江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(25)

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江苏南通2020 高考数学冲刺小练(2)

交 y 轴于 M , N ，且 ON 3OM ，则双曲线的离心率为
.
7．已知动圆 M 与圆 C1 : (x 1)2 y2 1 ，圆 C2 : (x 1)2 y2 25 均内切，则动圆圆心 M 的
轨迹方程是
.
8．设点 A1, 2 ，非零向量 a m, n ，若对于直线 3x y 4 0 上任意一点 P ， AP a 恒为
P
（2） FG ∥平面 EBO ．
E
F
A
G O
C
B
12. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在正整数 r，t，且 r＜t，使得 Sr＝t，St＝r 同时成立，则称数列{an}为“M(r，t)数列”．（1）若首项为 3，公差为 d 的等差数列{an}是“M(r，2r)数列”，求 d 的值；（2）已知数列{an}为等比数列，公比为 q．若数列{an}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求 q 的值．
2
a2 a3，a3 a4，a4 a5 成等差数列，则 q 的值为
.
6．在平面直角坐标
xOy
中，双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左右焦点分别为 F1, F2 , A, B
分别为
左，右顶点，点 P 为双曲线上一点，且满足 PF2 F1F2 ，点 Q 为 PF2 上一点，直线 QF1, BQ 分别
.
是 i 100 否
N N 1 i
S N T
4．高三某班级共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 6 人进行
T
T
i
1 1
输出 S 结束
调查，若抽到的最大学号为 45，则抽到的最小学号为

江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(20)

江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（20）班级学号姓名1．对于命题p ：x ∃∈R ，x 2+ x +1 < 0，则p ⌝为：_____ ．2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第__ __象限． 3．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1，2，…，10，击中由内至外的区域的成绩依次为10，9，…，1环．不考虑技术因素，则射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为．4．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于__ _．5．给出下列命题中，正确命题的序号是__ ．①“()x A B ∈I ”是“()x A B ∈U ”的充分不必要条件；②若0,0a b >>，则不等式3323a b ab +≥恒成立；③对于函数2()2f x x mx n =++，若()0,()0,f a f b >>则函数在(,)a b 内至多有一个零点； ④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称．6．若△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则△ABC 的面积S ＝12 r (a +b +c ) ；若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2 ，S 3 ，S 4，则四面体的体积V ＝．7．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=_ _ _．8．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是．9．若21,0,()1,0,x x f x x ⎧+=⎨<⎩≥则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是． 10．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，若点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当||4a >时，||||PA PM +的最小值是11．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下部分频率分布直方图：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）观察频率分布直方图的信息，估计这0.01频率组距次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2,cos ),(,cos )b c C a A =-=m n ，且//m n ．（1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．。

2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析

2020 年江苏高考数学第二轮复习精典试题
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以

江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)

开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ，则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ．（1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案

江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于命题的说法错误的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷

，
．
，
，求函数的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
，交于，
，点在侧棱上，且
．
2
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系中，圆
，直线
点，弦过点，过点作的垂线交于点．
（1）若
，求
的面积．
（ 2 ）判断直线与圆的位置关系，并证明．
2 若对任意，
，必存在
使得
，求数列的通项公式．
（，，为常
，已知
，且
20. 若实数满足（ 1 ）求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ）设函数
1若
时，存在一个实数
，其中，，为实数．
，使得
既是
点（
是函数的导函数），求实数的取值范围．
2令
，若存在实数，使，
，
为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．
，，
，，
，所以直线
，与圆相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以为底、为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以为底，为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，

江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(4)

江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（4）班级学号姓名1．已知空间的点A （1，0，2），B （1，－3，1），M 是z 轴上的点，AM=BM ，则点M 的坐标是．2．已知平面上的点A （－2，1），B （1，3），AP AB 23=，则点P的坐标是．3．不等式2log ()x -<1+x 的解集是． 4．若右边的程序流程图输出数对i ，j ，则这两个数的和是．5．某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．中奖的概率是．6．已知正项数列{a n }的首项为l ，且对于一切正整数n 都有na n 2=[(n +1)a n +1+a n ]a n +1，则数列的通项公式是a n = ．7．关于x 的方程x 2－2ax +a 2－4a =0有模为3的虚数根，则实数a 的值是． 8．已知以F 1，F 2为焦点的椭圆，其离心率为e ，以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P ，若e PF PF =||||21，则e 的值为．9．若))(2)(1()(a x x x x f ---=，其中1＜a ＜2，则='+'+')()2(4)1(12a f a f f ． 10．如图长方体中，O 在AD 上，AB=8，AD=10，DO=AA 1=6．若以O 为球心，r 为半径作球面，使其与长方体的六个面都有公共点，则r 的取值范围是．11．已知：(3sin ,cos ),(cos ,cos )x x x x ==a b ，()221f x m =⋅+-a b （,x m ∈R ）. （1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；（2）若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.开始 i ←5 结束j ←－2 i ←i + j j ←i + j输出i, j12．如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．SCBDO E。

2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(加精)

南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．/分（第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE（第16题）（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列；（2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（第17题）0（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ．求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）ABDOC（第21—A 题）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．（1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲．【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲．【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．/分（第3题）【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲．【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1．因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分（2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ，所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ．所以BE = CF ．…… 9分又由（1）知，BE // CF ．所以四边形BEFC 是平行四边形．从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE （第16题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=．所以20269a x a =-+．…… 4分因为10PB x ==，所以2269a a=+，解得218a =．所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分（2）方法一：直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=，由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--．于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-．同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以012x x =-．…… 12分所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+．由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=，（第17题）0（第18题）因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， (4)分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤， (9)分方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，，则()p x在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V=3．…… 14分方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x =max V=3．…… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 16分【评分说明】①直接“由()21002xx x ⋅+=得，x=2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分，其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列；（2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =．所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分（2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分（3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠．由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+．两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >．由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-．从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ．求证：22DB DC OD OA ⋅+=．证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-．所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，．从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．ABDC（第21—A 题）EO则点P的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元．（1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形．则事件：“600X =”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分（2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====．所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分）已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn k n knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。

