倒立摆的LQR稳定控制器设计
一级倒立摆LQR控制器的设计..
目录0. 前言 (2)0.1倒立摆 (2)0.2LQR (7)0.3.最优控制（optimal control） (7)0.3.1数学角度 (8)0.3.2研究方法 (8)1. 线性二次最优控制LQR基本理论 (8)1.1一级倒立摆建模 (8)1.2微分方程模型 (12)1.3传递函数模型 (12)1.4状态空间数学模型 (13)1.5LQR控制器的二次最优控制原理 (14)2. 方案设计 (15)3. 软件编程 (16)3.1求K值程序 (16)3.2系统的开环阶跃响应程序 (17)3.3小车的状态程序 (17)4. 系统调试和结果分析 (18)4.1得出K值 (18)4.2系统的开环阶跃响应结果 (19)4.3实际连接 (19)一级倒立摆LQR控制器的设计摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。
从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。
首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。
在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。
最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。
通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。
建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。
关键词：倒立摆；建模，LQR控制器0.前言0.1倒立摆倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。
单级倒立摆LQR控制方法的鲁棒稳定性分析
ｐ ｎ ｕ ｕ ｓ ｓｅ ， ｅ ｄ ｌｍ ｙ ｔｍ ＬＱＲ ｏ ｔｏ ｔ ｏ ｓ ｄ ｂ ＡＴＬＡＢ ｉ ｌｔ ｎ ｕ ｄ ｒａ ｘ ｅ ｉ ｎ ａ ｎ ｉｏ ｍｅ ｔ ｃ ｎｒ ｌ ｍｅ ｈ ｄ ｕ ｅ ｙＭ ｓｍｕａ ｉ ｎ ｅ ｎ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｌ ｖｒ ｎ ｎ ， ｏ ｅ
单级倒立摆 Ｌ ＱＲ 控 制 方 法 的鲁 棒 稳 定 性 分 析
刘微微 ， 张 静
（ 尔 滨 理 工 大 学 自动化 学 院 ，哈 尔 滨 １ ０ ８ ） 哈 ５ ０ ０
摘
要： 鲁棒稳定性是控制系统 的一个重要指标 ， 针对单级倒立摆 系统 ， 采用 Ｌ ＱＲ最优控制方法 ， 通过 ＭＡＴＩ ＡＢ实验环境下 的仿 真， 得到了 良好的控制效果 。重点对该控制方法 的鲁棒稳定性做 了详细分析 ， 通过增加 系统 自身的扰动 及 Ｌ ＱＲ控制器 中 加权阵 Ｒ的改变考察该控制方法 的鲁棒稳定性 ， 比仿真结 果表明该控 制方法鲁棒稳定性 良好 ， 对 进一步验证 了 Ｌ ＱＲ控制
Ｄｉｔ ｒ ａ ｃ ｙ ｉ ｃｅ ｓｎ ｈ ｙ ｔｍ ｔｅｆａ ｄ ｔ ｅＬＱＲ ｏ ｔｏ ｌｒ ｏ ｃ ａ ｇ ｈ ｉｈ ｉｇ ｍａｒｘ Ｒ，ｔ ｓ ｉ ｌ ｎ ｈ ｓ ｃ ｎ ｒ ｌ ，ｔ ｈ ｎ ｅ ｔ ｅｗｅｇ ｔｎ ｔｉ ｅ ｏ
ｈ ｖ ｏ ｄｃ ｎ ｒ ｌ ｆｅ ｔ ａ ｅａｇ ｏ ｏ ｔｏ ｆｃ．Ｆｏ ｕ ｎ ｔ ｅｒ ｂ ｓ ｔｂｌｔ ｆ ｈ ｏ ｔｏ ｅ ｈ ｄｈ ｓｄ ｎ ｅ ａｌｄ ａ ａｙ ｉ． ｅ ｃ ｓｏ ｈ ｏ ｕ ｔｓａ ｉ ｙｏ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｔ ｏ ａ ｏ ｅａｄ ｔ ｉ ｎ ｌ ｓｓ ｉ ｔ ｍ ｅ
ｓｕ ｙ ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｔ ｏ ｆｒ ｂ ｓ ｔ ｂｌ ｙ ｃ ｍ ｐ ｒｎ ｉ ｕ ａ ｉｎ ｒ ｓ ｌｓｔ ｅ ａｇ ｏ ｏ ｕ ｔｓａ ｉ ｔ ｆ ｔ ｄ ｈ ｏ ｔｏ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｕ ｔｓａ ｉ ｔ ， ｏ ａ ｉ ｇ ｓｍ ｌｔ ｅ ｕｔ ｏ ｂ ｏ ｄ ｒ ｂ ｓ ｔｂ ｌ ｙ ｏ ｉ ｏ ｉ ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｅ ｈ ｄ ｈ ｏ ｔｏ ｔ ｏ ．Ｆｕ ｔ ｅ ｅ ｉ ｈ ｄ ａ ｔ ｇ ｓｏ ｈ ｏ ｔｏ ｔ ｏ ｏ ｈ ｖ ｒｅ ｅ ｄ ｌ ｍ ｕ ｈ ｍ ｒ ｈ ｒｖ ｒｆ ｔ ｅａ ｖ ｎ ａ ｅ ｆｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｙ ｍｅ ｈ ｄ ｆｒｔ ｅｉ ｅ ｔ ｄｐ ｎ ｕｕ ｉ ｓ ｃ ｎ ｎ
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品1.引言直线倒立摆系统主要由一个质量块和一个固定的轨道组成，质量块可以在轨道上自由运动。
该系统的目标是在面对各种扰动时保持质量块的平衡。
LQR控制器是一种优化控制方法，可以通过调整控制器的参数来实现系统动态响应的优化。
2.直线倒立摆系统建模m*x''+b*v+m*g=f-u在LQR控制器设计过程中，需要将系统的动力学方程转化为状态空间模型。
定义状态变量为x1=x，x2=x'，那么系统的状态空间模型可以表示为：x1'=x2x2'=(1/m)*(f-u-b*x2-m*g)3.LQR控制器设计LQR控制器设计的目标是通过调整控制器的参数来最小化系统的性能指标J。
在直线倒立摆系统中，我们可以选择以能耗作为性能指标，即J = ∫(u(t)^2)dt。
那么LQR控制器设计的目标是最小化能耗。
