2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：填空题专练(一)
江苏省高三数学二轮 专题训练 填空题(90)
江苏省高三数学二轮专题训练：填空题（90）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1．经过点M (2,1)-，N (1,3)-的直线的斜率为 ▲2．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ▲ ．3．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ▲ ．4. 设1:>x p ，x x q ≥2:，则p 是q 的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)5．若函数3)(x x f =，导函数值3)(0='x f ，则正数0x 的值为 ▲ ．6．直线l ：210kx y k -++=必过定点 ▲ ．7．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ▲ ．8. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：①若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；③若//,m m n α⊥，则n α⊥； ④若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥其中所有真命题的序号是 ．9．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= ▲ ． 10. 在平面直角坐标系xoy 中，双曲线112422=-y x 上一点M 到它右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是▲ ．11．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a ＝ ▲ ．12．两圆229x y +=与22286250(0)x y x y r r ++-+-=>相交，则r 的取值范围是 ▲ ．13. 函数x x x f ln )(=的单调递减区间为_ ▲ _． 14. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 则21F PF ∆ 的面积为 ▲。
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)含答案
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
2020年江苏省高考数学试题(解析版)
2020年江苏省高考数学试题一、填空题1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算. 【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2AB =故答案为：{}0,2. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3【解析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值. 【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3- 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4- 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10．将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=- 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题. 12．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】105【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PABSd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为105， 故答案为：105 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题15．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =.由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米【解析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长； （2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵准线方程为4x = ∴()4,Q Q y∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅ ∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 19．已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析【解析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =. 又()1x F x k x-'=⋅. 若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10F x F ≥=，即()()0h x g x -≥，符合题意. 综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立. 令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<<， 当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20．已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk kn n n SS a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1 （2）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩（3）01λ<<【解析】（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1)n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ； （3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/（2）11221100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->111222+1+1)3n nn n S S S S -=-1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -= 1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n n S S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S SS λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意. ② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<此时()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上，01λ<< 【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.21．平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解. 【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1m n Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25151525m n c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题． 22．在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为3y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y+-=，由22340y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-，舍；即所求交点坐标为当),4π【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 23．设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩ 21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.24．在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（115（2239【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515 （2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩ 令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=-设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-12cos ,67813n n ∴<>== 因此12239sin 13θ== 【点睛】 本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+ 【解析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯. （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯， 因此112122+333n n n n p q p q --+=+， 从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-， 即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+. 又n X 的分布列为故1()213n n n n E X p q =+=+. 【点睛】 本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷（含答案解析）
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合1，2，，，则______．2. i 是虚数单位，则的值为______．3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______4. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是______ ．5. 某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为______．6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______． 7. 已知函数的一个对称中心是，则的值为______． 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______ ．9 设周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足，，则m 的取值范围是________．10. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为的菱形组成的图形中，______．11. 等差数列的公差为d，关于x的不等式 的解集为，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是______ ．12. 在中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，则______． 13. 已知圆O：与曲线C：，曲线C上两点，、n 、s、p均为正整数，使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，则______．14. 函数其中，若函数有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，四棱锥中，底面ABCD ，，，，，M，N分别为SA ，SC的中点，E为棱SB上的一点，且．证明：平面ABCD；证明：平面SBC．16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．的值；Ⅰ求角A的值；的值．Ⅱ若，，求的值．17. 某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中，，O 为AB上一点，且，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置N分别在线段OD、OC上，点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．面积最小时观赏效果最好．当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？的中点？怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．的值．18. 已知椭圆C ：．若椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，求椭圆的方程；求椭圆的方程； 设，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．的方程．设，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，，求椭圆离心率的取值范围．，求椭圆离心率的取值范围．19. 已知函数，其中．若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围；的取值范围；若函数有三个极值点，，，求证：．20. 已知数列的通项公式，设，，，其中成等差数列．，成等差数列．若．当，，为连续正整数时，求的值；的值；为定值；当时，求证：为定值；的最大值．求t的最大值．答案和解析1.【答案】{解析}解：1，2，，；．故答案为：． 进行交集的运算即可．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】{解析}解：，故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】{解析}解：由渐近线方程为，即渐近线方程为，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即有，又，即， 可得．故答案为：． 设双曲线的方程为，则渐近线方程为，由题意可得，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．基础题．4.【答案】5049{解析}解：根据流程图所示的顺序，解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是累加并输出，，故答案为：5049．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出的值的值根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．解模．5.【答案】16{解析}解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为：专业抽取的学生人数为：．故答案为：16．利用分层抽样的性质直接求解．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查应从A 专业抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．算求解能力，是基础题．6.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．题．先求出基本事件总数，再利用列举法求出选出的2本书编号相连包含的基本事件有4种，由此能求出选出的2本书编号相连的概率．本书编号相连的概率． 【解答】【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，的五本书， 某同学从中任意选出2本书，本书， 基本事件总数，选出的2本书编号相连包含的基本事件有：本书编号相连包含的基本事件有：，，，，共4种，种， 选出的2本书编号相连的概率为．故答案为．7.【答案】{解析}解：的一个对称中心是，，，得，，，当时，，故答案为：根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．比较基比较基础．础．8.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．想、化归与转化思想，是中档题． 将侧面和侧面展开成矩形，如图，连结，交于D ，此时最小，当最小时，，此时三棱锥的体积：，由此能求出结果．，由此能求出结果．【解答】【解答】 解：将侧面和侧面展开成矩形，如图，，如图，连结，交于D ，此时最小，最小，，，，，点D 为侧棱上的动点，上的动点，当最小时，，此时三棱锥的体积：的体积：．故答案为：．9.【答案】{解析}解：由题意，函数是奇函数，，函数是奇函数，故有，又周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，故， ， ，当时，解得，当时，解得，所以m 的取值范围是故答案为由题意，故求了的取值范围即可得出关于m 的不等式，由题设条件，先有奇函数的性质得出的范围，再由周期性得出的范围即可的范围即可本题考查函数的周期性，解题的关键是根据函数的奇函数的性质与周期性的性质求出从而得到m 的不等式，解出m 的取值范围，本题考查了转化的思想的取值范围，本题考查了转化的思想10.【答案】{解析}解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则，，，，，，．故答案为：．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可是计算简便，属于中档题．