循环数列的通项公式
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
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；
机械可靠性基础（2学时） 掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto
数列知识点总结
数列知识点一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列：1,2,1,2,….;1,1,2,2,3,3,4,4,….; 循环数列：1,2,3,1,2,3,1,2,3,….. 通项公式n a ； 前n 项和公式n S二、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n若1a 满足由1--=n n n S S a 推出的n a ，则需要统一“合写”； 若不满足，则数列的通项应分段表示。
三、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、d a a n n =--212、d a a n n =--1、d a a n n =--111、211-++=n n n a a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= (其中1a 为首项、k a 为已知的第k 项)当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+= 当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0； 当0=d 时（01≠a ），1na S n =是关于n 的正比例式。
4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列，公差为d m 2。
6、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{nS n是等差数列，公差为2d。
数列通项的五种求法
数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。
下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。
一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。
(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32 (4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1.（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n na n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n 小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。
二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。
（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1. （3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,12113210--=∴⨯-⨯---n a n n n （3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n , ∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22n n a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。
8递归数列的通项(3)
初 等 数 学 专 题 研 究
这是一个三阶循环公式 将得到一个次数较高的特征方程，求解计算量大。 下面针对 {bn } 的几种特殊情形给出求数列 {a } n 通项公式的一般方法。
初 等 数 学 专 题 研 究
情形一： {bn } 为常数数列 bn = b 即 an +1 = ran + b 这时，我们设想，如果b能够拆解成两个部分， 使 an+1 = ran + b 能改写成： 的形式。那么数列 {a n + x } 就成为公比为r的等比数列。 问题是这样的待定数x是否存在？ 将 an +1 + x = r (an + x ) 还原成 an +1 = ran + x ( r 1) 的形式， 与 an +1 = ran + b 比较， 由于
与
an+1 = ran + bn + c 比较，
由于
r ≠1
所以方程组
初 等 数 学 专 题 研 究
( r 1) x = b x + ( r 1) y = c
有解，即前面的设想成立。
例2：求数列：an+1 = 4an + 5n, a1 = 1 的通项公式。 解：设 an +1 = 4an + 5n 可以改写成
bn = an +1 ran , bn+1 = an + 2 ran +1
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
递 推 数 列
递 推 数 列高一数学第三章《数列》专题讲座之三我们把数列连续若干项之间的等量关系称为数列的递推关系，由递推关系及初始值可以确定的数列叫递推数列，常见的递推数列是线性递推数列（或称循环数列，线性递归数列）.一、推数列通项公式的基本求法1形如()n f a a n n +=+1的递归式，其通项求法为()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a =()()()1211-++++n f f f a例1已知211=a ，1121-+=-n a a n n ，（n ≥2）,求n a 解：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a =21+()11223++-n n n =()()21122≥++-n n n n 2形如()n n a n f a =+1型的递归式，其通项求法为()()()()21211≥-=n n f f f a a n例2设数列{}n a 中，11=a ，且n n a n S 2=，求n a .解：当n ≥2时，1--=n n n S S a ，依题意，有n n a n S 2=，()1211---=n n a n S 两式相减得：()1221---=n n n a n a n a ，故111-+-=n n a n n a ，∴()11+-=n n n f ， ∴()12342132111111+=---+-=+-=-n n a n n n n n n a n n a n n ，由于11=a 满足上式∴()12+=n n a n3形如()11≠+=+p q pa a n n 型的一阶递推式，可化为()1111≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--+p p q a p p q a n n 的形式，()11111≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=-p p p q a p q a n n 求解 例3设数列{}n a 中，11=a ，且431-=-n n a a ，（n ≥2）,求n a . 解：()2321-=--n n a a ，()11322--+=n n a a =132--n4形如()()11≠+=+p n q pa a n n 型的递推式，两边同除以1+n p ，得()111++++=n n n n n pn q p a p a 转化为第一种形式求解.例4．设数列{}n a 中，11=a ，且nn n a a 5321⋅+=-，（n ≥2）,求n a .解：两边同除以n2得，nnn n n n a a 2532211⋅+=--，令n n n b a =2，则1112---=n n n b a ， ∴()()()123121--++-+-+=n n n b b b b b b b b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++nn252532122 =12255-⎪⎭⎫⎝⎛n∴11235++⋅-=n n n a ,本题也可以将原式两边同除以n5得，3552511+⋅=--n n n n a a ，令n nnb a =5，则1115---=n n n b a ，则原式变为3521+=-n n b b 再按一阶递推数列的求法也可求出. 5特征方程:对于二阶线性递推数列{}n x ，满足012=++++n n n bx ax x ， ①其中a,b 是常数，且0≠b .若有等比数列{}n x 满足公式①，则x 必满足相应的方程02=++b ax x ②； 反之，特征方程②有一个实根α，则等比数列{}n α必满足递推公式①；当042>-b a ，方程②有两个不相等的实根α，β，则数列{}nα，{}nβ均是①的解，并且对任意常数21,c c ，有{}n n c c βα21+也是①的解.如果给出初始条件，则可以求出通项公式.例5已知数列{}n a 中，21=a ，32=a ，且06512=+-++n n n a a a ，求n a .