LQR控制器设计方法的关键是设计系统的状态反馈增益矩阵K。
具体的设计步骤如下：1)将系统的状态空间模型表示为矩阵形式：x'=Ax+Buy=Cx+Du其中，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，C是输出矩阵，D为直接递增矩阵。
2) 根据系统的状态空间模型计算系统的LQR控制器增益矩阵K。
增益矩阵K可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：K=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*A其中，S为Riccati方程的解。
3) 计算系统的控制器增益矩阵L。
增益矩阵L可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：L=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*C4.LQR控制器仿真在设计完成LQR控制器之后，可以进行仿真实验来验证控制器的效果。
可以使用MATLAB或Simulink来进行仿真。
在仿真实验中，需要设置各个参数的初始值，并且加入一些扰动以测试控制器的稳定性。
通过观察系统的状态变量和控制力的响应曲线，可以评估控制器的性能。
基于PSO的LQR最优控制器设计及其在倒立摆控制中的应用
在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆的典型性在于，倒摆系统作为一个控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字多种不同的方式控制，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强祸合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。最终的控制目标是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制方式使之成为一个稳定的系统。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。
针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计
沈阳航空航天大学课程设计（论文）题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计班级 94070201学号 2009学生姓名 SONG指导教师关沈阳航空航天大学课程设计任务书课程名称计算机控制技术课程设计院（系）自动化学院专业自动化班级9407201 学号2009 姓名song课程设计题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计课程设计时间: 2012 年7 月9 日至2012 年7 月20日课程设计的内容及要求：1. 内容以直线一级倒立摆实验平台为实验对象，根据LQR方法设计控制律。
保证倒立摆的摆杆垂直于水平面。
2. 要求（1）制定设计方案，并绘制出系统工作框图。
（2）按要求了解LQR方法并根据LQR方法设计控制律，且编写程序。
（3）用matlab进行程序设计与调试并进行仿真。
（4）通过直线一级倒立摆实验平台检验控制律的实际控制效果。
（5）撰写一篇6000~8000字左右的课程设计报告。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日目录0. 前言 (1)1. 针对直线一级倒立摆的LQR控制系统的基本理论 (2)1.1倒立摆的相关基础知识 (2)1.2倒立摆系统控制方法简介 (2)1.2基于牛顿—欧拉方法的直线一级倒立摆系统的数学模型 (3)1.2系统的可控性分析 (6)1.3线性二次最优控制LQR的基本原理 (7)2. 方案设计 (8)3. 部分硬件电路图 (9)4. 软件编程 (10)5. 系统调试和结果分析 (12)5.1系统仿真调试与结果分析 (12)5.2实际系统调试与结果分析 (13)6. 结论及进一步设想 (16)参考文献 (17)课设体会 (18)针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计宋沈阳航空航天大学自动化学院摘要：针对一级倒立摆这个被控制对象，由于其本身是具有绝对的不稳定、高阶次、多变量、强耦合的一个非线性自然的不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
基于LQR的直线一阶单倒立摆最优控制器的设计
1 T 乙基于 LQR 的直线一阶单倒立摆最优控制器的设计张娓娓 1，陈乐瑞 2，赵志远 3(1.河南工业职业技术学院电气工程系，河南 南阳 473000；2.郑州铁路职业技术学院电气工程系，郑州 450001；3.中航工业洛阳电光设备研究所，河南 洛阳 471009)摘 要：对已有的 LQR 最优控制中系统的动态响应与加权矩阵 Q 和 R 之间遵循的基本规律进行分析，并根据这 一基本规律对给定的直线一阶单倒立摆采用线性二次型最优控制的方法设计控制器。
仿真结果表明, 基于 LQR 的最 优控制系统对直线一阶单倒立摆具有很好的控制效果。
