2017-2018学年北师大版必修二1.6.2垂直关系的性质学案word版

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北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计

北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计前言垂直关系是高中数学中的一个重要概念，对应的性质也是非常关键的。

学生对此的理解和把握，对于后续的数学学习同样意义重大。

因此，我们需要针对垂直关系的性质，制定科学合理的教学方案，以帮助学生更好地学习和掌握该知识点。

教学目标1.理解垂直关系的定义和性质2.掌握垂直关系性质的证明方法3.训练学生熟练应用垂直关系性质解题的能力教学过程1. 导入垂直关系性质的教学，可以通过以下问题来引入：•如何确定两条直线是否垂直？•如何确定一个向量的垂直向量？•垂线段的性质是什么？通过这些问题，可以帮助学生加深对垂直关系的认识，为后续学习做好准备。

2. 学习2.1 垂直关系的定义讲授垂直关系的定义和符号表示，由简单到复杂，帮助学生建立直观的概念。

2.2 垂直关系的性质让学生通过大量的实例探究垂直关系性质，尤其是：•一条直线与平面上一点垂直，则过该点的所有直线都与该直线垂直。

•如果两条直线相互垂直，则它们的方向向量垂直。

在讲解性质的过程中，要结合具体的实例进行讲解，以便学生更好地理解。

2.3 垂直关系的证明介绍垂直关系性质的证明方法，让学生通过严密的证明步骤，了解性质背后的原因和内在联系。

3. 实践3.1 课堂练习通过设计一些小组互动、小组对抗等活动形式，让学生在课堂上进行练习，巩固知识点，提高应用能力。

3.2 作业布置相关的练习和题目，以调动学生的自主学习积极性，培养学生的自主学习能力。

4. 总结对课程的内容进行总结，让学生通过回顾所学内容，进行知识结构的梳理和信息的整合。

教学方法通过探究式的学习方法，让学生在教师引导下，通过自己动手实践、研究，掌握垂直关系的相关知识和技能。

教学评价通过检查课堂互动情况和学生完成作业效果，在教师、同学和自评的基础上，进行教学评价和反思。

结语垂直关系是高中数学中至关重要的知识点，教师通过科学的教学方案，可以为学生的数学学习奠定良好的基础。

6.1垂直关系的判定-北师大版必修2教案

6.1 垂直关系的判定-北师大版必修2教案
教学目标
1.理解垂直的概念，掌握相交直线垂直的判断方法；
2.掌握平行线、垂直线、相交线的性质；
3.学会运用垂直关系的性质解决实际问题。

教学内容
1. 垂直的概念及相交直线垂直的判断方法
1.1 垂直的概念
垂直是指两个直线或线段在相交于一点时，以这个交点为中心，两个直线或线段互相垂直的状态。

1.2 相交直线垂直的判断方法
•角度法：两个直线或线段相交形成的角度为90度时，两条直线或线段垂直。

•斜率法：当两个直线或线段的斜率的乘积为-1时，两个直线或线段垂直。

•同名角法：在同一条直线上取一点，分别作一条直线与另一条直线相交，如果形成了同名角，则两个直线垂直。

2. 平行线、垂直线、相交线的性质
2.1 平行线的性质
•具有相同的斜率；
•不会相交；
•两个平行线之间的距离是恒定的。

2.2 垂直线的性质
•两个垂直线的斜率的乘积为-1；
•垂直线与其他直线的交角为90度。

2.3 相交线的性质
•相交线上的同名角和补角相等；
•相邻角互不相等；
•对顶角相等。

3. 运用垂直关系的性质解决实际问题
在生活中，我们经常需要运用垂直关系的性质来解决一些实际问题。

例如，建造房屋、摆放家具等。

4. 练习与应用
（1）判断下列直线是否垂直：
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1.6.2垂直关系的性质教案 (高中数学必修二北师大版)

