人大版 微积分 第二章 极限的运算法则
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2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
微积分
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
3、复合函数的极限运算法则 、
微积分
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
微积分
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， ∵ f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = ∵ B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 ∵ β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
第九章 微分方程
微积分
第二章 极限与连续
• • • • • • • 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性
微积分
2.5 极限的运算法则
微积分
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
x→0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
2 x→0
y = 1− x
y = x2 + 1
y
x→0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x ) = 1.
x →0
微积分
定理（复合函数的极限运算法则）设函数 u = ϕ ( x) 当 x → x0 时的极限存在且等于 a，即 lim ϕ ( x) = a，
解 当x → ∞时, 1 为无穷小, x
而 sin x是有界函数 .
y=
sin x x
sin x ∴ lim = 0. x→∞ x
微积分
1 − x, 例7 设 f ( x ) = 2 x + 1,
解
x→0
x<0 , 求 lim f ( x ). x→0 x≥0
x = 0是函数的分段点 两个单侧极限为 是函数的分段点,
lim P ( x )
若 Q ( x 0 ) = 0,
则商的法则不能应用 .
微积分
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
微积分
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b , 当n = m , m m −1 0 a 0 x + a1 x + ⋯ + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x→∞ b x + b x + ⋯ + bn 0 1 ∞ , 当n < m ,
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
微积分
例8
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2
微积分
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 分母,以分出无穷小 然后再求极限. 子,分母 以分出无穷小 然后再求极限 分母 以分出无穷小,然后再求极限
微积分
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
微积分
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则 , c ,
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论2
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
微积分
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 ∵ lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
先变形再求极限. 先变形再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim n→ ∞ n n→ ∞ n n n2
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
微积分
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
x → x0
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x) ≠ a，又 lim f (u ) = A，
u →a
则复合函数 f [ϕ ( x)] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x)] = lim f (u ) = A.
u →a
意义： 意义：
x → x0
lim f [ϕ ( x )]
3
3
x→2
微积分
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
微积分
练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
xm − xn 7、 lim m x →1 x + xn − 2
微积分
练习题答案
-5； 一、1、-5； 5、 5、0； 二、1、2； 1 5、 5、 ； 2 2、 2、3； 6、 6、0； 2、 2、 2 x ； 6、 6、0； 3、 3、2；
1 7、 7、 ； 2 3、-1； 3、-1； m−n 7、 7、 . m+n 1 4、 4、 ； 5 3 30 8、 8、( ) . 2 4、-2； 4、-2 ；
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
微积分
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
微积分
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
3
令u = x − a
lim u
u→0 → 3
3
2
3 a
2
= 0．
微积分
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 、极限的四则运算法则及其推论 2、极限求法 、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
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dx = rx dt
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第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
微积分
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
3、复合函数的极限运算法则 、
微积分
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
微积分
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， ∵ f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = ∵ B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 ∵ β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
第九章 微分方程
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第二章 极限与连续
• • • • • • • 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性
微积分
2.5 极限的运算法则
微积分
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
x→0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
2 x→0
y = 1− x
y = x2 + 1
y
x→0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x ) = 1.
x →0
微积分
定理（复合函数的极限运算法则）设函数 u = ϕ ( x) 当 x → x0 时的极限存在且等于 a，即 lim ϕ ( x) = a，
解 当x → ∞时, 1 为无穷小, x
而 sin x是有界函数 .
y=
sin x x
sin x ∴ lim = 0. x→∞ x
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1 − x, 例7 设 f ( x ) = 2 x + 1,
解
x→0
x<0 , 求 lim f ( x ). x→0 x≥0
x = 0是函数的分段点 两个单侧极限为 是函数的分段点,
lim P ( x )
若 Q ( x 0 ) = 0,
则商的法则不能应用 .
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4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
微积分
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b , 当n = m , m m −1 0 a 0 x + a1 x + ⋯ + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x→∞ b x + b x + ⋯ + bn 0 1 ∞ , 当n < m ,
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
微积分
例8
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2
微积分
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 分母,以分出无穷小 然后再求极限. 子,分母 以分出无穷小 然后再求极限 分母 以分出无穷小,然后再求极限
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例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
微积分
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则 , c ,
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论2
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
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二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 ∵ lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
先变形再求极限. 先变形再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim n→ ∞ n n→ ∞ n n n2
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
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sin x 例6 求 lim . x→∞ x
x → x0
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x) ≠ a，又 lim f (u ) = A，
u →a
则复合函数 f [ϕ ( x)] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x)] = lim f (u ) = A.
u →a
意义： 意义：
x → x0
lim f [ϕ ( x )]
3
3
x→2
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小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
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练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
xm − xn 7、 lim m x →1 x + xn − 2
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练习题答案
-5； 一、1、-5； 5、 5、0； 二、1、2； 1 5、 5、 ； 2 2、 2、3； 6、 6、0； 2、 2、 2 x ； 6、 6、0； 3、 3、2；
1 7、 7、 ； 2 3、-1； 3、-1； m−n 7、 7、 . m+n 1 4、 4、 ； 5 3 30 8、 8、( ) . 2 4、-2； 4、-2 ；
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
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x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
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2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
3
令u = x − a
lim u
u→0 → 3
3
2
3 a
2
= 0．
微积分
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 、极限的四则运算法则及其推论 2、极限求法 、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限