关键词：LQR ；倒立摆；最优控制；SimulinkDesign of Optimal Controller of Line Single Inverted Pendulum Based on LQRZHANG Wei-wei 1, CHEN Lerui 2, ZHAO Zhi-yuan 3(1. Dept. of Electrical Engineering, Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473009, China; 2. Department o f ElectricalEngineering, Zhengzhou Railway Vocational & Technical College, Zhengzhou 450052, China; 3. Luoyang Institute o fElectro-Optical Equipment, A VIC, Luoyang 471009, China)Abstract: The existing dynamic response of the LQR optimal control system and the basic rules of the Q and R in weight- ed matrix are analyzed. The controller of the si ngle inverted pendulum is designed based on the quadratic optimal control method accordi ng to the basic law. Simulation results show that the optimal control system based on LQR has good control ef- fect for linear first order single inverted pendulum.Keywords: LQR; inverted pendulum; optimum control; Simulink0 引言线性二次型调节器(LQ R )问题在现代控制理论中 占有非常重要的位置。
毕业论文（设计）单级倒立摆lqr控制器的设计及仿真
毕业设计（论文）任务书I、毕业设计(论文)题目：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求：1、在深入了解倒立摆的基础上，熟悉单级倒立摆控制的基本原理2、了解单级倒立摆控制的发展趋势。
3、熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法。
4、建立单级倒立摆的数学模型，并编写MATLAB程序，完成倒立摆的仿真。
I I I、毕业设计(论文)工作内容及完成时间：工作安排如下：1、查阅文献，翻译英文资料，书写开题报告第1---4周2、相关资料的获取和必要知识的学习第5---9周3、设计系统的硬件和软件模块并调试第10--14周4、撰写论文第15--17周5、总结，准备答辩第18周Ⅳ、主要参考资料：1．阳武娇.基于MATLAB的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真[J].电子元器件应用.2007，9(1):29-312 .杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究[J].控制工程.2007,14:23-53.3．黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真[M].北京：国防工业出版社，2006．4．薛安客，王俊宏．倒立摆控制仿真与实验研究现状[J].杭州电子工业学院学报.2002，21(6):25-27.5 .徐征.基于遗传算法的PID控制器参数寻优方法的研究[D].武汉：武汉大学，2004．6．Takahas M，Narukawa T，Y oshida K．Intelligent transfer andstabilization control to unstable equilibrium point of double inverted pendulum．Int SICE 2003 Annual Co nfeFence，2003，2：1451-145.信息工程系自动化专业类1082022班学生（签名）：填写日期： 2014 年 1 月 10 日指导教师（签名）：助理指导教师(并指出所负责的部分)：信息工程系主任（签名）：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真摘要：单级倒立摆系统是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业论文设计
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真摘要倒立摆系统是非线形、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。
在控制过程中能反映控制理论中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题以及跟踪问题等。
不仅是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途，因此对倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。
本文以固高公司直线倒立摆为研究对象，利用Newton法建立直线一级倒立摆的动力学模型。
先对系统状态方程进行能控性和能观性分析，之后借助固高科技Matlab实时控制软件实验平台，设计LQR控制器，并利用LQR控制方法对直线一级倒立摆系统进行了Simulink在线实时仿真实验，并对实验结果分析，调节LQR参数，使之达到最佳稳定调节状态，通过在线对系统施加一定的扰动，系统均能在很短的时间里恢复平衡，取得了较好的实时控制效果。