6．2垂直关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解线面垂直、面面垂直性质定理的含义．(2)能运用性质定理证明相关问题．2．过程与方法通过对定理的理解，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法．3．情感、态度与价值观通过对定理的探究，培养学生用数学思维方式解决问题，培养学生的空间观念、空间想象能力．●重点难点重点：垂直关系的性质定理．难点：垂直关系的性质定理的应用．(教师用书独具)●教学建议本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答所提问题，理解线面垂直及面面垂直的性质⇒通过例1及互动探究，使学生掌握直线与平面垂直的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？【提示】平行．黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？【提示】画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即可．如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.图1－6－16【思路探究】证明BD1和EF分别垂直于同一个平面即可．【自主解答】如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D.2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?【解】若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.【思路探究】欲证线面垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．【自主解答】如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，。

高中数学学案北师大版必修2 垂直关系的判定教案(1)

教学设计整体设计教学分析垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是平行关系的转化手段．可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，也是高考的热点内容．垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用．在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论垂直的性质定理及其应用时，要注意面面垂直是立体几何最难、最“高级”的定理，往往是一个复杂问题的开端，先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题．三维目标1．探究垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力．2．掌握垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．探究垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力．4．垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力．5．通过垂直的性质定理的学习，培养学生的转化思想．重点难点教学重点：①垂直关系的判定定理及其应用．②垂直的性质定理．教学难点：①应用判定定理解决问题．②性质定理的应用．课时安排2课时教学过程6．1垂直关系的判定导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明．如图1，直线AC1与直线BD，EF，GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD 不垂直．图1推进新课新知探究提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.活动：问题①引导学生结合事例观察探究．问题②引导学生结合事例实验探究．问题③引导学生进行语言转换．讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫作垂足．直线和平面垂直的画法及表示如下：如图2，表示方法为：a⊥α.图2图3②如图3，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A 翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直．如图4.图4所以，当折痕AD 垂直于平面内的一条直线时，折痕AD 与平面α不垂直，当折痕AD 垂直于平面内的两条相交直线时，折痕AD 与平面α垂直．③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αl ⊥a l ⊥b a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. 直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5.图5提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图6(教师和学生共同动手)．直立式：平卧式：(1) (2)图6二面角的表示方法：如图7中，棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角αABβ.有时为了方便也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P ABQ.图7如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念．如图8，在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图8再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.因为OA∥O′A′，OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关．由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．图中的∠AOB，∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角．③直二面角的定义．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角．教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角．两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．直二面角的画法：如图9.图9④两个平面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．两个平面垂直的判定定理符号表述为： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥βAB ⊂α⇒α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线，即要证面面垂直转化为证线线垂直．应用示例思路1例1 如图10所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC .问：四面体P ABC 中有几个直角三角形？图10解：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC .所以△P AB ，△P AC 为直角三角形．又P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB .又PB 平面P AB ，于是BC ⊥PB ，所以△PBC 也为直角三角形．所以四面体P ABC 中的四个面都是直角三角形．点评：本题主要考查空间想象能力，线面垂直的判定.变式训练如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．解：已知：a ∥b ，a ⊥α.求证：b ⊥α.证明：如图11，在平面α内作两条相交直线m ，n ，设m ∩n ＝A .图11例2 如图12，AB为⊙O的直径，⊙O所在平面为α，P A⊥α于A，C为⊙O上一点．求证：平面P AC⊥平面PBC.图12证明：由AB为⊙O的直径，知BC⊥AC.又P A⊥α，BCα，所以P A⊥BC.而P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC.又因为BC平面PBC，从而，平面P AC⊥平面PBC.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直.