2019-2020学年人教A版高中数学选修1-1同步作业：第1章 常用逻辑用语1.3 Word版含解

第一章 1.3

一、选择题

1．(2018·湖北武汉二中调研)若命题¬(p∨(¬q))为真命题，则p，q的真假情况为(C) A．p真，q真B．p真，q假

C．p假，q真D．p假，q假

解析若¬(p∨(¬q))为真命题，则p∨(¬q)是假命题，故p和¬q都是假命题，即p假q真，故选C．

2．下列有关命题的叙述：

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；

②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；

③如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；

④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．

其中错误的个数为(B)

A．1B．2

C．3D．4

解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，

所以p∧q不一定为真，所以①错误．

由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，

所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确．

如果命题“¬p”是真命题，命题“p或q”是真命题，则p是假命题，q是真命题，所

以③正确．

“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误．

所以错误的个数为2.

3．已知命题p ：函数f (x )＝sin x ·cos x 的最小正周期为π；命题q ：函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是( D )

A ．¬p

B ．(¬p )∨q

C ．p ∧q

D ．p ∨q

解析 因为f (x )＝sin x ·cos x ＝1

2sin 2x ，其最小正周期为π，所以命题p 为真命题．

因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

2＝cos x ， 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2的图象关于y 轴对称， 所以命题q 为假命题，所以命题p ∨q 为真命题．

4．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( C )

A ．p 且q 为真

B ．p 或q 为假

C ．p 真q 假

D ．p 假q 真

解析 将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )，成立，故p 为真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 为假．故选C ．

5．(2018·湖北黄冈调考)已知p ：函数y ＝sin 1

2x 的最小正周期是π，q ：函数y ＝tan x 的

图象关于直线x ＝π

2

对称，则下列判断正确的是( C )

A ．p 为真

B ．¬q 为假

C ．p ∧q 为假

D ．p ∨q 为真

解析 p 和q 均为假命题，所以¬q 为真，p ∧q 为假，p ∨q 为假，故选C ．

6．给定命题p ：函数y ＝ln [(1－x )·(1＋x )]为偶函数，命题q ：函数y ＝e x －1

e x ＋1为偶函数，

下列说法正确的是( B )

A ．p ∨q 是假命题

B ．(¬p )∧q 是假命题

C ．p ∧q 是真命题

D ．(¬p )∨q 是真命题

解析 对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln [(1－x )·(1＋x )]， 由(1－x )(1＋x )>0，得－1

∴函数f (－x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 又∵函数f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题．

对于命题q ：令y ＝g (x )＝e x －1

e x ＋1，函数g (x )的定义域为R ，

关于原点对称，g (－x )＝e －x

－1e －x ＋1＝1

e x －11e x

＋1＝1－e x

1＋e x

＝－g (x )，

∴函数g (x )为奇函数，∴命题q 为假命题， ∴(¬p )∧q 是假命题，故选B ． 二、填空题

7．已知p 和q 都是命题，则“命题p ∨q 为真命题”是“命题p ∧q 为真命题”的____必要不充分____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

解析 命题p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真， 而p ∧q 为真命题，则p ，q 都为真．

故“命题p ∨q 为真命题”是“命题p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．

8．已知命题p ：函数f (x )＝l g(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ；命题q ：当m ∈[－1,1]时，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，如果命题p ∨q 为真命题，且p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是____[－2，－1]∪(2,6)____.

解析 若命题p 为真，令x 2－4x ＋a 2>0，则Δ＝16－4a 2<0⇒a >2或a <－2. 若命题q 为真，因为m ∈[－1,1]，所以

m 2＋8∈[22，3]．

因为对于任意m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥

m 2＋8恒成立，

所以只需满足a 2－5a －3≥3，解得a ≥6或a ≤－1.

命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，则p ，q 一真一假．

①当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧

a >2或a <－2，

－1

②当p 假q 真时，可得⎩

⎪⎨⎪⎧

－2≤a ≤2，

a ≤－1或a ≥6⇒－2≤a ≤－1.

综合①②，可得a 的取值范围是[－2，－1]∪(2,6)．

9．当a >0时，设命题P ：函数f (x )＝x ＋a

x 在区间(1,2)上单调递增；命题Q ：不等式x 2

＋ax ＋1>0对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____(0,1]____.

解析 ∵f (x )＝x ＋a

x 在区间[a ，＋∞)上单调递增，

∴(1,2)⊆[a ，＋∞)，