11.【答案】11{解析}解：关于x 的不等式的解集为，，且，即，则，，故使数列的前n 项和最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11． 根据已知中等差数列的公差为d ，关于x 的不等式的解集为，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．案．本题考查的知识是数列的函数特性，本题考查的知识是数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．12.【答案】{解析}解：由正弦定理，得：，，，，当且仅当时，等号成立，时，等号成立，，，，．故答案为：．由正弦定理，得：，由余弦定理得，从而，当且仅当时，时，成立，成立，进而求出，由此能求出tan A ．本题考查三角形内角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.【答案】0{解析}解：设，则，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，，消去m ，n 得所以，，此时，此时， 故答案为：0 设，则，结合且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，m 、n 、s 、p 均为正整数，求出m 、n 、s 、p 的值，可得答案．的值，可得答案．本题考查的知识点两点之间的距离公式，恒成立问题，方程思想，难度较大．14.【答案】{解析}解：函数其中，函数，当，或时，，函数为增函数，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，，函数为减函数， 故当时，函数取极大值，函数有两个零点0和t ，若函数恰有6个不同的零点，个不同的零点， 则方程和各有三个解，各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，各有三个零点，由，故，得：，故不等式的解集为：，故答案为：若函数恰有6个不同的零点，则方程和各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，进而得到答案．各有三个零点，进而得到答案． 本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．15.【答案】本小题满分12分证明：Ⅰ连AC ，，N 分别为SA ，SC 的中点，的中点，，又平面ABCD ，平面ABCD ，平面分 Ⅱ连结BD ，，，，，又底面ABCD ，底面ABCD ，，，平面SDB ，平面SDB ，，又，当时，，在与中，，，，又，∽，，即．，平面分{解析}Ⅰ连AC ，则，由此能证明平面ABCD ．Ⅱ连结BD ，推导出，，从而平面SDB ，，由题意得∽，由此能证明平面SBC ．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．空间思维能力的培养．16.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得，．化简得，．由余弦定理得，． 又， ．Ⅱ由Ⅰ知，， 又，，．又，，． ， ，．档题．档题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得，由余弦定理cos A 的值，结合范围，可求A 的值．的值．Ⅱ由正弦定理可求sin B ，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解． 17.【答案】解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，．：；，可得，设，，，为MN 的中点，的中点，，此时，；分建系2分 ，，，，当且仅当时取等号，时取等号， ，此时．答：当时，P 为队列MN 的中点；的中点；当点M 满足时，观赏效果最好．分答1分{解析}以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．求出OC ：，，设，，，然后求解即可．，然后求解即可．通过，推出，利用三角形的面积，以及基本不等式求解即可．解即可．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：椭圆C ：，椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，，解得，，椭圆的方程为．，R 、S 分别为椭圆C ：的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，，， 直线PR ：，即，，直线PS ：，即，，直线MN 的方程为：，即．设，，，．根据题意，解得，连SD ，延长交椭圆于点Q ． 直线SD 的方程为，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标，所以，，即，解得，即，，．椭圆离心率e 的取值范围为{解析}由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程．，由此能求出椭圆的方程． 求出，，从而求出直线PR ，直线PS ，从而求出M ，N 坐标，由此能求出直线MN 的方程．的方程．设，，由，得，连SD ，延长交椭圆于由此能求出椭圆离心率e 的取值范围．的取值范围．本题考查椭圆方程、直线方程、椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．是中档题．19.【答案】解：由函数，其中，得，由函数在上单调递增，上单调递增，故，即恒成立，即恒成立．恒成立． 令，则，因此在区间上单调递增，上单调递增，所以．由，则．由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点，则，令，则，当时取极值，时单调递增，单调递增，，则时有两零点，，且，要证：，即证其中，即证：，即，由，，则，即证：；等价于，等价于，由在上单调递增，即证：，又，则证， 令，，--． 恒成立，恒成立，则为增函数，为增函数，当时，，，原结论成立．原结论成立．{解析}由题意求得，依题意，转化为恒成立，可得到a 的取值范围；的取值范围；由题意得，利用有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点是，再利用分析法去证明即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力识的理解掌握水平和分析推理能力20.【答案】解：依题意，，，成等差数列，即，从而，当为奇数时，解得，不存在这样的正整数；当为偶数时，解得，所以分依题意，，，成等差数列，即，从而， 当，均为奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当，均为偶数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，，即分 设，，成等差数列，则，即，整理得，，若，则，因为，所以只能为2或4，所以s 只能为1或2；分若，则，，故矛盾，故矛盾，综上，只能，，成等差数列或，，成等差数列，其中r 为奇数，为奇数， 从而t 的最大值为分{解析}，依题意，，，成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当为奇数或偶数时，分别求得的值；的值；，，成等差数列，根据等差中项可知：，分别当，为奇数或偶数时，即可求得，因此为定值；为定值；设，，成等差数列，根据数列等差中项定义，，分类讨论，求得s 的值，当，求得s 的值，最后求得，，成等差数列或，，成等差数列，其中r为奇数，即可求得t 的最大值．的最大值．本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，考查分类讨论思想，考查分类讨论思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．与计算能力，属于中档题．。
2020届江苏省高三高考全真模拟(二)数学试题(解析版)
2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。
【2020】数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(一)集合与常用逻辑用语-含解析
答案：{x|0<x<2}2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a ＝1，即实数a 的值为1.答案：13．设集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋1，x∈R}，B ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，则满足C ⊆(A∩B)的集合C 的个数为________．解析：法一：解方程组得或所以A∩B＝{(0,1)，(－1,0)}，即A∩B 中有2个元素．因为C ⊆(A∩B)，所以集合C 的个数是4. 法二：在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝x ＋1和圆x2＋y2＝1的图象，可知直线和圆有两个交点，即A∩B 中有2个元素．因为C ⊆(A∩B)，所以集合C 的个数是4.答案：44.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为B ＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，所以A∪B＝R ，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以阴影部分表示的集合为∁R(A∩B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(2，＋∞)5．已知集合M ＝，N ＝{y|y ＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N＝________.错误!，得≥0解析：由所以x>1或x≤0，8．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x ＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．答案：{1,3}9．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解析：因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B 中元素的个数为2.答案：210．已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是________．解析：当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1∈(0,3]，因为f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以对于∀x1∈[－2,2]，f(x1)∈[－3,3]．因为对于∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以g(x)在[－2,2]上的值域A[－3,3]．根据函数g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，得A＝[m－1，m＋8]，所以解得－5≤m≤－2，即实数m 的取值范围是[－5，－2]．答案：[－5，－2]11．已知集合A ＝{x|y ＝lg(4－x)}，集合B ＝{x|x<a}，若P ：“x∈A”是Q ：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得A ＝{x|x<4}，且A B ，结合数轴易得a>4.答案：(4，＋∞)12．若y ＝x2＋ax ＋b ，A ＝{x|y ＝x}＝{a}，M ＝{(a ，b)}，则M ＝________.解析：由A ＝{a}得x2＋ax ＋b ＝x 的两个根为x1＝x2＝a ，即x2＋(a －1)x ＋b ＝0的两个根x1＝x2＝a ，所以x1＋x2＝1－a ＝2a ，得a ＝，x1x2＝b ＝，所以M ＝.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19答案： 13．设集合A ＝{a1，a2，a3，a4}，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B ＝{－1,3,5,8}，则集合A ＝________. 解析：在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以3(a1＋a2＋a3＋a4)＝(－1)＋3＋5＋8＝15，故a1＋a2＋a3＋a4＝5，于是集合A 的四个元素分别为5－(－1)＝6,5－3＝2,5－5＝0,5－8＝－3，因此，集合A ＝{－3,0,2,6}．答案：{－3,0,2,6}14．对于函数y ＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的___________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若y ＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，。
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题(word版)
1南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数 学参考公式；圆锥的侧面积公式：S=πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1．已知集合A={x|x=2k+1，k ∈z}，B={x|x(x-5)<0），则A ∩B=____ ． 2．已知复数z=1+2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为-l ，则输入的实数x 的值为 ． 4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)=x+3a，则f(a)的值为 ．27．若将函数f(x) =sin(2x+3π)的图象沿x 轴向右平移ϕ（ϕ> 0）个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则 ϕ的最小值为8．在△ABC 中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}= {b 1，b 2，b 3}={a ，b ，-2}，其中a>0，b>0，则a+b 的值为 ．10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，-1），则PAPF的最小值为11.已知x ，y 为正实数，且xy+2x+ 4y=41，则x+y 的最小值为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x-m)2+y 2=r 2(m>0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交予A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD ，则直线l 1的率为 ．13.在△ABC 中，BC 为定长，||3|2|BC AC AB =+．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．14．函数f(x) =e x -x-b(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数g(x)=f(f(x)一21）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）如图，三棱锥P-ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC. (1)求证：AC ∥平面PDE;3(2)若PD=AC=2，PE=3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=bcosC +csinB. (1)求B 的值．(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD=717，cosA= -257，求b 的值．17.（本小题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道A8，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道．记∠CBD 为θ．4(1)用疗表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2)求当θ为何值时，栈道总长度最短．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222by a x =1(a>b>0)的离心率为21，且过点(0，3)． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．519.（本小题满分16分）已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x ，g(x) =alnx ，a ∈R ．函数h(x)=xx f )(-g(x)的导函数 h'(x)在[25，4]上存在零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)x=0时取得最大值，求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为-12，求实数a 的值． 20.（本小题满分16分）已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n 。
2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组答案解析(9页)