关键词：直线倒立摆；建模；稳定性；LQR；仿真ABSTRACTInverted pendulum system is non-linear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol company linear inverted pendulum, Newton's method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mechanics methods. This thesis adopts Googol company linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol be designed and LQR control method can conduct online real-time simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good real-time control effects.Keywords：linear inverted pendulum; modeling；stability；LQR；Simulation目录第一章绪论 (1)1.1 倒立摆系统概述 (1)1.2 倒立摆系统发展及研究现状 (5)1.3 本文的主要研究内容与章节安排 (8)第二章直线倒立摆系统数学模型建立 (10)2.1 直线一级倒立摆系统数学模型 (10)2.2 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析 (16)2.3 本章小结 (197)第三章直线倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 (208)3.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 (208)3.2 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 (219)3.3 本章小结 (26)第四章直线倒立摆的实物稳定控制 (27)4.1 直线一级倒立摆LQR实物稳定控制 (27)4.2 本章小结 (329)结论与展望 (340)附录 (351)参考文献 (337)致谢 (339)第一章绪论1.1 倒立摆系统概述倒立摆控制系统是一个复杂的、高阶次、多变量、不稳定的、非线性并强耦合系统。
倒立摆的LQR稳定控制器设计
采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：
( M m) x bx ml cos ml 2 sin F ( I ml 2 ) mgl sin mlx cos
建立模型及分析
线性化后两个方程如下：
2 ( I ml ) mgl mlx ( M m) x bx ml u
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
LQR控制器的设计
(1)Q11=5000，Q33=100 得：K=[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521] LQR控制的阶跃响应曲线
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 小车位移 小车速度 摆杆角度 摆杆角速度
建立模型及分析建立模型及分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析有下图由图可以看出小车位移和摆杆角度都是发散的所以倒立摆系统不稳定2000400060008000100005010015050100150stepresponsetimeseconds建立模型及分析建立模型及分析系统能控性是控制器设计的前提由能控性矩阵mbab利用matlab可得出rankm4所以系统完全可控
K R 1BT P
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解 。
LQR控制器的设计
2.用完全状态反馈设计控制器
系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置，小 车可以到达新的指定位置。
单级倒立摆稳定控制实验
单级倒立摆稳定控制实验一．实验目的1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立；2.掌握LQR控制器的设计方法；3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。
二．实验内容图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。
系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。
光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。
图2直线一级倒立摆系统其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图3 （a ）小车隔离受力图； （b ）摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：MxF bx N =-- (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dtθ=+ (2)即：2cos sin N mxml ml θθθθ=+- 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dtθ-= (3)即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- 力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--= (4) 注意：此方程中力矩的方向，由于θπφ=+，cos cos φθ=-，sin sin φθ=-故等式前面有负号。
二级倒立摆系统的LQR