变式训练如图13，四边形ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，∠BAD＝60°.图13求证：平面PBD⊥平面P AC.证明：设AC与BD交于点O，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.思路2例1 如图14，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A＝a，G为CC1的中点，O为底面ABCD 的中心．图14求证：A 1O ⊥平面GBD .证明： ⎭⎪⎬⎪⎫∵A 1A ⊥BD AC ⊥BD ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥平面A 1AO A 1O ⊂面A 1AO ⇒BD ⊥A 1O .又∵A 1O 2＝A 1A 2＋AO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a 2，OG 2＝OC 2＋CG 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝34a 2， A 1G 2＝A 1C 21＋C 1G 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝94a 2，∴A 1O 2＋OG 2＝A 1G 2.∴A 1O ⊥OG .又BD ∩OG ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法. 变式训练如图15，已知点P 为平面ABC 外一点，P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证：PB ⊥AC .图15证明：过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连接OA ，OB ，OC .∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥BC .又∵P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AO .又∵OA ⊂平面P AO ，∴BC ⊥OA .同理，可证AB ⊥OC .∴O 是△ABC 的垂心．∴OB ⊥AC .可证PO ⊥AC .∴AC ⊥平面PBO .又PB ⊂平面PBO ，∴PB ⊥AC .点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直．用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图16(1)，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD ＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1) (2)图16求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如图16(2)，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如图17，P A⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角PDCA ＝45°，求证：MN ⊥平面PDC .图17图18 证明：如图18所示，(1)取PD 的中点Q ，连接AQ ，NQ ，则QN12DC ，AM 12DC ， ∴QN AM . ∴四边形AMNQ 是平行四边形．∴MN ∥AQ .又∵MN ⊄平面P AD ，AQ ⊂平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又∵AQ ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AQ .又∵AQ ∥MN ，∴MN ⊥CD .(3)由(2)知，CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AD ，CD ⊥PD .∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角．∴∠PDA ＝45°.又∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .∴AQ ⊥PD .又∵MN ∥AQ ，∴MN ⊥PD .又∵MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PDC .知能训练1．如图19所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且AB ＝2，SC ＝SD ＝ 2.图19求证：平面SAD ⊥平面SBC .证明：在△SDC 中，∵SC ＝SD ＝2，CD ＝AB ＝2，∴∠DSC ＝90°，即DS ⊥SC .∵底面ABCD 是矩形，∴BC ⊥CD .又∵平面SDC ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥面SDC .∴DS ⊥BC .∴DS ⊥平面SBC .∵DS ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面SBC .2．已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB ＝45°.求CD 与平面β所成的角．解：如图20，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角．图20过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB .∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO ＝45°.设CD ＝a ，则CE ＝22a . ∵CO ⊥OE ，OC ＝OE ，∴CO ＝12a .∵CO ⊥DO ，∴sin ∠CDO ＝CO CD ＝12. ∴∠CDO ＝30°，即DC 与β成30°角．点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O ，然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E ，连接CE ，则∠CEO 为二面角αABβ的平面角．这一过程要求学生熟记．拓展提升如图21，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 中点，过A ，D ，N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点．图21(1)求证：EN ∥平面PCD ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；(3)求平面P AB 与平面ABCD 所成二面角的正切值．(1)证明：∵AD ∥BC ，BC ⊂面PBC ，AD ⊄面PBC ，∴AD ∥面PBC .又面ADN ∩面PBC ＝MN ，∴AD ∥MN .∴MN ∥BC .∴点M 为PC 的中点．∴MN 12BC . 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连接PE，BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵P A＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.(3)解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD，∴AB⊥PF.∴∠PFE就是平面P AB与平面ABCD所成二面角的平面角．又在Rt△AEB中，BE＝3，AE＝1，AB＝2，∴EF＝32.又∵PE＝3，∴tan∠PFE＝PEEF＝332＝2，即平面P AB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业课本习题1—6A组第1,2,4题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．(设计者：国建群)。

北师大版高中数学必修二垂直关系的性质学案

§1 垂直关系的性质（第三课时）班级组号姓名一、学习目标：1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。

2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：baα符号表示：3.何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：βNMαBA符号表示：三、知识应用例1. 如图所示，ΔPAC为等腰三角形，AC为底边，平面PAC⊥平面ABC ，PD为ΔPAC 的顶角平分线，试判断PD与平面ABC是否垂直？并说明理由。

