中考数学易错题精选-圆的综合练习题及答案解析
中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附详细答案
中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附详细答案
一、圆的综合
1.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.
(1)求证:AC∥OD;
(2)如果DE⊥BC,求»AC的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)2π.
【解析】
试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度.
试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO,
∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD;
(2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三
角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606
180
π⨯
=2π.
点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
2.如图,AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,点C在⊙O上,CB∥PO.
(1)判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=6,CB=4,求PC的长.
【答案】(1)PC是⊙O的切线,理由见解析;(23
5 2
【解析】
试题分析:(1)要证PC是⊙O的切线,只要连接OC,再证∠PCO=90°即可.
中考数学易错题精选-圆的综合练习题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知:如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线BD 上,以OD 的长为半径的⊙O 与AD ,BD 分别交于点E 、点F ,且∠ABE=∠DBC .
(1)判断直线BE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论;
(2)若sin ∠ABE=33
,CD=2,求⊙O 的半径.
【答案】(1)直线BE 与⊙O 相切,证明见解析;(2)⊙O 的半径为
3. 【解析】 分析:(1)连接OE ,根据矩形的性质,可证∠BEO =90°,即可得出直线BE 与⊙O 相切; (2)连接EF ,先根据已知条件得出BD 的值,再在△BEO 中,利用勾股定理推知BE 的长,设出⊙O 的半径为r ,利用切线的性质,用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值. 详解:(1)直线BE 与⊙O 相切.理由如下:
连接OE ,在矩形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠ADB =∠DBC .
∵OD =OE ,∴∠OED =∠ODE .
又∵∠ABE =∠DBC ,∴∠ABE =∠OED ,
∵矩形ABDC ,∠A =90°,∴∠ABE +∠AEB =90°,
∴∠OED +∠AEB =90°,∴∠BEO =90°,∴直线BE 与⊙O 相切;
(2)连接EF ,方法1:
∵四边形ABCD 是矩形,CD =2,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2.
∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=
∴23DC BD sin CBD
∠== 在Rt △AEB 中,∵CD =2,∴22BC =.
中考数学 圆的综合 综合题含详细答案
试题解析:(1)连接OD,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2,
∴ ,
(3)在(2)的条件下,若∠BAC=60°,求tan∠AFE的值及GD长.
【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(3)
【解析】
试题分析:(1)连接OD,由角平分线的定义得到∠1=∠2,得到 ,根据垂径定理得到OD⊥EF,根据平行线的性质得到OD⊥BC,于是得到结论;
(2)连接DE,由 ,得到DE=DF,根据平行线的性质得到∠3=∠4,等量代换得到∠1=∠4,根据相似三角形的性质即可得到结论;
由勾股定理得:(3r)2+9=36,
解得:r= ;
(3)①当点F在线段AC上时,如图3所示,连接DE、DG,
②当点F在线段AC的延长线上时,如图4所示,连接DE、DG,
两种情况下GC符号相反,GC2相同,
由勾股定理得:DG2=CD2+CG2,
点G在圆的内部,故:DG2<r2,
即:
整理得:
解得:
【点睛】
详解:(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由为:
中考数学易错题精选-圆的综合练习题
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(类比概念)三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心,以这点到三边的距离为半径的圆,则三角形可以称为圆的外切三角形,可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推,如图1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形
(性质探究)如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系
猜想结论:(要求用文字语言叙述)
写出证明过程(利用图1,写出已知、求证、证明)
(性质应用)
①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形(填序号)
A:平行四边形:B:菱形:C:矩形;D:正方形
②如图2,圆外切四边形ABCD,且AB=12,CD=8,则四边形的周长是.
③圆外切四边形的周长为48cm,相邻的三条边的比为5:4:7,求四边形各边的长.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据切线长定理即可得出结论;
(2)①圆外切四边形是内心到四边的距离相等,即可得出结论;
②根据圆外切四边形的对边和相等,即可求出结论;
③根据圆外切四边形的性质求出第四边,利用周长建立方程求解即可得出结论.
【详解】
性质探讨:圆外切四边形的对边和相等,理由:
如图1,已知:四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于⊙O相切于G,F,E,H.