本科毕业设计(论文)题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究1.毕业设计（论文）题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究2.题目背景和意义：本课题来源于西安工业大学机器人实验室的倒立摆实验台。
倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统。
在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。
倒立摆在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。
从日常生活中所见到的各种重心在上，支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服机构的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际生产和生活中有很多用场。
3.设计(论文)的主要内容（理工科含技术指标）：本题目是以倒立摆为研究对象，设计一个LQR控制器。
借助Matlab语言编程，得出直线二级倒立摆LQR控制器、仿真图。
修改Simulink 的LQR模块中的参数，观察仿真；通过试验对系统进行仿真分析，从而得出对系统的最佳控制方案。
4.设计的基本要求及进度安排（含起始时间、设计地点）：按毕业设计题目的要求在毕业设计时间内完成设计内容并。
1-5周；开题，针对原理及应用、主要技术难点的收集资料，熟悉课题方案。
6-10周；完成方案论证，确定设计方案。
10-15周；利用Matlab对系统做进一步的仿真分析，完善控制器的设计和算法，得到系统的最优控制器。
16—18周；完成所有的设计工作，整理资料，完成毕业论文，准备答辩。
5.毕业设计（论文）的工作量要求：*或实习（天数）：350小时①实验（时数）*：A4一张②图纸（幅面和张数）③其他要求：外文翻译3000字指导教师签名：年月日学生签名：年月日系（教研室）主任审批：年月日说明：1本表一式二份，一份由学生装订入附件册，一份教师自留。
2 带*项可根据学科特点选填。
西安工业大学北方信息工程学院本科毕业设计(论文)题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究系别电子信息工程系专业电气工程及其自动化班级B070307姓名龙仕学号B07030711导师张荷芳焦灵侠2011年 6 月二级倒立摆系统的LQR控制算法研究摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
倒立摆的LQR稳定控制器设计
——现代控制理论实验
一、实验目的和要求
• 熟悉倒立摆的系统组成 • 学习利用MATLAB软件进行控制器的设计与仿真 • 运用LQR理论设计倒立摆的稳定控制器 • 设计的控制器能够成功进行倒立摆实时控制
二、倒立摆系统原理
计算机
运动控制卡
伺服驱动器
伺服电机
倒立摆
光电码盘1 光电码盘2
• 倒立摆系统原理图
三、理论分析
•二次型最优调节器问题 ：
已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方 程为：
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0
确定下列最优控制向量：
u*(t) Kx(t)
使得下列二次型性能指标达到最小值:
J (u) 1 [xT (t)Qx(t) uT (t)Ru(t)]dt 20
0 27.83
0x 0
0 1
x
0.8832u 0
0
2.357
x
x 1
y
0
0 0
0 1
0 0
x
0 0u
LQR控制器的设计
• 开环仿真
LQR控制器的设计
• 使用完全状态反馈设计控制器
• 系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置， 小车可以到达新的指定位置。
LQR控制器的设计
可以通过改变Q阵的非零元素来调节控制器以得到期望 的响应。
(2)取Q=diag（3000 0 1000 0），R=1时：
K=[-54.772，-34.419，117.17，21.918]
此时的目标泛函:
J 2
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
单级倒立摆LQR和LQY控制
单级倒立摆的LQR 与LQY 控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。
其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：2()cos sin ()sin cos M m x bx ml ml F I ml mgl mlx θθθθθθθ+++-=++=-倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设θπφ=+，φ为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1θ=-，sin θφ=-，220tθ∂=∂。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个方程如下：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩取状态变量：1234x x x x x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。