2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷

绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，，（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值；（2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；（3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。

江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(25)

江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（25）班级学号姓名1．已知相交直线l 和m 都在平面α内，并且都不在平面β内，若m l p ,:中至少有一条与β相交；α:q 与β相交，则p 是q 的条件．2．已知集合{|1A x x =≤或3}x ≥，集合{|1,}B x k x k k =<<+∈R ，且()A B ≠∅R ，则实数k 的取值范围是．3．已知直线073=-+y x 和02=--y kx 与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是．4．根据右侧的流程图，若输入的x 值为－5时，输出的y 值为．5．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是．6．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，则q 的值为．7．现有一块长轴长为10dm ，短轴长为8dm ，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为．8．已知圆1:22=+y x C ，点A （－2，0）及点B （2，a ），若从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是．9．任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n =((m n m n mn m n ⎧+⎪⎨⎪⎩与同奇偶）,与异奇偶), 则集合M={(a ，b )|a ⊕b =36，a 、b ∈N *}中元素的个数是___ ___ ．10．设奇函数)(x f 在[－1，1]上是增函数，且1)1(-=-f ，若()f x ≤122+-at t 对所有的]1,1[-∈x 都成立，则]1,1[-∈a 时，t 的取值范围是．11．在△ABC 中，若tanAtanB=tanAtanC ＋tanCtanB ，求证：2223a b c +=．12．已知函数)(x f 对任意的实数y x ,都有1)(2)()()(++++=+y x y y f x f y x f ，且1)1(=f ．（1）若*x ∈N ，试求)(x f 的解析式；（2）若*x ∈N ，且2x ≥时，不等式()f x ≥)10()7(+-+a x a 恒成立，求实数a 的取值范围．。

【数学】2020南通二模参考答案与评分建议

2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ．【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ．【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ．【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，．若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)(有解析)