求证:AD+BC=AB+CD.
证明:∵AB,AD和⊙O相切,∴AG=AH,同理:BG=BF,CE=CF,DE=DH,
∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即:圆外切四边形的对边和相等.
故答案为:圆外切四边形的对边和相等;
中考数学复习圆的综合专项易错题含答案解析
中考数学复习圆的综合专项易错题含答案解析
一、圆的综合
1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.
(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;
(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,»»
BF FA
=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;
(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2
3
DG,PO=5,求EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.
【解析】
【分析】
(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;
(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;
(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出
EH∥DG,求出OM=1
2
AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=
2
3
DG,DG=3a,
求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=
1
2
MO
BM
=,tanP=
1
2
CO
PO
=,设
OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】
(1)证明:连接OC,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∵AD⊥PC,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∵OC=OA,
∴∠PAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠PAC;
(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,
∵FG∥AD,
中考数学易错题专题复习-圆的综合练习题附答案解析
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一、圆的综合
1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,⊙O交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若AB=4,∠C=30°,求劣弧»BE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)4 3
【解析】
分析:(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角,可得∠ADB=90°,然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD,再根据中位线的性质求出OD⊥DF,进而根据切线的判定证明即可;
(2)连接OE,根据三角形的外角求出∠BAE的度数,然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数,根据弧长公式求解即可.
详解:(1)连接AD、OD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,∴BD=CD,
又∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF
即∠ODF=90°.∴DF为⊙O的切线;
(2)连接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=60°,
∵∠BOE=2∠BAE,∴∠BOE=120°,
∴=·4π=π.
点睛:本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理,灵活添加辅助线是解题关键.
2.如图,已知Rt△ABC中,C=90°,O在AC上,以OC为半径作⊙O,切AB于D点,且BC=BD.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若BC=6,sinA=3
5
,求⊙O的半径;
(3)在(2)的条件下,P点在⊙O上为一动点,求BP的最大值与最小值.
中考数学《圆的综合的综合》专项训练附详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若tan A=1
2
,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若OF=1,求圆O的半径.
【答案】(1)答案见解析;(2)AB=3BE;(3)3.
【解析】
试题分析:(1)先判断出∠OCF+∠CFO=90°,再判断出∠OCF=∠ODF,即可得出结论;(2)先判断出∠BDE=∠A,进而得出△EBD∽△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3
2
x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理
即可得出结论.
试题解析:(1)证明:连结OD,如图.∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF.∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF.∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°.∵OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,
∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE.∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;(2)线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明如下:
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE.∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,
∴∠BDE=∠A,而∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴DE BE BD
AE DE AD
==.∵Rt△ABD
中,tan A=BD
AD
=
1
2
,∴
DE BE
AE DE
备战中考数学易错题专题复习-圆的综合练习题及答案
备战中考数学易错题专题复习-圆的综合练习题及答案
一、圆的综合
1.如图,⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C,边OB与⊙A相切于点O,边BC与⊙O相交于点H,射线OA交边CD于点E,交⊙A于点F,点P在射线OA上,且∠PCD=2∠DOF,以O为原点,OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,点B的坐标为(0,﹣2).
(1)若∠BOH=30°,求点H的坐标;
(2)求证:直线PC是⊙A的切线;
(3)若OD=10,求⊙A的半径.
【答案】(1)(132)详见解析;(3)5 3 .
【解析】
【分析】
(1)先判断出OH=OB=2,利用三角函数求出MH,OM,即可得出结论;
(2)先判断出∠PCD=∠DAE,进而判断出∠PCD=∠CAE,即可得出结论;(3)先求出OE═3,进而用勾股定理建立方程,r2-(3-r)2=1,即可得出结论.【详解】
(1)解:如图,过点H作HM⊥y轴,垂足为M.
∵四边形OBCD是平行四边形,
∴∠B=∠ODC
∵四边形OHCD是圆内接四边形
∴∠OHB=∠ODC
∴∠OHB=∠B
∴OH=OB=2
∴在Rt△OMH中,
∵∠BOH=30°,
∴MH=1
2
OH=1,33
∴点H的坐标为(13
(2)连接AC.