则系统的状态方程为：122122342224122()()()()()x x mgl M m ml x x uI M m Mml I M m Mml x x m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml =⎧⎪+-⎪=+++++⎪⎨=⎪⎪+=+⎪++++⎩将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：x Ax Bu y Cx x θ=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这里设：21.320.070.1//0.200.0009M Kg m Kgb N m s l m I Kgm =====将参数带入，有：010038.182500000010.384700002.803700.747710000010A B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、LQR 控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。
(完整word版)一级倒立摆的LQR控制器设计(一)
沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。
前言.。
.。
.。
.。
.。
..。
.。
...。
..。
..。
.。
.。
.。
.。
..。
...。
.。
...。
.。
.。
..。
..。
........。
..。
...。
.。
.。
.。
.。
.。
....。
..。
.....。
.。
.。
10。
1 倒立摆的背景及简介...。
.。
.。
...。
....。
.。
.。
.。
..。
.。
...。
.。
.。
.。
...。
.....。
....。
.。
.。
.。
..。
.。
.。
....。
.。
.。
.10.2 MATLAB简介及应用....。
..。
.。
..。
..。
..。
..。
.....。
..。
..。
.。
.。
.。
.。
..。
..。
.。
.。
..。
..。
..。
..。
.。
...。
.。
.。
11。
一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。
...。
.。
.。
.。
.。
..。
....。
.。
.。
.。
.。
..。
....。
.。
(4)1。
1 一级倒立摆模型基本理论。
..。
...。
...。
..。
...。
.。
.。
.。
.。
...。
...。
.。
.。
....。
..。
..。
...。
..。
.。
...。
.。
41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。
...。
.。
..。
...。
.。
.。
..。
.。
...。
.。
.。
.。
...。
......。
..。
.。
..。
72. 方案设计。
.......。
.。
.。
...。
.。
.。
....。
.。
..。
......。
....。
..。
.。
....。
.。
..。
.。
.。
. ..。
.。
.。
.。
..。
.。
.。
.。
...。
...。
.....。
103。
软件编程。
.。
.。
.。
.。
.。
...。
..。
...。
...。
..。
...。
.。
.。
.。
..。
.。
.。
..。
.。
.。
..。
析.。
...。
.。
.....。
...。
.。
.。
...。
.。
..。
...。
.。
..。
.。
..。
..。
.。
.。
.。
...。
.。
...。
基于LQR的二阶直线倒立摆控制系统设计
摘要.............................................................................................................................................I
1.2倒立摆设备简介..................................................................................................................1
1.3倒立摆的发展历史及现状..................................................................................................5
5.2 LQR控制............................................................................................................................25
5.3仿真调试时出现问题的解决............................................................................................34
关键词：二级倒立摆；LQR控制；PID控制
Second-order Linear Inverted Pendulum Control System Based on LQR
倒立摆的LQR控制器算法的设计与仿真
Fig 4.1 Conventional LQR control system structure对于状态方程式所表示的连续时间的线性被控对象有：(4-1)0)0(),()()(x x t Bu t Ax t x =+=上式中，x(t)为n 维状态向量；u(t)为m 维控制向量；A ，B 分别为n×n 及n×m 阶的常数矩阵。
在进行线性二次最优控制系统设计时，比较令人感兴趣的是如何选择控制向量u(t)，使得给定的性能指标达到最小，线性二次最优调节器( LQR) 是针对系统状态方程，寻找最优控制，使得控制性能指标 J 达到最小，其中 Q 、R 分别表示了对状态变量和输入变量的加权值。