2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组专题13 数列(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上.1.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 【答案】1【解析】由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d= 2.等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a =【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，2344,2,a a a 成等差数列，所以，32444a a a =+，即2344q q q =+，解得：q ＝2，所以，6171a a a q =＝643.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a 4.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 【答案】3【解析】∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===．5. 等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．【答案】97【解析】由题意得：2215a a a =⋅，则2111()(4)a d a a d +=⋅+，整理得：12d a =，15951124641134993377a a a a a d a a a a a a d a +++====+++6.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是 ． 【答案】25 【解析】1Q ，1a ，2a ，4成等差数列，21145a a ∴+=+=，又1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，2213144b b b ∴==⨯=，解得22b =±，又21210b b =⨯>，22b ∴=，∴12252a ab +=． 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和为 ．【答案】20202019【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =Q ，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=， 联立解得：11a d ==， 11n a n n ∴=+-=．∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++． 则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和1111112019112232019202020202020=-+-+⋯⋯+-=-=． 8. 在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为 ．【答案】452【解析】在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，43544a a a ∴=+，32444q q q ∴=+，解得2q =， 12n n a -∴=，Q 数列{}n a 的前n 项之积为n T ，024567890123456789451022222222222T +++++++++∴=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==．9. 已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为 ． 【答案】31【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，2124a a +=Q ，235a a =，1(2)4a q ∴+=，22411()a q a q =，联立解得11a =，2q =．∴该数列的前5项的和5213121-==-．10.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ．【答案】32【解析】当：时：不合题意当：1≠q 时：11.已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.{}n a n n S 3676344S S ==,8a *{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S 1=q由题意可得：， 解得：，则. 12.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前项和，则使得n S 达到最大值的n 是 ．【答案】20【解析】设等差数列公差为d ，则有11361053999a d a d +=⎧⎨+=⎩解得139a =，2d =-203921910a ∴=-⨯=>，213922010a =-⨯=-<∴数列的前20项为正， ∴使得n S 达到最大值的是2013.设数列{}n a 各项为正数，且()13log 12n n a -+=，若()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使345n T >成立时n 的最小值为 .【答案】6【解析】()13log 12n n a -+=，()221321log 124n n n n b a ---=+==，则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……. 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈，所以6n ≥，于是345n T >成立时n 的最小值为6. 14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】设，则()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩152a d =-⎧⎨=⎩8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，530S =． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 前n 项和为n T ，当20192020n T =时，求n 的值． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24a =Q ，530S =．14a d ∴+=，1455302a d ⨯+=g ， 解得．12a d ==22(1)2n a n n ∴=+-= (6分)（2）由（1）可得(22)(1)2n n n S n n +==+． ⇒1111n S n n =-+． 数列1{}n S 前n 项和为1111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-++， 当20192020n T =时，12019112020n -=+，2019n ∴=．（14分 ） 16.（本题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解析】 (1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .(3分)由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(7分) (2) 由题意知c n ＝(n ＋1)×2n . 记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋ (n ＋1)×2n ，2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1， 所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1，(11分) 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N *.(14分)17. （本题满分14分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1) 设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋da 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(4分) (2) ①因为b 1＝a 1＝1， b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －1·2n ＋1＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， (6分) 即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1，(9分) 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.(10分) ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.(12分) 当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．(14分)18.(本题满分16分)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS=；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++L .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<； 【解析】 (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.（8分） (2) 因为T ⊆{1,2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .（15分）因此，S T <a k ＋1.（16分）19. （本题满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．求数列{b n }的通项公式； 【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（8分）（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，（12分)当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N∈.（16分）20.（本题满分16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1) 求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2) 记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围． 【解析】 (1) 因为a n ＋1＝3a n ＋2n －1，所以a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )． 故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，又a 1＝2，则a 1＋1＝3，故{a n ＋n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(4分) (2) 由(1)知a n ＋n ＝3n ，所以b n ＝3n －nλ.(6分)故T n ＝31＋32＋…＋3n －(1＋2＋3＋…＋n )λ＝32(3n －1)－n n ＋12λ.(8分) 因为T 3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *，有32(3n －1)－n n ＋12λ≥39－6λ恒成立，即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *恒成立．(10分) 当n ＝1时，由T 1≥T 3，得λ≥365；当n ＝2时，由T 2≥T 3，得λ≥9；(12分)当n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立， 所以λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12，n ≥4，则f (n ＋1)－f (n )＝3n＋12n 2－26＋162n ＋1n 2＋3n －10n 2＋n －12＞0恒成立，故f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n ≥4时单调递增，所以λ≤f (4)＝814.(15分)综上，9≤λ≤814.(16分)。
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题(纯word解析版)
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝ ． 答案：{1，3}考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<， ∴A I B ＝{1，3}．2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ． 答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为 ．答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意， 当0x >时，21x=-，该等式无解．故14x =-．4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生 个．答案：325考点：频率分布直方图 解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为 ． 答案：0考点：函数的奇偶性与周期性 解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+， ∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13af f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=． 7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为 ．答案：2π考点：三角函数的图像与性质解析：由题意知22T ππϕω===．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．答案： 考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ． 答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PFPA的最小值为 ．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠， 当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小，令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ． 答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．答案： 考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r m m r -=-，化简得3r m =，即cos ∠OCD ＝CD OC ＝rm=tan ∠COB ＝tan ∠OCD ，∴直线l 1的斜率为． 13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ． 答案：2考点：平面向量与解三角形 解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=u u u r u u u r u u u r，∴AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r可转化为33AE BC 22a ==u u u r u u u r ，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =，a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ，2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2． 方法二：14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ． 答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减， 当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点； 当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ，则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减，∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值． 解：（1）由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinBSin[π﹣(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinBsinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB ∵B 、C ∈(0，π)， sinB ＞0，sinC ＞0，∴cosB ＝sinB ，tanB ＝1， 由B ∈(0，π)， 得B ＝4π． （2）记A ＝2α∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α∵cosA ＝725-，A ∈(0，π)，∴sinA ＝2425sinC ＝sin(A ＋B) ∵cosA ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)， ∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α)＝10在△ADC 中， 由正弦定理得：ADsin ADC sin Cb =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠ 17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，»DE(2)12πθπθ=+⋅=+ 12()32sin tan f θπθθθ=-+++ 当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0，3]，求得2cos (2cos 1)()sin f θθθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：22143x y += （2）①B(0)，O 是△ABC 的垂心，设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N(0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN，则有00001y y x x ⋅=--，解得07x =±，07y =- 则MN＝7， 设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心， 则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1， II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843kmx x k -+=+，21224243m x x k -=+，整理得22434k m +=， 则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取2d =，综上，当k ＝0时，min d =． 