（A级）ABCDP例2.如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证：（1）EM⊥平面A A1C1C（2）平面A1EC⊥平面AA1C1C；（B级）EMA1B1C1ABC四自测达标1.对于直线m, n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（A级）（）2.下列命题错误的是(B级) （）A．若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于βB. 若α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βC. 若α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD. 若α⊥β，那么α内有无数条直线都垂直于β3.若直线a//直线b，且a⊥平面α，则直线b与平面α的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直（A级）4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB⊥平面PCD（2）求证：若E为∆PCD的垂心，则CE⊥平面PAB（B级）EDCAP5. 有公共底边的两个等腰∆ABC和等腰∆BCD，已知AB=AC=13，BD=CD=6，BC=10，试求AD为何值时，平面BCD⊥平面ABC 。

（B级）DCB。

1.6.2垂直关系的性质学案(北师大版必修2)

6.2 垂直关系的性质自主学习1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号：________________．2．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________于它们________的直线垂直于另一个平面．符号：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒__________．3．两个重要结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．对点讲练直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求证：AB∥c．点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特殊几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1．面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB．点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．例3平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3在三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 3．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．课时作业一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD 等于( )A ．aB ．22a C ．32a D ．52a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题6．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是______________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．7．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O 为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题9．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．6．2垂直关系的性质答案自学导引1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．垂直交线a⊥β3．(1)aα(2)a∥α对点讲练例1证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因为b⊥β，cβ，所以b⊥c．①因为a⊥α，cα，所以a⊥c．又a′∥a，所以a′⊥c．②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c．变式训练1证明连接AB1，B1C，B1D1，BD．∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B．又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．又∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1．∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．例2证明(1)由题知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面P AD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD．例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC，P A平面P AC，∴DF⊥AP．作DG⊥AB于G．同理可证DG⊥AP．DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC．(2)连接BE并延长交PC于H．∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．又∵AE∩BE＝E，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB．又PC∩P A＝P，∴AB⊥平面P AC．∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3证明在平面P AB内，作AD ⊥PB 于D ．∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ， ∴AD ⊥平面PBC ．又BC平面PBC ，∴AD ⊥BC ．又∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ．又AB 平面P AB ，∴BC ⊥AB ．课时作业1．D [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ． ∵AB ∥l ，∴AB ∥m ．故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ．从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α．∴AB β，lβ．∴AB ∥β．故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．]2．C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．] 3．D 4．A 5．A[如图：由已知得AA ′⊥面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．]6．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用， ②为面面平行的性质，③为公理4的应用． 7．6解析由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．8．若①③④，则②(或若②③④，则①)9．证明 ∵α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β． ∵DE ⊂β，∴AB ⊥DE ．∵BC ⊥DE ，AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥DE ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ．又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．。

数学必修二北师大版 1.6 垂直关系直线与平面垂直的判定教案

直线与平面垂直的判定教学设计一、本节主要内容本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面直的判定定理及其应用。

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、目标和目标解析1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。

三、教学过程设计1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条过点B 的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

1.6.1垂直关系的判定教案 (高中数学必修二北师大版)

§6垂直关系6．1垂直关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．2．过程与方法通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．●重点难点重点：垂直关系的判定定理．难点：垂直关系的判定定理的应用．直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直⇒类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理⇒通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB ，地面为α，BC 、BD 为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．(1)旗杆所在直线AB 与影子BC 、BD 所在直线的位置关系是什么？(2)旗杆AB 与地面内任意一条不过旗杆底部B 的直线B 1C 1的位置关系是什么？【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB 与地面内不过B 的直线B 1C 1也垂直．1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.图1－6－13．判定定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba αbαa ∩b ＝P ⇒l ⊥α【问题导思】打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？【提示】打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．3．二面角的记法如图1－6－2，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.图1－6－24．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．。