∵OA=AD,
∴∠DOF=∠ADO
∴∠DAE=2∠DOF
∵∠PCD=2∠DOF,
∴∠PCD=∠DAE
∵OB与⊙O相切于点A
∴OB⊥OF
∵OB∥CD
∴CD⊥AF
∴∠DAE=∠CAE
∴∠PCD=∠CAE
∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线;
(3)解:⊙O的半径为r.
中考数学圆的综合综合经典题附答案解析
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)23
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;
(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DF•DA,据此解答即可.
【详解】
(1)如图所示,连接OD.
∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴BD CD
=,∴OD⊥BC.
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.
又∵OD为⊙O半径,∴直线DM是⊙O的切线.
(2)连接BE.∵E为内心,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BAD=∠CAD,∠DBC=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC,∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC,即
∠BED=∠DBE,∴BD=DE.
又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴DF DB
DB DA
=,即DB2=DF•DA.
∵DF=2,AF=4,∴DA=DF+AF=6,∴DB2=DF•DA=12,∴DB=DE=23.
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
中考数学 圆的综合综合试题及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,⊙O交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若AB=4,∠C=30°,求劣弧BE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)4 3
【解析】
分析:(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角,可得∠ADB=90°,然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD,再根据中位线的性质求出OD⊥DF,进而根据切线的判定证明即可;
(2)连接OE,根据三角形的外角求出∠BAE的度数,然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数,根据弧长公式求解即可.
详解:(1)连接AD、OD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,∴BD=CD,
又∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF
即∠ODF=90°.∴DF为⊙O的切线;
(2)连接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=60°,
∵∠BOE=2∠BAE,∴∠BOE=120°,
∴=·4π=π.
点睛:本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理,灵活添加辅助线是解题关键.
2.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD.
(1)如图(1),求证:AD∥BC;
(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;
(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。
精选中考数学易错题专题复习圆的综合附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.
(1)求证:∠G=∠CEF;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG =3
4
,AH=33,求EM的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)253
.
【解析】
试题分析:(1)由AC∥EG,推出∠G=∠ACG,由AB⊥CD推出AD AC
=,推出∠CEF=∠ACD,推出∠G=∠CEF,由此即可证明;
(2)欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可;
(3)连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△OCH中,利用勾股定理求出r,证明
△AHC∽△MEO,可得AH HC
EM OE
=,由此即可解决问题;
试题解析:(1)证明:如图1.∵AC∥EG,∴∠G=∠ACG,∵AB⊥CD,∴AD AC
=,∴∠CEF=∠ACD,∴∠G=∠CEF,∵∠ECF=∠ECG,∴△ECF∽△GCE.
(2)证明:如图2中,连接OE.∵GF=GE,∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,∵∠AFH+∠FAH=90°,∴∠GEF+∠AEO=90°,∴∠GEO=90°,∴GE⊥OE,∴EG是⊙O的切线.
(3)解:如图3中,连接OC.设⊙O的半径为r.
在Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G=AH
HC
=
3
4
,∵AH=33,∴HC=43,在Rt△HOC中,
∵OC=r,OH=r﹣33,HC=43,∴222
中考数学圆的综合综合练习题及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥BC垂足为H,∠ABC=2∠CAD.
(1)如图1,求证:AB=BC;
(2)如图2,过点B作BM⊥CD垂足为M,BM交⊙O于E,连接AE、HM,求证:AE∥HM;(3)如图3,在(2)的条件下,连接BD交AE于N,AE与BC交于点F,若NH=25,AD=11,求线段AB的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AB的长为10.
【解析】
分析:(1)根据题意,设∠CAD=a,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系,推导出
∠BAC=∠ACB,再根据等角对等边得证结论;
(2)延长AD、BM交于点N,连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN,进而根据等角对等边,得到DE=DN,BA=BN,再根据等腰三角形和直角三角形的性质,求得
MH∥AE;
(3)连接CE,根据(2)的结论,由三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8,最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解:(1)证明:设∠CAD=a,
则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,
∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a
∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC
(2)证明:延长AD、BM交于点N,连接ED.
∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN
∴∠N=∠DEN=∠BAN
∴DE=DN,BA=BN
又∵BH ⊥AN,DM ⊥EN
∴EM=NM,HN=HA,∴MH ∥AE
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一、圆的综合
1.(1)如图1,在矩形ABCD 中,点O 在边AB 上,∠AOC =∠BOD ,求证:AO =OB ; (2)如图2,AB 是⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点A ,OP 与⊙O 相交于点C ,连接CB ,∠OPA =40°,求∠ABC 的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)25°.
【解析】
试题分析: (1)根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ,根据矩形的对边相等,每个角都是直角,可知∠A=∠B=90°,AD=BC ,根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ,从而得证结论.
(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数.
试题解析:(1)∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠B=90°,AD=BC
∴AOD BOC ∆≅∆
∴AO=OB
(2)解:∵AB 是O e 的直径,PA 与O e 相切于点A ,
∴PA ⊥AB ,
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°,
∴∠AOP=50°,
∵OB=OC ,
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB , ∴1252
B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.
2.定义:有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.
(1)如图1,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠DCB ﹣∠ADC=∠A ,求证:四边形ABCD 为圆内接倍角四边形;
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E
(1) 求证:BE是⊙O的切线
(2) 若EC=1,CD=3,求cos∠DBA
【答案】(1)证明见解析;(2)∠DBA
3 5
【解析】
分析:(1)连接OB,OD,根据线段垂直平分线的判定,证得BF为线段AD的垂直平分线,再根据直径所对的圆周角为直角,得到∠ADC=90°,证得四边形BEDF是矩形,即
∠EBF=90°,可得出结论.
(2)根据中点的性质求出OF的长,进而得到BF、DE、OB、OD的长,然后根据等角的三角函数求解即可.
详解:证明:(1) 连接BO并延长交AD于F,连接OD
∵BD=BA,OA=OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF=90°
∴BE是⊙O的切线
(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF=1
2CD=
3
2
∵BF=DE=1+3=4
∴OB=OD=35
4
22
-=
∴cos∠DBA=cos∠DOF=
3
3
2
55
2
OF
OD
==
点睛:此题主要考查了圆的切线的判定与性质,关键是添加合适的辅助线,利用垂径定理和圆周角定理进行解答,注意相等角的关系的转化.
2.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.
(1)OC的长为;
(2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=;
(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.
【答案】(1)4;(2)3
5
;(3)点E的坐标为(1,2)、(
5
3
,
10
3
)、(4,2).
【解析】
分析:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形,从而有OC=BH,只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可.
(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MN⊥OC.设圆的半径为r,则
MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证△AFG∽△ADB,从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.设OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,进而可求出BR.在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于△BDE的直角不确定,故需分情况讨论,可分三种情况(①∠BDE=90°,
中考数学复习圆的综合专项易错题附答案解析
中考数学复习圆的综合专项易错题附答案解析
一、圆的综合
1.已知▱ABCD的周长为26,∠ABC=120°,BD为一条对角线,⊙O内切于△ABD,E,F,G 为切点,已知⊙O的半径为3.求▱ABCD的面积.
【答案】203
【解析】
【分析】
首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积,再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.
【详解】
设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;
平行四边形ABCD的面积为S;
则S=2S△ABD=2×1
2
(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3(AB+AD+BD);
∵平行四边形ABCD的周长为26,
∴AB+AD=13,
∴S=3(13+BD);连接OA;
由题意得:∠OAE=30°,
∴AG=AE=3;同理可证DF=DG,BF=BE;
∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7,
即BD=7,
∴S=3(13+7)=203.
即平行四边形ABCD的面积为203.
2.定义:有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.
(1)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCB﹣∠ADC=∠A,求证:四边形ABCD为圆内接倍角四边形;
(2)在(1)的条件下,⊙O半径为5.
①若AD为直径,且sinA=4
5
,求BC的长;
②若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD,则四边形ABCD的面积是;(3)在(1)的条件下,记AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求证:d2﹣b2=ab+cd.
【答案】(1)见解析;(2)①BC=6,②753
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.
(1)OC的长为;
(2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=;
(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.
【答案】(1)4;(2)3
5
;(3)点E的坐标为(1,2)、(
5
3
,
10
3
)、(4,2).
【解析】
分析:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形,从而有OC=BH,只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可.