19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，113x =，213x =，当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增， 所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-， ∵max 28a =， ∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为 322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()ag x x'=，可得切线方程为222ln ()a y a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上， 可得212ln a x a --=-， 因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x a a a x --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2n n T a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列． 解：（1）1344212155a q T S S S =⎧⇒=⇒==⎨=⎩；（2）因为无穷等差数列，所以d ≥0，且1N a *∈，d N ∈，I 当d ＝0时，n a 和n T 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；II 当d ≥2时，21112(1)21213n i n i n n na T a n n n a a -=≥+-=-⇒≥=-≥∑，舍去 故d ＝1，11111111(1)(1)2212(1)2(1)a n i n i n a T n n n n a a a a n a n a n +-=--≥=+<⇒<-+-+-+-∑ 若12a ≥，则没有满足条件的n ，所以12a =，此时(1)222n T n n n n -≥<⇒=，故n a n =（3）11T =，23T =，3161T a =⇒=，22a =，33a =，又11n n n n T T a a -->⇒> 所以n a n ≥；若n a n >，1212(1)122n n a n n n T a a a a a a n +=+++>+++>+++=L L L 与原命题矛盾，∴n a n =，11n n a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列．。
江苏省南京市、盐城市2020届高三下学期第二次模拟考试数学试题 Word版含解析
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数学一、填空题题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =_____________.【答案】{}1,3 【解析】 【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+， 所以()222345z =-+=.故答案为：5.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3.如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14- 【解析】 【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325 【解析】 【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：325.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5.从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________．【答案】0 【解析】 【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8.在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.【答案】 【解析】 【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ===，则所形成的几何体的表面积为()()12225565S r l l πππ=+=⨯⨯+=.故答案为：5π.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 9.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b的值为_______________．【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10.已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【解析】 【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =∴sin 2PM PAM PA ∠==.2【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-， ∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅=+++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 12.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】 【解析】 【分析】 设1l ：0kxy ，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y ，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD =AB OD =∴AB =.圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13.在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．【答案】2【解析】 【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCSBC y =⋅，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2.【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14.函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________. 【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-， 102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，3PE =PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =，可知222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解： ()1证明：D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥， 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值. 【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】 【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17.如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解析】 【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点()0,3.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()24333【解析】 【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长； ②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 2d =； 综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19.已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h xg x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312. 【解析】 【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围； ()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：x ==当10,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()ag x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20.已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-. 【解析】 【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】16 【解析】 【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可. 详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22.已知a ＞01a a+-2． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4， 只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.【答案】()135；()29. 【解析】 【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ， 因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=， 所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++， ()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭， 化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24.已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=. 【答案】()14；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。
2020届高三数学二轮复习选填专练6套打包下载含答案
2020届高三数学二轮复习选填专练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2).故选A.2.已知a －3ii ＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B 法一：由已知得a －3i ＝(b ＋2i)·i ＝－2＋b i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，所以z ＝a －b i ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.法二：由a －3i i ＝b ＋2i 得，a i －3i 2i 2＝－3－a i ＝b ＋2i ，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，则z ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.3.已知直线a ⊥平面α，则“直线b ∥平面α”是“b ⊥a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 因为直线a ⊥平面α，直线b ∥平面α，所以b ⊥a ，所以充分性成立；由直线a ⊥平面α及b ⊥a 可以推得b ∥α或b ⊂α，所以必要性不成立.故选A.4.数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半⎝ ⎛⎭⎪⎫即n 2，如果n 是奇数，则将它乘3加1(即3n ＋1)，不断重复这样的运算，经过有限次运算后，一定可以得到1.如果对正整数a 按照上述规则施行变换后得到的第4个数为1(注：1可以多次出现)，则这样的a 的所有不同取值的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：选B 依题意，引入数列{a n }，其中a 1＝a ∈N *，a n ＋1＝⎩⎨⎧an 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数.当a 4＝1时，a 3＝2；当a 3＝2时，a 2＝4；当a 2＝4时，a 1＝8或a 1＝1.因此，满足题意的a 的所有不同取值的个数为2.故选B. 5.据统计，2019年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示 ，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m ，n 的等差中项为( )A.5B.6C.7D.8解析：选B因为甲群抢得红包金额的平均数是88，所以78＋86＋84＋88＋95＋（90＋m ）＋927＝88，解得m ＝3.因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n ＝9.所以m ，n 的等差中项为m ＋n 2＝3＋92＝6.故选B.6.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则向量a 在a ＋b 方向上的投影为( )A.655B.－655C.13D.－13解析：选A 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝12＋3m ＝0，解得m ＝－4，所以b ＝(6，－4)，所以a ＋b ＝(8，－1)，所以向量a 在a ＋b 方向上的投影为a ·（a ＋b ）|a ＋b |=＝655.故选A.7.在不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ＋1≥0所表示的平面区域内随机取一点P ，则点P 到直线l ：x ＝－1的距离小于或等于1的概率为( )A.12B.14 C.18 D.116解析：选C画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ＋1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x ＝－1.易得A (－1，－1)，B (3，－1)，C (1，1)，则阴影部分的面积为12×4×2＝4.易知满足条件的点P 恰好落在△OAM 内(含该三角形的边界)，且△OAM 的面积为12×1×1＝12，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离小于或等于1的概率为124＝18.故选C.8.已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A.3＋223B.3＋2 2C.3D.2 2解析：选C 由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立.故2a ＋1b 的最小值为3.故选C.9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )A.6732 020B.2 0196 061C.13D.2 0206 061解析：选D i ＝1，a ＝11×4，S ＝11×4；i ＝2，a ＝14×7，S ＝11×4＋14×7＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17；…；i ＝2 020，a ＝1（3×2 020－2）（3×2 020＋1），S ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×2 020－2－13×2 020＋1＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×2 020＋1＝2 0206 061，结束循环.此时输出S ＝2 0206 061.故选D.10.先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象.已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A.x ＝4k π＋2π5，k ∈Z B.x ＝4k π＋7π10，k ∈Z C.x ＝2k π＋2π5，k ∈Z D.x ＝2k π＋7π5，k ∈Z解析：选D 法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T4＝9π20－π5＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ).∵g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象.令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D.法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数 g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .故选D.11.