解：解法1，（特征根法）对于相应的特征根方程0652=+-x x 有两个不等的实根2，3，则它的通解为n n n c c a 3221+=，把21=a ，32=a 代入得32221c c +=，2221323c c +=，231=c ，312-=c ，故所求的通解是：11323---⋅=n n n a 解法2：（待定系数法）设6,5=⋅=+βαβα，即3,2==βα，则数列{}n a 的递推公式可以改写成()063212=++-++n n n a a a ，即：()n n n n a a a a 232112-=-+++ =()1223--n n a a =…=()nn a a 32312-=-①()n n n n a a a a 323112-=-+++=()1232--n n a a =…=()n n a a 233212⋅-=-②由①、②得11323---⋅=n n n a6韦达定理法：例如已知1245,0210++==+n n n a a a a ，求通项n a ，通过去根号，整理得：01102112=-+-++n n n n a a a a ，以()1-n 代替上式中的n 得：01102112=-+---n n n n a a a a ，这样1+n a 与1-n a 是二次方程011022=-+-n n a x a x 的两根，由韦达定理知n n n a a a 1011=+-+，再仿照5特征根法求解.7简单的分式数列：设()()0,0≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，{}n a 满足递推关系()1-=n n a f a ，其中n ≥2，且初始值()11a f a ≠.若方程dcx bax x ++=有两个不等的实根p,q,则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11，这里qc a pc a k --=，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q a p a n n 是以qc a pca k --=的等比数列；若 方程d cxb ax x ++=有唯一的实根p,则k p a p a n n +-=--111，这里d a c k +=2，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p a n 1是以k 为公差的等差数列.例7已知数列{}n a 中，41=a ，4231++=+n n n a a a ，求{}n a 的通项公式.解：解方程423++=x x x 得，有两个不等的实根1和—2，21522111+-⋅=+---n n n n a a a a 1115221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=n a a15221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ，21112552-----+=n n n n n a 8可转化为等差（比）的数列：例8若数列{}n a 中，11=a ，1->n n a a ，且()21114-+=++n n n n a a a a n ≥1，求{}n a 通项公式.解：显然数列各项均为不小于1的正值，开方得1211-+=++n n n na a a a ，配方有()121=-+nn a a ，因为1->n n a a ，所以11=-+n n a a ，故{}na 是等差数列，得n a n =，2n a n =. 例9已知{}n a 中，61=a ，()1121≥+=+n a a a n nn ，求{}n a 的通项公式.解：由条件得2111=--n n a a ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，()6111212611-=-+=n n a n ，11126-=n a n .例10已知21=a ，且()12221≥+=+n a a a nn n ，求{}n a 的通项公式.解：解方程x x x 222+=得，有两解2±，由此可得()n nn a a a 22221+=++，()nn n a aa 22221-=-+，两式相除有：2112222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+++n n n n a a a a ，两边取对数得22lg222lg11-+=-+++n n n n a a a a ，所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+22lgn n a a 是等比数列，所以12111112222lg 22lg 222lg -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+-++n a a a a n n n ，12222222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+n n n a a ，本题也可以反复迭代得2112222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+++n nn n a a a a =…=121122-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n a a =122222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n 由此解出：()()()()11112222222222222------+-++=n n n n n a。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解33 数列的概念和性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第33讲 数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项;数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释:(1){}n a 与n a 的含义完全不同:{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类1,2,3,4,,100 ,,n3,4,5,,n1,,20156,6,6,6,2,3,4,-1,1,1,-1,3,4,4,通关三、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成n a ()f n =，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是sin 2n n a π=.(3)数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和:指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12n n S a a a =+++，1*1(1)2(n n n S n a S S n n -=⎧⎪=⎨-∈⎪⎩N ）且….结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若第n 项和第1n +项正负交错，那么符号用(1)n-或1(1)n +-或1(1)n --来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)4142,,,,52117；(2)1925,2,,8,,222；(3)7,77,777,； (4)0,3,8,15,24,.【答案】(1)432n a n =+(2)22n n a =(3)()71019n n a =-(4)21n a n =-【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4444,,,581114，，它们的分母相差3，因而有432n a n =+. (2)把分母统一为2，则有1491625,,,,,22222，因而有22n n a =.(3)把各项除以7，得到1,11,111,，再乘以9，得到9,99,999,，因而有()71019n n a =-. (4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即222221,2,3,4,5,，则有21n a n =-.【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)23451,,,,,3579；(2)3143984,,,,251017；(3)392565,,,,24816；(4)5791,,,,81524--.【答案】(1)21n n -(2)221n n n ++(3)12n n +(4)1221(1)2n n n n ++-+【解析】(1)先将数列23451,,,,,3579，第1项也化为分数，数列变为12345,,,,13579，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为21n na n =-. (2)将数列各项化为带分数，即149161,2,3,4,251017，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为2n ，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为221n n +.两部分合成为221n n a n n =++.