2017-2018学年高中数学必修2教学案(北师大) 第一章 6 垂直关系 Word版含解析

垂直关系6．1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定预习课本P36～37，思考并完成以下问题(1)直线与平面垂直的定义是怎样的？(2)直线与平面垂直的判定定理是什么？1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直．[点睛]关于直线与平面垂直的定义的理解(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．(2)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．2．直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示 .(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()(2)若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b.()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.()答案：(1)×(2)√(3)×2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC答案：C3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在答案：C4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B直线与平面垂直关系的判断[典例]①如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2 D．3[解析]当α内的两条直线平行时，l与α不一定垂直，故①不对；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B.[答案] B解决此类问题常用的方法(1)依据定义、定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．[活学活用]如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.答案：①③④直线与平面垂直的证明[典例]如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.[证明]∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.[一题多变]1．[变条件，变结论]在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系．解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.又由典例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.2．[变条件，变结论]将本例改为：已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．层级一学业水平达标1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC 的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C∵BA⊥α，α∩β＝l，l α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.5．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．6．在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的条件即可)解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)7．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.又AP 平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PD∩PA＝P，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5.答案：4 59．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.10．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：BD1⊥平面AB1C.证明：连接BD，则BD⊥AC.又∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴DD1⊥AC.又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理B1C⊥BD1.又AC∩B1C＝C, ∴BD1⊥平面AB1C.层级二应试能力达标1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直解析：选A∵直线l⊥平面α，∴l与α相交．又∵m α，∴l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．。

北师大版高中数学导学案必修2《垂直关系的判定》

课题北师大版数学必修2《垂直关系的判定》作者及工作单位指导思想与理论依据：本节课利用建构主义思想理论，引导学生学习直线与平面的定义，直线与平面垂直的判定定理。

教材分析：本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用．本节学习内容蕴含转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“线线垂直与线面垂直互相转化”．直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础．学情分析：学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础．学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理．教学目标：1、借助对图片、实例的观察，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程，并能正确理解定义。

2、通过直观感知，操作确认，归纳出线面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

并发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”数学思想.教学重点：了解感受直线与平面垂直的定义，探究判定直线与平面垂直的方法。

教学难点：了解感受直线与平面垂直的定义，探究判定直线与平面垂直的方法。

教学流程示意从直线与平面垂直的实际背景引入课题构建直线与平面垂直的概念探究直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直判定定理的应用课堂小结与作业教学环节教师活动设计意图教学过程1、定义形成部分教师多媒体展示实例图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系旗杆与其影子的位置关系，教室中线面垂直的实物例子。

