对结果的准确性和可靠性产生负面影响。
本文将从以下六个方面展开详细论述常见的数据分析误差及其处理方法。
一、采样误差采样误差是由于抽样方法不当或样本代表性不足而引起的误差。
例如，在进行社会调查时，如果采样方法不具备随机性，会导致调查结果的偏差。
处理采样误差的方法可以是增加样本的大小，提高样本的代表性以及采用更合理的抽样方法，如随机抽样或分层抽样。
二、测量误差测量误差指的是由于测量仪器的不准确性或被测对象的个体差异而导致的误差。
在进行实验研究或数据收集时，使用的测量工具和方法可能存在不确定性，从而引入测量误差。
要处理这种误差，可以提高测量仪器的精确度和可靠性，对被测对象进行多次测量并取平均值，或者通过使用标准化方法来校正测量结果。
三、数据处理误差数据处理误差是在数据输入、转换和存储过程中产生的误差。
常见的数据处理误差包括数据录入错误、数据丢失和数据转换错误等。
为了减少这种误差，可以使用自动化的数据采集和处理工具，加强对数据的质量控制，以及定期进行数据的核对和修正。
四、样本偏倚误差样本偏倚误差指的是样本在统计特征上与总体存在显著差异所引起的误差。
当样本不具备代表性时，会导致研究结果的偏离真实情况。
为了纠正样本偏倚误差，可以使用加权抽样法或启发式抽样法，以确保样本更接近总体的特征。
五、缺失数据误差缺失数据误差是由于数据的丢失或缺失引起的误差。
在进行数据分析时，常常会遇到数据缺失的情况，如果不处理好这些缺失数据，会导致结果的不准确性。
处理缺失数据误差的方法可以是使用插补法，将缺失数据进行估计和补全，或者通过合理的数据筛选和清洗来剔除缺失数据影响。
六、模型假设误差模型假设误差指的是在建模过程中所做出的假设与真实情况之间存在偏差。
在进行数据分析时，所使用的模型和方法都基于一定的假设前提，如果这些假设与真实情况不符，结果可能会产生误差。
第二章 误差及分析数据处理
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
误差及分析数据的处理
§3-1 误差及其产生的原因
分析结果与真实值之间的差值称为误差。分析结果大 于真实值，误差为正；分析结果小于真实值，误差为负。
根据误差的性质与产生的原因，可将误差分为系统误 差和偶然误差两类。
一、系统误差
❖ 系统误差也叫可测误差，它是定量分析误差的主要来源， 对测定结果的准确度有较大影响。
❖ 产生原因: 由于分析过程中某些确定的、经常的因素造成 的，对分析结果的影响比较固定。
目。这里引入（n-1）的目的，主要是为了校正 x 以代替μ
所引起的误差。很明显，当测定次数非常多时，测定次数n
与自由度（n-1）的区别就变得很小，x →μ。即
lim(xix)2 (xiu)2 （5-9）
n n1
n
此时，S→σ。
❖ 相对标准偏差: 代表单次测定标准偏差（S）对测定平均值
x 的相对值，用百分率表示：
（二）标准偏差和相对标准偏差
❖ 在分析化学的教学中，愈来愈广泛地采用数理统计方 法来处理各种测定数据。
❖ 在数理统计中，我们常把所研究对象的全体称为总体 （或母体）；自总体中随机抽出的一部分样品称为样 本（或子样）；样本中所含测量值的数目称为样本大 小（或容量）。
❖ 例如，我们对某一批煤中硫的含量进行分析，首先是按照 有关部门的规定进行取样、粉碎、缩分，最后制备成一定 数量的分析试样，这就是供分析用的总体。如果我们从中 称取10份煤样进行平行测定，得到10个测定值，则这一 组测定结果就是该试样总体的一个随机样本，样本容量为 10。
❖ 只有在消除了系统误差之后，精密度好，准确度才高。
➢准确度和精密度的关系
❖ 准确度高一定需要精密度好，但精密度好不一定准确度高。 若精密度很差，说明所测结果不可靠，虽然由于测定的次数 多可能使正负偏差相互抵消，但已失去衡量准确度的前提。
分析化学第二章误差与分析数据处理
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
第二章 误差和分析数据处理-分析化学
第二章 误差和分析数据处理
第一节 概述
xie 分 析 化 学
产生测定误差的原因：
抽样的代表性； 测定方法的可靠性； 仪器的准确性； 测定方法的复杂性；
测定者的主观性；
操作者的熟练性
xie 分 析 化 学 一、绝对误差和相对误差
第二节 测量误差
绝对误差（absolute error）
减小测量误差
取样量大于0.2g；
滴定液消耗的体积大于20ml；
紫外吸收度在0.2~0.7之间。
xie 分 析 化 学
相对误差=δw/W<1‰
W>δw/1‰=0.0002/1‰=0.2g 相对误差=δv/V<1‰ V>δv/1‰=0.02/1‰=20 ml
增加平行测定次数
xie 分 析 化 学
2 i
n
相对标准偏差（relative standarddeviation;RSD） 或称变异系数（coefficient of variation;CV）
2 ( x x ) i n i 1
S RSD 100% x
n 1 x
100%
例题 ：四次标定某溶液的浓度，结果为0.2041、
标准偏差法：
R=x+y－z
R=xy/z