(3)将数列各项化为带分数，即11111,2,3,4,24816，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为12nn +. (4)先将数列各项取为正数，即为5791,,,,81524，再将第1项也化为分数(注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为3579,,,,381524，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为21n +，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是22n n +，合起来为2212n n n ++，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为1221(1)2n n n n++-+. 结论二、数列的周期性对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*T T ∈N，使得对任意的正整数0n n >，恒有n Tn aa +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列.若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n …，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期. 【例2】设数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2020T 的值为（）. A.2 B 1 C.1-D.2-【答案】D 【解析】因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故673202067331(1)22T T ⨯+==-⨯=-.故选D.【变式】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，若167a =，则20a 的值为（）.A.67B57C.37D.17【答案】B【解析】因为数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，167a =，所以215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，所以数列{}n a 是周期为3的循环数列，所以20257a a ==.故选B.结论三、已知n S 求n a 的一般步骤任意数列{}n a 的前n 项和1121(1);(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=+++=⎨-⎩….要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n a S S n -=-…便求出当2n …时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n …时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n …两段来写. 【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式na =__________.【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-⎩…【解析】因为已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，所以当1n =时，110a S ==，当2n …时，1n n n a S S -=-22221(1)1(1)21n n n n n ⎡⎤=----=--=-⎣⎦，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,1.21,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…【变式】已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则其通项公式na =__________.【答案】14,123,2n n n -=⎧⎨⋅⎩… 【解析】当1n =时，11314a S ==+=；当2n …时，()()111131312323nnnnn n na S S ----=-=+-+=⋅=⋅.当1n =时，111232a -⨯=≠，所以14,1.23,2n n na n -=⎧=⎨⋅⎩…结论四、n a 与n S 混合在一起的处理方法数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，通过纽带:1(2)n n n a S S n -=-…，根据题目已知条件，消掉n a 或n S ，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. 要点诠释：(1)若消掉n S ,应利.用已知递推式,把n 换成1n -得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉n a ,只需把1n n n a S S -=-代入递推式得到n S ，1n S -的关系,求出n S 后再利用n a 与n S 的关系求通项.【例4】若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+,则1a =数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】11(2)n --【解析】由已知条件得,当1n =时,112133a a =+,故11a =.当2n …时,2133n n S a =+,112133n n S a --=+,所以12233n n n a a a -=-,即12n n a a -=-.所以{}n a 是以1为首项,2-为公比的等比数列,所以1(2)n n a -=-.【变式】已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =（）.A.74B. 534⨯C. 634⨯D. 641+【答案】B【解析】由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=…,两式相减可得:111,233n n n a a a n +=-…,即14,2n n a a n +=….数列{}n a 是从第二项起的等比数列,公比为4, 因为113n n S a +=,11a =.所以23a =.所以72572434a a -==⨯.故选B.结论五、数列单调性的判断方法①作差法:10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列; 10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列; 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列.②作商法:当0n a >时,11n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 【例5】已知{}n a 是递增数列,且对于任意的*2,n n a n n λ∈=+N 恒成立,则实数λ的取值范围是__________. 【答案】3λ>-【解析】解法一（定义法）因为{}n a 是递增数列,所以对任意的*n ∈N ,都有1n a +>n a ,即22(1)(1)n n n n λλ+++>+,整理得210n λ++>,即(21)(*)n λ>-+. 因为1n …,所以(21)3n -+-…,要使不等式(*)恒成立,只需3λ>-.解法二（函数法）设2()n f n a n n λ==+,其图像的对称轴为直线2n λ=-,要使数列{}n a 为递增数列,只需使定义在正整数上的函数()f n 为增函数,故只需满足(1)(2)f f <,即3λ>-. 【变式】已知数列{}n a 的通项公式为(37)0.9n n a n =+⨯,则数列{}n a 的最大项是（）.A.5aB. 6aC. 7aD. 8a 【答案】C 【解析】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+,解得203n <,又*n ∈N ,所以6n ….于是12a a <<7a <,当7n …时,11n na a +<, 故78a a >>, 因此最大项为7a .故选C .。
求通项公式常用5法
行运算，然后验证能否统一。
(①只含n) 例1、数列 {an }的前n项和为S n，S n n 2 n， 求：数列 {an }的通项公式。 练习 1、数列 {an }的前n项和为S n，S n 2n 2 n 1， 求：数列 {an }的通项公式。
(②含an ) 例2、数列 {an }的前n项和为S n，S n 2an n， 求：数列 {an }的通项公式。
an1 pan q( p, q为常数）往往变为an1 p（an ）
构成等比数列，求得通项公式，再求an。
练习 1、数列an 中，a1 1, an 1 4an 3, 求an
练习2、数列an 中，a1 1,3an 1 2an 3, 求an
an 中，a1 1, 前n项和Sn满足Sn n an , 求an 练习 1、数列
2
解：当n 2时
Sn n2an 1
Sn1 n 1 an1 2
2
an a2 a3 a4 累乘得： a1 a2 a3 an1
1 2 3 n 3 n 2 n 1 3 4 5 n 1 n n 1 an 2 2 ,即an n 2 a1 nn 1 nn 1
2n－1 等比数列，∴an＋1－an＝－3 .