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是______．2.已知复数z满足|z|−z.=2−4i，则z=______ ．3.已知高二年级共有1500名学生，其中文科生600名，理科生900名．现采用分层抽样的方法抽取25名学生，则需要从文科生中抽取学生人数为________．4.一算法的流程图如图所示，则输出S为______ ．+√3−x的定义域为______ ．5.函数f(x)=11−x26.编号为1，2，3，4的四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为___________．7.已知y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，g(3)=3，则g(−3)=______．8.已知双曲线C1：x2−y2=1，若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离3为1，则抛物线C2的方程为______．9.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．10.已知sinθ=4，sinθ−cosθ>1，则sin2θ=_________．511.若圆锥底面半径为1，高为√3，则其侧面积为______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−2)2=2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为______．13.已知a⃗是平面内的单位向量，若向量b⃗ 满足b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，则|b⃗ |的取值范围是________．14.已知函数f(x)=e x−1+x−2(e为自然对数的底数).g(x)=x2−ax−a+3.若存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，cosC=3．5(Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若a+b=12，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB//平面AEC．17.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G.为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ 分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．(1)①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L(θ)；②设AB=2x米，求出L关于x的函数关系式L(x)．(2)若新建道路每米造价一定，请选择(1)中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，且过点P(√2,1).直线y=√22x+m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△PAB的面积的最大值；(3)设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N.判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．19.已知数列{a n}的前n项和S n，S n=3a n−1．2(1)求a n；(2)若b n=(n−1)a n，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．21.已知矩阵A=[12−1x]的一个特征值为2，求矩阵A的逆矩阵．22.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ(a>0)，直线l：ρcos(θ−π3)=32，C与l有且只有一个公共点，求a．23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2,y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△OAB的面积．24.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【答案与解析】1.答案：m ≥3,解析：本题考查子集，关键是明确集合端点值间的关系，是基础题．解：∵A ={x|x <3}，集合B ={x|x <m }，A ⊆B∴m ≥3,故答案为m ≥3,2.答案：3−4i解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，∵|z|−z .=2−4i ，∴√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，∴√a 2+b 2−a =2，b =−4，解得b =−4，a =3．则z =3−4i ．故答案为：3−4i ．设z =a +bi(a,b ∈R)，|z|−z .=2−4i ，可得√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，可得√a 2+b 2−a =2，b =−4，解出即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：10解析：本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：设从文科生中抽取学生人数为x ，则x 25=6001500，解得：x =10,故从文科生中抽取学生人数为10人，故答案为10．4.答案：12解析：初始条件：i =1，s =1；判断1<10，成立，1次循环：i =4，s =5；判断4<10，成立，2次循环：i =7，s =12；判断12<10，不成立，输出S =12．故填空：12．按流程线方向演算出赋值的结果，判断是否符合终止条件，若符合，则循环；若不符合，则输出最后算出的S 的值．考查了算法程序框图，循环结构，赋值语句，属于基础题．5.答案：{x|x ≤3且x ≠±1}解析：解：要使函数有意义，则{1−x 2≠03−x ≥0，即{x ≠±1x ≤3，即函数的定义域为{x|x ≤3且x ≠±1}，故答案为：{x|x ≤3且x ≠±1}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：1724解析：本题考查了概率问题，算出总的情况，再计算出至多有一个球的编号与盒子的编号相同的情况，即可得出答案．解：不考虑任何条件限制，放法总数为24种．恰由一个球的号码与盒子号码相同，其放法有8种．没有球的号码与盒子号码相同，其放法总数有9种，故P=8+924=1724．故答案为1724．7.答案：−9解析：本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的分析与计算能力，属于基础题．可得f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6，又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．解：∵y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，∴f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．故答案为：−9．8.答案：x2=8y解析：本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线C1：x2−y23=1，的渐近线：√3x±y=0，抛物线的焦点坐标为：(0,p2)，抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：p2√1+3=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．9.答案：65解析：解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．10.答案：−2425解析：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式及应用，属于基础题．由题意cosθ<0，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．解：因为sinθ=4，sinθ−cosθ>1，5所以cosθ<0，则cosθ=−√1−sin2θ=−3，5．则sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故答案为−242511.答案：2π解析：解：圆锥的高位√3，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，×2π×2=2π圆锥的侧面积：12故答案为：2π．先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．12.答案：[−2,2]解析：解：根据题意，圆O：x2+y2=1，若过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若OA⊥PA，OB⊥PB，又由PA⊥PB，则四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，则P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得：−2≤a≤2，即a的取值范围为[−2,2]；故答案为：[−2,2]．根据题意，由圆的切线性质分析可得四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，据此分析可得P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；进而可得若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及圆与圆的位置关系，关键是分析P的轨迹．13.答案：[0,1]解析：本题考查了向量的数量积，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，由题意得a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，所以|b⃗ |=cosθ即可求解．解：设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，∵b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，∴a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，∵|a⃗|=1∴|b⃗ |=cosθ∴|b⃗ |∈[0,1]．故答案为[0,1]．14.答案：[2,3]解析：解：函数f(x)=e x−1+x−2的导数为f′(x)=e x−1+1>0，f(x)在R上递增，由f(1)=0，可得f(x1)=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，即为g(x2)=0且|1−x2|≤1，即x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，令t=x+1(1≤t≤3)，则t+4t−2在[1,2]递减，[2,3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．求出函数f(x)的导数，可得f(x)递增，解得f(x)=0的解为1，由题意可得x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，求得(x+1)+4x+1−2的范围，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．15.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC中，cosC=35，∴sinC=√1−cos2C=45，∵B=180°−(A+C)，A=45°，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√22×35+√22×45=7√210；(Ⅱ)∵sinA=√22，sinB=7√210，∴由正弦定理asinA =bsinB得：ab=sinAsinB=√227√210=57，即7a=5b①，又a+b=12②，联立①②解得：a=5，b=7，则S△ABC=12absinC=12×5×7×45=14.解析：(Ⅰ)由C为三角形的内角及cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin(A+C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sin B的值；(Ⅱ)由sin A和sin B的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．16.答案：证明：(1)∵AD//BC，AD⊥CD，∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，BC∩PB=B，∴CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC．(2)连结BD交AC于O，连结EO．∵AD//BC，∴△AOD∽△COB，∴DOOB =ADBC=12，又PE=2ED，即DEPE =12，∴OE//PB，∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB//平面AEC．解析：(1)由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；(2)连结BD交AC于O，连结EO.利用三角形相似得出ODOB =DEPE=12，从而得到OE//PB，得出结论．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：(1)①在中，，所以，所以，在中，所以其中θ∈(0,π2)②设AC=y，则在RtΔAGC中CG=√y2−x2，由RtΔCDO与RtΔAGC相似得，COCA =ODAG，即√y2−x2−20y=20x，即x√y2−x2−20x=20y，即x√y2−x2=20(x+y)，即x√y−x=20√x+y即x2(y−x)= 400(x+y)，化简得CA=y=x3+400xx2−400，其中x∈(20,+∞)(2)选择(1)中的第一个函数关系式研究．令L′(θ)=0，得sinθ=√5−12．令sinθ0=√5−12，当θ∈(0,θ0)时，L′(θ)<0，所以L(θ)递减；当θ∈(θ0,π2)时，L′(θ)>0，所以L(θ)递增，所以当sinθ=√5−12时，L(θ)取得最小值，新建道路何时造价也最少．解析：本题考查函数的模型的应用，以及利用导数求实际问题，属于中档题．(1)根据已知条件可得对应的关系，然后利用相似求出解析式；(2)利用求导，结合单调性和定义域求出最值．18.答案：解：(Ⅰ)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，由椭圆C 的离心率是e =ca=√1−b 2a 2=√22，即a 2=2b 2，将点P(√2,1)代入椭圆方程：x 22b 2+y 2b 2=1. 解得{a 2=4b 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)由{y =√22x +mx 24+y 22=1，消去y ，整理得x 2+√2mx +m 2−2=0．令△=2m 2−4(m 2−2)>0，解得−2<m <2．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−√2m ，x 1x 2=m 2−2．∴丨AB 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3⋅√4−m 2，点P(√2,1)到直线x −√2y +√2m =0的距离为d =√2−√2+√2m √1+(√2)2=√2丨√3．∴△PAB 的面积S =12丨AB 丨⋅d =√22丨m 丨⋅√4−m 2，=√22√−(m 2−2)2+4≤√2，当且仅当m =±√2时，S =√2，此时满足△>0，则△PAB 的面积的最大值√2； (Ⅲ)丨PM 丨=丨PN 丨．证明如下：设直线PA ，PB 的斜率分别是k 1，k 1，则k 1+k 2=y 1−1x −√2+y 2−1x −√2=(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)(x −√2)(x −√2)，由(Ⅱ)得(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)=(√22x 1+m −1)(x 2−√2)+(√22x 1+m −1)(x 1−√2) =√2x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−2√2(m −1)=√2(m 2−2)+(m −2)(−√2m)−2√2(m −1)=0， ∴直线PA ，PB 的倾斜角互补． ∴∠1=∠2， ∴∠PMN =∠PNM ．∴丨PM丨=丨PN丨．解析：略19.答案：解：(1)由已知可得，2S n=3a n−1，①所以2S n−1=3a n−1−1(n≥2)，②①−②得，2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，化简为a n=3a n−1(n≥2)，即a na n−1=3(n≥2)，在①中，令n=1可得，a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n=3n−1．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，T n=0⋅30+1⋅31+2⋅32+⋯+(n−1)⋅3n−1，③则3T n=0⋅31+1⋅32+2⋅33+⋯+(n−1)⋅3n.④③−④得，−2T n=31+32+33+⋯+3n−1−(n−1)⋅3n，=3−3n1−3−(n−1)⋅3n=(3−2n)⋅3n−32．所以，T n=(2n−3)⋅3n+34．解析：(1)由已知可得2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，推出数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，利用错位相减法，转化求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)∵f(x)=xln x−ax+1，∴f′(x)=lnx+1−a，∴函数f(x)=xln x−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=1−a=−2，解得a=3;(2)由(1)可得f(x)=xlnx−3x+1,x∈(0,+∞)，故f′(x)=lnx−2,x∈(0,+∞)，令f′(x )>0得x >e 2，令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．21.答案：解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|=(λ−1)(λ−x)+2，因为λ1=2是方程f(λ)=0的一个根，所以x =4，故A =[12−14]．设矩阵A 的逆矩阵为A −1=[abcd ]，则[12−14][a bcd]=[1001]，即{a +2c =1,b +2d =0−a +c =0,−b +4d =1,，解得所以矩阵A 的逆矩阵A −1=[23−131616]．解析：本题考查矩阵的特征值以及逆矩阵的计算，属于基础题．矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|，由2是一个特征值，可知f(2)=0，从而可求得x =4，先计算矩阵对应的行列式的值，再利用逆矩阵的公式即可求出答案．22.答案：解：曲线C ：ρ=2acosθ(a >0)，即ρ2=2aρcosθ(a >0)，∴x 2+y 2=2ax ，配方可得：C 的直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2．直线l ：ρcos(θ−π3)=32，展开为12ρcosθ+√32ρsinθ=32，可得直角坐标方程：x +√3y −3=0．由直线与圆相切可得：|a−3|2=a ，a >0．解得：a =1．解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)根据题意，D(2,y 0)在抛物线y 2=2px 上且|DF|=3，由抛物线定义得2+p2=3，∴p =2 故抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由方程组{y =x −1y 2=4x ，消去y 得x 2−6x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6； ∵直线y =x −1过抛物线y 2=4x 的焦点F ，∴|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8又O 到直线y =x −1的距离d =√22，∴△ABO 的面积S =12|AB|d =2√2．解析：(1)根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p =2，代入标准方程，即可得答案； (2)联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2−6x +1=0，进而设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O 到直线y =x −1，进而由三角形面积公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．24.答案：解：(1)两次记录的数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，满足xy ≤3，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，共5个， ∴小亮获得玩具的概率为516；(2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率；理由如下：满足xy ≥8，(2,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(3,3)，(4,4)共6个，∴小亮获得水杯的概率为6；16小亮获得饮料的概率为，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．解析：本题考查古典概型的计算和应用．(1)利用列举法求出基本事件的总数，然后求出满足xy≤3的基本事件的个数，然后由古典概型的概率计算公式即可求解；(2)求出满足xy≥8的基本事件的个数，求出小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率，即可得出结论．。