已知抛物线C ：x 2＝3y 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为4，则|AF ||BF |＝( )A.1B.2或12C.3D.3或13解析：选D 法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋34，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立，得⎩⎨⎧x 2＝3y ，y ＝kx ＋34，整理得，4x 2－12kx －9＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3k ，x 1x 2＝－94，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3(1＋k 2)＝4，∴k ＝±33.设|AF ||BF |＝λ，当k ＝33时，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE ⊥AM 于点E ，则|AE ||BE |＝33，|AE |2＋|BE |2＝|AB |2＝16，所以|AE |＝2.|AB |＝|AF |＋|BF |＝(λ＋1)|BF |＝4，|AF |－|BF |＝(λ－1)|BF |＝|AE |＝2，∴（λ＋1）|BF |（λ－1）|BF |＝λ＋1λ－1＝2，∴λ＝3.同理，当k ＝－33时，可求得λ＝13.故选D. 法二：设直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝2pcos 2θ＝3cos 2θ＝4，解得cos θ＝±32，∴直线l 的倾斜角θ＝30°或θ＝150°.当θ＝30°时，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE ⊥AM 于点E ，则|AF |＝|AM |，|BF |＝|BN |，∴|AF |－|BF |＝|AE |＝12|AB |＝2，又|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＝3，|BF |＝1，因此|AF ||BF |＝3.同理，当θ＝150°时，得|AF ||BF |＝13.故选D.12.已知在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.20π3B.6πC.22π3D.8π解析：选A ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，∴△ABD 与△BDC 均是边长为2的正三角形.设正三角形BDC 的中心为O 1，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，M 为BD 的中点，连接AM ，CM ，OA ，OO 1，则OO 1⊥平面BDC ，AM ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BDC ，所以AM ⊥平面BCD ，∴AM ∥OO 1，AM ⊥MO 1.过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，可得OG ∥MO 1.∵MA ＝MC ＝32×2＝3，∴MG ＝MO 1＝13×3＝33，GA ＝233，∴四边形MO 1OG 为正方形，∴OG ＝MO 1＝33.在直角三角形AGO 中，GA 2＋GO 2＝OA 2，即⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝R 2，R 2＝53，∴四面体ABCD 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝20π3.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.曲线f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－sin π2＝－1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴所求切线方程为y －0＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，即2x ＋2y －π＝0.答案：2x ＋2y －π＝014.已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________.解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以m n ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1215.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析：根据丙的说法可知，丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和3，此时满足甲的说法；若丙的卡片上的数字是1和3，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和2，此时不满足甲的说法.综上，甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和316.(2019·广东揭阳期末改编)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________，数列{a n }中最大项的值为________.解析：本题考查构造等差数列求通项.由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1a n ＝8，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1an ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝18n －17.当n ＝1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝17.答案：18n －1717 “12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为( )A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，3]D.[3，＋∞)解析：选B 法一：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.故选B.法二：集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{1，2，3}，a 的值大于3时，满足A ∩B ≠∅，因此排除A 、C.当a ＝1时，满足A ∩B ≠∅，排除D.故选B.2.z 是z ＝1＋2i1－i的共轭复数，则z 的虚部为( ) A.－12 B.12 C.－32D.32解析：选C z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，则z ＝－12－32i ，所以z 的虚部为－32.故选C.3.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A.－13 B.±13 C.－3D.±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B.25 C.415D.15解析：选A 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率P ＝S 1S ＝20150＝215.故选A.5.设函数f (x )＝x ·ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－x －1 B.y ＝x ＋1 C.y ＝－x ＋1D.y ＝x －1解析：选D f ′(x )＝ln x ＋1，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.故选D.6.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A.1 121B.1 122C.1 123D.1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.故选C.7.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )A.25，26B.33，34C.64，65D.72，73解析：选C 设靠左、右窗的座位号码分别为a n ，b n ，则由火车上的座位号码规律可得，a n ＝5n －4，b n ＝5n .因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B 和D 均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号码，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的.故选C.8.已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153B.32C.132D.2解析：选A 如图，由题意知F 1(－c ，0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在椭圆上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115，即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115，又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0，又e >1，所以e ＝153.故选A.9.函数f (x )＝e x ＋1x （e x －1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：选D 法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f (－x )＝e －x ＋1－x （e －x －1）＝－1＋e x x （1－e x）＝e x ＋1x （e x－1）＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A 、C. 又f (x )＝e x ＋1x （e x－1）＝（e x －1）＋2x （e x－1）＝1x ＋2x （e x－1），∴f ′(x )＝－1x 2－2[（x ＋1）e x －1]x 2（e x －1）2，∴x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，可排除选项B.故选D.法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f (x )＝1x ·e x＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x ＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A 、C.当x →＋∞时，1x →0，e x ＋1e x －1→1，所以e x ＋1x （e x－1）→0，则可排除B.故选D. 10.(2019·河北六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是( )A.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上有最小值B.函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12 C.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增D.函数f (x )的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0解析：选C 将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，又g (x )为偶函数，－π＜φ＜0，所以φ＝－π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝sin π2＝1，故排除D ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0，故排除B ；当－π6＜x ＜π3时，－π3＜2x ＜2π3，－π3－π6＜2x －π6＜2π3－π6，即－π2＜2x －π6＜π2，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，选C.11.如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )A.直线A 1C 1与AD 1为异面直线B.A 1C 1∥平面ACD 1C.BD 1⊥ACD.三棱锥D 1ADC 的体积为83解析：选D对于A，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，AD1⊂平面ADD1A1，D1∉直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD(图略)，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；对于D，三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC＝13×12×2×2×2＝43，故D错误.综上.故选D.12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)解析：选A令F(x)＝f（x）x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝f（x）x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f（x）x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－2，3)，若k a－b与b垂直，则实数k＝________.解析：因为k a－b与b垂直，所以(k a－b)·b＝k a·b－b2＝k－13＝0，所以k ＝13.答案：1314.(2019·山东枣庄薛城区月考改编)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________，z 的最大值是________.解析：x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 的可行域如图，目标函数z ＝2x ＋3y 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，经过点B 时，z 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋3y ＝2解得A (1，0).又点A 在直线x ＝a上，可得a ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＝2解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则z 的最大值是z ＝2×1＋3×12＝72.答案：1 7215.已知三棱锥P -ABC 中，AB ⊥平面APC ，AB ＝42，P A ＝PC ＝2，AC ＝2，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为________.解析：∵P A ＝PC ＝2，AC ＝2，∴P A ⊥PC ，又AB ⊥平面P AC ，∴把三棱锥P ABC 放在如图所示的长方体中，且长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥P -ABC 的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体体对角线的长为（2）2＋（2）2＋（42）2＝6，则外接球的半径R ＝3，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π.答案：36π16.在△ABC 中，∠ABC ＝90°，延长AC 到D ，使得CD ＝AB ＝1，若∠CBD ＝30°，则AC ＝________.解析：如图，设AC ＝x (x >0)，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD＝CD sin ∠CBD，所以BD ＝2sin ∠BCD ，又sin ∠BCD ＝sin ∠ACB ＝1x ，所以BD ＝2x .在△ABD 中，(x ＋1)2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2·2x ·cos(90°＋30°)， 化简得x 2＋2x ＝2x ＋4x 2，即x 3＝2，故x ＝32，故AC ＝3 2.答案：3 2“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |lg(x －2)＜1}，集合B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∪B ＝( ) A.(2，12) B.(－1，3) C.(－1，12)D.(2，3)解析：选C 由lg(x －2)＜1＝lg 10，得0＜x －2＜10，所以2＜x ＜12，集合A ＝{x |2＜x ＜12}，由x 2－2x －3＜0得－1＜x ＜3，所以集合B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜12}.故选C.2.已知i 是虚数单位，若z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 020，则|z |＝( ) A.1 B. 2 C.2D. 5解析：选B 1i ＝－i i （－i ）＝－i ，1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 020＝(－i)2 020＝i 2 020＝i 505×4＝i 4＝1，所以由z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 020，得z －i＝1，z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选B.3.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 6a 5＝2，则公差d 的值是( )A.－13B.13C.－14D.14解析：选A 法一：由a 6a 5＝2，得a 6＝2a 5，所以a 1＋5d ＝2(a 1＋4d )，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.