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋ 2n－2 2n－3 2 2 2 8 3 2n－1 a1＝－3 ＋－3 ＋…＋－3 ＋－3＋1＋1＝5－5－3 .
例3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2,3an－an－1－2an－2＝0(n≥3)， 求数列{an}的通项公式．
循环数列的通项公式
循环数列的通项公式江苏省丹阳高级中学 杨松扣大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集：｛ 1，2，3，…，n ｝。
因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。
我们先从数列 1-，1，1-，1，…谈起，大家利用得较多的是n )1(-，三角形式还可以写成πn cos 和)n 2sin(π-π的形式。
这样数列 1，2，1，2，1，2，… 可以构造成： 2123-，2123+，2123-，2123+，2123-，2123+，…… ， 它的通项公式可以写成： 21)1(23a n n ⨯-+= (n ∈N)， 或者写成： )n 2s i n (2123a n π-π+= (n ∈N)， 或者写成： π+=n c o s 2123a n (n ∈N)， 一般地，数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成： π-++=n c o s )a b (21)b a (21a n (n ∈N)。
如何求数列}b {n ：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…… 和数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式呢？ 注意到 1，2，3可以分解成 12-，02+，12+的形式，如果我们能给出1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式便可以了，这可以理解成周期为3的数列，我们，把它与周期为π的函数x tan y = 进行改造，使它们能发生联系。
事实上，当 x 分别为3π-，0，3π，32π，π，34π，……时，x tan 的值分别为3-，0，3，3-，0，3，……这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：π-)2n tan(31，∴ π-+=)2n tan(312b n (n ∈N)。
下面再讨论数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式。
求数列通项的几种方法
数列通项的几种求法一、一阶线性（及非线性）齐次（及非齐次）差分方程㈠ 求数列通项，首要的是通过观察已知数列各项之间的联系，找出数列前后项之间的递推关系或者各项与所在项数之间的关系. 1．通过中学课本中对等差数列，等比数列的学习，我们找到了一种发掘递推关系的基础方法.例： ①2，4，8，14，22，32，… 观察可得： 12(-1)n n a a --=n②2，2，3，6，15，45，…12n n a na -= ③1，5，14，30，55，91，… 21n n a a n --= ④1，1，2，2，3，3，4，4，… 1n n a a -+=n ⑤1，2，1，2，1，2，1，2，… 1.2n n a a -=其中④⑤是通过对①②③方法应用总结所得到的.2．通过对上述五例的观察发现，我们自己所能发现的也只是些满足1(,)()n n f a a g n -=的形式的递推关系，既是满足方程1(,)()n n f a a g n -=的形式，也就意味着我们可以扩大递推关系的寻找方法.例：⑥1，12，123，1234，… 110n n a a n --=⑦1，4，14，58，292，… 12n n a na --=通过前面的启发，我们还可以构造1()n n a ra s p -+=，11()n n n a ra s p qa --+=+…形式的递推关系（,,,,p q r s 是常数）.小结 寻找递推关系的常用方法：ⅰ：1n n a ka -- ⅱ：1/n n a a - ⅲ：n a k - (k 是常数）㈡前面对如何寻找递推公式（关系）已经有了初步的认识，下面主要就前面提到几类递推公式（关系）来求通项（一阶差分方程）. 1.主要形式：①1()n n a a f n --=②1/()n n a a g n -= ③1(n n a a F -+=n) ④1.()n n a a G n -=① 解 1()n n a a f n --=⇒12(1)n n a a f n ---=-⇒…⇒21(2)a a f -= 将上述等式左右两边分别各自相加，可得12()nn i a a f i =-=∑所以12()nn i a f i a ==+∑② 解 1/()n n a a g n -=⇒12/(1)n n a a g n --=-⇒…⇒21/(2)a a g =将上述等式左右两边分别各自相乘，可得12/()nn i a a g i ==∑所以12.()nn i a a g i ==∑③解1(n n a a F -+=n)，两边分别乘以(1)n-可得11(1)(1)(1)()n n n n n a a F n -----=-令(1)n n n b a =- 则111(1)n n n a b ----=于是 1(1)()nn n b b F n --=-所以12(1)()ni n i b F i b ==-+∑ 从而1122(1)(1)()(1)(1)()(1)nnnini n n n i i a F i a F i a +===----=---∑∑④ 解 1.()n n a a G n -=两边取对数得，1lg lg lg ()n n a a g n -+=令lg n n c a =则11lg n n a c --=于是1lg ()n n c c G n -+=所以12(1)lg ()(1)ni n n n i c G n c +==---∑则12(1)lg ()(1)lg 1010ni n n n i G n a c n a +=---∑==方法应用举例.例1）. 12(1)n n a a n --=-,12a =求n a . 解 代入①式，则222(1)2(1)22(1)22222nnn i i n n a i i n n ==-=-+=-+=⋅+=-+∑∑ 例 2）. 21n n a a n --=，11a =，求n a . 解 代入①式，则22121nnn i i a i a i ===+=∑∑事实上， 1。
数列通项公式的几种求法
数列通项公式的几种求法无锡市洛社高级中学 李思齐 陆莉丽数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。
数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。
本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。