2020南通市二模数学试题及答案

从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为▲.
5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例
分别为30%、50%、10%和10%,则全班学生的平均分为▲分.
6.设M a a(2, 0)m(0,1),m R和
N b b (1, 1) n(1, 1), n R都是元素为向量的集
江苏省南通市
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.曲线y x32x在点(1,—1)处的切线方程是▲.
2.若1~5i- a bi (a,bR, i为虚数单位)，则ab= ▲ .
3i
3.命题“若实数a满足a&2,则a24”的否命题是▲命题(填“真”、"假”
之一).
4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面.涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现
合，贝U MHN=▲.
7.在如图所示的算法流程图中，若输入m= 4 ,n= 3 ,则输出的
a=▲.
8.设等差数列an的公差为正数，若
a1a2a315,a1a2a380,
9.设，是空间两个不同的平面，m n是平面及外的两条不同直线.从“①m
，n；②!；③n，；④mil”中选取三个作为条件，余下一个作为结论,
写出你认为正确的一个命题：▲(用代号表示).
10一.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)= f (x+2),当x3, 5时，f(x)=2-x-4.下
列四个
1
2
12.1, 3
2
二、解答题：本大题共6小题「，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 .(本小题满分14分)
14分
【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH//平面EBOE得.

2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷

2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z abi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = ．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð ． 3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥；其中正确命题的序号为．7．（5分）已知函数32,2()(1),02x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为13(F 、23(F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为．10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -= ．11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r rg ，则||c r 的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为．14．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =．（1）求sin B 的值；（2）求边c 的长．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ；（2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒．（1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间；（2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = 34i - ．【解答】解：2z i =+Q ，22(2)34z i i ∴=+=+，则234z i =-．故答案为：34i -．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð {5} ．【解答】解：Q 集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1A B ∴=U ，3，9} (){5}U A B ∴=U ð，故答案为{5}．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 30 ．【解答】解：分层抽样的抽取比例为：801160020=， ∴抽取学生的人数为16003020⨯=．故答案为30．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．【解答】解：由题意可得1x =，2y =，r =sin y r α∴==，sin()sin παα∴-==．．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： 28 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈是 4 42+ 第二圈是 7 428++ 第三圈是 10 42814+++ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥；其中正确命题的序号为 ④ ．【解答】解：对于①，当//m n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出//m α，①错误；对于②，当m α⊂，n α⊂，且//m β，//n β时，由两平面平行的判定定理，不能得出//αβ，②错误；对于③，当//αβ，且m α⊂，n β⊂时，由两平面平行的性质定理，不能得出//m n ，③错误；对于④，当αβ⊥，且m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n β⊥，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．7．（5分）已知函数32,2()(1),02xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1(0,)2．【解答】解：如图所示： ①当2x …时，由函数2()f x x =单调递减可得：20()1f x x<=„； ②当02x <<时，由函数3()(1)f x x =-单调递增可得：1()1f x -<<．由图象可知：由021k <<可得102k <<，故当102k <<时，函数y kx =与()y f x =的图象有且只有两个交点， ∴满足关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根的实数k 的取值范围是1(0,)2．故答案为1(0,)2．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 2- ．【解答】解：已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->， ①0a <时，4[()](4)0x a x a-+-<，其中40a a +<，故解集为4(a a+，4)，由于444()2()()4a a a a a a+=-------„，当且仅当4a a -=-，即2a =-时取等号，4a a ∴+的最大值为4-，当且仅当44a a+=-时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为2-；②0a =时，4(4)0x -->，解集为(,4)-∞，整数解有无穷多，故0a =不符合条件； ③0a >时，4[()](4)0x a x a -+->，其中44a a+…，∴故解集为(-∞，44)(a a+⋃，)+∞，整数解有无穷多，故0a >不符合条件；综上所述，2a =-．故答案为：2-．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1(F、2F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为．【解答】解：Q △12PF F中，12sin PF F ∠，12sin PF F ∠， ∴由正弦定理得121212sin 2sin PF PF F PF PF F ∠==∠，⋯① 又Q 121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-， 1221121232tan tan()14122F PF PF F PF F -∴∠=-∠+∠=-=+⨯，可得124cos 5F PF ∠=，△12PF F 中用余弦定理，得222121212122cos 3PF PF PF PF F PF F F +-∠==g ，⋯② ①②联解，得12PF PF =，可得12PF PF -= ∴双曲线的2a =，结合2c =22c e a ==10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -=14．【解答】解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数， 16A ∴=，151212A B +++=，解得112B =-，所以1116124A B -=+=．故答案为：14． 11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]．．【解答】解：由题意知()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增．（1）当2a „时，若[2x ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2a x =，此时22a<，所以()f x 在[2，)+∞上是递增的；（2）当2a >时，①若[x a ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2ax =，所以()f x 在[a ，)+∞上是递增的；②若[2x ∈，)a ，则2()()f x x a x x ax =-=-+，其对称轴为2a x =，所以()f x 在[2a，)a 上是递减的，因此()f x 在[2，)a 上必有递减区间．综上可知2a „．故答案为(-∞，2]．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的取值范围是．【解答】解：由()()0a c b c --=r r r r g 可得2()||||cos 12cos ||||cos 13c a b c a b a b c a b c παα=+-=+-⨯=+-r r r r r r r r rr r g g g g ，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由222()214212cos 73a b a b a b π+=++=++⨯⨯=r r rr r r g可得||a b +=r r∴2|cos 1c c α=-r r，解得2cos αr ．0απQ 剟，1cos 1α∴-剟，∴21r，即2|||10c c +r r„．||c r，故答案为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 3 ．【解答】解：设直线AB 的方程为1y kx =+则直线AC 的方程可设为11y x k=-+，(0)k ≠由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(1)20a k x a kx ++=，所以0x =或22221a k x a k -=+ A Q 的坐标(0,1)，B ∴的坐标为2222(1a k a k -+，22221)1a k k a k -++g ，即2222(1a k B a k -+，22221)1a k a k -+因此，222|2|1a k AB a k ==+g ，同理可得：2222||1a k AC a k=+gRt ABC ∴∆的面积为444224222212||121121()1()a k akS AB AC a a k a a k k k +===++++++g g 令1||t k k=+，得4422422222(1)1(2)a t a S a a a t a t t==-++-+ 1||2t k k =+Q …，442(1)ABC a S a a ∆∴=-„当且仅当2a t t=，即21a t a -=时，ABC ∆的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =- 解之得3a =或3297a +=3297a +=Q 时，212a t a-=<不符合题意， 3a ∴=故答案为：314．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是2e．【解答】解：//PQ y Q 轴，(,0)P t ，(Q t ∴，())f t 即2(,)t t e ，又()(0)tx f x e t =>的导数()tx f x xe '=，∴过Q 的切线斜率2t k te =，设(,0)R r ，则220t t e k te t r-==-，1r t t∴=-，即1(R t t -，0)，11()PR t t t t=--=，又(1S ，f （1）)即(1,)t S e ，PRS ∴∆的面积为2te S t=，导数2(1)2t e t S t -'=，由0S '=得1t =，当1t >时，0S '>，当01t <<时，0S '<，1t ∴=为极小值点，也为最小值点，PRS ∴∆的面积的最小值为2e ．