2 2 2 2 SR Sx Sy Sz
Sy 2 Sx 2 SR 2 Sz 2 ( ) ( ) ( ) ( ) R x y z
五、提高分析准确度的方法
xie 分 析 化 学
选择恰当的分析方法
被测组分的含量； 被测组分共存的其它物质的干扰。
0.00022 0.00062 0.00042 0.00002 标准偏差 S 0.0004 (mol/ L) 4 1
第二章 误差和分析数据处理
2位
2位
2位
(6) 数据的第一位数大于等于 8, 有效数字可多算一 位： 9.55 4位 ; 8.2 3位
37
1.0008 0.1000 0.0382
43181 10.98%
五 位有效数字 四 位有效数字 二 位有效数字 一 位有效数字 位数模糊
1.98×10-10 三 位有效数字
54
0.05
0.0040
度）是精密度常见的别名。
一般例行分析精密度用相对平均偏差表示就
够了，但在科研中要用标准偏差或相对标准偏差
来表示。
18
3、准确度和精密度的关系
x1
x2
x3
x4
19
一般情况下，精密度高，准确度不 一定高。 精密度不高，准确度不可靠。 在消除系统误差的前提下，精密度 好，准确度就高。 精密度高是保证准确度好的前提 精密度好不一定准确度高
答：不可以。 3、系统误差和偶然误差在起因及出现规律方面，有什 么不同？ 答：系统误差是由确定原因引起的，可重复出现，偶然 误差是由不确定原因引起的，遵循一定的统计规律。
7
4、分析测定中系统误差的特点是： A、由一些原因引起的 B、重复测定会重复出现 C、增加测定次数可减小系统误差 D、系统误差无法消除
☆移液管:25.00mL(4);
☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)
34
有效数字的位数与计算相对误差有关
0.5180g
相对误差=± 0.0001/ 0.5180 ×100%=±0.02%
0.518g
相对误差=± 0.001/0.518 ×100%=±0.2%
35
判断有效数字的位数:
第二章
分析化学第二章 误差及分析数据的处理
性质 影响 消除或减 小的方法
重现性、单向性 、可测 服从概率统计规律、
性
准确度 校正
不可测性
精密度 增加测定的次数
六、提高分析结果准确度的Байду номын сангаас法
1. 选择恰当的分析方法 2. 减小测量误差
与经典方法进行比较 校准仪器 4. 消除测量中的系统误差 空白试验 对照试验 回收试验
3. 减小偶然误差
1．选择合适的分析方法
系统误差 产生的原因
a.方法误差——选择的方法不够完善
例：重量分析中沉淀的溶解损失；
滴定分析中指示剂选择不当。 b.仪器误差——仪器本身的缺陷 例： 天平两臂不等，砝码未校正； 滴定管，容量瓶未校正。
c.试剂误差——所用试剂有杂质
例：去离子水不合格； 试剂纯度不够（含待测组份或干扰离子）。 d.操作误差——操作人员主观因素造成 例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅； 滴定管读数不准
d
i 1
n
i
n
0.11% 0.14% 0.16% 0.04% 0.09% 0.11% 5
相对平均偏差
d 0.11% d r 100% 100% 0.29% x 37.34%
标准偏差
2 ( x i x ) i 1 n
s
n 1
(0.11%) 2 (0.14%) 2 (0.16%) 2 (0.04%) 2 (0.09%) 2 0.13% 5 1
回收率越接近100%，方法准确度越高
方法误差 仪器误差 系统误差 试剂误差 操作误差
选择适当的分析方法 校正仪器 空白实验 对照实验
误差
分析测试中，一般对同一试样平行 偶然误差 测定 3~4 次，精密度符合要求即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4、统计频数：测定值落在每组内的个数叫频数。 5、算出相对频数*（也叫频率）：频数与样本容量之比叫～。 6、将各组值范围、频数和频率列表。见P50 纵坐标 横坐标 测定值（以组距为单位） 频数 7、绘图频数分布直方图 频率分布直方图 频率 同上
x−µ
σ
u：称标准正态变量，是以σ为单位表示随机误差 称标准正态变量，
此时： y = f (χ) =
1 e σ 2π
u2 − 2
1 u2 f (χ d =σ ) χ e− d u 2 σ 2 π
标准正态分布概率密度函数式为：
1 u2 y =Φ u) = ( e− 2 2π
标准正态分布曲线的位置、 无关。 标准正态分布曲线的位置、形状与 µ 、σ 无关。
12
今天我们学到了： 今天我们学到了：
1、误差及其产生原因。 2、准确度与精密度的表示及其关系。
13
第三节
随机误差的正态分布
要求： 要求：1、了解随机误差的正态分布特征 2、正确理解有关名词 正态分布N (μ,σ2) 标准正态分布N ( 0 ,1 ) 3、会进行有关计算
14
讲课思路： 频数直 方图 （n为有 限次）
16
正态分布曲线: 反映了来自同一 总体的大量测定 数据的分布规律.