一、常规数列的通项例1：求下列数列的通项公式（1）22—12 ，32—13 ，42—14 ，52—15，… （2）－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5，… （3）23 ，1，107 ，179 ，2611，… 解：（1）a n =n 2—1n （2）a n = （－1）n n （n+1） （3） a n =n 2＋12n ＋1评注：认真观察所给数据的结构特征，找出a n 与n 的对应关系，正确写出对应的表达式。
二、等差、等比数列的通项直接利用通项公式a n =a 1+（n －1）d 和a n =a 1q n －1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。
三、摆动数列的通项例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：a n =（－1）n －1变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，… 故数列的通项公式为a n =1+（－1）n变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均乘以23，数列相应变为2，0，2，0，… 故数列的通项公式为a n =32[1+（－1）n －1 ] 变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
6递归数列的通项(1)
2λ cos α , = b2 λ 2 = b1
an +1 = [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n
an = [c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ n 1
代入 an + 2 = b1an + b2 an +1 得
b2 an +1 + b1an = b2 [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n + b1[c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ = {c1[b2 λ cos nα + b1 cos( n 1)α ] + c2 [b2 λ sin nα + b1 sin( n 1)α ]}λ
∵ a n + 1 = 2 a n + 3 , ∴ a n + 2 = 2a n + 1 + 3
、 ，
a n + 2 a n + 1 = 2a n + 1 2a n a n + 1 = 3a n + 1 2a n
特征方程为 所以特征根为1和2。 再由
λ2 3λ + 2 = 0
初 等 数 学 专
a1 = 2 a n+1 = 2a n + 3 可得
a n = x + y 2 n 1
代入得
a2 = 7
题 研 究
于是设通项公式为 将 a1 = 2 a 2 = 7 所以通项公式为
x + y = 2 x + 2 y = 7 x = 3, y = 5
a n = 5 × 2 n 1 3
三、k阶循环数列的通项公式 对于阶数大于2的循环数列，我们有 定理3：设 λ1 , λ 2 , , λ t 是循环数列的特征根 它们的重数依次为 s1 , s2 , , st ( s1 + s2 + + st = k ) 那么循环数列的通项公式可以写成：
通项公式
数列的概念与简单表示法一、观察法例1 ：已知数列Λ646132291613854121，，，，，-- 写出此数列的一个通项公式。
例2：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）4，44，444，4444，…（2）K ,17164,1093,542,211 （3）K ,52,21,32,1（4）K ,54,43,32,21--三、摆动数列的通项例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：a n =（－1）n －1变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，… 故数列的通项公式为a n =1+（－1）n变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均乘以23 ，数列相应变为2，0，2，0，…故数列的通项公式为a n =32[1+（－1）n －1 ]变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…故数列的通项公式为a n =1++2×23 [1+（－1）n －1 ]=1+43[1+（－1）n －1 ]分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…故数列的通项公式为a n =3+2（－1）n －1四、循环数列的通项例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。
解：a n = 110n变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。
解：a n = 510n变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。
分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相加得到的项全部都是1，于是a n =1－ 110n变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。
解：a n = 79 （1－ 110n ）例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。
三阶循环数列的通项公式
三阶循环数列的通项公式首先，将数列的前三项设为a1、a2和a3、根据题目所给的条件，我们可以确定初始值如下：a1=c1;a2=c2;a3=c3;接下来，我们要找出数列的递推规律。
观察数列的前几项，我们可以发现每一项都可以通过前三项的关系来递推得出。
设第n项为an，则可以得到如下关系式：an+3 = an + an+1 +an+2我们可以通过这个递推关系来确定数列的通项公式。
首先，我们来求解根特征方程：r^3-r-1=0利用市区判别式法，我们可以得出根的表达式为：r1=1;r2=(-1+√5)/2;r3=(-1-√5)/2;根据根的表达式，我们可以得出通解为：an = A1 * r1^n + A2 * r2^n + A3 * r3^n接下来，我们需要确定待定系数A1、A2和A3的值。
为了确定这些系数，我们需要使用前三项的初始值。
将n分别代入1、2和3，我们可以得到如下三个方程：a1=A1*r1+A2*r2+A3*r3a2=A1*r1^2+A2*r2^2+A3*r3^2a3=A1*r1^3+A2*r2^3+A3*r3^3解这个三元一次方程组，我们可以得到A1、A2和A3的具体值。
将A1、A2和A3的值代入通解中，我们就得到了三阶循环数列的通项公式：an = (c1 * r1^n + c2 * r2^n + c3 * r3^n) / (r1 + r2 + r3)这就是三阶循环数列的通项公式。