故答案为：2e ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =．（1）求sin B 的值；（2）求边c 的长．【解答】解：（1）角C 为钝角，由3sin 5A =，则24cos 15A sin A =-．那么：3tan 4A =1tan()3A B -=Q ，即tan tan 11tan tan 3A B A B -=+，可得：1tan 3B =即sin 1cos 3B B =，22sin cos 1B B +=，解得：10sin B =．（2）由（1）可知：10sin B 则2310cos 1B sin B =-那么：1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，可得：13c =．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ；（2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，又因为E 是棱VC 的中点，所以//VA OE ，又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊂/平面BDE ，所以//VA 平面BDE ；（2）因为VO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以VO BD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又VO AC O =I ，VO ，AC ⊂平面VAC ，所以BD ⊥平面VAC ．又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为(M m ，0)()m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以|429|55m -=，即|429|25m -=．因为m 为整数，故1m =．故所求圆的方程为22(1)25x y -+=．⋯（4分）（Ⅱ）把直线50ax y -+=，即5y ax =+，代入圆的方程，消去y ，整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=，由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点，故△224(51)4(1)0a a =--+>，即21250a a ->，由于0a >，解得512a >，所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞．（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在，则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上，所以10240a ++-=，解得34a =．由于35(,)412∈+∞，故存在实数34a =使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．⋯（14分）18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒．（1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？【解答】解：（1）作AE CD ⊥，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =，则22202tan tan tan(2)31001tan 1CAEx CAD CAE CAE x ∠∠=∠===-∠-， 232010030x x --，解之得，103x =或3x =（舍)，答：BC 的长度为103m ；（2）设BP t =，则3(0103)CP t t =<<，2210031010(103)103tan()1032001032001103t t t tt t t t t tαβ+++-+===-+--+---g，设2103()103200t f t t t +=-+-222203500()(103200)t t f t t t +-'=-+-令()0f t '=，因为0103t <<202103t = 当(0,202103)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当(2023,103)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当202103t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为21032000t t -+-<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ+<，(,)2παβπ+∈，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP 为t =时，αβ+取得最小值．19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．【解答】（1）解：1n =时，由24(1)13p --=得0p =或2，若0p =时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以0p =不符合题意，故2p =；（2）证明：当2p =时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②-①并化简得1134n n n a S S ++=--③，则22134n n n a S S +++=--④， ④-③得*211()2n n a a n N ++=∈，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是等比数列，且112n n a -=；（3）证明：充分性：若1x =，2y =，由112n n a -=知na ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即na ，12x n a +，22yn a +成等差数列；必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y n n n -+=+g g g ，化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k …时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间；（2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．【解答】解：（1）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--，令2()3620f x x x '=-+<解得，x <<故函数()f x 的减区间为；（2）证明：123()()()()f x x x x x x x =---Q ，231312()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x ∴'=--+--+--，又123x x x <<Q ，11213()()()0f x x x x x ∴'=-->， 22123()()()0f x x x x x '=--<， 33231()()()0f x x x x x '=-->，故函数()f x '在1(x ，2)x ，2(x ，3)x 上分别有一个零点，故方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）Q 方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，()()0f f αβ∴'='=，而12121212121212231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2121()04x x =--<，23232323232323231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2321()04x x =--<，再结合二次函数的图象可知，231222x x x x αβ++<<<．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦．【解答】解：1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4⋯分 ∴在矩阵MN 变换下，122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，6⋯分∴曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．10⋯分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：（1）由sin()63πρθ-=，得1(sin )62ρθθ=，12y ∴=120y -+=．圆的方程为22100x y +=．（2）圆心(0,0)到直线3120x y -+=的距离26(3)1d ==+，10y =，∴弦长21003616l =-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【解答】解：（1）90BAF =︒Q ，AF AB ∴⊥，又Q 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF ∴⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，2AD =Q ，22AB AF EF ===，P 是DF 的中点，(2B ∴，0，0)，(1E ，0，2)，(2C ，2，0)，(0P ，1，1)，(1BE =-u u u r ，0，2)，(2CP =-u u u r，1-，1)，设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则||230cos ||||56BE CP BE CP θ===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ，∴异面直线BE 与CP 230（2）(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0F ，0，2)，(0D ，2，0)，设(P a ，b ，)c ，FP FD λ=u u u r u u u r，01λ剟，即(a ，b ，2)(0c λ-=，2，2)-，解得0a =，2b λ=，22c λ=-，(0P ∴，2λ，22)λ-，(0AP =u u u r ，2λ，22)λ-，(2AC =u u u r ，2，0)，设平面APC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则2(22)0220n AP y z n AC x y λλ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，2)22λλ-，平面ADF 的法向量(1m =r ，0，0)，Q 二面角D AP C --的正弦值为6， 22||6|cos ,|1()||||322()22m n m n m n λλ∴<>===-+-r r g r r r r g ，解得14λ=，(0P ∴，12，3)2， PF ∴的长度222132||(00)(0)(2)22PF =-+-+-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()P ξ是“ξ个人命中，3ξ-个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，002212113.(0)(1)(1)(1)22P C C a a ξ==--=-，1020121212111(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==-+--=-g ，1102221212111(2)(1)(1)(2)222P C C a a C C a a a ξ==-+-=-g ，2122121(3)22a P C C a ξ===g ．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为222111410(1)1(1)2(2)322222a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P P a a a a ξξ=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP P a a a ξξ-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22a P P a a ξξ-=-==--=．由2(1)012021202a a a a⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩………和01a <<，得102a <„，即a 的取值范围是1(0,]2．（10分）。

