【解析版】2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)

绝密★启用前试卷类型：A 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国I卷）本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

+2i,则|z|=1.设Z=1−i1+iA.0B.1C.1D. √22【答案】C【知识点】复数的运算【考查能力】运算求解能力【解析】(1)(1)22(1)(1)i i z i i i i i i --=+=-+=+-，1z =，故选C 【难度】易【分值】5分2．已知集合A ={x │x 2−x −2＞0}，则∁R A =A. {x │−1＜x ＜2}B. {x │−1≤x ≤2}C. {x │x ＜−1}∪{x │x ＞2}D. {x │x ≤−1}∪{x │x ≥2}【答案】B【知识点】集合的运算、解一元二次不等式【考查能力】运算求解能力【解析】220,2x x x -->>或1x <，所以{}12R C A x x =-≤≤，故选B【难度】易【分值】5分3. 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地 了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收 入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【知识点】概率与统计、饼状图【考查能力】数据处理能力【解析】设新农村建设前经济收入为a 万元，种植收入占比60%，即种植收入是60%0.6a a ⨯=万元，新农村建设后经济收入为2a 万元，种植收入占比37%，即种植收入是237%0.74a a ⨯=万元，0.60.74a a <，故选A【难度】易【分值】5分4. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3= S 3+ S 2， a 1=2, 则a 2=A.-12B.-10C.10D.12【答案】B【知识点】等差数列【考查能力】运算求解能力【解析】由题意得1113(33)(2)(46)a d a d a d +=+++，又12a =，所以3d =-，则51410a a d =+=-故选B【难度】易【分值】5分5. 设函数f(x )=x 3+(a -1) x 2+a x 若f(x )为奇函数,则曲线y=f(x )在点(0,0)处的切线方程为A. y=-2 xB. y=- xC. y=2 xD. y= x【答案】D【知识点】函数的奇偶性、导数的应用【考查能力】运算求解能力【解析】因为()()f x x R ∈是奇函数，所以(1)(1)f f =--，所以31,()a f x x x ==+，则'(0)1k f ==，所以切线方程为y x =，故选B【难度】易【分值】5分6. 在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ = A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - 14 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 14 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【知识点】向量的几何运算【考查能力】运算求解能力【解析】,故选A【难度】易【分值】5分7. 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。

圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A 。

圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A.2√17B.2√5C.3D.2【答案】B【知识点】三视图【考查能力】空间想象能力和运算求解能力 【解析】最短路径为22162()254+=,故选B 【难度】易【分值】5分8. 设抛物线C 1 y 2=4x 的焦点为F,过点(-2.0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗ = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【知识点】直线与抛物线的位置关系、向量的坐标运算【考查能力】运算求解能力 【解析】联立直线与抛物线242(2)3y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得(1,2),(4,4)M N ，抛物线的焦点(1,0)F 则，故选D【难度】易【分值】5分9. 已知函数f(x )={e x ,ln x, x≤0,x>0, g(x)=f(x)+x+a, 若g(x)存在2个零点,则a 的 取值范是A. [-1,0)B. [0,+∞)C.[-1. +∞)D. [1, +∞)【答案】C【知识点】分段函数的零点问题【考查能力】运算求解能力、推理论证能力【解析】令()0g x =可得()f x x a =--，分别画出()f x 和y x a =--的图像，易得当1a ≥-时二者有两个交点，即()()g x f x x a =++有两个零点，故选C【难度】中【分值】5分10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形、此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC,直角边AB,AC ，△ABC 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点。

此点取自I,II,Ⅲ的概率分别记为P 1，P 2，P 3,则A.P 1=P 2B. P 1=P 3C. P 2=P 3D. P 1=P 2+P 3【答案】A【知识点】几何概型【考查能力】运算求解能力、数据处理能力【解析】令222,,,AC b AB c BC a b c a ===+=， 可得222121111,()()()222222AB AC BC S bc S bc bc S πππ⎡⎤==+--==⎢⎥⎣⎦，所以12p p =，故选A【难度】中【分值】5分11. 已知双曲线C:x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=A. 32B.3C.2√3D.4 【答案】B【知识点】双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系【考查能力】运算求解能力、推理论证能力【解析】因为1,a b ==所以2,OM ON b OF c k k a =====，再由此可得 30MOF NOF ONF ︒∠=∠=∠=，又因为OMN △为直角三角形，所以 可得1,2,3MF FN MN MF FN ===+=,故选B【难度】中【分值】5分12. 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.3√34 B. 2√33 C. 3√24 D. √32 【答案】A【知识点】立体几何、空间截面的面积【考查能力】空间想象能力、运算求解能力【解析】由题意可知，平面α为对边平行的六边形EFGHMN 且,EF HG MN FG HM NE ====,,,ENM MHG EFG ∆∆∆是三个全等的三角形，设CH x =，则1BH x =-所以,)GH MH x ==-，在GMH ∆中，22222cos120222MG HM HG HM HG x x =+-⋅︒=-+所以22113)sin120sin 60221)222S x MG x x =⨯-⋅︒+⋅︒=-++六边形EFGHMN所以当12x =时max ()4S =六边形EFGHMN ,故选B 【难度】难【分值】5分二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.若x ,y 满足约束条件 {x −2y −2≤0,x −y +1≥0,y ≤0,.则z=3x+2y 的最大值为 。

【答案】6【知识点】线性规划【考查能力】运算求解能力【解析】令123:220,:10,:0l x y l x y l y --=-+==，可得三条直线的交点分别是是(4,3),(1,0),(2,0)---，易知在（2,0）处取得最大值，于是max 32206z =⨯+⨯=，故答案为6【难度】易【分值】5分14.记S n 为数列{a n }的前n 项和,,若S n =2a n +1,则S n = .【答案】63-【知识点】数列求通项、等比数列求和【考查能力】推理论证能力、运算求解能力【解析】记21n n S a =+为①式，当2n ≥时，记1121n n S a --=+为②式，两式相减可得112,2n n n n a a a a --== 说明该数列是等比数列，公比为2，由11121S a a =+=可得11a =-，所以66(1)(12)6312S --==--，故答案为63- 【难度】易【分值】5分15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种(用数字填写答案)【答案】16【知识点】排列组合【考查能力】运算求解能力【解析】方法一：符合题意的选法有两种情况：第一种情况是1女2男有122412C C =种选法；第二种情况是2女1男有21244C C =种选法，共计1221242412416C C C C +=+=种选法；方法二：从总选法中减去不符合题意（即一个女生都不选）的选法，即：336420416C C -=-= 故答案为16【难度】易【分值】5分16. 已知函数f （x ）=2sinx+sin2x ，则f （x ）的最小值是 .【答案】332-【知识点】三角函数、导数及其应用 【考查能力】运算求解能力【解析】'2()2cos 2cos 24cos 2cos 2f x x x x x =+=+-，令'()0f x =可得1cos 2x =或[]1,0,2x π-∈所以5,,33x πππ=，则()f x 在50,,,233πππ⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦上单调递增，在5,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以min 5333()()2(3322f x f π==⨯-=-，故答案为332- 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。