最后，我们需要说明的是，这个推导过程是在假设根特征方程的根是实数的情况下进行的。
如果根是复数，那么通项公式将会有所不同。
但是，在实际应用中，复数情况出现的概率较低，因此我们可以使用以上的通项公式。
小升初循环原理知识点总结
小升初循环原理知识点总结循环原理是小升初数学中的一个重要知识点，也是学生在数学学习中需要掌握的基础知识之一。
循环原理主要是用来描述一组数的规律和性质，通过对数列进行分析和归纳，找出其中的规律，从而解决问题和推导出结论。
在小升初数学中，循环原理通常是通过数列和循环问题来引入和应用的。
掌握循环原理对于学生在小升初数学学习中具有重要的意义，不仅可以帮助学生理解和掌握数学知识，还可以培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
下面我们就来对小升初循环原理知识点进行总结和归纳，帮助学生更好地掌握这一重要知识点。
一、循环原理的基本概念1、数列的概念数列是指按照一定规律排列的一组数，这组数称为数列的项。
数列中的每一个数称为数列的项，数列的第一个数称为首项，数列的第二个数称为第二项，依此类推，数列的第n个数称为第n项。
数列通常用{ }表示，例如{1, 3, 5, 7, 9}就是一个数列，其中首项为1，公差为2，数列的项之间的规律为加2。
数列的项之间的规律可以用公式来表示，一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
2、常见数列的类型在小升初数学中，常见的数列有等差数列、等比数列等。
等差数列是指数列中任意两项的差都相等的数列，其中差值称为公差，通常用d表示。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
等比数列是指数列中任意两项的比都相等的数列，其中比值称为公比，通常用q 表示。
等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
此外，还有递增数列、递减数列等类型的数列，在小升初数学中都会涉及到。
3、循环问题的概念循环问题是指一种数学问题，在该问题中，数列中的项以某种规律反复出现，并且呈现出一定的规律性。
循环问题通常是要求找出数列中的规律，并根据该规律推导出数列中的某一项或者满足某一条件的项。
循环问题通常需要运用数学归纳法或者递推公式等方法进行求解。
数列综合题的常见类型 与方法解析2
数列综合题的常见类型 与方法解析湖南省 黄爱民 高明生数列与其它数学知识的综合性问题一直是高考的热点，数列综合题一般是以数列与函数、数列与不等式，数列与解析几何为主，全面考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想以及分析和解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性。
下举例谈谈数列综合题的常见类型及方法解析。
一、 等差、等比数列的综合问题例1、已知数列{}n a 中，651=a ，且对任意正整数n 都有112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ．数列{}n b 对任意自然数n 都有n n n a a b 211-=+．（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，求n n S ∞→lim 的值．分析： 已知条件中，数列{}n a 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的，而数列{}n b 的通项公式则是通过数列{}n a 给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列{}n b 入手，这就应该通过代数变形，致力于证明nn b b 1+为定值；二是从数列{}n a 的通项公式入手．如何求出数列{}n a 的通项公式呢？由于已知条件112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 与等比数列很相似，结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与n a 及n⎪⎭⎫⎝⎛21有关的新的等比数列．解法1：（1）∵ 112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，∴ 11112133213++++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n a a a ．∴ 一方面，n n n a a b 211-=+n n n a a 2121311-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，另一方面，n b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++12111161213213361216121n n n n n n n a a a ，∴3161213612112121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n n n n nn a a b b ． 又916561416121121=⋅-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ，∴ 数列{}n b 是以911=b 为首项，以31为公比的等比数列．（2）由（1）可知：11313191+-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n b ，又n b n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，∴ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++11131216216n n n n n b a ，N n ∈．（3）231131211216lim 22=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→n n S ．解法2：设数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n r a 21为等比数列，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++nn n n r a s r a 212111，对照112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，不难解得：3=r ，31=s ．∴ 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-n n a 213是以322131-=⋅-a 为首项，以31为公比的等比数列．∴n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--31231322131．