法二：由a 6－a 5＝d ，a 6a 5＝2，得a 5＝d ，又a 5＝a 1＋4d ，所以d ＝a 1＋4d ，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.4.已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，由x ＜0得0＜2x ＜1，所以函数f (x )的值域是(0，1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－（－1）＝13.故选B.5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h 的速度行驶1 h ，消耗8 L 汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油解析：选C 从题图可知消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km ，故选项A 错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，故选项B 错误；若甲车以80 km/h 的速度行驶，由题图可知“燃油效率”为10 km/L ，所以行驶1 h ，消耗8 L 汽油，所以选项C 正确；若某城市机动车最高限速80 km/h ，从题图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，选项D 错误.故选C.6.已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6，0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A.(x －2)2＋y 2＝16B.x 2＋(y －6)2＝72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋y 2＝1009 解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009.故选C.7.如图1，在三棱锥D -ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为( )A. 6B.2C. 3D. 2解析：选D 由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为 2.所以侧视图的面积为 2.故选D.8.已知函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，则y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的大致图象是( )解析：选B 因为f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，且恒过点(1，0)，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，所以y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的图象和f (x )＝log a x 的图象关于y 轴对称，所以y ＝g (x )的图象过点(－2，1)和(－1，0).观察图象只有选项B 满足题意.9.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )A.18B.14C.2D.4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MP |，因为|FM ||MN |＝55，所以|MP ||MN |＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12，又∠OF A ＋∠MNP ＝90°(O 为坐标原点)，所以tan ∠OF A ＝2＝212p ，则p ＝2.故选C.10.定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.111B.112C.1011D.1112解析：选C 依题意有na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，即前n 项和S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式. 则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n . 因为1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C.11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点.若PB ＝1，∠APB ＝π3，则三棱锥P BCO 的外接球的表面积是( )A.2πB.4πC.6πD.8π解析：选B ∵底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又PB ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PB ，∴AC ⊥平面PBD ，∴AC ⊥PO ，即∠POC ＝π2.取PC 的中点M ，连接BM ，OM (图略).在Rt △PBC 中，MB ＝MC ＝MP ＝12PC ，在Rt △POC 中，MO ＝12PC ，则三棱锥P -BCO 的外接球的球心为M ，半径为12PC .在Rt △P AB 中，PB ＝1，∠APB ＝π3，∴BC ＝AB ＝3，∴PC ＝2，则三棱锥P BCO 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π.故选B.12.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B 法一：当f (x )取得最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，x ＝kωπ＋π3ω，k ∈Z ，依题意，得x ＝kωπ＋π3ω∉(π，2π)，因为当ω＝16时，x ＝(2＋6k )π∉(π，2π)恒成立，k ∈Z ，排除A 、C 、D.故选B.法二：因为ω＞0，π＜x ＜2π，所以ωπ＋π6＜ωx ＋π6＜2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ＜π，0＜ω＜1，则π6＜ωπ＋π6＜7π6.当π6＜ωπ＋π6＜π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0＜ω≤16；当π2≤ωπ＋π6＜7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______. 解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0，得x 2＋ax x 3＋x 2－ax－x 3＝0， 即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________.解析：开始，x ＝1，y ＝1，第一次循环，z ＝x ＋y ＝2，x ＝1，y ＝2；第二次循环，z ＝x ＋y ＝3，x ＝2，y ＝3；第三次循环，z ＝x ＋y ＝5，x ＝3，y ＝5；第四次循环，z ＝x ＋y ＝8，x ＝5，y ＝8；第五次循环，z ＝x ＋y ＝13，x ＝8，y ＝13；第六次循环，z ＝x ＋y ＝21，不满足条件z ＜20，退出循环.输出y x ＝138，故输出的结果为138.答案：13815.(2019·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－10，则tan 2α＝________，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：∵(sin α＋3cos α)2＝sin 2α＋6sin αcos α＋9cos 2α＝10(sin 2α＋cos 2α)，∴9sin 2α－6sin αcos α＋cos 2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2.答案：34 216.已知a ＞1，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1e ，x ≤－1，a x －x ln a ，x ＞－1在(－∞，0)上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析：由已知条件得1a ＋ln a ≤1＋1e ， 令g (x )＝1x ＋ln x (x ＞1)， 则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2＞0， 故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (a )＝1a ＋ln a ≤1＋1e ＝g (e)，所以1＜a ≤e. 经验证，满足题意. 答案：(1，e]“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≤－3或x ≥1}B.{x |x ＜－1或x ≥3}C.{x |x ≤3}D.{x |x ≤－3}解析：选D因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3＜x＜1}，所以A∪B＝{x|x＞－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}.故选D.2.若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A.3iB.－3iC.3D.－3解析：选D因为(3＋4i)z＝25i，所以z＝25i3＋4i＝25i（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝25i（3－4i）25＝4＋3i，所以z＝4－3i，所以z的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地.这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B.x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D.x1，x2，…，x n的中位数解析：选B平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12，则a4＝()A.4B.32C.108D.256解析：选D设等比数列{a n}的公比为q，由题意知q＞0，又首项a1＝4，所以数列{a n}的通项公式为a n＝4·q n－1，又b n＝log2a n，所以b n＝log2(4·q n－1)＝2＋(n－1)·log2q，所以{b n}为等差数列，则b1＋b2＋b3＝3b2＝12，所以b2＝4，由b2＝2＋(2－1)log2q＝4，解得q＝4，所以a4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A.法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan 60°2＝1633.故选A.6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54解析：选B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x －3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x ＜1.故选B. 9.已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是()A.k ＞12或k ≤－5 B.－5≤k ＜12 C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k P A ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x ，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x.现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C.12.已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P -ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，P A ＝AC ，PB ＝BC ，所以△P AC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V三棱锥P -ABC＝13·S △PBC ·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e 2－1.答案：1e 2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b a x ，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎨⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba m c －m ＝－ab ，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)“12＋4”限时提速练(五) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝7＋i ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1－iD.－1＋i解析：选B 法一：依题意得z ＝7＋i3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝1－i.故选B.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为(3＋4i)z ＝7＋i ，所以(3＋4i)(a ＋b i)＝7＋i ，所以3a －4b ＋(3b ＋4a )i ＝7＋i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，3b ＋4a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以z ＝1－i.故选B.2.已知集合A ＝{x |x 2－4|x |≤0}，B ＝{x |x >0}，则A ∩B ＝( ) A.(0，4] B.[0，4] C.[0，2]D.(0，2]解析：选A 由x 2－4|x |≤0得0≤|x |≤4，所以－4≤x ≤4，即A ＝[－4，4]，因为B ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，4].故选A.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( )A.2B.32C.3D.4解析：选C 法一：依题意，5×12＋5×42d ＝90，解得d ＝3.故选C. 法二：因为等差数列{a n }中，S 5＝90，所以5a 3＝90，即a 3＝18，因为a 1＝12，所以2d ＝a 3－a 1＝18－12＝6，所以d ＝3.故选C.4.设向量a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，则实数λ＝( )A.12B.1C.－1D.－12解析：选B 法一：因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以λa ＋b ＝(λ，－2λ＋1)，a ＋3b ＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1.故选B.法二：因为向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，所以(λa ＋b )·(a ＋3b )＝0， 所以λ|a |2＋(3λ＋1)a ·b ＋3|b |2＝0，因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以|a |2＝5，|b |2＝1，a ·b ＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1.故选B.5.已知α是第一象限角，sin α＝2425，则tan α2＝( ) A.－43B.43C.－34D.34解析：选D 因为α是第一象限角，sin α＝2425，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫24252＝725，所以tan α＝sin αcos α＝247，tan α＝2tan α21－tan 2α2＝247，整理得12tan 2α2＋7tan α2－12＝0，解得tan α2＝34或tan α2＝－43(舍去).故选D.6.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.25解析：选B 从五种不同属性的物质中任取两种，所有可能的取法共有10种，取出两种物质恰好是相克关系的基本事件有5种，则取出两种物质恰好是相克关系的概率P ＝510＝12.故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( )A.12 B.1 C.2D.4解析：选C 法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2.故选C.法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2.故选C.8.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )A.1B. 2C.2D.2 2解析：选D 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的高线上，又BC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，直线BC 的斜率为k BC ＝－2－34＋1＝－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y －12＝x －32，即x －y －1＝0.易知圆心(3，0)到直线x －y －1＝0的距离等于r ＝22＝2，所以该圆的直径为2 2.故选D. 9.函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为( ) A.1＋ln 2 B.1－ln 2 C.1＋ln 22D.1－ln 22解析：选C 因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.故选C.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6.故选B.11.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1的对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为( )A.32B.54C.43D.53解析：选D 法一：依题意，点M 在平面ACC 1A 1上，如图，取AC 的中点O ，连接C 1O 并延长，与过A 且垂直于C 1O 的直线交于N ，取MN ＝AN ，过M 作AC 的垂线MP 交AC 于P ，交A 1C 1于Q ，MQ 的长等于点A 关于平面BDC 1的对称点M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离，因为正方体的棱长为1，所以CC 1＝1，OA ＝OC ＝22.在Rt △OCC 1中，由勾股定理得OC 1＝OC2＋CC 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋12＝62，cos。