2020南通重点名校二轮总复习数学综合训练答案

故数列{bn}是“优美数列”，对应的实常数 p，q 分别为 2，0. (2) ①因为 an＋an＋1＝3·2n(n∈N*)，则有 a2＋a3＝3·22，a4＋a5＝3·24，…， a2 006＋a2 007＝3·22 006，a2 008＋a2 009＝3·22 008，a2 010＋a2 011＝3·22 010，
S＝4；k＝－3，S＝10，所以①处填 k≥－3.
－3，3
5.
2
解析：因为函数
y＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝3－2
sinx＋1 2
2
，所
2
以当 sinx＝－1时，函数取得最大值为3，当 sinx＝1 时，函数取得最小值－3，故函数的值域
2
2
为
－3，3 2
.
6. 1 3
解析：如图，因为下底面 ABC 为正三角形，A1O⊥平面 ABC，点 O 是正三角形
②因为数列{an}是“优美数列”，
所以存在实常数 p，q，使得 an＋1＝pan＋q 对于任意 n∈N*都成立，且有 an＋2＝pan＋1＋q 对于任意 n∈N*都成立，因此(an＋1＋an＋2)＝p(an＋an＋1)＋2q 对于任意 n∈N*都成立，而 an＋an＋1＝3·2n(n∈N*)，且 an＋1＋an＋2＝3·2n＋1(n∈N*)，则有 3·2n＋1＝3·p2n＋2q 对于任意 n∈N*都成立，即 3·2n(2－p)＝2q 对于任意 n∈N*都成
又因为△ABC 的面积等于 3，所以 1absinC＝ 3得 ab＝4， 2
a2＋b2－ab＝4，
a＝2，
联立
解得
ab＝4，
b＝2.
(2) 由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以 sinBcosA＝2sinAcosA.