高中数学(垂直关系的性质)导学案北师大版必修2 学案

第11课时垂直关系的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线,也就说明门安装得.(2)直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示:.问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出这个定理.性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:.问题3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化.如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直.因此,关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽.问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论:①过一点有且平面和已知直线垂直.②过一点有且直线和已知平面垂直.平面和平面垂直的两个重要结论:①若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在平面内.②两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线于第三个平面.1.已知a、b为异面直线,b与c垂直,则().A.a⊥cB.b∥cC.b与c相交D.不确定2.下列说法中正确的个数为().①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.A.1B.2C.3D.43.已知l,m是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:①若α⊥β,且β⊥γ,则α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的是.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:EF∥BD1.线面垂直的判定与性质的综合应用如图,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C为垂足,ED⊥平面β,D为垂足.求证:CD⊥AB.面面垂直的性质定理的应用如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中点.求证:平面BDM⊥平面ECA.已知a、b为异面直线,AB与a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求证:AB∥c.已知底面为正方形的四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD,过点A在侧面PAB内作AE⊥PB于E,过E作EF⊥PC于F.那么图中AF与PC的位置关系如何?如图,在△ABC中,∠BAC=60°,线段AD⊥平面ABC,E为CD上一点,且平面ABE⊥平面DBC.求证:点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.1.设a,b是两条异面直线,下列说法中正确的是().A.有一平面与a,b都垂直B.有且仅有一条直线与a,b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可以作一直线与a,b都相交2.已知直线l⊥平面α:①若直线m⊥l,则m∥α;②若m⊥α,则m∥l;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是().A.①②③B.②③④C.①③④D.②④3.把Rt△ABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有对.4.三棱锥P—ABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AH⊥PD于点H,连接BH,求证:平面ABH⊥平面PBC.(2013年·某某卷改编)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.证明:B1C1⊥CE.考题变式(我来改编):第11课时垂直关系的性质知识体系梳理问题1:(1)垂直不平行不竖直(2) a⊥α,b⊥α⇒a∥b问题2:α⊥β,α∩β=l, AB⊂β,且AB⊥l于B⇒AB⊥α问题3:线面垂直问题4:①只有一个②只有一条①第一个②垂直基础学习交流1.D因为b与c垂直,故b与c可能相交,也可能异面,于是,a与c的关系不确定.2.B①错误,无数条直线可能是平行直线,不能判断直线和平面垂直;②正确;③错误,与该直线在平面内的正投影垂直的所有直线,都与该直线垂直;④正确.3.②①错误,反例是墙角处三个平面两两垂直.②正确,因为如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.③错误,还可能l⊂β.4.解:连接AC交BD于点O,连接EO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,且E是SA的中点,所以EO∥SC.因为SC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,且EO⊂平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.重点难点探究探究一:【解析】连接AB1,B1C,BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.【小结】当题目所给的条件垂直关系较多,但又需要证明平行关系时,往往要考虑垂直的性质定理,从而完成由垂直关系向平行关系的转化.探究二:【解析】∵EC⊥α,AB⊂α,∴EC⊥AB,同理ED⊥AB,即AB⊥EC,AB⊥ED,又EC∩ED=E,∴AB⊥面ECD,而CD⊂面ECD,∴AB⊥CD.【小结】本题是线线垂直、线面垂直的循环.证明线线垂直、则要先证明线面垂直,关键就是面的选择,选择过哪条直线的平面与另一条直线垂直.探究三:【解析】(1)取AC的中点F,连接MF、BF,则MF∥CE且MF=CE.又∵BD∥CE,BD=CE,∴MF∥BD,MF=BD,∴四边形MFBD是平行四边形,∴DM∥BF.∵EC⊥平面ABC,EC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面ABC.又∵BF⊥AC,∴BF⊥平面ACE.又∵DM∥BF,∴DM⊥平面ACE.又∵DM⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.【小结】证明面面垂直的关键点和难点,就是在一个平面内确定另一个平面的垂线,一旦找错垂线,将给问题的解决带来很大麻烦,也是不可证明的.确定这条垂线的基本方法就是根据平面与平面垂直的性质,要着眼于平面内交线的垂线,若图形中没有现成的垂线,需要根据条件作出交线的垂线,再证明此直线垂直于另一个平面.思维拓展应用应用一:如图,过点B作BB1⊥α,则BB1∥a,∴AB⊥BB1.又∵AB⊥b,∴AB垂直于由b和BB1确定的平面.∵b⊥β,∴b⊥c,同理,BB1⊥c,∴c也垂直于由b和BB1确定的平面,∴AB∥c.应用二:∵F∈PC,∴AF与PC相交,只要进一步考察是否垂直.如果有AF⊥PC,由已知EF⊥PC,EF∩AF=F,得PC⊥面AEF,∴PC⊥AE.又已知AE⊥PB,PC∩PB=P,得AE⊥面PBC,∴AE⊥BC.而由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥面PAB,可知BC⊥AE成立.∴AF⊥PC成立.于是,图中AF与PC垂直相交.应用三:过点A作AH⊥BE,H为垂足.∵平面ABE⊥平面DBC,AH⊂平面ABE,平面ABE∩平面DBC=BE,∴AH⊥平面DBC,∴点H即为点A在平面DBC内的射影.假设H是△BCD的垂心,则BE⊥CD.∵AH⊥平面BCD,DC⊂平面DBC,∴AH⊥DC.又∵AH∩BE=H,∴CD⊥平面ABE.又∵AB⊂平面ABE,∴CD⊥AB.∵AD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴AD⊥AB,又∵AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,这与已知中∠BAC=60°相矛盾,∴假设不成立,∴点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.基础智能检测1.CA中若有一平面与a,b都垂直,则a∥b,矛盾;B中将a,b平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与a,b都垂直;C正确;D中设过直线a且与b平行的平面为α,则在平面α内过直线a之外的点,不可能作一直线与a,b都相交.2.B①错,还有可能m⊂α;②正确;③正确;④正确.3.3平面BCD⊥平面ACD,平面ADB⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ADC.4.解:∵PB=PC,AB=AC,BD=DC,∴BC⊥PD且BC⊥AD,∴BC⊥面PAD,∴面PAD⊥面PBC.∵AH⊥PD,面PAD∩面PBC=PD,∴AH⊥面PBC.又AH⊂面ABH,于是面AHB⊥面PBC.全新视角拓展因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.思维导图构建α∥βb⊥αl⊥β。