∴ nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=312213．∴n n n a a b 211-=+=1113131221321312213+++⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n ．∴ n S ∑∑∑∑====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k k n k k nk k k n k k a 1111312213312213．∴ 23113221123lim =---=∞→n n S ． 评析：解法1是按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅；解法2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a 的认识，另一方面，题目的设问也给了我们一定的提示．二、 数列与函数综合问题例2、函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x()()=22且f ()11=，在每个区间(,]12121i i -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。
数列通项公式的求法
数列通项公式的求法察右中旗一中沈平2006.10.11 如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫这个数列的通项公式。
即为:a n=f(n),(n∈N*)对于无通项公式的数列，只能用语言描述的方法表示数列。
例如：〈1〉由小到大的全体素数组成的数列。
〈2〉“π”的不足近似值分别精确到0.1、0.01、0.001……所组成的数列。
下面谈谈一些特殊数列的通项公式的求法。
1、等差、等比数列的通项的求法：〈1〉对于确定给出的等差、等比数列的通项可求且结果唯一。
例如：①求等差数列：8、5、2、…的通项。
解： a1=8,d= -3 ∴a n =8+(n-1)(-3)=11-3n②已知等比数列的首项为5，公比为2求其通项。
解： a1 =5,q =2 ∴a n =5.2n-1〈2〉可视为等差、等比数列的，可以求出满足前若干项的一个通项。
例如：求数列：1、3、5、7、…的一个通项。
解：通项可以为：a n=2n-1a n=2n-1+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)a n=2n-1+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)等等。
2、不完全归纳法求通项对于给出前若干项的数列，往往运用已学过的数的知识（如数的质因数分解、整除、幂、指、对数等将每一个数拆成和项数有关的式子，然后用不完全归纳法“猜”出一个通项公式。
例1：写出下列数列的一个通项。
①1、2、4、8、…②（22-1）/2×3、（32-1）/3×4、（42-1）/4×5、…③c/1!、c2/2!、c3/3!、c4/4! …解：①a n =2n-1②a n=[(n+1)2-1]/(n+1)(n+2)③a n =c n/n!应该指出常数列的通项为本身。
如数列：1、1、1、… a n=1.其通项也可以表示成其它形式：a n =n2-(n+1)(n-1)例2：已知{an}满足a1=0,a1+n=133+-nnaa(n N∈*),求a n解：由已知得：a1=0a2=3-a3=3a4=0 ……可见这个数列是周期变化的。
数列的通项公式
an = a p n
Sn = b p n - b
变式： 1、倒数 ： 2、配凑：若an = p an – 1 + q,则可凑出形如{an+m} 的等比数列。 例1、已知{an}是各项都为正数的等差数列，lga1 , lga2 , lga4 ,成等差数列，又 ，n = 1,2,3,… (1)证明{bn}为等比数列； (2)如果无穷数列{bn}各项和S = ，求数列{an} 的首项和公差d.
例2、已知不等式 ，其中 n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2n的最大 整数，设数列{an}的各项为正，且满足 a 1 = b (b > 0 ) , n = 2,3,4,… (1)证明 n = 3,4,5,… (2)猜想数列{an}是否有极限：如果有，写出极 限值；
数列的通项公式
若 a n= f(n)，则a n= f(n)叫做数列{an}的通项公式
通项公式是指序号n与项a n的关系式
an的求法： 1、转化为等差或等比数列； 2、观察法：
记住下列数列： an = n2 平方数列：1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … an = n3 立方数列：1 , 8 , 27 , 64 , … 两个连续自然数乘积的数列： a n = n(n + 1) 2 , 6, 12 , 20 ,30, … 正负交替出现数列： -1 , 1, -1 , 1 , … a n = (- 1) n 循环数列：,1, 11, 111 , 1111 , … a n = (10 n – 1) 三角数列：1 , 0, -1 , 0 ,1, 0 , -1,… an =
3、叠加法(an – an – 1 = f(n) ) 4、累乘法(an / an – 1 = f(n) ) 5、迭代法(an = an – 1 f(n) )
数学循环知识点
数学循环知识点数学中的循环是指一系列数按照一定的规律反复出现的现象。
循环在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是概率统计中，循环都是解决问题的关键。
本文将介绍数学中几个重要的循环知识点，并以Step by Step的方式进行阐述。
1.数列的循环数列是数学中最基本的循环形式之一。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中的每个数与其前一个数之差都相等；等比数列是指数列中的每个数与其前一个数之比都相等。
数列的循环可以通过找出数列的规律来实现。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13…，可以观察到每个数与前一个数之差都是3，因此可以得到数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n个数，a1为首项，d为公差。
2.圆的循环圆是数学中的一个重要概念，它具有循环对称性。
圆的循环可通过角度的变化来实现。
圆的角度是一个循环的概念，一周为360度。
利用圆的循环性质，可以求解各种与圆相关的问题。
例如，计算圆的周长可以使用公式C = 2πr，其中C为周长，r为半径；计算圆的面积可以使用公式A = πr^2，其中A为面积。
通过观察和利用圆的循环性质，可以解决诸如弧长、扇形面积等问题。
3.函数的周期性函数是数学中的另一个重要概念，它也具有循环性质。
函数的周期性是指函数图像在一定范围内以一定规律反复出现。