2020届江苏高考数学南通二轮复习检测试题含答案

江苏省南通市2020届高三年级二轮复习卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设集合{}{}|32,|2121A x xB x k x k=-≤≤=-≤≤+，且A B⊇，则实数k的取值范围是________．2．若复数1z i=+，则zzi=________．3．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为________．4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．5．函数1()15f x xx=+--的定义域是________．6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为________．7．已知函数()y f x x=+是偶函数，且()31f=，则()3f-=________．8．若双曲线22154x y-=的左焦点在抛物线22y px=的准线上，则p的值为________．9．设n S是等差数列{}n a的前n项和，已知23a=，611a=，则7S=________．10．若直线1:cos20l x yθ+=与直线2:3sin30l x yθ++=垂直，则sin2θ=________．第4题第11题11．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为________．12．已知圆1C ：2220x y x m +-+=与圆2C ：()()223336x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线l ：51280x y ++=距离的最大值为________． 13．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r r r r r 最小值为________．14．已知(),,x a b R f x e ax b ∈=-+，若()1f x ≥恒成立，则b a a-的取值范围是________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）若,24A a π==，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．17．（本小题满分14分）=米，如图所示．小球从A点出发以5 V的一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB1速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6 V的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点∠=弧度，小球从A到F所需时间为T．记为F．设AOEθTθ，并写出定义域；（1）试将T表示为θ的函数()（2）当θ满足什么条件时，时间T最短．18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，(),0A a ，()0,B b ，()0,0O ，ABO ∆ （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g为定值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=．（1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T，若0n k -≥ 对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+-．（1）当1a =-时，①求函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程；②比较()f m 与1()f m 的大小;（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()g x ≧0，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．数学附加题21．【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵302A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵11031A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l 过点(),3,06A B π⎫⎪⎭，且直线l 与曲线():cos 0C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【必做题】（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为0,(2,)F M y 是曲线C 上的一点，且52MF =．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅=-且OAB ∆的面积为16，求l 的方程．23．（本小题满分10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求()1P ，()2P ；（2）求()P n ．江苏省南通市2020届高三年级二轮复习卷参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭2．－1 3．35 4．20 5．{}|15x x x ≥≠且 6．497．7 8．6 9．49 10．1213-1112．2 13．5214．[1,)-+∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）（1）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=．………………2分∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A =+=+=，∵()0A π∈，，sin 0A ≠，∴1cos 2B =．………………6分又∵0B π<<，∴3B π=．………………8分（2）由正弦定理sin sin a b A B =，得2b ==10分,43A B ππ==Q ，∴sinC =12分11sin 222s ab C ∴==⨯=．………………14分 16．（本小题满分14分）（1）∵AA 1∥BB 1，AA 1=BB 1，∴四边形AA 1B 1B 是平行四边形，∴AB ∥A 1B 1，………………3分又AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，∴AB ∥平面A 1B 1C ．………………6分（2）由（1）证明同理可知AC =A 1C 1，BC =B 1C 1，∵AB =BC ，∴A 1B 1=B 1C 1，∵M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1，………………9分∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥B 1A 1，又CC 1∩C 1M =C 1，∴B 1A 1⊥平面C 1CM ，………………12分又B 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，∴平面C 1CM ⊥平面A 1B 1C ．………………14分 17．（本小题满分14分）（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，»AE θ=．所以»11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．………………6分（2）11()56sin 6T v v vθθθ=++， 22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ'-+-=-==-．………………9分记02cos 3θ=，03,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当θ∈(4π，θ0)时，T ′(θ)＜0，即T (θ)在区间(4π，θ0)上单调递减，当θ∈(θ0，34π)时，T ′(θ)＞0，即T (θ）在区间(θ0，34π)上单调递增，………………12分 ∴当cos θ23=时时间T 最短．………………14分 18．（本小题满分16分）（1）由题可知离心率12c e a ===，12ABO Sab ∆==解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．………………4分（2）证明：设点()P m n ,，因为点P 在椭圆C 上，所以22143m n +=，即223412m n +=，………………5分当0m ≠时，因为()P m n ,，()2,0A ，所以直线P A 的方程为22y nx m =--，令0x =得22n y m =--，所以20,2n M m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，………………7分因为因为()P m n ,，(B ，所以直线P A 的方程为y n x m-=，令0y =得x =，所以N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，………………9分则22N AN x ⎛=-=-=⎝，22MnBM ym⎛⎫==-=⎪-⎝⎭，所以||||AN BM⋅===．………………11分因为223412m n+=，所以原式==13分当0m=时，因为点P在椭圆22143x y+=上，且不与点B重合，所以点P的坐标为(0,，则此时(0,M，()0,0N，则2,AN BM==，所以||||AN BM⋅=………………15分综上，||||AN BM⋅为定值16分19．（本小题满分16分）（1）当1n=，11122a Sa+=，即11122S SS+=，得1S=，………………2分当2n≥时，1122n n nn nS S SS S---+=-，化简得()()112n n n nS S S S--+⋅-=，即()22122n nS S n--=≥，所以数列{}2n S是以2为首项，2为公比的等差数列，所以()22212nS n n=+-=．………………4分又因为0na>，所以nS=，所以22S =，3S =．当2n ≥时，1n n n a S S -=-==，对1a =所以数列{}n a的通项公式为n a =．………………6分（2）因为21n n n b S S +===+，所以12n n T b b b =+++L12=+⋅⋅⋅+1=． (10)分因为10n n T T +-=>，所以n T 在*n N ∈上单调递增，………………12分所以n T的最小值为)11T =．因为0n k -≥对任意的正整数n 都成立，所以()minnk ≤，即11k ≤=．所以实数k 的取值范围是1k ≤．………………16分 20．（本小题满分16分）（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，()11f '=-，又(1,2)A ， ∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=；………………2分②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<， ()h m ∴在(0,)+∞上单调递减，又()10h =，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m=；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．………………8分（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得x a =0a >Q ，∴1a ，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．………………10分当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增．0()()min g x g x ∴=．………………12分∵()g x ≧0在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=，即200230lnx x --+=．………………14分令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--， 0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又()120h =>，()22210h ln =--<，012x ∴<<．0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增， 34a ∴<．………………16分数学附加题21．【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，130********a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则2031ab a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得123a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩．3021A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦．………………6分∴A 的特征多项式()()()33121f λλλλλ-==----，令()0f λ=，A ∴的特征值为3和1．………………10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）依题意，(),3,06A B π⎫⎪⎭的直角坐标方程为()3,3,02A B ⎛ ⎝⎭，从而直线l的普通方程为30x +-=，………………3分曲线():cos 0C a a ρθ=>的普通方程为()222024a a x y a ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭，………………5分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以()32022aaa -=>，………………8分解得2a =（负值舍去）．………………10分【必做题】（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）（1）由题意，将0(2,)M y 代入22x py =，得02y p=，又025()222p p MF y p =--=+=，解得1p =， ∴抛物线的方程为22x y =．………………3分（2）直线l 的斜率显然存在，设直线1122:,(,),(,)l y kx b A x y B x y =+，由22y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2220x kx b --=，所以12122,2x x k x x b +==-，又由121212242OA OB y y x x b k k x x ⋅=⋅==-=-，解得4b =，………………5分 ∴直线方程为4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，原点O 到直线l 的距离d =∴1122OAB S AB d ∆=⋅=16===，………………8分所以243264k +=，解得k =±，所以直线的方程为4y =±+．………………10分 23．（本小题满分10分）（1）抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故()112P =，抛掷两次，一共有2416=个结果，出现12+，21+，00+，33+，03+，30+时，符合要求，故计6种情况，故()632168P ==．………………4分（2）设n S 被3除时余1的概率为1()p n ，n S 被3除时余2的概率为2()P n ，则12111(1)()()()244P n P n P n P n +=++，① 112111(1)()()()424P n P n P n P n +=++，② 212111(1)()()()442P n P n P n P n +=++，③ ①(-②+③)，得：12121(1)[(1)(1)][()()]2P n P n P n P n P n +-+++=-+，化简，得4(1)()1P n p n +=+， 111(1)[()]343P n P n ∴+-=-，又()112P =， 1()3P n ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，14为公比的等比数列121()334n P n ∴=+⨯．………………10分。