高中数学《垂直关系的判定》导学案北师大版必修2

第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。

北师大版高中数学必修2教学课件：1.6.2 垂直关系的性质

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6.2 垂直关系的性质
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2.面面垂直的其他结论 (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内; (2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面; (3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一个平面内; (4)如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面要么平行, 要么它们的交线与第三个平面垂直.
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2.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条
直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
解析:如图(1)所示,a⫋α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所
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6.2 垂直关系的性质
探究一
探究二
易错辨析
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纠错心得对面面平行的性质定理理解不透彻,如果两个平面平行并不意味着一个面内的直线和另一个面内的直线都平行.
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6.2 垂直关系的性质 1234
面面垂直的内在联系,能运
用这些关系解决有关垂直的
综合问题.
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北师大版高中数学必修2-1.6《垂直关系的性质》第二课时参考学案

垂直关系的性质（第四课时）
一、学习目标：
1. 理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直及其与直线与直线垂直的关系，并会应用。

2. 通过定理及性质的学习，学会解决有关垂直问题。

二．重点，难点
重点：垂直关系的判定及性质的应用。

难点：线面垂直在线线垂直与面面垂直关系间的转化。

三．知识链接
四．知识应用
例1.已知直线a//直线b，a⊥平面α，求证：b⊥α
a
b
α
例2.如图所示，P为∆ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC 于H，求证：H是∆ABC的垂心。

（B级）
P
A
H C
B
四自测达标
1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（）
M
D C
A
B A．平行 B.垂直相交 C.异面 D .相交但不垂直
2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A．0个 B.1个 C. 无数个 D .1个或无数个
3．已知∆ABC，直线m ⊥AC，m⊥BC，则m AB (填“⊥”或“不垂直”)
4.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是菱形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点。

求证：平面EBD⊥平面SAC（B级）。

高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系学案北师大版必修2(2021学年)

2017-2０1８学年高中数学第一章立体几何初步1.6 垂直关系学案北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０17-2018学年高中数学第一章立体几何初步 1.6 垂直关系学案北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为20１7-2018学年高中数学第一章立体几何初步 1.6 垂直关系学案北师大版必修2的全部内容。

第１课时垂直关系的判定[核心必知]1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.２．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直３。

二面角及其平面角(１）半平面:一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面．（2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法.如图,记作:二面角α。

ＡB。

β。

(4)二面角的平面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．如图二面角α－ｌ-β，若有①Ｏ∈ｌ。

②OAα,OＢβ。

③OＡ⊥l，OB⊥l.则∠AOＢ就叫作二面角α-l-β的平面角.４．两个平面互相垂直(1）两个平面互相垂直的定义：两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2)两个平面互相垂直的判定定理:文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直[问题思考］１.若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么?提示：不一定垂直.例如，a1∥a2∥a３∥…,且a1，ａ２…α，l与这组平行直线垂直．有可能直线ｌ在这个平面内或与平面斜交．2．在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线？提示:（１)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想.(2）两条相交直线可以确定这个平面,虽然两条平行直线也可以确定这个平面,但由于平行线的传递性,直线垂直于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直.如图:aα，bα,a∥b,l⊥a,l⊥b,但l不垂直于α。

6.2垂直关系的性质-北师大版必修2教案

6.2 垂直关系的性质-北师大版必修2教案一、课程目标本节课的主要目标是学习垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理，理解垂直关系的性质，掌握相关定理的证明以及应用。