频数分布直方图 结论：测定数据既有分散性; 又有集中性.
n → ∞时x为µ
频率分布直方图
17
( 二、正态分布（又称高斯分布）(Gauss C F分布 N µ,σ ) 正态分布（又称高斯分布） 分布) 分布 频率与组距之比称为测量值在某组内出现的频率密度 有限次 有限次） 频率与组距之比称为测量值在某组内出现的频率密度（n有限次） 无限次） 组距趋于无限小 概率密度（n无限次） 无限次 正态分布概率密度函数式（又称高斯方程） 正态分布概率密度函数式（又称高斯方程）为：
u = 0时，y=0.3989。对应曲线的最高点。
20
四、随机误差的区间概率 1、区间概率的求法 、区间概率的求法p53 例：求随机误差在±σ区间内出现的概率P？ 此时测量值χ = µ ± σ 解： u = χ−µ = ± 1 σ
P(−1 ≤ u ≤ 1) = 1 2π
∫
+1 −
−1
e
u2 2
du = 0.683
随机误差的正态分布
绘制频率分布直方图的步骤： 一、频数分布 1、首先视样本容量大小将所有的数据分为若干组： n>50 分为10~20组； n<50 分为5~7组。本例分为9组。 2、将全部数据由小到大排列成序，找出其中的最大值和最小 值，算出极差R R=1.74%－1.49% = 0.25% 3、求组距：极差除以组数。0.25％÷9=0.03％ 组值范围：1.485~1.515, 1.515~1.545……1.725~1.755
24
第四节
有限测定数据的统计处理
要求： 、正确理解置信度、置信区间的概念。 要求：1、正确理解置信度、置信区间的概念。 2、了解有限次测量中随机误差的 t 分布。 分布。 、 3、掌握应用 t 分布表计算平均值的置信区间。 分布表计算平均值的置信区间。 、 4、理解显著性检验的方法：t 检验法和 检验法。 检验法。 、理解显著性检验的方法： 检验法和F检验法 5、掌握可疑值（离群值）取舍的方法。 、掌握可疑值（离群值）取舍的方法。 做实验的目得是要测定出被测组分的真实含量。因此，如 何根据有限测定结果来估计真值可能存在的范围，在这个 范围内有多大的把握程度，这就是 µ 置信区间和置信度。 （在消除系统误差后 µ 为真值）
备注 不 因 人 而 异 因人 而异
4
二、随机误差 (偶然误差和不可测误差) 1、定义： 由于某些难以控制的随机因素引起的误差。 2、特点： 误差大小、正负不定。 3、规律（消除系统误差之后） 服从统计规律 （1）大小相等的正负误差出现的几率相等； 随机因素包括：（1）测量时周围环境的温度、湿度、 （2）小误差出现的几率大，大误差出现的几率小。 气压、外电路电压的微小变化 4、减小方法： 增加平行测定次数 （2）尘埃的影响 三、过失误差： （3）测量仪器自身的变动性 (属错误) （4）分析工作者处理各份试样时的微 由于工作中的操作错误导致的较大误差。 小差别等。 综上：系统误差：可以检出和校正 随机误差：可以控制 过失误差：不属误差
23
（3）其它 例3、经过无数次测定并在消除了系统误差的情况下， 测得某钢样中磷的质量分数为0.099%。已知σ=0.002%,问 测定值落在0.095%~0.103%的概率是多少? 例4、对烧结矿试样进行150次全铁含量分析，已知结果 符合正态分布N（0.4695，0.00202）。求大于0.4735的 测定值可能出现的次数。 作业：P73 17 18 19
d ×100% x
9
平均偏差
相对平均偏差 dr =
n＜20时
样本的标准偏差
s=
(xi −x)2 ∑ n−1
s 相对标准偏差（变异系数） sr＝ ×100% x
当测定次数无限多，样本平均值即为总体平均值 n＞30时 ：总体标准偏差 σ= 见P47例题
µ
(xi −µ)2 ∑ n
精密度的另一种表示：
极差（全距）：测定数据中最大值与最小值的差。
6
Er＝
Ea T
×100%
4、几个名词
名词 定义 在统计学中，研究 对象的全体。 举例
总体 （母体）
500g铁矿 （制备好的） 100个（更多）测量 无限多次测定数据 数据。 的全体。 自总体中随机抽出 取10份样品 的一部分。 （它的总和为子样） 随机从总体中抽出 取10个测定值 的一组测定值。 样本中所含测量值 的数目 10