江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(2)

江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（2）班级学号姓名1．计算：2(1)i i += ．2．已知集合2{|23},{|2}A x x x B x x =-<=≤，则A B I = ．3．某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布直方图”（如图），若90分以上（含90分）获奖，则该校参赛学生的获奖率为．4．若2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+= ．5．已知向量(0,1),(,),(1,3)OA OB k k OC ===u u u r u u u r u u u r ，若//AB AC u u u r u u u r ，则实数k = ．6．命题“2,2390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为．7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >，,a b 为常数），若()f x 的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+在区间[－1，1]上的最大值是． 8．若椭圆221(,0)x y m n m n+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为．9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 km.．10．已知函数()f x 的导函数()29f x x '=-，且(0)f 的值为整数，若当(,1]x n n ∈+*()n ∈N 时，()f x 的值为整数的个数有且只有1个，则n = ．11．已知函数2()1sin cos ,()cos ()12f x x x g x x π=+=+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求)(0x g 的值；（2）求使2()()()(0)[,]2233x x h x f g ωωππω=+>在区间-上是增函数的ω的最大值． 60 120 分数人数 2 4 5 6 7 812．已知数列{a n }的前n 项的和n S 满足23(*)n n S a n n =-∈N ．（1）求证：{a n +3}为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）数列{a n }是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．。

2020江苏高考理科数学二轮练习：小题专题练新题型、新定义、图表等含解析

14．设[x]表示不超过x的最大整数、如：[π]＝3、[－4.3]＝－5.给出下列命题：①函数f(x)＝ln(x－[x])的值域为(－∞、0]；②若x1≤x2、则e[x1]≤e[x2]、其中e为自然对数的底数；③[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝90；④若函数f(x)＝－、则y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1、0}．其中所有真命题的序号是________．
2020江苏高考理科数学二轮练习：小题专题练新题型、新定义、图表等含解析
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小题专题练(六)新题型、新定义、图表等
(建议用时：50分钟)
1．非空数集A＝{a1、a2、a3、…、an}(n∈N*)中、所有元素的算术平均数记为E(A)、即E(A)＝ .若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)、则称B为A的一个“保均值子集”．据此、集合{1、2、3、4、5}的“保均值子集”有________个．
2．如果M是函数y＝f(x)图象上的点、N是函数y＝g(x)图象上的点、且M、N两点之间的距离|MN|能取到最小值d、那么将d称为函数y＝f(x)与y＝g(x)之间的距离．按这个定义、函数f(x)＝x和g(x)＝之间的距离是__________．
3.函数y＝f(x)的图象如图所示、在区间[a、b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1、x2、…、xn、使得＝＝…＝、则n的取值范围是________．
正方形数N(n、4)＝n2、
五边形数N(n、5)＝ n2－ n、
六边形数N(n、6)＝2n2－n、
…
可以推测N(n、k)的表达式、由此计算N(10、24)＝________.