江苏省2020届高考数学模拟试卷
高考数学模拟试题注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =+球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]-B ． 1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )1]1,1)A B C D9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x -->=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的分布列如下：MA BCQDX －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点十一等差数列与等比数列(理)
考点十一 等差数列与等比数列一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5＝( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．±4 2答案 A解析 由a 7a 3＝q 4得q 4＝4，则q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8，故选A. 2．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n ，则a 6＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2答案 C解析 由2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n 知，数列{a 2n }是等差数列，前两项为1,4，所以公差d ＝3，故a 26＝1＋5×3＝16，所以a 6＝4，故选C.3．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，则此数列可以为0,0,0,0,0，…，此时{a n }不是等比数列；若{a n }是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，….故选B.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －12×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·湖南六校联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析 由题知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30，故选C.6．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列{a n }满足a 1＝32，a 2＋a 3＝40，则{|a n |}的前12项和为( )A ．－144B ．80C ．144D ．304答案 D解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎪⎨⎪⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n >5，所以前12项和为5×32＋02＋7×8＋562＝80＋224＝304.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．49 C ．35 D ．63答案 B解析 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7a 2＋a 62＝7×142＝49.选B. 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小，选A.二、填空题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6a 3＝2，则S 6S 3＝________. 答案 72解析 设等差数列{a n }的公差为d ，a 6a 3＝2，即a 3＋3d ＝2a 3，a 3＝3d ，S 6S 3＝3a 3＋a 43a 2＝a 3＋a 3＋d a 3－d ＝3d ＋3d ＋d 3d －d ＝72.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析因为⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＝3，即1＋qq 2＝2，所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.11．(2019·广东广州天河区综合测试一)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则m ＝________.答案 191解析 等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则a m ＝d ＋2d ＋…＋19d ＝19×1＋192d ＝190d ＝a 191，m ＝191.12．(2019·河南新乡第一次模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝________.答案2n －1n解析 ∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴n ＋1S n ＋1nS n ＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1，∴S n ＝2n －1n.三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋9×82d ＝－a 1＋4d ，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.(2)由(1)知a 5＝0，即a 5＝a 1＋4d ＝0，即a 1＝－4d ， 又a 1>0，所以d <0， 由S n ≥a n 得na 1＋n n －12d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n －10)d ， 因为d <0，所以n 2－9n ≤2n －10， 即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是1≤n ≤10(n ∈N *)．14．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解 (1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－－2n]1＋2＝－13[1－(－2)n]＝－2n－13.一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 解法一：a 2＝S 2－S 1＝23－22＝4，a 3＝S 3－S 2＝24－23＝8，所以a 1＝a 22a 3＝2，所以S 1＝22＋λ＝2，故λ＝－2.解法二：S n ＝2n ＋1＋λ＝2·2n＋λ，根据等比数列前n 项和公式的结构知λ＝－2.2．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 C解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布，选C.3．若等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 3D ．A 2＋B 2＝A (B ＋C )答案 D解析 由等比数列的性质可知，当公比q ≠－1时，A ，B －A ，C －B 成等比数列，所以(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2＋B 2＝AC ＋AB ＝A (B ＋C )，当q ＝－1时，易验证此等式成立，故选D.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4，S 5≥S 4≥S 6，则公差d 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－89 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－45C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，－45D ．[]－1，0答案 A解析 因为S 5≥S 4≥S 6，所以S 4＋a 5≥S 4≥S 4＋a 5＋a 6，所以a 5≥0≥a 5＋a 6，又a 1＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4d ≥0，8＋9d ≤0，解得－1≤d ≤－89.5．数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1 D ．13(4n－1) 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，n ＝1时也符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．所以a 2n ＝4n －1(n ∈N *)也是等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝4n－13，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，r ，s ，t 为正整数，则“r ＋t ＝2s ”是“a r ＋a t ＝2a s ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由a r ＋a t ＝2a s 得(r ＋t －2)d ＝(2s －2)d ，即r ＋t ＝2s 或d ＝0，则“r ＋t ＝2s ”是“r ＋t ＝2s 或d ＝0”的充分不必要条件．故选C.7．已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( )A ．12×37－16 B ．310C ．318D ．320答案 D解析 由题意，得a 23＝9，设等比数列的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项，得3·a 3q＋a 3q ＝4·a 3，由公比不为1，解得q ＝3，所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝a 81q 16·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝(a 23)4q 12＝94×312＝320.8．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．nB ．n n －12C ．n n ＋12D ．n ＋1n ＋22答案 C解析 因为a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )·(2a n －a n ＋1)＝0，又因为a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，a n ＋1a 1＝a 1q n a 1＝2n ，所以b n ＝log 2a n ＋1a 1＝log 22n＝n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.二、填空题9．(2019·江西抚州七校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝30，则S 20＝________.答案 20解析 因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，因为S 10＝10，S 30＝30，所以(S 20－10)2＝10×(30－S 20)，解得S 20＝20或S 20＝－10，因为S 20－S 10＝q 10S 10>0，所以S 20>0，则S 20＝20.10．(2019·广东深圳适应性考试)等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，数列{a n }的前20项和S 20＝________.答案 200或330解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，又a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山质检)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.答案 －1n解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.12．(2019·山东德州第一次考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ≠0,3S n ＝a n a n＋1＋1，则a 2019＝________. 答案 3028解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1,3S n ＝a n a n ＋1＋1 ①，当n ＝1时，整理得3S 1＝3a 1＝a 1·a 2＋1，解得a 2＝2，当n ≥2时，3S n －1＝a n －1·a n ＋1 ②，①－②得，3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，由于a n ≠0，故a n ＋1－a n －1＝3(常数)，故数列{a n }的奇数项为首项为1，公差为3的等差数列，则a n ＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1.数列{a n }的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，a n＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－1，所以a 2019＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫2019＋12－1＝3028. 三、解答题13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.。
江苏省2020届高三数学二轮 专题训练 填空题(66)
江苏省2020届高三数学二轮专题训练：填空题（66）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1．已知集合}42|{},30|{<<=≤≤=x x B x x A ,则=B A I ▲ ;2．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2πx x f 的最小正周期=T ▲ 3．设i 是虚数单位，若ai i z ++=11是实数，则实数=a ▲ 。
4．命题“012,2≤+-∈∃x x R x ”的否定是 ▲ 。
[来5．已知向量()()2,1,cos ,sin ==x x ，且a ∥b ，则x tan = ▲ ；6. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则7S = ▲ 。
7. 设直线t x =与函数2)(x x f =，x x g ln )(=的图像分别交于点N M ,，则当MN 达到最小时t 的值为______▲_______8. 已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ▲ ．9．已知ABC ∆的一个内角为 0120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_____▲____10. 对一切正整数n ，不等式211x n x n ->+恒成立，则实数x 的取值范围是 ▲ . 11． 圆C 通过不同的三点(,0)P λ，)0,3(Q ，(0,1)R ，又知圆C 在点P 处的切线的斜率为1，则λ为 ▲ .12. 已知椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，且22b a c -=，A 点坐标),0(b ，B 点坐标),0(b -,F 点坐标)0,(c ,T 点坐标)0,3(c ，若直线AT 与直线BF 的交点在椭圆上，则椭圆的离心率为_▲__13．在平面直角坐标系中，设点),(y x P ，定义||||][y x OP +=，其中O 为坐标原点． 对于以下结论：①符合1][=OP 的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线0225=-+y x 上任意一点，则][OP 的最小值为1；③设P 为直线),(R b k b kx y ∈+=上的任意一点，则“使][OP 最小的点P 有无数个”的 必要不充分条件是“1±=k ”；其中正确的结论有___▲_____(填上你认为正确的所有结论的序号)14．已知方程(1)(||2)4y x ++=，若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于 ▲1. ]3,2(2. 32π3. 214. 012,2>+-∈∀x x R x5. 216. 497. 22 8. 2 9. 315 10. ),1[)0,(+∞-∞Y 11. 2- 12.33 13. ①③ 14. 2。
2020江苏高考理科数学二轮练习：小题专题练新题型、新定义、图表等含解析
9．解析：由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可推测：当k为偶数时，N(n，k)＝ n2－ n，于是N(n，24)＝11n2－10n，
故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
10．解析：由题知M满足方程x＋y－4＝0(－2≤x≤6)，设M(t，4－t)(－2≤t≤6)，则M′(t，2|4－t|)，M′满足方程y＝2|4－x|(－2≤x≤6)，则M′经过的路线的长度为 ×|6－(－2)|＝8 .