显著性水平：测量值落在置信区间之外的概率。 α=1-P µ= χ ± 1σ 意思为：在有限次的测定中,有68.3%的把握 说, 在 x ±1σ区间内包含真值。 或在置信区间 x ±1σ内，能以68.3%的概率将 真值µ包含在内。
4、影响精密度度的因素： 随机误差
11
三、准确度与精密度关系(P49图3-2)
精密度 甲 乙 丁 丙 高 高 低 低
随机误差 小 小 大 大
准确度 低 高 低
系统误差 大 小 大
结果 不可靠 可靠 不可靠
巧合结果不可靠
关系：精密度高是保证准确度高的先决条件； 精密度高，准确度不一高； 准确度高，精密度一定高。 作业：P73 12, 13, 14, 15, 16
样本大小 （样本容量）
10
8
二、精密度与偏差 1、精密度：一组平行测定结果相互接近的程度称为~。 2、精密度的表示：偏差 同一种待分析试样，相同条件下重复测定n次，若其测得 的结果分别为：x1,x2,x3,…,xn, 算术平均值 x = ∑ xi ／n 绝对偏差 di = xi－ x d= ∑ di / n
2
1 − y =f( x) = e σ 2π
( x−µ)2 2σ
2
概率密度
y：表示测定次数无限时，测定值xi出现的概率密度 正态分布曲线： 正态分布曲线：以x值表示 横坐标， 横坐标，y值表示纵坐标就 得到测定值的~。 得到测定值的 。
测定值
18
随机误差的 正态分布曲线 随机误差的 特点和规律
将正态分布曲线的横坐标用随机误差 x – µ 取代测定值x，就得到～。 取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ测定值 ，就得到～。
第三章 误差和分析数据的处理
真实值（T）也叫 第一节 误差及其产生原因 真值：是试样中 某组分客观存在 要求：1、能理解系统误差和随机误差的性质和特点。 的真实含量。
2、了解误差产生的原因 误差(E)： 分析结果（x）与真实值（T）之间的差值称~。 E = x － T x ＞ T 正误差 分析结果偏高 x ＜ T 负误差 误差分类：系统误差 随机误差 过失误差
5
第二节 测定值的准确度与精密度 要求：1、掌握有关概念的含义、彼此间的关系及计算 2、理解准确度与误差，精密度与偏差的含义，及准 确度与精密度的关系。 一、准确度与误差 1、准确度：分析结果（测量值）（x）与真实值（T）相接 近的程度称为~。 2、准确度的表示：绝对误差 Ea＝x －T 相对误差 E越小，准确度越高。 一组数据的准确度的表示： Ea＝x －T 系统误差 3、影响准确度的因素： 随机误差
随机误差的区间
测定值出现的区间
概率（P） 概率（ ）
u = ±1 u = ±2 u = ±3
x = µ ±σ
x = µ ±2 σ x = µ ±3 σ
68.2% 95.5% 99.8%
21
0.3989
22
2、正态分布概率积分表的应用p54 、正态分布概率积分表的应用 （1）由表可查出不同 u 值时，测定值或随机误差出现的概率。 例1、求 u = ±1.5时，测定值出现的概率？ 解：查表得：P = 0.433×2=0.866 例2、求 u 从1到2之间的概率？ 解：查表得：u = 1时，P = 0.3413; u = 2时,P = 0.4773 所以 , u 从1到2之间的概率为:0.4773－0.3413 =0.136 （2）由概率确定误差界限 如：要保证测定值出现的概率P = 0.8, 则随机误差的界限为±1.3σ
1
分析结果偏低
真实值（T）也叫真值：是试样中某组分客观存在的真实含量。 说明：实际中,真值是未知的，下列情况的真值可以认为是已知的： （1）理论真值 如某化合物的理论组成； （2）计量学约定真值 国际计量大会定义的单位。如：长度、 质量、物质的量、相对原子量等单位。 （3）相对真值 认定精度高一个数量级的测定值作为低一级的 测量值的真值。如标样，其证书上给出的数值，为真值。 标样：人们采用各种可靠的分析方法（以消除系统误差），经过不同 的实验室、不同人员（资深的）反复分析，用数理统计方法，确定各 成分相对准确的含量，此值称为标准值。一般用以代表该组分的真实 含量。这类试样称为标准试样，简称标样。