二、教学重难点1.领会垂线两定理和平行四边形性质的证明过程2.掌握垂心及其性质，应用定理解决实际问题3.熟练运用相关公式和算法解决相关数学题目三、教学内容及教学时长1. 垂线两定理教学内容•垂线两定理的内容和定义•垂线两定理的证明和推论•实例探究教学时长2学时教学步骤1.引入垂线两定理的背景以及应用价值（5分钟）2.教授垂线两定理的定义，并分别讲解两个定理的证明过程（30分钟）3.指导学生通过实例练习巩固掌握（50分钟）2. 平行四边形性质教学内容•平行四边形定义及基本性质•平行四边形四小定理•实例分析教学时长2 学时教学步骤1.引入平行四边形的知识点，让学生理解其定义以及基本性质（5分钟）2.介绍平行四边形的四小定理，并带领学生掌握证明方法（30分钟）3.实例分析，让学生通过练习提升应用能力（75分钟）3. 垂心定理教学内容•垂心的定义及其性质•垂心定理的运用•实例探究教学时长3 学时教学步骤1.以实例为引入，让学生直观理解垂心的概念和性质（15分钟）2.教授垂心定理的证明过程，并指导学生运用算法化解实际问题（80分钟）3.综合讲解相关公式，让学生通过反复练习掌握技巧技巧（85分钟）四、教学评价本节课的教学评价主要考核学生对垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理及其应用的掌握情况，评价途径包括日常课堂练习、作业表现和期中期末评测。

五、教学建议本节课主要是将具体问题虚化为抽象问题，激发学生解决抽象问题的思维能力，因此在教学中应注重概念的剖析和证明方法的灵活运用，尤其要关注重整理概念，突出方法，并利用实例进行讲解，提高学生的应用实践能力和解题能力。

北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计 (2)

北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计一、教学目标1.了解垂直关系的定义及其性质；2.能够判断两条直线是否垂直；3.能够求垂直的直线之间的夹角大小；4.能够应用垂直关系解决问题。

二、教学重难点1.垂直关系的定义及其性质；2.求垂直的直线之间的夹角大小。

三、教学内容3.1 引入通过展示建筑物中多个垂直的直线，引导学生认识垂直关系的重要性，并引出垂直关系的定义与性质。

3.2 讲解（1）定义：•垂直：两条直线或两个平面相互垂直，当且仅当它们的交角为90度时。

•垂线：过给定点，与给定直线相交而且与该直线垂直的线段称为垂线。

（2）性质：•垂直的直线之间的夹角为90度。

•垂直的直线上任意两点与直线的距离相等。

3.3 实例演练1.给定两条直线，如何判断它们是否垂直？–检查这两条直线之间的夹角是否为90度。

2.已知一条直线L和直线L’上两个点A、B，如何在直线L’上找到与点A构成的垂线？–连接AB，过B点做L’的垂线，交于点C，则AC即为所求垂线。

3.在三角形ABC中，AC垂直于BC，如何求∠CAB的度数？–利用垂直关系求出∠ABC的度数，然后用三角形内角和定理求解。

3.4 训练与拓展1.已知四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90度，AC垂直于BD，求证:AD=BC。

2.在平面直角坐标系中，直线L：y=−2x+5，直线L’过点(2,3)且垂直于直线L，求直线L’的解析式及它与直线L的夹角大小。

3.学生自选问题解决，主要涉及垂直关系的应用。

四、教学方法1.案例教学法：通过实例演示和解题分析，引导学生掌握垂直关系的性质和应用。

2.问答教学法：通过提问，帮助学生理解概念，熟悉垂直关系的定义及其性质。

3.组织小组讨论：让学生在小组内讨论垂直关系的应用，激发学生思考和创新意识。

五、教学评价1.课堂练习，以掌握垂直关系的定义及其性质为主；2.课后习题，以巩固垂直关系的运用为主；3.课程设计，在实际问题中运用垂直关系解决问题，开发学生的思维能力和实际运用能力。