(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MN⊥OC.设圆的半径为r,则
MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证△AFG∽△ADB,从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.设OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,进而可求出BR.在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于△BDE的直角不确定,故需分情况讨论,可分三种情况(①∠BDE=90°,
②∠BED=90°,③∠DBE=90°)讨论,然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题.
详解:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),则有∠BHA=90°=∠COA,∴OC∥BH.∵BC∥OA,∴四边形OCBH是矩形,∴OC=BH,BC=OH.
∵OA=6,BC=2,∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4.
∵∠BHA=90°,∠BAO=45°,
∴tan∠BAH=BH
HA
=1,∴BH=HA=4,∴OC=BH=4.
故答案为4.
(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2).
由(1)得:OH =2,BH =4.
∵OC 与⊙M 相切于N ,∴MN ⊥OC .
设圆的半径为r ,则MN =MB =MD =r .
∵BC ⊥OC ,OA ⊥OC ,∴BC ∥MN ∥OA .
∵BM =DM ,∴CN =ON ,∴MN =
12(BC +OD ),∴OD =2r ﹣2,∴DH =OD OH -=24r -.
在Rt △BHD 中,∵∠BHD =90°,∴BD 2=BH 2+DH 2,∴(2r )2=42+(2r ﹣4)2.
解得:r =2,∴DH =0,即点D 与点H 重合,∴BD ⊥0A ,BD =AD .
∵BD 是⊙M 的直径,∴∠BGD =90°,即DG ⊥AB ,∴BG =AG .
∵GF ⊥OA ,BD ⊥OA ,∴GF ∥BD ,∴△AFG ∽△ADB , ∴AF AD =GF BD =AG AB =12,∴AF =12AD =2,GF =12
BD =2,∴OF =4,
∴OG
同理可得:OB AB ,∴BG =
12AB .
设OR =x ,则RG x .
∵BR ⊥OG ,∴∠BRO =∠BRG =90°,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2,
∴(
2﹣x 2=()2﹣(x )2.
解得:x =5,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=(2﹣(5)2=365,∴BR =5
.
在Rt △ORB 中,sin ∠BOR =BR OB
35. 故答案为35
. (3)①当∠BDE =90°时,点D 在直线PE 上,如图2.
此时DP =OC =4,BD +OP =BD +CD =BC =2,BD =t ,OP =t . 则有2t =2.
解得:t =1.则OP =CD =DB =1.
∵DE ∥OC ,∴△BDE ∽△BCO ,∴
DE OC =BD BC =12
,∴DE =2,∴EP =2, ∴点E 的坐标为(1,2).
②当∠BED =90°时,如图3.
∵∠DBE =OBC ,∠DEB =∠BCO =90°,∴△DBE ∽△OBC ,
∴BE
BC =2DB BE OB ∴,∴BE =5
t . ∵PE ∥OC ,∴∠OEP =∠BOC .
∵∠OPE =∠BCO =90°,∴△OPE ∽△BCO ,
∴OE
OB =
25
OP
BC
∴
,=
2
t
,∴OE=5t.
∵OE+BE=OB=255
,∴t+5
t=25.
解得:t=5
3
,∴OP=
5
3
,OE=
55
,∴PE=22
OE OP
-=
10
3
,
∴点E的坐标为(510
33
,).
③当∠DBE=90°时,如图4.
此时PE=PA=6﹣t,OD=OC+BC﹣t=6﹣t.
则有OD=PE,EA=22
PE PA
+=2(6﹣t)=62﹣2?t,∴BE=BA﹣EA=42﹣(62﹣2t)=2t﹣22.
∵PE∥OD,OD=PE,∠DOP=90°,∴四边形ODEP是矩形,∴DE=OP=t,DE∥OP,∴∠BED=∠BAO=45°.
在Rt△DBE中,cos∠BED=BE
DE
=
2
,∴DE=2BE,
∴t=22
(t﹣22)=2t﹣4.
解得:t=4,∴OP=4,PE=6﹣4=2,∴点E的坐标为(4,2).
综上所述:当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为(1,2)、
(510
33
,)、(4,2).
点睛:本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,还考查了分类讨论的数