现给出如下映射．
①f1： →R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈ ；
②f2： →R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈ ；
③f3： →R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈ .
其中，具有性质P的映射的序号为________．
13．已知数列{an}满足：当n∈ (n，k∈N*)时，an＝(－1)k＋1·k，Sn是数列{an}的前n项和，定义集合Am＝{n|Sn是an的整数倍，n，m∈N*，且1≤n≤m}，card(A)表示集合A中元素的个数，则card(A15)＝________．
11.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为 ，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是________．
12．设 是全体平面向量构成的集合，若映射f： →R满足对任意向量a＝(x1，y1)∈ ，b＝(x2，y2)∈ ，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.
正方形数N(n，4)＝n2，
五边形数N(n，5)＝ n2－ n，
六边形数N(n，6)＝2n2－n，
…
可以推测N(_______.
2020高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(一)
综合仿真练(一)1．已知集合A＝｛0，3,4}，B＝｛－1,0,2,3｝，则A∩B＝________.解析:因为集合A＝{0,3，4｝，B＝｛－1,0,2，3},所以A∩B＝{0，3｝．答案：{0，3｝2．已知x＞0，若（x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0,(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位），所以x2－1＝0且－2x≠0,解得x＝1.答案:13．函数f(x)＝错误!的定义域为________．解析：由题意知错误!解得0<x≤错误!。
答案：（0，错误!］4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D，1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为（A，B），(A，C)，（A，D)，（A，E），(B,C），(B，D）,（B，E)，（C，D），（C,E）,（D，E），共10个,恰有1个红球的可能结果为(A，C）,(A，D)，（B，C),（B，D)，(E，C)，（E，D）共6个，故所求概率为P＝错误!＝错误!。
答案：错误!5．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．错误!解析：若6x＝13，则x＝错误!>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8。
答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为:9.4,9.7,9。
8,10.3,10。
8,则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9。
8＋10.3＋10.8)＝10，方差为错误![(10－9。
4）2＋(10－9.7）2＋(10－9。
8)2＋（10－10.3)2＋(10－10。
8）2］＝0.244.答案：0.2447．(2019·南通中学模拟）《九章算术》中“开立圆术”曰:“置积尺数,以十六乘之，九而一,所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术"相当于给出了已知球的体积V，求球的直径d的公式d＝错误!错误!。
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填空题专练(一)
1.(2018南京高三学情调研)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q= .
2.(2018江苏南京高三期中)若复数z满足z(1-i)=2i,其中i是虚数单位,则复数z= .
3.(2017无锡普通高中高三期末)某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生的人数为.
4.(2017江苏泰州姜堰模拟)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.3,甲、乙下成和棋的概率为0.4,则乙获胜的概率为.
5.(2018江苏南京高三上学期期中)下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是30,那么输入的x值是.
,8a6+2a4=a2,则{a n}的前6项和S6的值为________.
6.(2019江苏高三模拟)在等差数列{a n}中,若a5=1
2
7.(2018南京第一学期期末调研)已知角α的终边经过点P(12,5),则sin(π+α)+cos(-α) 的值
是.
8.(2018江苏泰州姜堰高三上学期期中)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程是.
9.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l 与线段AB 有公共点时,实数a 的取值范围为 .
10.(2017徐州王杰中学高三月考)在三棱锥S-ABC 中,平面SAB,平面SBC,平面SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC 的表面积是 .
11.(2018江苏南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2
a +y 2
b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为C,若AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则该椭圆的离心率为 .
12.(2018南京高三学情调研)已知函数f (x)={2x 2,x ≤0,-3|x -1|+3,x >0.若存在唯一的整数x,使得f (x )-a
x >0成
立,则实数a 的取值范围为 .
13.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 14.(2019江苏高三下学期期初联考)已知实数x,y,z 满足x+y+z=0,xyz=-3,则|x|+|y|+|z|的最小值是 .
答案精解精析
1.答案 {0,2}
解析 本题考查交集.集合P ∩Q={0,2}. 2.答案 -1+i
解析 z=2i
1-i
=i(1+i)=-1+i.
3.答案 47
解析 抽取高二年级学生的人数为2 800-960-900
2 800
×140=47.
4.答案 0.3
解析 由互斥事件和对立事件的概率公式可得乙获胜的概率为1-(0.3+0.4)=0.3. 5.答案 2或5
解析 由伪代码可得y={15x ,x ≤4,
5x +5,x >4,
当y=30时,x=2或5.
6.答案
152
解析 设等差数列{a n }的公差为d,则a 5=a 1+4d=1
2,
8a 6+2a 4=a 2⇒8(a 1+5d)+2(a 1+3d)=a 1+d ⇒a 1+5d=0,解得a 1=5
2,d=-1
2,则S 6=6a 1+15d=6×52-15
2=15
2. 7.答案
713
解析 sin α=5
13,cos α=12
13,则sin(π+α)+cos(-α)=-sin α+cos α=-5
13+12
13=7
13. 8.答案 x-y+1=0
解析 因为y'=2-1
x ,所以点(1,2)处的切线斜率是1,所以切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 9.答案 [-1
3,2]
解析 直线l 过定点(0,2),由图可知(图略),经过点B 时,a 取得最小值-1
3,经过点A 时,a 取得最大值2,故
实数a 的取值范围是[-1
3,2]. 10.答案 3+√3
解析 设三棱锥S-ABC 的侧棱长为a,则√2a=2,a=√2,则侧面积为3×1
2×a 2=3,底面积为√3
4×22=√3,表面积为3+√3. 11.答案
√55
解析 由题可知点A 的横坐标为-c,不妨设其纵坐标大于0,可知A (-c ,b 2a ),F 2(c,0),由于AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可知点C (2c ,b 2
2a ),由点C 在椭圆上得:
4c 2a
2
+b 2
4a
2
=1⇒16c 2+a 2-c 2=4a 2⇒e=√5
5
. 12.答案 [0,2]∪[3,8]
解析 作出函数f(x)的图象如图,当x>0时, f(x)≤f(1)=3,因为存在唯一的整数x,使得
f (x )-a x
>0成立,所
以a<f(x)只有1个整数解,又f(2)=0,所以0≤a<3.当x<0时, f(x)≥f(0)=0,因为存在唯一的整数x,使得
f (x )-a x
>0成立,所以a>f(x)只有1个整数解,又f(-1)=2, f(-2)=8,所以2<a ≤8,所以当0≤a ≤2或3≤
a ≤8时,f (x )-a x
>0只有1个整数解.
13.答案 -36
解析 由题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,两边平方可得
|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗
|2
2
.又cos ∠ADB+cos ∠ADC=0,所以
64+100-AB 22×8×10
+
64+100-AC 22×8×10
=0,解得
|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |22
=164,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =2×64-164=-36. 14.答案 2√123
解析 由条件知x,y,z 中恰有一个负数,两个正数,不妨设x<0,y>0,z>0, 则|x|+|y|+|z|=-x+y+z=-2x,-x=y+z ≥2√yz =2√-3
x ,
∴(-x)3≥12,-x ≥2√123
,-2x ≥2√123
,当且仅当x=-√123
,y=z=12√123
时取等号,则|x|+|y|+|z|的最小值是2√123
.。