二次型性能指标函数：(4-2)dt RU U QX X J T T )(+=⎰+∞∞-则有如下状态反馈控制律：(4-3))()(t Kx t U -=式中，K 为最优反馈矩阵：(4-4)P B R K T 1-=在式(4-4)中，P 为Riccati 方程非负定对称解。
而Riccati 方程为：(4-5)01=+-+-Q P B PBR P A PA T T 如此，可得到状态反馈增益向量K ：(4-6)P B R K T 1-= 由此可见最优控制器的设计的关键是选择合适的加权矩阵Q 和R ，并根据式(4-6)可以算出P ，这样就能求出反馈增益K 了。
而加权矩阵Q 和R 的具体作用为：Q 中某元素相对增加时，其对应的状态变量的响应速度增加，其他状态变量的响应速度相对减慢；R 增加时，控制力减小，角度变化变小，跟随速度变慢。
改变矩阵Q 的值，可以得到不同的响应效果，Q 主对角线元素的值在一定范围之内越大，系统调整时间越短，而且抵抗干扰的能力越强，但是Q 不能过大，不然将对实验结果有一定的影响[16]。
上述推导过程即为线性二次最优控制的控制原理。
而当今现在，随着计算机技术的飞速发展，已经可以不使用上述公式进行繁琐的计算，而利用 MATLAB 的lqr 命令轻松的得到反馈矩阵K 的值：(,,,)K lqr A B Q R = 4.3 二次最优控制器的参数调整二次最优控制器的参数调整关键在于选择好合适的加权矩阵Q 和R ，这样就能得出反馈增益K [17]。
一阶倒立摆的LQR稳定控制
1 0 0 0
0 0 0 3g 4l
0 0 1 0
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
0 0 0 0 1 0 觶 0 x + 0 0 u′ 0 准 0 3 0 0 觶 准 4l 0 0 x
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
在此我们采用牛顿 － 欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学 模型 ， 在忽略了空气阻 力 和 各 种 摩 擦 之 后 ， 可 将 直 线 一 级 倒 立 摆 系 统 抽象成小车和匀质杆组成的系统 ， 我们不妨做以下假设 （ 小车质量 M 、 摆 杆 质 量 m、 小 车 摩 擦 系 数 b、 摆 杆 转 动 轴 心 到 杆 质 心 的 长 度 l、 加 在 小车上的力 F 、 小车位置 x ）[1]。 最后得出的数学模型 ：
图5
未加扰动
图6
加入轻微扰动
计算得出 K=31.6228 ，1.4046 ，-22.3514 ，0.1188
图7
加入较大扰动
图3
参数 ：Q11=2000 ，Q33=500 的图像
计算得出 K=44.7214 ，17.0411 ，-22.0184 ，0.7188
三组图像比较得出 ： 小车基本能稳定在一个位置 ， 不会有太大的漂移 。 即使受到外界 干扰 ， 小车也很快能够稳定下来 。 摆杆也相对稳定 ， 没有太大的抖动 。 3．2 LQR 实时控制有比较好的控制效果 ， 既能控制小车的位移 ， 又能 控制摆杆的角度 。 基本与 Matlab 仿真的结果相吻合 。 因此 ，LQR 控制 法是值得我们提倡和进一步研究的 。 3．3 图 6 、 图 7 的 尖 角 处 为 受 到 外 界 干 扰 的 时 刻 ， 小 车 会 有 轻 微 的 漂 移 ， 但小车很快就会稳定下来 。 3．4 实时控制也告诉我们 ：Matlab 仿真能达到的控制效 果 ， 由 于 现 实 条件的制约 ， 实时控制未必能达到 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解 。
LQR控制器的设计
2.用完全状态反馈设计控制器
系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置，小 车可以到达新的指定位置。
建立模型及分析
3． 能控性能分析
系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M=[B AB …An1B ]，利用MATLAB可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控。
三、LQR控制器的设计
1.二次型最优调节器问题 ：
已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状 态方程为：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：
( M m) x bx ml cos ml 2 sin F ( I ml 2 ) mgl sin mlx cos
建立模型及分析
线性化后两个方程如下：
2 ( I ml ) mgl mlx ( M m) x bx ml u
x(0) x0
确定下列最优控制向量：
u* (t ) Kx(t )
使得下列二次型性能指标达到最小值:
1 T J (u ) [ x (t )Qx (t ) u T (t ) Ru (t )]dt 2 0
线性二次最优控制LQR
最优调节器问题的解 ：
u* (t ) Kx(t )
取状态变量：
则系统的状态方程为：
x1 x x2 x x x3 x4
x1 x2 2 2 2 2 ( I ml ) b m gl ( I ml ) x x x u 2 I ( M m) Mml 2 1 I ( M m) Mml 2 2 I ( M m) Mml 2 x3 x4 mlb mgl ( M m) ml x x 1 x u 4 2 2 2 2 I ( M m) Mml I ( M m) Mml I (M m) Mml
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
LQR控制器的设计
