2017-2018学年北师大版必修二1.6.2垂直关系的性质学案word版

6.2 垂直关系的性质

1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)

2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)

3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理1直线与平面垂直的性质定理

阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.

1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

2.符号语言：l⊥α，m⊥α?l∥m.

3.图形语言：如图1-6-18所示.

图1-6-18

4.作用：证明两直线平行.

在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()

A.相交

B.平行

C.异面

D.相交或平行

【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.

【答案】 B

教材整理2平面与平面垂直的性质定理

阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.

1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平

面垂直.

2.符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m?l⊥α.

3.图形语言：如图1-6-19所示.

图1-6-19

4.作用：证明直线与平面垂直.

若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()

A.直线a必垂直于平面β

B.直线b必垂直于平面α

C.直线a不一定垂直于平面β

D.过a的平面与过b的平面垂直

【解析】α⊥β，aα，bβ，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b 时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C.

【答案】 C

[小组合作型]

线面垂直的性

质

如图1-6-20，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D 都垂直相交.求证：EF∥BD1.

图1-6-20

【精彩点拨】连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.

【自主解答】连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示.

∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，

∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，

∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

证明线线平行常有如下方法：

(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；

(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

[再练一题]

1.如图1-6-21，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.

图1-6-21

【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，

即lα，所以l⊥EA.

同理l⊥EB.

又EA∩EB＝E，

所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.

面面垂直性质的应

用

如图1-6-22，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC ＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动.

图1-6-22

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.

【导学号：39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，

通过解三角形求解.

(2)分D是否在平面ABC内进行讨论.

【自主解答】(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC

＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE

＝3，EC＝1.

在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.

(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.

证明：①当D在平面ABC内时，

因为AC＝BC，AD＝BD，

所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.

②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.

又AC＝BC，所以AB⊥CE.

又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.

又CD平面CDE，所以AB⊥CD.

综上所述，总有AB⊥CD.

1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂

直.

2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一

种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.

[再练一题]

2.如图1-6-23，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.

图1-6-23

求证：平面VBC⊥平面VAC.

【证明】∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD ＝AB，BC平面ABCD，