例如，正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数。
正弦函数的图像在每个周期内以曲线形式反复出现；余弦函数的图像也是如此。
通过观察和分析函数的周期性，可以求解函数的零点、最大值、最小值等问题。
4.概率的循环概率统计中的循环是指事件的重复出现。
概率是一门研究随机现象的数学学科，其中循环是一个重要的概念。
例如，掷骰子的结果就是一个循环事件，每次掷骰子都会得到1到6之间的一个整数。
通过概率的计算和分析，可以得到掷骰子得到某个数字的概率。
概率的循环性质在解决各种概率统计问题时起着关键作用。
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循环数列的通项公式
大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集：｛ 1，2，3，…，n ｝。
因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。
我们先从数列 1-，1，1-，1，…谈起，大家利用得较多的是n )1(-，三角形式还可以写成πn cos 和)2sin(ππ
n -的形式。
这样数列 1，2，1，2，1，2，… 可以构造成：
2123-，2123+，2123-，2123+，2123-，2
123+，…… ， 它的通项公式可以写成：
2
1)1(23⨯-+=n n a (n ∈N)， 或者写成：
)2
s i n (2123ππn a n -+= (n ∈N)， 或者写成：
πn a n c o s 2
123+= (n ∈N)， 一般地，数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成： πn a b b a a n c o s )(2
1)(21-++=
(n ∈N)。
如何求数列}b {n ：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…… 和数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式呢？
注意到 1，2，3可以分解成 12-，02+，12+的形式，如果我们能给出1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式便可以了，这可以理解成周期为3的数列，我们，把它与周期为π的函数x y tan = 进行改造，使它们能发生联系。
事实上，当 x 分别为3π
-，0，3π，3
2π，π，34π，……时，x tan 的值分别为3-，0，3，3-，0，3，……这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：π)2tan(3
1
-n ， ∴ π)2tan(31
2-+=n b n (n ∈N)。
下面再讨论数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式。
我们先做以下变换：
扩大 2倍：
2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……
减去它们的平均数5：
3-，1-， 1， 3，3-，1-， 1， 3，……
分解成两个数列：
(1) 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1，……
(2) 2-，2-， 2， 2， 2-， 2-， 2， 2，……
(1)的通项公式为n )1(- 易得，(2)的通项只要求出1+，1+，1-，1-，1+，1+，1-，1-，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数(2-)。
以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：
)4
121s i n (21ππ-=n c n (n ∈N)， ∴ 2-，2-，2，2，2-，2-，2，2，……的通项为：
)4
121s i n (222ππ--=n c n (n ∈N)， ∴ 3-，1-，1，3，3-，1-，1，3，……的通项为：
)4
121s i n (22)1(3ππ---=n c n n (n ∈N)， 则原数列}c {n 的通项为：
)]4
121sin(22)1(5[21ππ---+=n c n n (n ∈N)。
此外还可以再把 1-，1-，1，1，1-，1-，1，1，……分成两个数列： 1-，0，1，0，1-，0，1，0，…… 和 0，1-，0，1，0，1-，0，1 ，…… 它们的通项公式分别为2
)1(cos
π+n 和2cos πn ， 经过化简便可得到同上一样的答案。
下面再讨论可转化成循环数列的一类数列的通项公式。
}{n a ：1，1，2，2，3，3，4，4，……；
}{n b ：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……；
}{n c ：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……；
对于数列}{n a 来说，当 n 为奇数时，)1(21+=
n a n ；当 n 为偶数时，2n a n =，则有： 2
)1(1212)1(1)1(21n n n n n a -+⋅+--⋅+= ])1(12[4
1n n --+= (n ∈N),
也可以采用以下变形：
扩大一倍得}{2n a ： 2，2，4，4，6，6，……，
减去 n 得}2{n a n -：1，0，1，0，1，0，……，
易得 ])1(1[4
12n n n a --=- (n ∈N)。
讨论}{n b ：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……，
乘以 3 得}3{n b ：3，3，3，6，6，6，9，9，9，12，12，12，……， 减去 (n+1)得)}1(3{+-n b n ：1，0，1-，1，0，1-，……，
由前面讨论得它的通项公式：
π31t a n 3
1'+-=n b n (n ∈N) 即有： π3
1tan 31
)1(3+-=+-n n b n (n ∈N) 整理可得：π31tan 3
31)1(31+-+=n n b n (n ∈N) 最后讨论}{n c ：
1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式。
乘以(－4)得：
4-，4-，4-，4-，8-，8-，8-，8-，12-，12-，12-，12-，……， 加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：
)]4
121sin(22)1(5[21'ππ---+=n c n n 又)4(4'++-=n c c n n 化简整理得：
]4
121s i n (22)1(32[81ππ-+--+=n n c n n (n ∈N)。
由上讨论可见，象这样一些循环数列，均是通过三角函数的某些性质求出了它们的通项公式，只要平时注意观察、归纳，到时运用起来就得心应手了。