(1)Q11=5000，Q33=100 得：K=[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521] LQR控制的阶跃响应曲线
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 小车位移 小车速度 摆杆角度 摆杆角速度
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
四，SIMULINK仿真
在simulink环境下建立直线一级倒立摆模型，如图所示
K*u Step matrix B 1 s Integrator matrix C angel- pendulum K*u car position K*u
matrix A K*u
一、设计目的
1.了解倒立摆控制系统在国内外发展动态。 2.建立一级倒立摆系统的数学模型。 3.基于状态空间模型，采用LQR最优化方法，设计出
倒立摆的状态反馈控制器。
4.搭建出倒立摆控制系统的Simulink模型，进行控制
系统仿真实验。
二. 建立模后，可将直线一级倒立摆系 统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：
建立模型及分析
2.稳定性分析
对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，有下图
Step Response 10000 8000
To: Out(1) Amplitude To: Out(2)
6000 4000 2000 0 150
100
50
0
0
50 Time (seconds)
100
150
由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系 统不稳定
调用格式：
K lqr ( A, B, Q, R)
LQR控制器的设计
4.Q和R的选择
Q=[ Q11 0 0 0；0 0 0 0；0 0 Q33 0；0 0 0 0 ] (1)Q11=1，Q33=1 得：K= [ -1 -1.7855 25.422 4.6849] LQR控制的阶跃响应曲线
0.2 小 小 摆 摆 车 车 杆 杆 位 速 角 角 移 度 度 速度 0
建立模型及分析
这里设：
M 1.32 Kg m 0.07 Kg b 0.1N / m / s l 0.20m I 0.0009 Kgm 2
将参数带入有，并写为状态空间方程，有：
. 0 x .. x 0 . 0 .. 0 1 0 0 x . x 0 0 0 1 . u 0 0 1 0 . 0 29.4 0 3 0
谢谢观看！
matrix K
SIMULINK仿真
取Q11=1，Q33=1时，输出的阶跃响应曲线
SIMULINK仿真
取Q11=5000，Q33=100时，输出的阶跃响应曲线
五.心得体会
建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用 MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态 量及控制量的响应曲线。由实验结果可以看到，本次课设完 成了要求，达到了目的。当然由于知识有限设计还有一些缺 陷。 对控制理论有了更深一步的理解。在把课上学到的方法应 用到实际问题的解决中，拓宽了思路，开拓了眼界，受益匪 浅。感谢老师对我们悉心的指导。
LQR控制器的设计
3.步骤
（1）要设计LQR控制器，必须要根据需要设定参数加权矩
阵Q和R，通过调整他们的元素的大小，调整对“状态变 量接近于平衡状态”和“控制能量不能太大”这两个不 同目标的重视的程度。 （2）确定了加权矩阵Q和R以后，找出确定反馈控制规律的 K。
（3）Matlab提供了lqr函数，可以得到最优控制对应的K。其
建立模型及分析
四个状态量分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆 角速度，输出 包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当 给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂 直位置，小车可以到达新的位置。
假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反 馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优 控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参 数用来平衡输入量和状态量的权重。
基于LQR最优化的一级倒 立摆控制系统设计
前言
倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学 院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有 参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高 了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。 在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性 、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出 来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线 性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视 为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。